Bài giảng bài cấp số cộng đại số 11

Chương III BàI CẤP SỐ CỘNG 1/ Định nghĩa  Cấp số cộng dóy số hữu hạn vụ hạn),trong đú, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng  Cho dãy số: 3, 1, -1, -3, -5, … số hạng đứng trƣớc nú  Hãy tính: u2 - u1, u3 - u2 , u4 với số khụng đổi d gọi u3 , … Từ nhận xét quy luật dãy số ? cụng sai  G  u = un + d ( n = 1, 2, 3,  Ta có: un+1 un = - 2, với n n+1 = 1,2,3,…suy un+1 = un + ) với n = 1,2,3, …  Kết luận : un, u1 , u2 , u3 ,  Ví dụ • Ví dụ • Dóy số : 1, 1, 1, 1, Là cấp số cộng với u1 = , d = , n =5 • Ví dụ • Chứng minh dóy số sau lập thành cấp số cộng, xỏc định số hạng đầu cụng sai cấp số cộng đú • 3, 14, 25, , 11n - 8, • Giải : • Ta cú un+1 - un = 11(n + 1) - - (11n - 8) = 11 khụng đổi với n = 1, 2, 3, Tức un+1 = un + 11 với n = 1, 2, 3, Võy dóy số trờn cấp số cộng cú u1 = 3, d = 11 Hoạt động Trong dãy sau dãy cấp số cộng: a/ -5 , -2 , , , , 10 b/ , , , , 5, , 10 , , 12 Hƣớng dẫn a/ Dãy a / cấp số cộng với u1 d = b/ Dãy b/ cấp số cộng Nhận xét ?   Ta thấy cấp số cộng đƣợc định nghĩa phƣơng pháp truy hồi, cấp số cộng đƣợc xác định ta biết yếu tố nào? 2/ Số hạng tổng quát cấp số cộng • Cho cấp số cộng (un) , biết u1 d Hãy tìm un ? • Định lí • Ta có : u2 = u1 + d • Số hạng tổng quát un cấp số cộng có số hạng đầu u1 công sai d đƣợc cho công thức • u3 = u2 + d • • un = un-1 + d • Cộng vế với vế n - đẳng thức ta đƣợc un = u1 + ( n - 1)d • un = u1 + ( n - )d Hoạt động Cho cấp số cộng (un) có u1 = 13 công sai d = Hãy tính u31 ? Hướng dẫn un = u1 + (n-1)d Ta có u31 = u1 + 30 d = -77 Ví dụ • Tính số lẻ thứ 1000 ? • Giải > Các số lẻ : 1, 3, 5, Lập thành cấp số cộng có u1 = 1; d = u2 - u1 = u3 - u2 = = > Do un = u1 + (n - 1)d = 1+ (n - 1)2 = 2n - > Suy : u1000 = 2.1000 - = 1999 > Vậy số lẻ thứ 1000 1999 Ví dụ Cho họ đƣòng tròn đồng tâm (o,r1), (o,r2), …, (o,rn),… mà dãy số(rn) cấp số cộng có số hạng đầu Gọi u1 diện tích hình tròn (o,r1) số nguyên n >1, gọi un diện tích hình vành khăn tạo đƣờng tròn (o,rn-1) đƣờng tròn (o,rn) Chứng minh (un) cấp số cộng.Hãy xác định công sai số hạng tổng quát cấp số cộng Giải: Đặt r0 = Khi đó, với n > 0, ta có: un = Π(rn2 – rn-12 ) = Π (rn – rn-1)(rn + rn-1) = Π(rn + rn-1) Suy un+1 – un = Π(rn+1 + rn – rn – rn-1) = Π(3+3) = 18 Π Do (un) cấp số cộng với công sai d = 18 Π, số hạng đầu u1 = 3Π(r1 + r0) =9Π Từ đó, theo định lí 2, ta đựơc un = 9Π + (n-1).18 Π.=992n-1) Π.,n>0 3/ TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG      Cho cấp số cộng (un) , tìm mối liên hệ ba số hạng liên tiếp uk-1 , uk , uk+1 với k = 2, 3, ? Ta có : uk-1 = u1 + (k - 2)d uk+1 = u1 + kd Cộng vế với vế hai đẳng thức ta đƣợc : uk-1 + uk+1 = 2u1+ 2(k - 1) = 2uk uk = ( uk-1 + uk+1) /  Định     lí 1: Trong cấp số cộng, số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn), trung bình cộng hai số hạng kề bên nó, tức uk = (uk-1 + uk+1) / (k ≥ 2) (3) Nhận xét : điều ngƣợc lại Em giải thích ? Hoạt động Cho cấp số cộng (un) có u1 = -1 u3 = Hãy tính u2 u4 ? Hướng dẫn Ta có: u1 + u3 = 2u2 ; u2 + u4 = 2u3 u2 = 1, u4 = 11 4/ tổng n số hạng đầu cấp số cộng           Cho cấp số cộng (un), tính tổng Sn = u1 + u2 + u3 + + un ? Vận dụng nhận xét mục 1: u1 u2 un u2 + un-1 = u3 + un-2 = = u1 + un Ta viết tổng Sn dƣới hai dạng : Sn = u1 + u2 + u3 + + un-1 + un un un-1 u1 Sn = un + un-1 + + u2 + u1 Suy : 2Sn = n(u1 + un) Vậy : Sn = n (u1 + un) / Liên hệ với công thức tổng quát un = u1 + (n-1)d Ta có : Sn = n [2 u1 + (n - )d] / Định lí > Để tính tổng Sn ta có hai công thức sau : > Sn tính theo u1 un > Sn = n (u1 + un) /2 > Sn tính theo u1 d > Sn = n [ u1 - ( n -1 )d ] / 13 Hoạt động Cho cấp số cộng (un) có u1 = -2 công sai d = Hãy tính tổng 17 số hạng cấp số cộng ? Hướng dẫn Sn = n ( u1 + un )/2 = n[ 2u1 + ( n-1)d]/2 S17 = 17 ( -2 + 30 )/2 = 238 Ví dụ        Ví dụ 5/ Gọi Sn , Sc , Sl , lần lƣợt tổng n số tự nhiên khác không, số chẵn khác không, số lẻ Hãy tính : Sn , Sc , Sl ? Giải Các số tự nhiên khác không , số chẵn khác không, số lẻ, lần lƣợt lập thành cấp số cộng, áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng ta đƣợc : Sn = n (u1 + un ) / => Sn = n (1 + n) / Sn = n ( u1 + un ) /2 => Sc = n (n + 1) Sn = n ( u1 + un ) / => Sl = n2 Ví dụ Một cấp số cộng (un) có u3 = - 15 , u14 = 18 Tính u1 , d ? S20 ?        GIẢI THEO (GT) TA CÓ : U1 + D = - 15 ( 1) VÀ U1 + 13 D = 18 (2), TRỪ VẾ VỚI VẾ (2) CHO (1) TA ĐƢỢC 11 D = 33 SUY RA D = , THAY VÀO (1) CÓ U1 = - 21 ÁP DỤNG CÔNG THỨC TÍNH TỔNG S20 = 20 [ (- 21 ) + (20 - ) ] / = 150 NHẬN XÉT : CÔNG THỨC SN , UN , NÊU MỐI LIÊN HỆ GIỮA YẾU TỐ U1 , UN , N , SN , D BIẾT TRONG YẾU TỐ BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƢƠNG TRÌNH TA SẼ TÌM ĐƢỢC YẾU TỐ CÒN LẠI Ví dụ7 Một công ti TNHH thực việc trả lương cho kĩ sư theo phươngán sau : Mức lương quý làm việc cho công ti 4,5 triệu đồng /quý, kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương tăng thêm 0,3 triệu đồng quý Hãy tính tổng số tiền lương kĩ sư nhận sau năm làm việc cho công ti GiảiVới số nguyên n, kí hiệu un(triệu đồng) mức lƣơng kĩ sƣ quý làm việc thứ n cho công ti Theo giả thiết toán ,ta có : u1 = 4,5 un+1 = un + 0,3 (n>0).Do , dãy số (un) cấp số cộng với công sai d = 0,3 Vì năm có quý nên năm có 12 quý Nhƣ theo ycbt ta phải tính tổng 12 số hạng cấp số cộng (un) Theo định lí 2, ta có u12 = 4,5 + (12-1).0,3 = 7,8 Theo định lí 3,ta đƣợc: S12 = 12.(4,5 + 7,8)/2 =73,8 (triệu đồng) Công thức cần nhớ      un+1 = un + d ( n = 1, 2, 3, ) un = u1 + (n - 1)d (n = 1, 2, 3, ) uk = ( uk-1 + uk+1 ) / ( k = 2, 3, ) Sn = n ( u + u n ) / Sn = n [ u1 + ( n - ) d ] /2 Luyện tập Bài 19 > Ba số hạng liên tiếp cấp số cộng có tổng 33, tích chúng 1287 Tìm số ? > Giải > Ta có: u1 + u2 + u3 = 33 (1) u1.u2.u3 = 1287 (2) Do u1 + u3 = u2 nên từ (1) ta suy u2 = 11, kết hợp với (2) ta có ( 11 - d ) 11 (11 + d ) = 1287 suy d =2 d = - 2.Vậy số cần tìm là: 9,11,13 Bài Cho cấp số cộng có u2 = 3; u7 = 13 1/ Tính u1, d , S10 ? 2/ Số 31 có phải số hạng cấp số cho hay không ? Nếu phải số hạng thứ ? Hƣớng dẫn 1/ d = ( u7 – u2 )/ (7-2) =2 u1 = u2 – d = 1; u10= 19 ; S10 = ( u1 + un )/2 = 50 2/ Giả sử số 31 số hạng thứ x cấp số cộng cho Điều kiện x nguyên dƣơng Ta có: u x = u1 + ( x - 1)d = 31,suy (x-1)2 = 30 x = 16 Vậy số hạng thứ 16 cấp số cộng cho Bài tập • Bài : đến trang 99 – 100 • Bổ sung CMR : Tam giác ABC có góc cho cot (A/2) , cot (B/2) , cot (C/2) theo thứ tự lập thành cấp số cộng cạnh a, b, c, theo thứ tự lập thành cấp số cộng Em chọn lối ? Khi kí hợp đồng lao động với kĩ sƣ tuyển Phương án dụng, công ti liên doanh A đề suất phƣơng Phương án án để ngƣời lao động tự chọn Hai phƣơng án khác điều khoản mức lƣơng mà ngƣời lao động đƣợc nhận; Cụ thể : Ở phương án : Ngƣời lao động đƣợc nhận 36 triệu đồng cho năm lao động đầu tiên, kể từ năm làm việc thứ hai, mức lƣơng đƣợc thêm triệu đồng năm ? Ở phưong án : Ngƣời lao động nhận đƣợc triệu động cho quý làm việc đầu tiên, kể từ Quý làm việc thứ hai , mức lƣơng đƣợc tăng thêm 500 000 đồng quý Nếu em người kí hợp đồng lao động với công ti A em chọn P.A? Hướng dẫn tập nhà > Để làm thuận lợi em cần lưu ý: > Liên hệ tổng S tích P cấp số cộng hữu hạn > Nếu cấp số cộng có ba số hạng ta gọi ba số hạng cấp theo thứ tự : > x - d, x, x + d, S = 3x, P = x(x2 - d2 )gọi số hạng theo thƣ tự : > X - 3r, x - r, x+ r, x - 3r, S = 4x; P = (x2 - r2)(x2 - 9r2) 23 Cảm ơn Bài học kết thúc 24 [...]... bằng 1287 Tìm các số đó ? > Giải > Ta có: u1 + u2 + u3 = 33 (1) và u1.u2.u3 = 1287 (2) Do u1 + u3 = 2 u2 nên từ (1) ta suy ra u2 = 11, kết hợp với (2) ta có ( 11 - d ) 11 (11 + d ) = 1287 suy ra d =2 hoặc d = - 2.Vậy 3 số cần tìm là: 9 ,11, 13 Bài 2 Cho cấp số cộng có u2 = 3; u7 = 13 1/ Tính u1, d , S10 ? 2/ Số 31 có phải là số hạng của cấp số đã cho hay không ? Nếu phải thì là số hạng thứ bao nhiêu... sử số 31 là số hạng thứ x của cấp số cộng đã cho Điều kiện x nguyên dƣơng Ta có: u x = u1 + ( x - 1)d = 31,suy ra (x-1)2 = 30 do đó x = 16 Vậy là số hạng thứ 16 của cấp số cộng đã cho Bài tập • Bài : 1 đến 8 trang 99 – 100 • Bổ sung CMR : Tam giác ABC có 3 góc sao cho cot (A/2) , cot (B/2) , cot (C/2) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì 3 cạnh a, b, c, theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số. .. P.A? Hướng dẫn bài tập về nhà > Để làm bài 6 và bài 8 thuận lợi các em cần lưu ý: > Liên hệ giữa tổng S và tích P của cấp số cộng hữu hạn > Nếu cấp số cộng có ba số hạng thì ta có thể gọi ba số hạng của cấp đó theo thứ tự là : > x - d, x, x + d, khi đó S = 3x, P = x(x2 - d2 )gọi 4 số hạng đó theo thƣ tự là : > X - 3r, x - r, x+ r, x - 3r, khi đó S = 4x; P = (x2 - r2)(x2 - 9r2) 23 Cảm ơn Bài học kết thúc... Hoạt động 4 Cho cấp số cộng (un) có u1 = -2 và công sai d = 2 Hãy tính tổng 17 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó ? Hướng dẫn Sn = n ( u1 + un )/2 = n[ 2u1 + ( n-1)d]/2 S17 = 17 ( -2 + 30 )/2 = 238 Ví dụ        Ví dụ 5/ Gọi Sn , Sc , Sl , lần lƣợt là tổng của n số tự nhiên khác không, số chẵn khác không, số lẻ đầu tiên Hãy tính : Sn , Sc , Sl ? Giải Các số tự nhiên khác không , các số chẵn khác... , Sc , Sl ? Giải Các số tự nhiên khác không , các số chẵn khác không, các số lẻ, lần lƣợt lập thành các cấp số cộng, áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng ta đƣợc : Sn = n (u1 + un ) / 2 => Sn = n (1 + n) / 2 Sn = n ( u1 + un ) /2 => Sc = n (n + 1) Sn = n ( u1 + un ) / 2 => Sl = n2 Ví dụ 6 Một cấp số cộng (un) có u3 = - 15 , u14 = 18 Tính u1 , d ? S20 ?        GIẢI...Hoạt động 3 Cho cấp số cộng (un) có u1 = -1 và u3 = 3 Hãy tính u2 và u4 ? Hướng dẫn Ta có: u1 + u3 = 2u2 ; u2 + u4 = 2u3 u2 = 1, u4 = 5 11 4/ tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng           Cho cấp số cộng (un), hãy tính tổng Sn = u1 + u2 + u3 + + un ? Vận dụng nhận xét 2 ở mục 1: u1 u2 un u2 + un-1 =... số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti GiảiVới mỗi số nguyên n, kí hiệu un(triệu đồng) là mức lƣơng của kĩ sƣ ở quý làm việc thứ n cho công ti Theo giả thiết của bài toán ,ta có : u1 = 4,5 và un+1 = un + 0,3 (n>0).Do đó , dãy số (un) là một cấp số cộng với công sai d = 0,3 Vì mỗi năm có 4 quý nên 3 năm có 12 quý Nhƣ thế theo ycbt ta phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp. .. tiên của cấp số cộng (un) Theo định lí 2, ta có u12 = 4,5 + (12-1).0,3 = 7,8 Theo định lí 3,ta đƣợc: S12 = 12.(4,5 + 7,8)/2 =73,8 (triệu đồng) Công thức cần nhớ      un+1 = un + d ( n = 1, 2, 3, ) un = u1 + (n - 1)d (n = 1, 2, 3, ) uk = ( uk-1 + uk+1 ) / 2 ( k = 2, 3, ) Sn = n ( u 1 + u n ) / 2 Sn = n [ 2 u1 + ( n - 1 ) d ] /2 Luyện tập Bài 1 19 > Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng... đến 8 trang 99 – 100 • Bổ sung CMR : Tam giác ABC có 3 góc sao cho cot (A/2) , cot (B/2) , cot (C/2) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì 3 cạnh a, b, c, theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng Em chọn lối nào ? Khi kí hợp đồng lao động với các kĩ sƣ tuyển Phương án 1 dụng, công ti liên doanh A đề suất 2 phƣơng Phương án 2 án để ngƣời lao động tự chọn Hai phƣơng án đó chỉ khác nhau ở điều... => Sl = n2 Ví dụ 6 Một cấp số cộng (un) có u3 = - 15 , u14 = 18 Tính u1 , d ? S20 ?        GIẢI THEO (GT) TA CÓ : U1 + 2 D = - 15 ( 1) VÀ U1 + 13 D = 18 (2), TRỪ VẾ VỚI VẾ (2) CHO (1) TA ĐƢỢC 11 D = 33 SUY RA D = 3 , THAY VÀO (1) CÓ U1 = - 21 ÁP DỤNG CÔNG THỨC TÍNH TỔNG S20 = 20 [ 2 (- 21 ) + (20 - 1 ) 3 ] / 2 = 150 NHẬN XÉT : CÔNG THỨC SN , UN , NÊU MỐI LIÊN HỆ GIỮA 5 YẾU TỐ U1 , UN , N , ... / cấp số cộng với u1 d = b/ Dãy b/ cấp số cộng Nhận xét ?   Ta thấy cấp số cộng đƣợc định nghĩa phƣơng pháp truy hồi, cấp số cộng đƣợc xác định ta biết yếu tố nào? 2/ Số hạng tổng quát cấp số. .. Là cấp số cộng với u1 = , d = , n =5 • Ví dụ • Chứng minh dóy số sau lập thành cấp số cộng, xỏc định số hạng đầu cụng sai cấp số cộng đú • 3, 14, 25, , 11n - 8, • Giải : • Ta cú un+1 - un = 11( n... với (2) ta có ( 11 - d ) 11 (11 + d ) = 1287 suy d =2 d = - 2.Vậy số cần tìm là: 9 ,11, 13 Bài Cho cấp số cộng có u2 = 3; u7 = 13 1/ Tính u1, d , S10 ? 2/ Số 31 có phải số hạng cấp số cho hay không