Xét một thị trường tài chính hoạt động trong khoảng thời gian hữu hạn[0,T]; thời điểmt =0là thời điểm hiện tại bắt đầu giao dịch; thời điểmt =T là thời điểm đáo hạn, kết thúc giao dịch. Giả thiết thị trường là hoạt động liên tục, không chia cổ tức trước khi đáo hạn, không có phí giao dịch và thuế, không trao đổi chứng khoán. Thị trường tài chính gồm có hai tài sản nền tảng để đầu tư: đó là một trái phiếu không rủi ro (hay một tài khoản tín dụng ngân hàng)B, với lãi suất cố định làrvà một chứng khoán có rủi ro S.
Gọi Ωlà tập hợp tất cả các yếu tố ngẫu nhiên ảnh hưởng đến giá chứng khoán trên thị trường như các biến động về giá của các sản phẩm khác, các xu hướng tăng trưởng hoặc suy thoái của nền kinh tế thế giới, các diễn biến về tiêu dùng trong và ngoài nước, tiềm lực sản xuất, các diễn biến chính trị, các chính sách kinh tế vĩ mô của nhà nước, các diễn biến tâm lý của nhà đầu tư,.... Mỗi phần tửω củaΩbiểu thị một yếu tố ngẫu nhiên nào đó. Mỗi sự kiện xảy ra trong thị trường là một tập hợp nào đó gồm một số các yếu tố ngẫu nhiên trong Ω, tức là một tập con của Ω. Gọi
F làσ-đại số gồm các tập con củaΩ,Plà độ đo xác suất xác định trênF. Khi đó, giá của các chứng khoán là các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất
(Ω,F,P).
♣ Ký hiệuBt là giá của trái phiếu không rủi ro tại thời điểmt,0≤t ≤T. Để đơn giản mô hình ta giả thiết B0 =1. GọidBt là lượng giá trái phiếu không rủi ro thay đổi trong khoảng thời gian nhỏdt=ti+1−ti. Vì lãi suất là cố định nên ta có thể giả thiết độ thay đổi tương đối về giá dBt
Bt
tỉ lệ thuận với độ dài thời giandt theo hệ số tỉ lệr: dBt Bt =rdt (2.1) hay dBt =rBtdt.
Như vậy, giá của chứng khoán không rủi roBt tại thời điểmt thỏa mãn phương trình:
dBt =rBtdt, B0 =1. (2.2)
Lấy tích phân hai vế (2.1) trên đoạn[0,t]ta được Z t 0 dBs Bs = Z t 0 rds ⇔lnBt−lnB0 =rt ⇔Bt =ert.
Vậy nghiệm của phương trình (2.2) là
Bt =ert,t ≥0.
♣Ký hiệuSt là giá cổ phiếu tại thời điểmt,dSt là lượng giá cổ phiếu thay đổi trong khoảng thời gian nhỏ dt =ti+1−ti. Một cách tự nhiên, ta có thể giả thiết độ thay đổi tương đối về giá dSt
St
tỉ lệ thuận với độ dài thời giandt theo một hệ số tỉ lệ µ
nào đó:
dSt
St
≈µdt.
Ngoài ra, còn có tác động của các yếu tố ngẫu nhiên trong thị trường lên tỉ lệ đó nữa. Các yếu tố ngẫu nhiên ấy tạo nên một loại “nhiễu” ngẫu nhiên. Nhiễu ngẫu nhiên phổ biến nhất là nhiễu có phân phối chuẩn, thể hiện qua vi phân ngẫu nhiên
dWt của một chuyển động BrownWt với một hệ số tỉ lệσ nào đó. Do đó, ta đặt
dSt St
≈µdt+σdWt.
Qua hệ thức này, ta nhận thấyσ càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn, cho nên σ cũng được gọi là độ biến động của giá cổ phiếuSt.
Như vậy, giá chứng khoán St được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính như sau:
dSt =µStdt+σStdWt, S0 đã cho, (2.3)
trong đó µ và σ là các hằng số, còn Wt là chuyển động Brown (hay quá trình
Wiener).
Mệnh đề 2.1. (Công thức tính giá cổ phiếu)
Nghiệm của phương trình(2.3)là một quá trình ngẫu nhiênSt=S(t,ω)có dạng
St =S0eσWt− µ−σ2 2 t . (2.4)
Quá trình St này được gọi là một chuyển động Brown hình học. Trong (2.4), S0 là giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểmt =0.
Chứng minh. Theo định lí (1.12), nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính (2.3) là duy nhất. Do đó, ta chỉ cần chứng minh (2.4) thỏa mãn phương trình (2.3).
Trước hết, giả sửS0=1. ĐặtXt =σWt+ µ−σ 2 2 t. Xét hàm số f(x) =exvà áp dụng công thức Itô, ta được
St =eXt =eX0+ Z t 0 eXsdXs+1 2 Z t 0 eXs σ2ds =1+ Z t 0 SsσdWs+ Z t 0 Ss µ−1 2σ 2 ds+ 1 2 Z t 0 Ssσ2ds =1+ Z t 0 SsσdWs+ Z t 0 Ssµds,
Suy raSt thỏa mãn phương trình (2.3).
NếuS0 6=0thì ta nhân cả hai vế của đẳng thức trên choS0 ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.1.
- Bằng quan sát thống kê, ta có thể ước lượng được các tham số µ vàσ của chuyển động Brown hình học, điều đó có nghĩa là ta ước lượng được giá St của cổ phiếu. - Ta có lnSt =lnS0+σWt−µ− σ2
2
t. Do đó, lnSt có phân bố chuẩn và là một chuyển động Brown không tiêu chuẩn, tức làSt có các tính chất sau:
+ Có quỹ đạo liên tục.
+ Có gia số dừng: luật phân bố của (St−Su)Su chính là luật phân bố của