Đa thức bất khả quy (KL06506)

Một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức .... Với tất cả lý do nêu trên em đã chọn đề tài “Đa thức bất khả quy” để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại hệ thống hóa một số bài toán

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

LỜI CẢM ƠN

Để có được thành quả như hôm nay trước tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến ban giám hiệu trường, các thầy cô trong khoa toán đã tận tình chỉ dạy cũng như trang bị cho em những nguồn tri thức quý giá trong suốt thời gian bốn năm học tập dưới mái trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo

TS Nguyễn Thị Kiều Nga Cô là người gợi ý ra đề tài khóa luận và cũng

là người trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Cuối cùng em xin gửi lời cám ơn đến Ban giám đốc, cán bộ Thủ thư Thư viện Sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ em có những tài liệu thông tin thiết thực để em có thể hoàn thành khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc nhất đến gia đình và các anh chị, bạn

bè đã luôn ủng hộ, động viên và giúp đỡ em trong quá trình thực hiện khóa luận của mình

Sinh viên

Phạm Thị Ngân

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận được thực hiện bởi sự cố gắng, nỗ lực

của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Ts Nguyễn Thị

Kiều Nga Đây là đề tài không trùng lặp với đề tài của tác giả khác

Trong quá trình làm khóa luận “Đa thức bất khả quy” em có sử

dụng tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình Danh sách tài liệu tham khảo em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Sinh viên

Phạm Thị Ngân

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 3

1.2 Định lý phép chia có dư 4

1.3 Nghiệm của một đa thức 4

1.4 Đa thức bất khả quy 5

1.5 Số nguyên tố 5

1.6 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 6

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY 7

2.1 Đa thức bất khả quy trên trường 7

2.2 Đa thức bất khả quy trên trường số 12

2.2.1 Đa thức bất khả quy trên trường số phức 12

2.2.2 Đa thức bất khả quy trên trường số thực 12

2.2.3 Đa thức bất khả quy trên trường số hữu tỉ 15

2.2.3.1 Đa thức nguyên bản 15

2.2.3.2 Một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức 16

a Điều kiện để đa thức bậc 2, bậc 3 bất khả quy 16

b Tiêu chuẩn Eisenstien 17

c Tiêu chuẩn Eisenstien mở rộng 20

d Tiêu chuẩn Polya 25

e Tiêu chuẩn Perron 26

f Tiêu chuẩn Osada 28

2.2.4 Đa thức có giá trị 1 hoặc -1 29

CHƯƠNG 3 ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY VÀ SỐ NGUYÊN

TỐ 39

3.1 So sánh tương tự giữa đa thức bất khả quy và số nguyên tố 39

3.1.1 Định nghĩa 39

3.1.2 So sánh về ước 39

3.1.3 Tính chất 39

3.2 Mối liên hệ giữa đa thức bất khả quy và số nguyên tố 40

KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên, nó chiếm vai trò quan trọng trong các môn khoa học Không chỉ vậy, môn toán còn có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy

Đại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng được sử dụng nhiều không những trong đại số mà còn sử dụng trong toán cao cấp và toán ứng dụng

Tuy nhiên cho đến nay vấn đề đa thức chỉ mới chỉ trình bày sơ lược, chưa phân loại và hệ thống chi tiết Tài liệu đa thức bất khả quy và mối liên hệ giữa đa thức bất khả quy và số nguyên tố còn rất ít, chưa hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải, cho nên việc nghiên cứu còn gặp nhiều khó khăn

Với tất cả lý do nêu trên em đã chọn đề tài “Đa thức bất khả quy”

để làm khóa luận tốt nghiệp, nhằm phân loại hệ thống hóa một số bài toán về đa thức bất khả quy Bên cạnh đó cũng thấy rõ được mối liên hệ giữa đa thức và số nguyên tố

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về tính bất khả quy của đa thức trên trường số và mối liên hệ giữa đa thức bất khả quy và số nguyên tố

Khóa luận này gồm 3 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Một số bài toán về đa thức bất khả quy

Chương 3 Đa thức bất khả quy với số nguyên tố

3 Đối tượng nghiên cứu

Đa thức bất khả quy

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Vậy  0 1 n / , 

P a a x a x a A n P được gọi là vành đa

thức một ẩn x lấy hệ tử trên A Kí hiệu A x Mỗi phần tử của   A x 

được gọi là một đa thức, kí hiệu f x g x ( ), ( ),

- Nếu a n 0 thì n gọi là bậc của đa thức, kí hiệu deg ( ) f x  n

Qui ƣớc Bậc của đa thức không là 

với deg ( ) deg ( ) r x  g x

1.3 Nghiệm của một đa thức

Hệ quả c là nghiệm của f x ( ) khi và chỉ khi f x ( ) chia hết cho x c

c Nghiệm bội của đa thức

Cho A là một trường , cA f x, ( )A x  và *

m , c là nghiệm bội cấp m của đa thức f x ( ) khi và chỉ khi đa thức f x ( ) chia hết cho

( )m

xc và f x ( ) không chia hết cho 1

( )m

xc 

Đặc biệt Nếu m1 ta nói c là nghiệm đơn

Nếu m2 ta nói c là nghiệm kép

1.4 Đa thức bất khả quy

a Định nghĩa

Cho A là một miền nguyên, P x( )A x , P x ( ) được gọi là đa thức bất khả quy nếu P x ( )  0, ( ) P x không khả nghịch và P x ( ) không có ước thực sự

Khi đó ta cũng nói P x ( ) là đa thức không phân tích được trên A

Kí hiệu tập số nguyên tố là 

iv (Bổ đề Euclid) Nếu một số tự nhiên a1 không có ước nguyên

tố nào trong khoảng từ 1 đến a thì a là số nguyên tố

1.6 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị 1 Ta đặt

Khi đó A n A x 1, ,x n gọi là vành đa thức của n ẩn x1, , x n lấy

hệ tử trong vành A Một phần tử của A n gọi là một đa thức n ẩn

1, , n

x x lấy hệ tử trong vành A là f x( , ,1 x hay n) g x( , ,1 x n),…

Nhận xét Ta có dãy A A0  A1 A2   A n, trong đó A i1 là vành con của A i với i1,n

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY

2.1 Đa thức bất khả quy trên trường

a Tính chất của đa thức trên trường

Định lý 1 Cho A là trường, f x( )A x  Khi đó f x ( ) bất khả quy trên

A khi và chỉ khi ước của nó trong A x  có dạng  và  f x ( ), với

A

Chứng minh

Điều kiện cần Giả sử A là một trường, f x( )A x  là đa thức bất

khả quy Vì A là một trường nên A, 0 là các phần tử khả nghịch

của A Do đó ta có ước của f x ( ) trong A x  có dạng  và  f x ( ) với , 0

ra  f x ( ) là phần tử liên kết của f x ( ) Suy ra f x ( ) không có ước thực

sự Vậy f x ( ) bất khả quy trong A x 

Định lý 2 Cho A là trường và P x Q x( ), ( )A x  và P x ( ) bất khả quy trên A thì hoặc Q x ( ) chia hết cho P x ( ) hoặc P x ( ) và Q x ( ) nguyên tố cùng nhau

Chứng minh

Giả sử D x ( ) là ước chung lớn nhất của hai đa thức P x ( ) và Q x ( )

Từ thuật toán Euclid ta có P x ( ) và Q x ( ) có hệ tử trong A thì hệ tử của

( )

D x cũng thuộc A Mặt khác P x ( ) là đa thức bất khả quy trên A, ta suy ra

Vì P x ( ) là đa thức bất khả quy trên trường A, R x ( ) là đa thức bất

kì thuộc A Khi đó theo định lý 2, ta có R x ( ) chia hết cho P x ( ) hoặc ( )

R x và P x ( ) nguyên tố cùng nhau

Xét trường hợp1: R x ( ) chia hết cho P x ( )

Theo giả thiết ta có P x Q x ( ) ( ) chia hết cho R x ( ) mà R x ( ) chia hết cho P x ( ) Suy ra Q x ( ) chia hết cho R x ( )

Xét trường hợp 2: P x ( ) và R x ( ) nguyên tố cùng nhau

Ta có P x Q x ( ) ( ) chia hết cho R x ( ) và P x ( ), R x ( ) nguyên tố cùng nhau Suy ra Q x ( ) chia hết cho R x ( )

Vậy có ít nhất một trong các thừa số P x ( ) và Q x ( ) chia hết cho

( )

R x

Định lý 4 Cho A là trường, mọi P x ( )  A x [ ], P x ( ) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 Khi đó P x ( ) biểu diễn được thành tích của những thừa số không phân tích được trên A Sự biểu diễn này là duy nhất (chỉ sai khác các hằng số khác không trên A), nghĩa là nếu

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )r ( ) ( ) ( )s

và ta có thể nói rằng P x  được biểu diễn như tích của những thừa số không phân tích được

Nếu n là số tự nhiên bất kì và giả sử mọi đa thức bậc nhỏ hơn n có thể biểu diễn như tích của những thừa số không phân tích được trên A ( )

P x không phân tích được trên A thì ta có thể nói rằng nó biểu diễn như tích của một thừa số không phân tích được Ngược lại, giả sử

     

P x Q x R x với Q x   ,R x A x  và 1 deg ( ), deg ( )  Q x R x  n

Theo giả thiết quy nạp Q x  và R x  biểu diễn như tích của những thừa số không phân tích được trên A Suy ra điều này cũng đúng với

Không mất tính tổng quát ta giả thiết rs Lập luận tương tự như

trên giả sử sau r bước ta nhận được

tự nào đó trong đó các số 1, 2, , r Vì trong trường hợp ngược lại ta sẽ nhận được đẳng thức giữa đa thức bậc không và đa thức bậc khác không

b Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1 Xét vành đa thức K x  với K là một trường

a) Chứng minh rằng mọi đa thức bậc nhất của K x  đều bất khả quy Nếu K là một miền nguyên thì điều đó còn đúng nữa không ?

b) Chứng minh rằng các đa thức bậc hai và bậc ba của K là bất khả quy khi và chỉ khi chúng không có nghiệm trong K

b) Giả sử f x( )K x , deg ( ) 2 f x  hoặc deg ( ) 3 f x  Đa thức

2.2 Đa thức bất khả quy trên trường số

2.2.1 Đa thức bất khả quy trên trường số phức

Định lý Mọi đa thức bất khả quy trên trường số phức đều là đa thức bậc

- Nếu   0 thì P x( ) không có nghiệm thực Suy ra P x( ) bất khả quy

Giả sử deg ( ) 3 P x  Nếu P x( ) có nghiệm phức  thì P x( ) có nghiệm  ( là số phức liên hợp của ) Suy ra P x ( ) chia hết cho (x)(x) Ta có

2(x)(x)x (  )x

là đa thức hệ số thực Suy ra P x ( ) có ước thực sự Vậy P x ( ) không bất khả quy trên  x

2.2.3 Đa thức bất khả quy trên trường số hữu tỉ

2.2.3.1 Đa thức nguyên bản

a Định nghĩa

Giả sử f x( ) là một đa thức với hệ số nguyên, f x( )gọi là đa thức nguyên bản nếu các hệ số của f x( ) không có ước chung nào khác ngoài 1

b Một số tính chất của đa thức nguyên bản

- Tính chất 1 (bổ đề Gauss) Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa

là hai đa thức nguyên bản Ta chỉ cần chứng minh một số nguyên tố p

tùy ý, thì p không chia hết các hệ số của đa thức tích

Rõ ràng p không chia hết cho các hệ số của f x( ) và g x( ) Giả sử p

chia hết a a0, 1, ,a r1,b0, ,b s1 và p không chia hết a b r, s Ta xét các

hệ số c r s của đa thức tích f x g x( ) ( ) có:

1 1 1 1

r s r s r s r s

c a b a b   a b  

trong đó p chia hết các tích bên vế phải nhưng không chia hết tích a b r s

vì p không chia hết a b r, s Do đó p không chia hết c r s

Tính chất 2 Nếu f x ( ) là một đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn

0 và f x ( ) không bất khả quy trong  x thì f x ( ) không bất khả quy

Ta kí hiệu các hệ số của đa thức tích g x h x ( ) ( ) là e i theo tính chất

1 thì g x h x ( ) ( ) là nguyên bản cho nên e i không có ước nào khác ngoài

2.2.3.2 Một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức

a Điều kiện để đa thức bậc hai, bậc ba bất khả quy

Điều kiện để đa thức bậc hai, bậc ba bất khả quy trên khi và chỉ khi chúng không có nghiệm hữu tỉ

b Tiêu chuẩn Eisenstein

0 n 1 n n

P x a x a x   a là một đa thức hệ số nguyên,

và giả sử có một số nguyên tố p sao cho p không chia hết hệ số cao

nhất a0 nhưng p chia hết các hệ số còn lại và 2

Thật vậy, áp dụng tiêu chuẩn Eisentein với p  3, ta có 3 chia hết 12; 42; 18; 6 và 32 không là ước của 12

Thật vậy áp dụng tiêu chuẩn Eisentien với p ta suy ra đa thức trên

là đa thức bất khả quy trong  x

Ví dụ 3 Xét tính bất khả quy của đa thức

n   ta có

3 2 3

Vậy với n  0 thì f x  bất khả quy trên

Ví dụ 4 Cho p là số nguyên tố Chứng minh rằng đa thức

= p 1 p 2 p 1 p 2 p 1

C  C  y C  y   y 

= g y ( )Nhận xét rằng với 1  k p 1 thì C p k là số nguyên và chia hết cho

p, còn C p p1 không chia hết cho p2 Vậy theo tiêu chuẩn Eisentein thì ( )

g y bất khả quy trên  y , suy ra f x( ) bất khả quy trên  x

Thật vậy, ngược lại giả sử f x ( ) khả quy trên  y Ta có

     

f x  p x q x với p x q x( ), ( )  x Suy ra f y  1 p y 1 q y 1 g y 

Suy ra g y ( ) khả quy trên  y (mâu thuẫn) Vậy f x  bất khả quy trên  x

Bài 3 Tìm điều kiện cần và đủ để 4 2

Định lý 1 Cho ( ) 0 n 1  .

P x a x  a x  a x Giả sử tồn tại một

số nguyên tố p thỏa mãn những điều kiện sau:

1) a0 không chia hết cho p

0

a của P x  cũng chia hết cho p

Ta giả sử P x  phân tích được thành tích nhiều hơn s thừa số,

nghĩa là

1( ) ( ) ( )t

chia hết cho p Thật vậy, khẳng định đầu tiên suy ra từ a n chia hết cho

p vì a n là tích của những số hạng tự do của đa thức P x i( )

Bây giờ ta đi chứng minh khẳng định thứ hai, giả sử tất cả những số hạng tự do của đa thức P x i( ) chia hết cho p Nhưng khi đó a n chia hết cho t

p điều này trái với giả thiết rằng s t và a n không chia hết cho 1

s

p

Ta kí hiệu G x  là tích của đa thức số hạng P x i( )có hệ số tự do chia hết cho p, còn H x  là tích của những số hạng còn lại Theo giả thiết ban đầu G x  và H x  không phải là những hằng số Theo định

nghĩa của G x  và H x  suy ra từ số hạng tự do của G x  chia hết cho

p, còn số hạng tự do của H x  không chia hết cho p

Khi đó, ta nhận được tất cả hệ số của G x  chia hết cho p và từ đó

ta có a0 chia hết cho p Ta nhận được điều vô lý với điều kiện 1, suy ra

điều giả sử t s là sai

Nhận xét Với s  1 ta nhận được tiêu chuẩn Eisentein

0 n 1 n n

P x a x a x    a x và k là một số tự nhiên sao cho 0    k n 1.Giả sử tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện sau:

1) a0 không chia hết cho p

Chứng minh

Nếu P x  không phân tích được thì định lý đã được chứng minh

Giả sử P x  phân tích được và giả sử P x  là tích của những thừa

số không phân tích được ( ít nhất là hai) với hệ số nguyên, giả sử

vì nếu giả sử c m chia hết cho p ta sẽ nhận được a n b c l m chia hết cho

2

n

a trái với giả thiết

Cũng như trên b0 không chia hết cho p, vì theo giả thiết a0 b c0 0

không chia hết cho p Ta kí hiệu i là chỉ số cuối cùng trong dãy

0;1; ; n sao cho b i không chia hết cho p, nhưng b i1,b i2, ,b l chia hết cho p Ta xét hệ số a m i của P x  ta có

1 1

m i i m i m

Trong đẳng thức sau cùng tất cả các hệ số bên phải đều chia hết cho

p, chỉ riêng số hạng đầu b c i m không chia hết cho p, từ đây suy ra a m i

không chia hết cho p Nhưng theo điều kiện 2) của định lý thì chỉ có khả năng với m i k   hoặc là m i k    0

Nhưng khi đó l l       m i k ( l m )        i k n i k n k

Ta suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét Với k  0 ta có tiêu chuẩn Eisenstein

Ta thấy đa thức f x( ) có a0 không chia hết cho 3, a16,a2 12

chia hết cho 3, a3 9 chia hết cho 32 nhưng không chia hết cho 33

Áp dụng tiêu chuẩn Eisentein mở rộng thì f x( ) không phân tích

được thành nhiều hơn hai thừa số khác hằng số Giả sử f x( ) phân tích

được thành hai thừa số khác hằng số Khi đó f x( ) được phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc hai

2

f x  xa x bxc Khi đó a sẽ là ước của 9, như vậy a    1; 3; 9 Thay các giá trị của

a vào f x( ) đẳng thức không xảy ra Vậy đa thức f x( ) không thể phân tích thành hai thừa số khác hằng số Vậy đa thức đã cho bất khả quy

Ví dụ 2 Dùng tiêu chuẩn Eisentein mở rộng chứng minh đa thức sau là

bất khả quy

1( ) n 29 n 2009

f x x  x  với n  , n  2

Lời giải

Sử dụng tiêu chuẩn Eisentein mở rộng ta thấy

1( ) n 29 n 2009

f x x  x   có a01, a129,a2   a n2 0, a n 2009 Xét số nguyên tố p  41 thì theo tiêu chuẩn Eisentein mở rộng, nếu

( )

f x khả quy thì nó là tích của hai đa thức bậc một và bậc n  1 Thật