SKKN GIẢI PHÁP GIÚP HS học tốt TOÁN cực TRỊ

SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 MỤC LỤC STT MỤC NỢI DUNG MỤC LỤC A.PHẦN MỞ ĐẦU I II III IV 10 11 12 13 I II III IV V 14 15 16 I II III 17 IV LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI KẾ HOẠCH THỰC HIỆN B.PHẦN NỢI DUNG CƠ SỞ LÍ ḶN CƠ SỞ THỰC TIỄN THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU TH̃N CÁC BIỆN PHÁP VÀ GIẢI QÚT VẤN ĐỀ HIỆU QUẢ ÁP DỤNG C.PHẦN KẾT ḶN Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI ĐỚI VỚI CƠNG TÁC KHẢ NĂNG ÁP DỤNG BÀI HỌC KINH NGHIỆM,HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ X́T,KIẾN NGHỊ TRANG 2 3 4 4 23 24 24 24 24 24 A PHẦN MỞ ĐẦU GV: Nguyễn Thò Thanh Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 -  - I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cơ sở lí ḷn: Đứng trước u cầu cơng đổi mới, giáo dục phải ln trước bước, đòi hỏi ngành giáo dục nói chung thầy giáo nói riêng gánh vác trọng trách nặng nề Muốn giáo dục đào tạo tồn xứng đáng với vị trí xã hội nhà giáo dục phải đổi đề định hướng kịp thời Trong q trình giáo dục việc dạy học nhà trường chủ yếu, nhà trường thân giáo viên phải phấn đấu tìm tòi, đổi phương pháp giảng dạy, nâng cao hiệu có làm nâng cao chất lượng đào tạo, gây uy tín học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh tồn xã hội Tốn cực trị dạng tốn gần gũi với sống có nhiều ứng dụng thực tế hàng ngày, giúp học sinh rèn luyện nếp suy nghĩ khoa học, ln mong muốn làm cơng việc đạt hiệu cao nhất, tốt Vì góp phần khơng nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học tốn cho học sinh, đặc biệt em khá, giỏi Tốn cực trị đề cập nhiều loại sách tham khảo giáo viên thuận lợi việc sưu tầm tuyển chọn xếp dạng tốn cách hợp lý giúp cho học sinh dễ dàng áp dụng vấn đề làm để học sinh nắm phương pháp, tư suy luận cách có lơgíc giải tốn cực trị Cơ sở thực tiễn: Hiện bản thân là giáo viên dạy Toán tại trường TH-THCS Gáo Giờng, thấy được những khó khăn học sinh thường mắc phải quá trình giải Toán, tơi cũng ln trăn trở và suy nghĩ để tìm được giải pháp nào tớt nhất, hữu hiệu nhất để giúp đỡ học sinh quá trình nắm bắt kiến thức về Toán cực trị.Sau nhiều năm tìm hiểu và nghiên cứu,tơi mạnh dạn đưa đề tài “ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH HỌC TỚT TOÁN CỰC TRỊ” , hy vọng đem lại phần thuận lợi cho giáo viên thực sáng kiến q trình giảng dạy cho học sinh cấp Trung học sở nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp nói riêng II MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU GV: Nguyễn Thò Thanh Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 - Tơi nghiên cứu, viết sáng kiến hy vọng giúp em học sinh lớp 8, lớp nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng đặc biệt em học sinh giỏi có phương pháp hướng để giải Đồng thời qua chun đề hy vọng em hình thành rèn luyện, củng cố kiến thức, kỹ trình bày tốn cực trị Giúp học sinh mở rộng tầm hiểu biết thực tiễn mình, giúp giáo dục tư tưởng đạo đức vè rèn phong cách làm việc người lao động mới, có kế hoạch Có phân tích tìm hướng giải trước làm việc cụ thể - Để thực hiện nghiên cứu đề tài này tơi sử dụng các phương pháp sau đây: + Phương pháp nghiên cứu lý thuyết + Phương pháp phân tích tổng hợp + Phương pháp thực nghiệm III GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI -Đề tài có thể được áp dụng đới với việc bời dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9 -Ơn thi cho học sinh tủn sinh vào lớp 10 IV KẾ HOẠCH THỰC HIỆN Đề tài hiện đã và được áp dụng việc bời dưỡng học sinh giỏi lớp 8, những bài toán nâng cao ở lớp và hướng tới áp dụng ơn tập cho học sinh thi tủn vào lớp 10 năm học 2011-2012 B PHẦN NỘI DUNG GV: Nguyễn Thò Thanh Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 -  - I CƠ SỞ LÍ ḶN: Vấn đề đổi phương pháp giảng dạy trường THCS vấn đề cấp thiết hàng đầu, học sinh THCS chủ yếu lứa tuổi thiếu niên em có thói quen suy nghĩ độc lập, nhiên khả tư em chưa phát triển hồn chỉnh để nhận thức làm tốt vấn đề Khi đứng trước tốn cực trị học sinh lúng túng, khơng biết đâu, làm gì, làm nào, khơng biết liên hệ giả thiết với kiến thức học để tìm lời giải cơng việc quan trọng II CƠ SỞ THỰC TIỄN Tốn cực trị nội dung thường quan tâm kỳ thi tuyển sinh thi học sinh giỏi Vấn đề khơng mẻ tương đối khó học sinh lớp 8, lớp 9, tốn cực trị mức độ nâng cao kiến thức trang bị cho học sinh khơng đáng kể với mong muốn góp phần rèn luyện tư duy, sáng tạo học sinh, khơi dậy hứng thú học tập u thích mơn tốn qua tốn cực trị, tơi tìm tòi qua sách, đồng nghiệp để tìm phương pháp tập phù hợp với học sinh, giai đoạn em tiếp cận với tốn lớp lớp Nhằm giúp cho học sinh có cách giải nhanh gọn, hợp lý tơi mạnh dạn nghiên cứu sáng kiến III THỰC TRẠNG VÀ NHỮNG MÂU TH̃N Thuận lợi Được sự quan tâm của các ban ngành địa phương,của Ban giám hiệu nhà trường Phụ huynh học sinh có sự quan tâm đến việc học tập em, nên tạo điều kiện để em học tập tốt, rèn luyện tốt Đa số em học sinh chăm ngoan, học giỏi, có ước mơ, hồi bão tạo thuận lợi cho chất lượng dạy học Khó khăn Đa số học sinh có tâm lí “sợ học tốn” đặc biệt dạng tốn “Tìm cực trị” nói riêng em thường lúng túng khơng biết nên xuất phát từ đâu, nên dễ nảy sinh tâm trạng hoang mang, lúng túng dẫn đến bó tay, bất lực Đặc biệt em học sinh lớp kiến thức cũ có liên quan nhiều lãng qn nên gây khó khăn khơng nhỏ cho em GV: Nguyễn Thò Thanh Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 Qua giảng dạy, điều tra, tìm hiểu qua kết kiểm tra đầu năm học 2011 -2012 lớp tơi trực tiếp giảng dạy tơi thu số liệu sau: Giỏi 9p Lớ Bài Bài số kiểm tra TS 15 HS Điểm ≥ Khá Điểm a.(x + ) ≥ dó ⇒ P = k ⇔ x + =0⇔x=2a 2a 2a Ta có P = ax2 +bx + c = a(x2 + GV: Nguyễn Thò Thanh Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò b b - Nếu a < a.(x + ) ≤ ⇒ max P = k ⇔ x = 2a 2a 2) Các ví dụ: a) Dạng 1: Tìm GTLN,GTNN tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức sau 2011-2012 A = x2 − 2x + Giải: A = x − x + = ( x − 1) + ≥ Dấu (( = )) Xảy x=1 Vậy GTNN A=2 Khi x=1 Ví dụ 2: Tìm GTLN biểu thức B = − x + x + Giải: B = − x + x + = −( x − x + 1) + = −( x − 1) + ≤ Dấu (( = )) Xảy x=1 Vậy GTNN B = x=1 b) Dạng 2: Tìm GTNN biểu thức bậc cao Ví dụ : Tìm GTLN biểu thức C = x − x + 10 x − x + Giải: C = x − x3 + 10 x − x + C = ( x − x3 + x ) + ( x − x + 9) = ( x − 3x) + ( x − 3) ≥ Dấu = (( ))  x − 3x =  x = 0; x = ⇔ ⇒ x=3 Xảy  x = x − =   Vậy GTNN C = Khi x=3 VÝ dơ 2: Tìm GTNN B = (x2 – x + 1)2 Giải : Mặc dù B ≥ GTNN B khơng phải x2 – x + ≠ 1 3  Ta có : x – x + =  x −  + ≥ Dấu "=" xảy ⇔ x = 2 4  Do B nhỏ ⇔ (x2 – x + ) nhỏ 3 Vậy B =   = ⇔x=   16 III) Cực trị hàm phân thức: A) Kiến thức cần thiết + Để giải dạng tốn ta chủ yếu dùng phương pháp tách phần ngun GV: Nguyễn Thò Thanh Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 1 + Cho P = với A > max P = ; P = A A max A Bằng cách áp dụng tính chất ta đưa tốn tìm cực trị phân thức tốn tìm cực trị đa thức B) Một số ví dụ 1) Dạng 1: Tìm GTLN , GTNN phân thức có tử số mẫu tam thức bậc hai Ví dụ: Tìm GTNN N = Giải: N = Xét −8 x − 2x + −8 x − 2x + x − x + = ( x − 1) + ≥ ⇒ ( x − 1) + ≥ −8 −8 Ta có ( x − 1) + ≥ ⇔ ( x − 1)2 + ≤ ⇔ ( x − 1)2 + ≥ = −2 Dấu (( = )) Xảy x=1 Vậy GTNN N = -2 x=1 2) Dạng 2: Tìm GTLN , GTNN phân thức có tử mẫu số nhị thức Ví dụ : Tìm x ∈ N để 7x − đạt giá trị lớn 2x − Giải : Đặt A = 7x − 14x − 16 7(2x − 3) + 5 ⇒ 2A = = =7+ 2x − 2x − 2x − 2x − Nhận thấy A lớn ⇔ 2A lớn ⇔ lớn 2x − ⇔ 2x – số dương nhỏ Mà x ∈ N nên 2x – dương nhỏ ⇒ x = Vậy max(2A) = 12 ⇒ maxA = ⇔ x = 7−x đạt giá trị nhỏ x−5 − ( x − 7) − (x − − 2) Giải : Ta có M = = = -1 + x −5 x −5 x−5 Để M nhỏ nhỏ ⇒ x – số âm lớn x−5 Ví dụ : Tìm x ∈ Z để M = GV: Nguyễn Thò Thanh Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Mà x ∈ Z nên x – = -1 ⇒ x = 2011-2012 Vậy M = -3 x = - 3) D¹ng 3: T×m GTLN , GTNN cđa ph©n thøc cã tư lµ nhÞ thøc, mÉu sè lµ tam thøc bËc hai Ví dụ : Tìm GTLN GTNN biểu thức Q= 4x + x2 + Giải : x + x + − x − ( x + 2) −1 a/ Ta có Q = = x2 + x +1 ( x + 2)2 Do ≥ với ∀ x ⇒ Q ≥ -1 với ∀ x Dấu “=” xảy ⇔ x = -2 x +1 Vậy Q = -1 ⇔ x = -2 x + − x + x − 4( x + 1) − (2x − 1)2 (2 x − 1)2 b/ Ta có Q = = = 4− x2 + x2 + x +1 (2x − 1)2 Do − ≤ với ∀ x ⇒ Q ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x = x +1 2) Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của phân thức bình phương nhị thức Vậy maxQ = ⇔ x = 3x − 8x + Ví dụ: Tìm GTNN M = x − 2x + Giải : ĐKXĐ : x ≠ 3(x − 2x + 1) − 2(x − 1) + − + Ta có M = = x − (x − 1)2 ( x − 1)2 , M = – 2y + y2 = (y – 1)2 + ≥ x −1 Dấu “=” xảy ⇔ y = ⇔ =1⇔x=2 x −1 Đặt y = Vậy M = ⇔ x= IV) Cực trị hàm đa thức nhiều biến: 1) Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN biểu thức biết quan hệ biến A = x2 + y Ví dụ 1: Cho x + y = Tìm GTNN GV: Nguyễn Thò Thanh Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Giải: Ta có x + y = ⇒ y = − x + = − x 2011-2012 Thay y = − x vào biểu thức A = x + y Ta có: A = x2 + ( − x ) = x2 + − x + x2 = 2x2 − 4x + ( ) A = x − x + + = ( x − 1) + ≥ 2 Dấu “=” xảy ⇔ x = ⇒ y = Vậy GTNN A=2 x =y=1 VÝ dơ 2: Tìm GTNN GTLN biểu thức N = 2x + 3y – 4z 2 x + y + 3z = 3x + y − 3z = biết x,y,z ≥ thoả mãn hệ phương trình  (1) (2) Giải : Từ hệ phương trình điều kiện ta có 5x + 5y = 10 ⇔ y = – x Thay (*) vào (1) ⇒ 2x + – x + 3z = ⇔ x + 3z = ⇔ z = (*) 4−x (**) Thay (*) (**) vào biểu thức N ta : N = 2x + 3y − z = 2x + 3( − x ) − 4−x 16 − 4x x = x + − 3x − = + 3 3 x 2 + ≥ Dấu "=" xảy ⇔ x = 3 Vậy N = ⇔ x = 0, y = 2, z = 3 Do x ≥ nên Ta lại có y ≥ nên từ (*) ⇒ x ≤ z ≥ nên từ (**) ⇒ x ≤ 4, từ ⇒ x ≤ x 2 + ≤ + = Dấu xảy ⇔ x = 3 3 Vậy max N = ⇔ x = 2, y = 0, z = 3 Ví dụ : Tìm GTNN GTLN biểu thức x, y, z Do x + y + z = biết x, y, z số thoả mãn hệ phương trình :  xy + yz + zx = Giải : GV: Nguyễn Thò Thanh 10 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 x =  y = −3 Vậy GTLN biểu thức B = Khi  Bài tập đề nghị: 1, Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau: a, 3x − x + b, x + x + 11 2, Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau: a, −5 x − x + 2 c, − ( x + x − ) ( x + x + 18 ) + 27 b, −2 x + x − 3, Bài 3: Tìm GTNN biểu thức sau: a, ( x − 1) ( x − ) ( x + ) ( x + ) − b, x − 3x3 + x − 3x + 2006 4, Bài 4:Tìm GTNN a, A = x + x + 10 x2 + x + b, B = x + y Biết x+2y =1 V) Phương pháp bất đẳng thức A) lý thuyết 1, Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: a, x ≥ b, x + y ≤ x + y dấu “=” xảy ⇔ xy ≥ c, x − y ≥ x − y dấu “=” xảy ⇔ xy ≥ x ≥ y d, x + y + z ≤ x + y + z dấu “=” xảy ⇔ xy ≥ yz ≥ ; xz ≥ 2, Bất đẳng thức Cơsi: a, Cho số khơng âm a b ta có: a+b ≥ ab Dấu “=” xảy ⇔ a = b b, Cho số khơng âm a b ta có: a+b+c ≥ abc dấu “=” xảy ⇔ a = b = c c, Tổng qt: Cho n số khơng âm a1 : a2 ; ; an ta có: a1 + a2 + an n ≥ a1.a2 an n dấu “=” xảy ⇔ a1 = a2 = = an 3, Bất đẳng thức BunhiaCơpxki GV: Nguyễn Thò Thanh 12 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò a, Cho hai cặp số a b; x y ta có: ( ax + by ) ( ≤ a2 + b2 )(x + y2 ) dấu “=” xảy ⇔ ay = bx b, Tổng qt: Cho 2n số a1; a2 ; ; an ( a1b1 + a2b2 + .anbn ) a 2011-2012 ( b1 ; b2 .; bn ta có )( ≤ a12 + a2 + + an b12 + b2 + + bn ) a a n dấu “=” xảy ⇔ b = b = = b n B) Các ví dụ: 1) Bất đẳng thứcCơsi Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: M = x2 + x + + x2 − x + Giải: áp dụng BĐT Cơsi cho hai số khơng âm ta có: M ≥2 (x )( ) ( ) + x + x2 − x + = x2 + − x2 dấu “=” xảy ⇔ x2 + x + = x2 − x −1 ⇔ x=0 Vậy GTNN M=2 x = 2) Bất đẳng thức BunhiaCopski Ví dụ 1: Tìm GTLN A = x − + y − Biết x+y = Giải: TXĐ: x ≥ ; y ≥ Xét A2 = ( x − + y − ) ≤ ( 12 + 12 ) ( x − + y − ) = ( x + y − 3) = ( − 3) = 2  x = 1,5 ( T / m ) x −1 = y − ⇔ ⇔ dấu “=” xảy  x + y =  y = 2,5 ( T / m ) Vậy GTLN A = x = 1,5 ; y= 2,5 Ví dụ 2: Cho x+y =2 Tìm GTNN A = x + y Giải: áp dụng BĐT BunhiaCopski ta có: ( mà x+y=2 nên ( x ( 1.x + y ) ) ) ≥4⇔ x ( ≤ ( + 1) x + y ⇔ ( x + y ) ≤ x + y 2 + y2 2 ) + y ≥ tức A ≥ x = y ↔ x = y =1 x + y = dấu “=” xảy ⇔  GV: Nguyễn Thò Thanh 13 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Vậy GTNN A = x = y = 3) Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức 2011-2012 a, A = x − 2001 + 2004 − x b, B = x − + x − + x − + x − Giải Áp dụng BĐT x + y ≥ x + y a, Ta có: A = x − 2001 + 2004 − x ≥ x − 2001 + 2004 − x = ( dấu “=” xảy ⇔ x − 2001) ( 2004 − x ) ≥ ↔ 2001 ≤ x ≤ 2004 Vậy GTNN A=3 2001 ≤ x ≤ 2004 b, x − + x − = − x x − ≥ − x + x − = (1) x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = (2) dấu “=” xảy (1) ⇔ ( x − 1) ( − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ dấu “=” xảy (2) ⇔ ( x − ) ( − x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Khi đó: B = x − + x − + x − + x − ≥ + = Vậy GTNN B=4 ≤ x ≤ Ví dụ 2: Tìm GTNN C = x − x + + x − 30 x + 25 Giải: C = x − x + + x − 30 x + 25 C= ( 3x − 1) + ( 3x − ) C = 3x − + 3x − 3x − + − 3x ≥ 3x − + − x = dấu “=” xảy ⇔ ( 3x − 1) ( − 3x ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Vậy GTNN C=4 5 ≤x≤ 3 4) Bài tập đề nghị: a, Bài tập sử dụng BĐT Cơsi Tìm GTNN biểu thức sau: GV: Nguyễn Thò Thanh 14 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò A= 1 + với x+y=100 x; y > x y B= x + với x > x−2 C = x2 + y + 2011-2012 với x;y dấu xy b, Bài tập sử dụng BĐT BunhiaCopski: Tìm GTLN biểu thức sau: A = 2x + − x2 B = x + y biết x + y = Cho xy+yz+xz = Tìm GTNN C = x + y + z c, Bài tập sử dụng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối A = x − + x − − x − − x − Tìm GTLN A B = x − x − + x + x − Tìm GTNN B VI) Phương pháp tìm miền xác định 1) Đưa phương trình bậc sử dụng điều kiện ∆ ≥ Ví dụ: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A= − 8x x2 + Giải: A = − 8x x2 + (1) Do x + ≠ (1) ⇔ A ( x + 1) = − x ⇔ Ax + A − + x = ⇔ Ax + x + A − = (2) +, Nếu A=0 (2) có nghiệm x = +, Nếu A ≠ (2) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ∆ ' = 16 − A ( A − ) = − A2 + A + 16 ≥ ⇔ A2 − A − 16 ≤ ⇔ ( A + ) ( A − ) ≤ ⇔ −2 ≤ A ≤ ( T / m ) A ≠ Với A=-2 nghiệm (2) là: x = −b ' − = =2 A −2 −b ' − − = = Với A=8 nghiệm (2) là: x = A −8 GV: Nguyễn Thò Thanh 15 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Vậy GTNN A = -2 x=2 GTLN A=8 x = 2011-2012 −1 VI) Phương pháp đặt ẩn phụ: Phương pháp đặt ẩn phụ ta đưa biến để biến đổi rút gọn biểu thức cho dạng đơn giản Ví dụ: Tìm GTNN biểu thức sau: A = ( x + ) + ( x + 1) 4 Giải: Đặt y=x+3 ta có x=y-3 thay vào biểu thức A Ta có: A = ( y − + ) + ( y − + 1) A = ( y + 2) + ( y − 2) 4 A = y + y + 24 y + 32 y + 16 + y − y + 24 y − 32 y + 16 A = y + 48 y + 32 ≥ 32 Dấu “=” xảy ⇔ y = ⇔ x + = ⇔ x = −3 Vậy GTNN A=32 x = -3 VII) Một số phương pháp khác 1, Bình phương hai vế biểu thức Có trường hợp ta khơng thể tìm trực tiếp cực trị biểu thức mà tìm cực trị bình phương biểu thức đó: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức sau: M = x2 + x + + x2 − x + Giải: Tìm GTNN biểu thức M giải phương pháp bất đẳng thức Cơsi phần trên, ngồi phương pháp ta có phương pháp giải khác M = x2 + x + + x2 − x + M = x2 + x + 1+ x2 − x + + (x )( ) + x + x2 − x + M = x2 + + x4 + x2 + ≥ + = ⇒ M2 ≥4⇒ M ≥2 Dấu “=” xảy ⇔ x = GTNN M=2 x=0 Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức sau: GV: Nguyễn Thò Thanh 16 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò A = x − + − x với ≤ x ≤ 2011-2012 Giải: ( A2 = x − + − x ) = x − + 80 − 16 x + 24 = −7 x + 71 + 24 = ( x − 1) + 16 ( − x ) + 24 ( x − 1) ( − x ) ( x − 1) ( − x ) ( x − 1) ( − x ) Vì x ≤ ⇔ −7 x ≥ −35 ( x − 1) ( − x ) ≥ nên A2 ≥ −35 + 71 + hay A2 ≥ 36 Do A ≥ nên A ≥ 36 Dấu “=” xảy ⇔ x = ( x − 1) ( − x ) =0 ⇔ x = 2) Sử dụng tốn phụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức sau: M = x2 + x + + x2 − x + Vậy GTNN tốn ta làm hai cách nêu ngồi ta có cách khác để giải cách sử dụng tốn phụ Xét tốn phụ: Chứng minh rằng: ( a + x) a + b2 + x + y ≥ + ( b + y) Dấu “=” xảy ⇔ ay = bx áp dụng tốn phụ ta có: M = x2 + x + + x2 − x + 2 2 2 1  3 1 3  1   3    =  x + ÷ +  + − x + ≥ x + + − x + + ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ 2  ÷ 2 ÷  2   ÷       = = 1+ ( ) = = 2 Dấu “=” xảy ⇔ 3 1 31   x + ÷=  − x ÷⇔ x =  2 2  Vậy GTNN M=2 x=0 Để giải tốn theo cách học sinh phải chứng minh tốn phụ vận dụng Ngồi cách giải ta có cách giải khác xét phần 3, Sử dụng mp tọa độ Ví dụ: Tìm GTNN biểu thức GV: Nguyễn Thò Thanh 17 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 M = x2 + x + + x2 − x + Giải: Xét mặt phẳng tọa độ 0xy xét điểm A ( x; o )  −1  B  ; ÷ ÷  2  1 3 C  ; − ÷ ÷ 2  Ta thấy điểm B, C nằm khác trục hồnh mà A thuộc trục hồnh Xét điểm A; B; C ta có: AB + AC ≥ BC 2 1  3  Ta có: AB =  x + ÷ +  − ÷÷ = x + x + 2    2 1  3  AC =  x − ÷ +  + = x2 − x + ÷ ÷ 2    2 3  1  BC =  − − ÷ +  + ÷ = 4=2 ÷  2   ⇒ AB + AC = x + x + + x − x + ≥ BC = Dấu “=” xảy ⇔ A giao điểm BC với trục hồnh A ≡ ⇔ x = Vậy GTNN M=2 x=0 Nhận xét: Tìm GTNN biểu thức M tơi đưa phương pháp để tìm, phương pháp có cách giải riêng biệt tùy theo bài, dạng tập ta lựa chọn cách giải cho phù hợp 4, Phương pháp xét khoảng giá trị: Ví dụ: Tìm GTNN biểu thức để A = x − + x − + 15 Dạng tập ta có cách giải cụ thể sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nêu phần 4.3 ngồi ta sử dụng phương pháp xét khoảng để giải A = x − + x − + 15 +, Nếu x 18 ( ) +, Nếu ≤ x ≤ x − = x − ; x − = − x Khi A = x- + –x +15 = 18 ( 3) Kết hợp giá trị A trường hợp ta có: Giá trị nhỏ A = 18 ≤ x ≤ Ta xét ví dụ ngồi cách ta có cách giải khác ta xét phần sau đây: 5, Sử dụng A ≥ A Ví dụ: Tìm GTNN biểu thức: A = x − + x − + 15 Giải: A = x − + x − + 15 A = x − + − x + 15 Ta có: x − ≥ x − x −5 = 5− x ⇒ x −2 + 5− x ≥ x−2+5− x ⇒ x − + − x + 15 ≥ x − + − x + 15 = 18 ⇒ A ≥ 18 x − ≥ x ≥ ⇔ 5 − x ≥ x ≤ Dấu “=” xảy ⇔  ⇔ 2≤ x≤5 Vậy GTNN A = 18 ≤ x ≤ Nhận xét: Qua cách giải cách giải theo 4.3 ta thấy cách giải thứ đơn giải dễ hiểu Ta cần sử dụng giá trị tuyệt đối A ≥ A Dấu “=” xảy ⇔ A ≥ VIII) Ứng dụng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Trong làm gặp nhứng tốn tìm GTLN, GTNN cách tường minh cụ thể, có lại gặp dạng dạng tốn khác Đó ứng dụng tốn tìm GTLN, GTNN GV: Nguyễn Thò Thanh 19 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2011-2012 x − + − x = x − 10 x + 27 x − ≥  Giải: TXĐ: 6 − x ≥  x − 10 x + 27 ≥  ⇔4≤ x≤6 Xét VT = ( x − + − x ) ≤ ( 12 + 12 ) ( x − + − x ) = ⇒ VT ≤ ⇒ VT = VP = x − 10 x + 27 = ( x − ) + ≥ 2  x − + − x =  x − + − x = VT = VP ⇔ ⇔ Để    x − 10 x + 27 = ( x − ) =  x − + − x = ⇔  x = ⇔ x = thuộc TXĐ Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=5 Nhận xét:Để giải phương trình phương pháp thơng thường phức tạp khó khăn giải phương trình phương pháp đánh giá hai vế ta sử dụng BĐT BunhiaCopski vế trái việc giải phương trình đơn giản nhiều Ví dụ 2: Giải phương trình x + x − = 3x3 − x + x − Giải: 2 Ta có: 3x − x + x − = ( x − x + 1) ( 3x − ) 1  Do x − x + =  x − ÷ + > 0∀x 2  Khi TXĐ x ≥ 2 Ta có: x + x − = ( x − x + 1) + ( 3x − ) áp dụng BĐT Cơsi cho hàm số khơng âm ta có: (x ) − x + + ( 3x − ) ≥ (x ) − x + ( 3x − ) GV: Nguyễn Thò Thanh 20 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Dấu “=” xảy ⇔ x − x + = 3x − 2011-2012 x = ⇔ x2 − 4x + = ⇔  x = Ví dụ 3: Cho hai điểm A B cố định điểm M di động cho MAB tam giác có góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tìm giá trị lớn tích KH.KM Giải: Xét ∆KHA ∆KMB có ¼ ¼ = 900 AKH = MKB M E ¼ = KMB ¼ phụ với ¼ AMN KMA ⇒ S ⇒ ∆KHA H ∆KMB KH AK = ⇒ KM KH = KB AK KB KM A áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương ta có: AK KB ≤ AK + KB ⇔ Do KM KH ≤ AK KB ≤ K B AB AB ⇔ AK KB ≤ AB AB mà khơng đổi 4 Dấu “=” xảy ⇔ KH = KB Vậy GTLN KH KM AB Nhận xét: Ở tơi đưa ví dụ để thấy việc ứng dụng tốn tìm GTLN; GTNN rộng rãi , nhờ có bất đẳng thức việc giải phương trình ví dụ 1, ví dụ đơn giản nhiều khơng sử dụng Bất đẳng thức việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn, đặc biệt số dạng tốn cực trị mơn hình học IX) Một số sai lầm thường gặp tốn cực trị: Trong q trình giải tốn cực trị học sinh thường mắc phải số sai lầm sau: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức sau: A = ( x + ) + ( x + 1) 4 Trong ví dụ ta nêu cách giải cụ thể phần phương pháp ẩn phụ Lời giải sai: GV: Nguyễn Thò Thanh 21 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 ( x + 1) ≥   ⇒ A = ( x + ) + ( x + 1) ≥ ( x + 5) ≥ 0 Từ A ≥ điều khơng thể xảy ra, khơng tồn ( x + 5) ( x + 1) đồng thời Lời giải ta giải phần VI ( Phương pháp đặt ẩn phụ) Ví dụ 2: Tìm GTNN của: M = x+ x +) Lời giải sai: 1  1 1  M = x + x =  x + x + ÷=  x + ÷ − ≥ − 4  2 4  Vậy GTNN M = − +) Phân tích sai lầm: Sau chứng minh M ≥ − xảy ⇔ x = − 1 chưa trường hợp xảy M = − 4 ( vơ lý) +) Lời giải đúng: Để tồn x x ≥ M = x + x ≥ dấu “=” xảy ⇔ x = Vậy M Min = x = V HIỆU QUẢ ÁP DỤNG: Sau số năm bền bỉ hướng dẫn học sinh tìm GTLN, GTNN tơi thấy áp dụng tốt SKKN cho học sinh chất lượng học sinh tăng lên rõ rệt, góp phần khơng nhỏ vào việc trí thơng minh , khả tư sáng tạo học sinh, giải tập học sinh phải vận dụng kiến thức cách hợp lý, phải phân tích cách tổng hợp.Do đó năm học này tơi đã mạnh dạn đưa vào chương trình lớp mợt sớ bài toán ở mức dợ vừa phải với sức học của học sinh và kết quả thu được sau: Kết kiểm tra đối chứng Hs khối Số Hs Tìm hướng giải Khơng tìm hướng giải hồn chỉnh hồn chỉnh GV: Nguyễn Thò Thanh 22 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Khi chưa áp dụng Skkn 15 60,0 Khi áp dụng Skkn 15 12 80,0 2011-2012 40,0 20,0 C PHẦN KẾT LUẬN -  - I.Ý nghĩa của đề tài đới với cơng tác : Trong q trình giảng dạy kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh tơi nhận thấy chưa áp dụng học sinh chưa có phương pháp cụ thể , học sinh lúng túng chưa tìm cách giải sau vận dụng nhiều học sinh giải thành thạo II Khả áp dụng - Chủ yếu dùng để bồi dưỡng thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 THPT đặc biệt phù hợp với việc học học sinh giỏi III Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển *Qua q trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tơi thấy để có kết cao giáo viên cần lưu ý số vấn đề sau: GV: Nguyễn Thò Thanh 23 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 - Dành thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo phân loại dạng tập - Lượng tập phù hợp với lực, đối tượng học sinh - Phải kiên trì áp dụng sáng kiến kinh nghiệm có tồn tìm GTLN, GTNN - Giáo viên phải soạn kỹ trước lên lớp, đưa phương án giải tốt cho dạng Đặc biệt nên khai thác vấn đề theo nhiều khía cạnh khác đề củng cố rèn khả tư sáng tạo cho học sinh * Do điều kiện áp dụng SKKN trường có tỉ lệ học sinh giỏi chưa cao hạn chế thời gian lực tư em nên SKKN số hạn chế sau: - Chưa nêu ví dụ phong phú, chưa khai thác phát triển đưa dạng tập tổng qt - Lời giải nhiều tập mang tính áp đặt chưa mang tính chất lấy học sinh làm trung tâm - Đã nêu chưa nhiều tốn cực trị hình học V Kiến nghị đề xuất Để SKKN ngày đạt hiều cao tơi thấy phải tiếp tục nghiên cứu nhằm: + Tìm nhiều dạng bài, nhiều phương pháp giải dạng +Áp dụng tối đa phương pháp đổi dạy học tốn theo hướng phát triền tư sáng tạo cho học sinh Nhà trường cấp ngành có chức cần tạo điều kiện giúp đỡ thời gian tài liệu để giáo viên đầu tư vào cơng việc tốt Tơi xin chân thành cảm ơn -  - Gáo Giờng, ngày 08 tháng năm 2012 Người viết GV: Nguyễn Thò Thanh 24 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 Ngũn Thị Thanh DỤT CỦA HỢI ĐỜNG THẨM ĐỊNH ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… DỤT CỦA PHÒNG GIÁO DỤC ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… GV: Nguyễn Thò Thanh 25 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… GV: Nguyễn Thò Thanh 26 Trường TH-THCS Gáo Giồng [...]... chứng Hs khối 9 Số Hs Tìm ra hướng giải Khơng tìm ra hướng giải hồn chỉnh hồn chỉnh GV: Nguyễn Thò Thanh 22 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Khi chưa áp dụng Skkn 15 9 60,0 6 Khi áp dụng Skkn 15 12 80,0 3 2011-2012 40,0 20,0 C PHẦN KẾT LUẬN -  - I.Ý nghĩa của đề tài đới với cơng tác : Trong q trình giảng dạy kiểm tra khảo sát chất lượng học. .. nêu cách giải cụ thể phần phương pháp ẩn phụ Lời giải sai: GV: Nguyễn Thò Thanh 21 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 ( x + 1) ≥ 0  4 2  ⇒ A = ( x + 5 ) + ( x + 1) ≥ 0 4 ( x + 5) ≥ 0 2 Từ đó A ≥ 0 điều này khơng thể xảy ra, vì khơng tồn tại để cho ( x + 5) và ( x + 1) 4 2 đồng thời bằng 0 Lời giải đúng ta đã giải trong phần VI ( Phương pháp đặt... Vậy GTNN của M=2 khi x=0 Để giải bài tốn theo cách này học sinh phải chứng minh bài tốn phụ rồi mới được vận dụng Ngồi cách giải trên ta còn có cách giải khác xét trong phần tiếp theo 3, Sử dụng mp tọa độ Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức GV: Nguyễn Thò Thanh 17 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 M = x2 + x + 1 + x2 − x + 1 Giải: Xét trong cùng mặt phẳng... GV: Nguyễn Thò Thanh 15 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Vậy GTNN của A = -2 khi x=2 GTLN của A=8 khi x = 2011-2012 −1 2 VI) Phương pháp đặt ẩn phụ: Phương pháp đặt ẩn phụ ta đưa về biến mới để biến đổi rút gọn biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn Ví dụ: Tìm GTNN của biểu thức sau: A = ( x + 5 ) + ( x + 1) 4 4 Giải: Đặt y=x+3 ta có x=y-3 thay vào biểu thức... Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 - Dành thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo phân loại các dạng bài tập - Lượng bài tập phù hợp với năng lực, đối tượng học sinh - Phải kiên trì áp dụng sáng kiến kinh nghiệm mỗi khi có bài tồn tìm GTLN, GTNN - Giáo viên phải soạn kỹ trước khi lên lớp, đưa ra phương án giải quyết tốt nhất cho từng dạng Đặc... dưới dạng một dạng tốn khác Đó chính là ứng dụng của bài tốn tìm GTLN, GTNN GV: Nguyễn Thò Thanh 19 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2011-2012 x − 4 + 6 − x = x 2 − 10 x + 27 x − 4 ≥ 0  Giải: TXĐ: 6 − x ≥ 0  x 2 − 10 x + 27 ≥ 0  ⇔4≤ x≤6 Xét VT 2 = ( x − 4 + 6 − x ) ≤ ( 12 + 12 ) ( x − 4 + 6 − x ) = 4 2 ⇒ VT... 20 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Dấu “=” xảy ra ⇔ x 2 − x + 1 = 3x − 2 2011-2012 x = 1 ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔  x = 3 Ví dụ 3: Cho hai điểm A và B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác có 3 góc nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB Tìm giá trị lớn nhất của tích KH.KM Giải: Xét ∆KHA và ∆KMB có ¼... tìm GTLN; GTNN rất rộng rãi , nhờ có bất đẳng thức việc giải phương trình ở ví dụ 1, ví dụ 2 đơn giản hơn rất nhiều nếu khơng sử dụng Bất đẳng thức thì việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn, đặc biệt hơn trong một số dạng tốn cực trị trong bộ mơn hình học IX) Một số sai lầm thường gặp trong bài tốn cực trị: Trong q trình giải tốn cực trị học sinh thường mắc phải một số sai lầm sau: Ví dụ 1: Tìm... VII) Một số phương pháp khác 1, Bình phương hai vế của biểu thức Có trường hợp ta khơng thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi tìm cực trị của bình phương biểu thức đó: Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau: M = x2 + x + 1 + x2 − x + 1 Giải: Tìm GTNN của biểu thức M đã được giải trong phương pháp bất đẳng thức Cơsi ở phần trên, ngồi phương pháp đó ra ta còn có phương pháp giải khác M = x2 +... y 2 Giải: áp dụng BĐT BunhiaCopski ta có: ( mà x+y=2 nên 2 ( x ( 1.x + 1 y ) 2 ) ) ≥4⇔ x ( ≤ ( 1 + 1) x 2 + y 2 ⇔ ( x + y ) ≤ 2 x 2 + y 2 2 + y2 2 2 ) + y 2 ≥ 2 tức là A ≥ 2 x = y ↔ x = y =1 x + y = 2 dấu “=” xảy ra ⇔  GV: Nguyễn Thò Thanh 13 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Vậy GTNN của A = 2 khi x = y = 1 3) Sử dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị ... chứng Hs khối Số Hs Tìm hướng giải Khơng tìm hướng giải hồn chỉnh hồn chỉnh GV: Nguyễn Thò Thanh 22 Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò Khi chưa áp dụng Skkn. .. GV: Nguyễn Thò Thanh Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 a Cho biểu thức f(x) Giá trị M gọi giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x) thoả mãn hai điều... Kiến thức cần thiết + Để giải dạng tốn ta chủ yếu dùng phương pháp tách phần ngun GV: Nguyễn Thò Thanh Trường TH-THCS Gáo Giồng SKKN: Giải pháp giúp học sinh học tốt toán cực trò 2011-2012 1 + Cho