Bài giảng bài cấp số cộng đại số 11 (8)

Định nghĩa Phương pháp: Để cm một dãy số là cấp số cộng ta cm hiệu un+1 – un bằng số d không đổi Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số

TOÁN ĐẠI SỐ 11

Cho dãy (un) với un = 2n + 5 (n  N*)

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số ?

b) Xét tính đơn điệu (tăng , giảm) của dãy số ?

c) Chỉ ra một quy luật của các số hạng trong dãy ?

KIỂM TRA BÀI CŨ

a) 5 số hạng đầu của dãy số:

u1= 7 u2 = 9 u3 = 11 u4 = 13 u5 = 15

c) Kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng của dãy số đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 2

b) Ta có un+1 = 2(n + 1) + 5 = 2n + 7

Xét hiệu : un+1 – un = 2n + 7 – 2n – 5 = 2 > 0 Vậy dãy số trên là dãy số tăng

Bài giải

Tiết 42 - Bài 3 :CẤP SỐ CỘNG

I Định nghĩa

Phương pháp: Để cm một dãy số là cấp số cộng

ta cm hiệu un+1 – un bằng số d không đổi

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số d không đổi

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

d = 0 => CSC là một dãy số không đổi có dạng :

u1 , u1 , u1 , u1,…

un+1 = un + d (n  N*)

Công thức truy hồi:

n 1 n

d = u   u

Chú ý : công sai

Vì –2 = –5+ 3; 1= –2+ 3; 4 = 1+ 3; 7 = 4+ 3; 10 =7 +3 Nên theo định nghĩa, dãy số –5; – 2; 1; 4; 7; 10 là 1 CSC với công sai d = 3

un+1 = un + d (n N*)

Công thức truy hồi

Phương pháp:

Để cm một dãy số là

cấp số cộng ta cm

hiệu un+1 – un

bằng số d không đổi

Ví dụ1: CMR dãy số hữu hạn sau là 1 CSC:

–5; – 2; 1; 4; 7; 10

Giải:

u3 = u2 + d = u1 + 2 d a) u2 = u1 + d = u1 + 1 d

u4 = u3 + d = u1 + 3 d

… b) un = u1 + ( n – 1 )d (n  2)

II Số hạng tổng quát

Bài 3: CẤP SỐ CỘNG

Ví dụ 2: Cho CSC (un)

a) Biểu thị u2 ,u 3,u 4 theo u1 và d b) Từ đó biểu thị un theo u1 và d

I Định nghĩa

Bài giải

un = u1 + (n – 1)d (n  2)

II Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được tính bởi công thức:

I Định nghĩa

Bài 3: CẤP SỐ CỘNG

II Số hạng tổng quát

I Định nghĩa

un+1 = un + d (n  N*)

Công thức truy hồi

un = u1 + (n – 1)d (n  2)

Số hạng tổng quát

Ví dụ 3:

Cho cấp số cộng có u1 = -1, u2 = 2 a) Tìm u15 ?

b) Số 296 là số hạng thứ bao nhiêu?

Ta có d = u2 – u1 = 3 a) Theo ct số hạng tổng quát:

u15 = u1 + (15 – 1)d = -1 + 14.3 = 41 b) Giả sử 296 là số hạng thứ n ta có

un = u1 + (n – 1)d <=> 296 = -1 + (n – 1).3

<=> n = 100 => 296 là số hạng thứ 100 của dãy số

Lời giải

II Số hạng tổng quát

I Định nghĩa

un+1 = un + d (n  N*)

Công thức truy hồi

un = u1 + (n – 1)d (n  2)

Số hạng tổng quát

III Tính chất

uk = với k ≥ 2 uk–1 + uk+1

2

Chú ý :

Để cm 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng

ta chỉ ra 2b = a + c

Hay 2uk = uk–1 + uk+1

Bài 3: CẤP SỐ CỘNG

Nếu (un) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng

là trung bình cộng của số hạng đứng liền trước và liền sau nó

II Số hạng tổng quát

I Định nghĩa

II Số hạng tổng quát

III Tính chất

Ví dụ 4 : Cho CSC ( un ) với un = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 … Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên

Bài giải

Ta có S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100

S 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + …

S100= (1+100) 100

2

u1

n

un

IV Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Sn = n(u1 + un)

2

Bài 3: CẤP SỐ CỘNG

Nếu (un) là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 thì tổng n số hạng đầu được tính bởi công thức :

Chú ý : Vì un = u1 + ( n – 1 )d nên :

= nu1 + n(n – 1)d

2

Sn

II Số hạng tổng quát

I Định nghĩa

III Tính chất

IV Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

un+1 = un + d (n N*)

un = u1 + (n – 1)d (n  2)

n(u1 + un)

2

Sn =

= nu1 +

n(n – 1)d

2

uk = với k ≥ 2 uk–1 + uk+1

2

1, Công thức truy hồi

2, Công thức số hạng tổng quát

3, Tính chất

4, Tổng n số hạng đầu

Cho dãy số (un) với un = 5 + 4n a) Cm dãy (un) là cấp số cộng , tìm u1 , d b) Tính tổng của 50 số hạng đầu

c) Biết Sn = 1425, tìm n

Ví dụ 5 :

un+1 = un + d (n N*)

un = u1 + (n – 1)d (n  2)

n(u1 + un)

2

Sn =

= nu1 +

n(n – 1)d

2

uk = với k ≥ 2 uk–1 + uk+1

2

1, Công thức truy hồi

2, Công thức số hạng tổng quát

3, Tính chất

4, Tổng n số hạng đầu

Bài 3: CẤP SỐ CỘNG

Giải :

a, un +1 = 5 +4(n+1) = 4n + 9 Xét hiệu : un+1 – un = 4n + 9 – 4n – 5 = 4 Vậy d/số trên là CSC với u1 = 9 ; d = 4

b, u50 = 9 + 49.4 = 205

S50 = 50(9 + 205)

c, Theo bài ra ta có :

1425 = 9n + n(n - 1)

2

.4

=> n = 25 Vậy số 1425 ở vị trí thứ 25 trong dãy

u n+1 = u n + d (n N*)

u n = u 1 + (n – 1)d (n  2)

n(u 1 + u n )

2

Sn =

= nu 1 +

n(n – 1)d

2

u k = với k ≥ 2 u k–1 + u k+1

2

1, Công thức truy hồi

2, Công thức số hạng tổng quát

3, Tính chất

4, Tổng n số hạng đầu

- Các công thức của bài này

- Hai phương pháp chứng minh một dãy số là CSC :

- Dùng định nghĩa

- Dùng tính chất -Vận dụng các công thức để giải các bài toán liên quan

- Chú ý:Khi giải các bài toán về CSC ta thường gặp 5 đại lượng: u1,d,un,n,Sn.Cần biết

ít nhất 3 trong 5 đó thì sẽ sẽ tính được các đại lượng còn lại

Hs cần nắm được :

DẶN DÒ

• Học thuộc các công thức của bài

• Xem lại các ví dụ đã giải và làm bài tập: 2,3,5 SGK trang

97 – 98

• Bài tập về nhà (photo phần bài tập cô giao cho)

Xin chúc toàn thể các em học sinh

mạnh khoẻ học giỏi!