Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Câu 2 : a Quy luật: kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng
Trang 2KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu hỏi 1: Nêu các cách cho một dãy số? Câu hỏi 2:
Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là:
-1, 3, 7, 11
a) Hãy chỉ ra quy luật của dãy số ?
b) Hãy viết tiếp 5 số hạng của dãy số theo quy luật đó
Trang 3KIỂM TRA BÀI CŨ
Trả lời
Câu 1: các cách cho một dãy số là :
1 Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
2 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
3 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Câu 2 :
a) Quy luật: kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số
không đổi là 4
b) Năm số hạng tiếp theo của dãy số viết theo quy luật trên là: 15, 19, 23, 27, 31
Trang 4Tiết 42: §3 CẤP SỐ CỘNG
I Định nghĩa
II Số hạng tổng quát
III Tính chất các số hạng của CSC
IV Tổng n số hạng đầu của CSC
Trang 5§3 CẤP SỐ CỘNG
I ĐỊNH NGHĨA
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn),
trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng
Khi đó từ định nghĩa ta có:
Dãy (un) là CSC với công sai d un + 1 = un + d, n N*
(tøc lµ: u1 = u2 = u3 = u4 = ….)
Trang 6§3 CẤP SỐ CỘNG
Ví dụ 1: Trong các dãy số hữu hạn sau, dãy nào là CSC ?
a) -5, -2, 1, 4, 7, 10
b) 2, 4, 7, 10, 13, 14, 15, 20
CSC với công sai d = 3
Không là CSC Không là CSC
Trang 7§3 CẤP SỐ CỘNG
và công sai d
………
Trang 8§3 CẤP SỐ CỘNG
Ví dụ 3 : Cho cấp số cộng (u n ) có u 1 = -7 và công sai d = 2 a) Tính u 15
b) Số 41 là số hạng thứ bao nhiêu ?
II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Định lý 1
Nếu cấp số cộng (u n ) có số hạng đầu u 1 và công sai d
thì số hạng tổng quát u n được xác định bởi công thức :
u n = u 1 + (n – 1)d với n 2
Giải:
a) u 15 = u 1 + 14d = -7 + 14.2 = 21
b) Ta có : u n = u 1 + (n – 1)d
41 = - 7 + ( n – 1 ).2 <=> n - 1 = 41 + 7
2 n = 25
Trang 9§3 CẤP SỐ CỘNG
Ví dụ 4 : Cho cấp số cộng 1, 3, 5, 7, 9, …, u k-1 , u k , u k+1 , …
Có nhận xét gì về ?
u1 + u3 và u2
u3 + u5 và u4
u4 + u6 và u5
- - -
Dự đoán u k – 1 + u k + 1 và u k (với k 2 )
k-1 k+1 k
u =
2
Ta thấy u1 + u3 = 2.u2
Ta thấy u3 + u5 = 2.u4
Ta thấy u4 + u6 = 2.u5
1 3 2
u u u
2
3 5 4
u u u
2
4 6 5
u u u
2
Trang 10§3 CẤP SỐ CỘNG
III TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG
Định lí 2
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với
nó, nghĩa là
k 1 k 1 k
u u
2
Nhận xét : ba số a; b; c lập thành một cấp số cộng
<=> a + c = 2b
Trang 11Ví dụ 5 : Cho cấp số cộng có một trăm số hạng là :
1, 2, 3, , 100 được viết vào bảng sau:
§3 CẤP SỐ CỘNG
a) Viết các số hạng của cấp số cộng trên vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột
b) Tính tổng S các số hạng của cấp số cộng đó
Trang 12a Cấp số cộng có một trăm số hạng là : 1, 2, 3, , 100 được viết vào bảng sau:
b Gọi S 100 là tổng 100 số hạng của cấp số cộng, khi đó :
100 100.101
2
S
2
Tổng quát: Tổng n số hạng đầu: Sn = ?
u 1
u 100
101 101 101 101 101
2S100 = 100.101
101 luôn là tổng của hai số
hạng nào? 1 là số hạng
nào?
100 là số hạng nào?
Trang 13IV TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
Cho cấp số công (un) Đặt
2
1 2
S u u u
Khi đó :
§3 CẤP SỐ CỘNG
ĐỊNH LÍ 3
Trang 14Nhĩm 1
I ĐỊNH NGHĨA (u n ) là cấp số cộng
*
u = u + d , vớ n i n
n+1
II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
ĐỊNH LÍ 1 (sgk – T94)
u n = u 1 + (n – 1)d, n 2
III TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG
CỦA CẤP SỐ CỘNG :
ĐỊNH LÝ 2 : (sgk - T95)
u + u k-1 k+1
IV TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA
MỘT CẤP SỐ CỘNG
1 n
n
n u + u
S =
2
n n-1 d
S = n.u +
2
ĐỊNH LÝ 3 : (sgk - T95)
Bài tập Cho cấp số cộng (u n ) Hồn thành bẳng sau :
u1 d un n Sn
Nhĩm 2
Trang 15Cho dãy số (u n ) với u n = 3n-5
a Chứng minh dãy (u n ) là CSC
Tính u 1 và d
b Tìm u 15
c Tính tổng của 15 số hạng đầu
d Biết S n = 115, tìm n
ÁP DỤNG
Giải
a Xét hiệu :
u n+1 – u n = 3(n+1)-5 - (3n-5) = 3
(hằng số)
Vậy dãy (u n ) là CSC Với u 1 =-2, d=3
b Áp dụng công thức :
= 40
15 2 (15 1).3
u
c Tìm S 15
Áp dụng công thức :
d Tìm n Biết S n = 115
Áp dụng công thức :
Ta có :
Giải pt với , ta có n = 10
1
2
n
n
S =
15
15 2 40
285 2
S
( 1) 2
n n
2
( 1).3
115 ( 2)
2 3
7 230 0
n n n
*