Xét một hệ thức vi phân ngẫu nhiên
dXt =b(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dWt (1.15)
trong đób(t,x)vàσ(t,x)là những hàm hai biến đo được:[0,T]×R→R,Wt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn. Nếu xem Xt là một quá trình ngẫu nhiên phải tìm, thì hệ thức (1.15) được gọi là một phương trình vi phân ngẫu nhiên.
♣Một quá trình ngẫu nhiênX = (Xt(ω),t ∈[0,T])được gọi là một lời giải của phương trình (1.15) với điều kiện ban đầu
X0 =Z (1.16)
trong đó Z là một quá trình ngẫu nhiên cho trước, độc lập vớiW = (Wt,t ≥0)sao choE(Z2)<∞, nếuX thỏa mãn các giả thiết sau:
(i) Xt là thích nghi với Ft =FW
t =σ(Ws,s≤t), và là đo được đối vớiσ - đại số tích B[0,T]×Ft. (ii)E t R 0 Xt2dt<∞,∀t ∈[0,T]. (iii)Xt thỏa mãn các hệ thức (1.15) và (1.16).
♣Giả sửX = (Xt(ω),t ∈[0,T])là một lời giải của phương trình (1.15)- (1.16). Ta nói rằng lời giải đó là duy nhất nếu điều sau đây được thực hiện:
Giả sử có một quá trình ngẫu nhiênY = (Yt(ω),t ∈[0,T])cũng là một lời giải của quá trình trên thì khi đó
P sup 0≤t≤T |Xt−Yt|=0 =1. (1.17) Định lí 1.12. Định lí tồn tại và duy nhất
Nếu tồn tại một hằng sốK>0sao cho với mọit∈[0,T]và mọix,y∈Rsao cho
|b(t,x)−b(t,y)|+|σ(t,x)−σ(t,y)| ≤K|x−y| |b(t,x)|2+|σ(t,x)|2 ≤K 1+|x|2
thì khi đó tồn tại một lời giải X = (Xt(ω),t ∈[0,T]) của phương trình (1.15) với điều kiện ban đầu(1.16)và lời giải đó là duy nhất theo nghĩa(1.17).
Chương 2
Mô hình tài chính cơ bản
Trong chương này ta làm việc trong mô hình thị trường đơn giản chỉ gồm hai loại tài sản để đầu tư là trái phiếu không có rủi ro và chứng khoán có rủi ro. Sau khi nêu một số khái niệm và công cụ cần thiết, chúng tôi đưa ra công thức định giá Quyền Chọn trong thời gian liên tục. Việc nghiên cứu thị trường trong thời gian liên tục là cần thiết vì hai lí do: thứ nhất là với sự phát triển của hệ thống thông tin liên lạc hiện nay mọi thông tin và diễn biến trên thị trường đều được thể hiện một cách liên tục, thứ hai là với các mô hình thời gian liên tục ta có thể có những công cụ hữu hiệu (chẳng hạn các phương pháp của giải tích ngẫu nhiên) và tránh được các khó khăn gặp phải khi nghiên cứu thị trường với thời gian rời rạc (chẳng hạn thị trường đối với thời gian rời rạc thường là không đầy đủ).