Năm học 1998 – 1999 Bài (2 điểm): 1) Cho biểu thức: A = x− x + x +1 ÷: x −1 x − x +1 a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa, rút gọn A b) So sánh A với HD: a) ĐK: x > x ≠ A = 1+ x : x +1 x ( x − 1) ( x − 1) b)Cách 1: Xét hiệu: A – = x −1 x −1 = − x = (1 + x )( x − 1) x ( x − 1)( x + 1) −1 = − x = x −1 x < Suy ra: A < Cách 2: So sánh tử mẫu: Với ĐK: x > x ≠ 1thì x > ⇒ x − < x => A 4) Ta có phương trình: 24 16 + = ⇔ x − 20x = ⇒ x1 = (loại), x2 = 20 x+4 x−4 (thỏa mãn) Vậy: Vận tốc canô nước yên lặng 20km/h Bài (4 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm OA, đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn D Gọi N điểm đoạn CD, nối AN cắt nửa đường tròn điểm thứ hai M Tiếp tuyến với đường tròn M cắt CD I BM cắt CD K Chứng minh: a) Tứ giác CBMN nội tiếp IMN tam giác cân b) Điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆KMN c) Chứng minh ∆OAD Tính đoạn CK theo R trường hợp N trung điểm CD K I M D N A C O B · · HD: a) BCN + BMN = 900 ⇒ BCNM nội tiếp · · · µ ⇒ ∆IMN cân I IMN = INM( = ANC = B) b) Ta chứng minh ∆IMK cân ⇒ IM = IN = IK c) DC vừa đường cao, trung tuyến ∆ADO cân A⇒ AD = OD Mặt khác OA = OD ⇒ OA = OD = DA ⇒ ∆OAD Tính đoạn CK: Cách 1: ∆ACN CN AN = ⇒ CN.KN = AN.MN (1) MN KN AC AN = ∆AMB (g.g) ⇒ ⇒ AM.AN = AB.AC = R2 AM AB ∆KMN (g.g) ⇒ ∆ACN Hay: (AN + MN)AN = R2 ⇔ AN2 + MN.AN = R2 (2) R − AN CN 3R R 7R R R + = Ta có: CD = ⇒ CN = ⇒ AN = CN + AC2 = 16 16 3.R R 3 3R Suy ra: KN = Vậy: CK = CN + KN = + =R 4 Từ (1) (2) suy ra: AN2 + CN.KN = R2 Hay: KN = Cách (hay hơn): Có ∆ACN với Bµ ) => µ (cùng phụ ∆KCB tam giác vuông có µA = K AC CN AC.BC R 3R CD R = ⇒ CK = = mà AC= ; BC = ; CN = , thay vào kq CK BC CN 2 Bài (1 điểm): Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Chứng minh hai mặt phẳng (ACB’) (A’C’D) song song D C HD: Ta có: AB’ // C’D (Do ADC’B’ hình chữ nhật) Tương tự: B’C // A’D A Mà AB’, B’C cắt AB’, B’C ∈ mp(ACB’) D' B C' C’D, A’D cắt C’D, A’D ∈ mp(A’C’D) Vậy: mp(ACB’) // mp(A’C’D) B' A' ………………………………………………………………………………………… ……… ... phụ ∆KCB tam giác vuông có µA = K AC CN AC.BC R 3R CD R = ⇒ CK = = mà AC= ; BC = ; CN = , thay vào kq CK BC CN 2 Bài (1 điểm): Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Chứng minh hai mặt phẳng (ACB’)