Với một số vốn ban đầu, có rất nhiều phương án đầu tư khác nhau. Nguyên lý
đáp ứng để bảo hộ được phát biểu như sau:
Nếu có thể tìm được phương án đầu tư mà nó đáp ứng để bảo hộ hoàn toàn sản phẩm phái sinh theo nghĩa là phương án đầu tư này đảm bảo lợi nhuận chính xác như lợi nhuận của sản phẩm phái sinh tại thời điểm đáo hạn, thì giá của phương án đầu tư này phải trùng với giá của sản phẩm phái sinh.
Về mặt toán học, nguyên lý đáp ứng để bảo hộ có thể phát biểu như sau:
Định nghĩa 2.8. Một phương án đầu tư đáp ứng (a replicating strategy) hay một bảo hộ (hedge) đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn K tại thời điểm đáo hạnT
là một phương án đầu tư tự điều chỉnh(x,Φ)sao cho
VT(x,Φ) =K (2.8)
tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trị đáo hạnK đã định trước và đã ghi trong hợp đồng.
Quá trình giáVT(x,Φ) của phương án đáp ứng gọi là quá trình đáp ứng. Ký hiệuΦX là tập hợp tất cả các phương án đầu tư(x,Φ)đáp ứng cho phái sinhX.
Ý nghĩa của thuật ngữđáp ứngcũng ở chỗ đó: Trong hợp đồng phái sinh người ta đã định trước giá đáo hạnK rồi, phương án đầu tư phải được lựa chọn thế nào để giá trị cuối cùng phải đáp ứng được điều kiện (2.8) . Điều kiện (2.8) gọi là điều kiện đáp ứng.
Ghi chú.Trong mô hình tài chính lành mạnh, nếuX là một quyền tài chính và(x,Φ)
là phương án đáp ứng cho X thìxlà giá của quyền tài chínhX tại thời điểm hiện tại
t =0.
Định nghĩa 2.9. Một quyền tài chínhX được gọi làđạt được(attainable) hay mua
Định nghĩa 2.10. Một thị trường tài chính được gọi là thị trường đầy đủ nếu mọi quyền tài chính X đều đạt được. Hay nói một cách tương đương, nếu mọi biến ngẫu nhiên X đo được đối vớiFT thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư(x,Φ)sao cho
VT(x,Φ) =K. Mô hình tài chính không có tính chất này được gọi là mô hình tài chính không đầy đủ.
Định nghĩa 2.11. Ta nói rằng một quyền tài chínhX được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với X, tức là nếu ta có hệ thức
Vt(x,Φ) =Vt(x,Ψ), ∀t ≤T
với hai phương án đầu tư bất kỳ(x,Φ)và(x,Ψ)thuộc vềΦX. Trong trường hợp này quá trìnhVt(x,Φ)được gọi là quá trình sở hữu củaX.
Định lí 2.3. Giả sửM là một thị trường không có cơ hội chênh lệch thị giá. Khi đó mọi quyền tài chính đạt đượcX đều được đáp ứng duy nhất trongM.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử quyền tài chính X có hai phương án đầu tư đáp ứng(x,Φ)và(y,Ψ)sao cho với mộtt <T nào đó, ta có:
Vs(Φ) =Vs(Ψ) với mọis<t, và
Vt(Φ)6=Vt(Ψ).
•Nếut =0, không mất tính tổng quát ta giả sửV0(Φ)>V0(Ψ). Xét phương án đầu tư (z,ς)được xác định như sau:
ςs0 =ψs0−φs0
ςs=ψs−φs+v0S0−1.IA,
trong đó v0 =V0(Φ)−V0(Ψ)>0và IA là hàm chỉ tiêu của một biến cốA={ω : v0(ω)>0}nào đó. Khi đó, V0(ς) =ς00.B0+ς0.S0 = ψ00−φ0 0 B0+ ψ0−φ0+v0S−01.IAS0 = ψ00B0+ψ0S0− φ0 0B0+φ0S0+v0 =−v0+v0 =0. và tương tự, VT(ς) =v0S−01ST >0 với mọiω.
Vậy,ς là một cơ hội chênh lệch thị giá.
•Nếut >0, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằngP(A)>0vớiAlà biến ngẫu nhiên sau đây:
Gọi ξ là biến ngẫu nhiên xác định bởi
ξ =Vt(Φ)−Vt(Ψ).
Xét phương án đầu tưη sau đây:
ηs0 =φs0−ψ0 s, ηs =φs−ψs với mọis<t, ηs0 = φs0−ψ0 s IAc, ηs = (φs−ψs)IAc+ξSt−1IA vớiu≥t, trong đóAc là phần bù của tập A.
Rõ ràngη là phương án đầu tư tự tài trợ vàV0(η) =0. Hơn nữa, giá trị đáo hạn của quá trình sở hữu là
VT(η) =ξS−T1IA.
Suy ra
VT(η)≥0vàP{VT(η)>0}=P(A)>0.
Vậy η là phương án đầu tư chênh lệch thị giá. Mâu thuẫn với giả thiết thị trường không có chênh lệch thị giá. Định lí được chứng minh.