Viết phương trình đường thẳng d’ qua điểm M1; 1 và song song với d.. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.. Gọi C là trung điểm của OA, đường v
Trang 1Năm học 1998 – 1999
Bài 1 (2 điểm): 1) Cho biểu thức: A 1 1 : x 1
x x x 1 x 2 x 1
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút gọn A
b) So sánh A với 1
HD: a) ĐK: x > 0 và x ≠ 1
2 2
1 x x 1 (1 x )( x 1) x 1
x ( x 1) ( x 1) x ( x 1)( x 1) x
b)Cách 1: Xét hiệu: A – 1 = x 1 1 1 1 1 1 0
x − − = − − = − < x x Suy ra: A < 1 Cách 2: So sánh tử và mẫu: Với ĐK: x > 0 và x ≠ 1thì x > ⇒ 0 x− < 1 x =>
A < 1
2) Cho đường thẳng (d) có phương trình y = –2x + 5 Viết phương trình đường thẳng (d’) qua điểm M(1; 1) và song song với (d)
HD: Vì (d’) song song với (d) nên có dạng: y = –2x + b Lại đi qua điểm M(1; 1) nên tọa độ điểm M phải thỏa mãn phương trình y = –2x + b Tức là: b – 2 = 1 ⇔ b
= 3
Vậy: Phương trình đường thẳng (d’): y = –2x + 3
Bài 2 (2 điểm): Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng một lúc từ bến A xuôi dòng
sông Sau khi đi được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ tại một địa điểm cách A
8 km Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h
HD: Gọi vận tốc của canô khi nước yên lặng là x (x > 4)
Ta có phương trình: 24 16 2
2 x 20x 0
x 4 + x 4 = ⇔ − =
+ − ⇒ x 1 = 0 (loại), x 2 = 20 (thỏa mãn)
Vậy: Vận tốc của canô khi nước yên lặng là 20km/h
Bài 3 (4 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C là trung
điểm của OA, đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tại D Gọi N là điểm bất kì trên đoạn CD, nối AN cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai M Tiếp tuyến với đường tròn tại M cắt CD ở I và BM cắt CD ở K Chứng minh:
a) Tứ giác CBMN nội tiếp và IMN là tam giác cân
b) Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆KMN
c) Chứng minh ∆OAD đều Tính đoạn CK theo R trong trường hợp N là trung điểm của CD
I
K
M
N D
Trang 2HD: a) BCN BMN 90 · + · = 0⇒ BCNM nội tiếp
IMN INM( ANC B) = = = ⇒∆IMN cân tại I b) Ta có thể chứng minh được ∆IMK cân ⇒ IM = IN = IK
c) DC vừa là đường cao, trung tuyến ∆ADO cân tại A⇒ AD = OD
Mặt khác OA = OD ⇒ OA = OD = DA ⇒∆OAD đều
Tính đoạn CK:
Cách 1:
∆ACN ∆KMN (g.g) ⇒ MNCN = ANKN ⇒ CN.KN = AN.MN (1)
∆ACN ∆AMB (g.g) ⇒ AMAC = ANAB⇒ AM.AN = AB.AC = R 2
Hay: (AN + MN)AN = R 2⇔ AN 2 + MN.AN = R 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AN 2 + CN.KN = R 2 Hay: KN R2 AN2
CN
−
=
Ta có: CD R 3 CN R 3
AN CN AC
16 4 16
Suy ra: KN 3 3.R
4
= Vậy: CK = CN + KN = R 3 3 3R R 3
4 + 4 =
Cách 2 (hay hơn): Có ∆ACN ∆KCB vì là 2 tam giác vuông có µA K= µ (cùng phụ
với µB )
=> AC CN CK AC BC.
CK = BC ⇒ = CN mà AC=R; 3 ; 3
R CD R
BC= CN = = , thay vào là ra kq luôn
Bài 4 (1 điểm): Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Chứng minh hai mặt
phẳng (ACB’) và (A’C’D) song song
HD: Ta có: AB’ // C’D (Do ADC’B’ là hình chữ nhật)
Tương tự: B’C // A’D
Mà AB’, B’C cắt nhau và AB’, B’C ∈ mp(ACB’)
C’D, A’D cắt nhau và C’D, A’D ∈ mp(A’C’D)
Vậy: mp(ACB’) // mp(A’C’D)
………
………
B
C D
C'
D' A