Bài giảng bài hàm số liên tục giải tích 11 (6)

1 Hàm số liên tục điểm: Hàm số liên tục khoảng, đoạn: Tính chất hàm số liên tục: Chứng minh rằng:  x3 1 x   a/ Hàm số y   x  gián đoạn điểm x = 2 x   b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + liên tục đoạn [-1, 2] Chứng minh rằng: b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + liên tục [-1, 2] Giải Hàm số f(x) = x4 - 2x2 + xác định R.Với x0  (-1, 2) ta có: lim f ( x)  lim ( x  x  2) x  x0 x  x0  x04  x02   f ( x0 )  hàm f liên tục khoảng (-1, 2) Lại có: f(-1) = = lim f(x) x  -1+ f(2) = 10 = lim f(x) x  2Do hàm f liên tục đoạn [-1, 2]  x3 1 x   y  a/ Hàm số  x 1 2 x   gián đoạn điểm x = Giải Với x = 1, f(1) = Với x  ta có: x  ( x  1)( x  x  1) f ( x)   x 1 x 1  x2  x 1 Do đó: lim f ( x)  lim x  x  1    f (1) x 1 x 1 Vậy hàm f gián đoạn điểm x = y y = x4 – 2x2 + Nhận xét: Hàm fHàm có liên hay2]không? f cótục liên tụcđoạn [-1, đoạn2][-1, 10 Ta có: f(-1) = f(2) f(2) = 10  f(-1)  f(2) Với M nằm f(-1) f(2) ta tìm giá trị c  (-1, 2) cho f(c) = M Với M nằm f(-1) f(2), tìm c  (-1, 2) cho f(c) = M trường Tính f(-1) = hợp sau: f(2) = M=5 M=2 M= f(-1) Trường hợp 1: M = -1 Trường hợp 3: M = x y Tính chất hàm số liên tục: Định lí 2: (định lí giá trị trung gian hàm số liên tục) y = f(x) f(b) Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a, b] Nếu f(a)  f(b) với số thực M nằm f(a) f(b), tồn điểm c  (a, b) cho f(c) = M f(c) = M y=M M Ý nghĩa hình học định lí: Nếu hàm số f liên tục đoạn [a, b] M số thực nằm f(a) f(b) đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f(x) điểm có hoành độ c  (a, b) f(a) b a c x y = x2 + Tính chất hàm số liên tục: y Cho hàm số: x   f ( x)    2 x  1 x  1 Tìm lỗi sai lời giải sau: Giải Hàm f liên tục đoạn [-2, 0] Lại có f(-2) =  = f(0) Theo định lí tồn điểm c (-2, 0) cho f(c) = M -1 x Hãy dự đoán phương trình x4 - x3 – = có ngiệm hay không? Nhận xét: y 1.Hàm Hàmsốsốy y= =f(x) f(x) cócó liênliên Hệtục quả: tục trênđoạn đoạn[a, [a,b] b].hay không? y = f(x) f(b) M f(c) = a f(a) y=0 c b x Nếu2 f liên tục 2.hàm Tíchsốf(a).f(b) Tích f(a).f(b) < 0trên thếđoạn [a, b] f(a).f(b) < tồn nào? điểm c  (a, b) cho Theo định lí 2, tồn f(c) = điểm c  (a, b) cho f(c)=M, mỗihọc M nằmhệ f(a) Ý nghĩavới hình quả: f(b) Nếu hàm số f liên tục đoạn Khi M = ta có f(c) = 0, với [a, b] f(a).f(b) < đồ thị hàm c (a, b) số y = f(x) cắt trục hoành Khi Khi đó: c đượcđộ gọic điểm có hoành  (a,của b) phương c trình gọi f(x) = 0? nghiệm phương trình f(x) = Tính chất hàm số liên tục: Áp dụng: Chứng minh phương trình có nghiệm khoảng: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a, b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a, b) Để chứng minh tồn nghiệm phương trình ta thực sau: + Tìm hàm f(x) + Chọn [a, b] cho: hàm f(x) liên tục đoạn [a, b] f(a).f(b) < + Kết luận Ví dụ : Cho hàm số P(x) = x3 + x - Chứng minh phương trình P(x) = có nghiệm dương nhỏ Giải Ta có: + P(x) = x3 + x - liên tục đoạn [0, 1] + P(0) = -1 + P(1) =  P(0).P(1) = (-1).1 = -1 < Theo hệ tồn điểm c  (0, 1) cho P(c) = Do đó: x = c nghiệm dương nhỏ phương trình P(x) = Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a, b] f(a)  f(b) với số thực M nằm f(a) f(b), tồn điểm c  (a, b) cho f(c) = M Ý nghĩa hình học định lí: Nếu hàm số f liên tục đoạn [a, b] M số thực nằm f(a) f(b) đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f(x) điểm có hoành độ c  (a, b) Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục đoạn [a, b] f(a).f(b) < tồn điểm c(a, b) cho f(c) = Ý nghĩa hình học hệ quả: Nếu hàm số f liên tục đoạn [a, b] f(a).f(b) < đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành điểm có hoành độ c(a, b) Hãy dự đoán phương trình x4-x3–3=0 có ngiệm hay không? Ta có: + f(x) = x4-x3-3 liên tục đoạn [-2, 0] + Tìm hàm f(x)? + f(-2).f(0) = 5.(-3) -15 [...]...x 2  5x  2 Cho hàm số f(x) = 2x  2 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c  (0, 2) sao cho f(c) = - 0.8 Giải Ta có: hàm f liên tục trên [0, 2] Lại có: f(0).f(2) = (-1).2 = -2 < 0 Vì - 0.8  (-1, 2) nên theo định lí 2 tồn tại ít nhất một điểm c (0, 2) sao cho f(c) = - ... x3 1 x   a/ Hàm số y   x  gián đoạn điểm x = 2 x   b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + liên tục đoạn [-1, 2] Chứng minh rằng: b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + liên tục [-1, 2] Giải Hàm số f(x) = x4 -... hợp 3: M = x y Tính chất hàm số liên tục: Định lí 2: (định lí giá trị trung gian hàm số liên tục) y = f(x) f(b) Giả sử hàm số f liên tục đoạn [a, b] Nếu f(a)  f(b) với số thực M nằm f(a) f(b),... Nếu hàm số f liên tục đoạn [a, b] M số thực nằm f(a) f(b) đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f(x) điểm có hoành độ c  (a, b) f(a) b a c x y = x2 + Tính chất hàm số liên tục: y Cho hàm số: