xa xa xa bất khả quy.
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị n sao cho tồn tại n số nguyên phân biệt để đa thức
1 2
(xa)(xa )...(xan) 1 bất khả quy.
Bài 3. Cho P x( ) x , deg ( )P x n với n8. Giả sử tồn tại k số nguyên khác nhau a a1, 2,...,an, ở đây
2
n
k , sao cho P a( )k 1. Chứng minh đa thức không phân tích được.
CHƢƠNG 3
ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY VÀ SỐ NGUYÊN TỐ
3.1. Sự tƣơng tự giữa đa thức bất khả quy và số nguyên tố 3.1.1. Định nghĩa
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, không có ước nào khác ngoài 1 và chính nó.
Đa thức bất khả quy trên miền nguyên A là đa thức khác không, khác khả nghịch và không có ước thực sự ( khi đó ta cũng nói đa thức này là đa thức không phân tích được trên miền nguyên A).
3.1.2. So sánh về ƣớc
- Số nguyên tố p chỉ có ước không thực sự là ±1 và p.
- Đa thức bất khả quy không có ước thực sự. Nếu P x( ) là đa thức
bất khả quy của A x ,A là trường thì P x( ) chỉ có các ước là *
A và ( ) P x . 3.1.3. Tính chất
Đa thức bất khả quy và số nguyên tố có một vài tính chất tương tự nhau.
Tính chất 1. Cho P x( ) là đa thức bất khả quy trên miền nguyên A và
( )
Q x A x , khi đó Q x( ) chia hết cho P x( ) hoặc P x( ) và Q x( )
nguyên tố cùng nhau.
Đối với số nguyên tố ta có tính chất sau: Cho p là số nguyên tố, q
là số nguyên bất kì. Khi đó q chia hết cho p hoặc p và q nguyên tố cùng nhau.
Tính chất 2. Cho A là miền nguyên, P x( )A x là đa thức bất khả quy và Q x1( ),...,Q xn( )A x là đa thức có hệ tử bất kì trên miền nguyên A.
Nếu tích Q x1( )...Q xn( ) chia hết cho P x( ) thì tồn tại i1,...,n để ( ) ( )
i
Q x P x .
Phát biểu tương tự như đa thức bất khả quy.
Đối với số nguyên tố ta có tính chất sau. Cho p là số nguyên tố và 1,..., n (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a a là các số nguyên. Khi đó nếu các số a1,...,an chia hết cho p thì
tồn tại i để a pi với i1,...,n.
Tính chất 3. Cho A là miền nguyên. Nếu đa thức bất khả quy
( )
P x A x chia hết tích nhiều đa thức bất khả quy trên miền nguyên A
thì nó phải trùng với một trong các đa thức bất khả quy đó.
Tương tự đối với số nguyên tố. Nếu p là số nguyên tố chia hết tích của nhiều số nguyên tố thì nó phải trùng với một trong các số nguyên tố đó.
Tính chất 4. Một đa thức không phải là hằng số có hệ tử trong miền nguyên A biểu diễn như tích của những thừa số không phân tích được trên A. Sự biểu diễn này là duy nhất theo những thừa số mà chúng chỉ khác nhau theo hệ tử khác không trên A nếu không kể đến thứ tự của các đa thức bất khả quy.
Định lý cơ bản về số học phát biểu như sau. Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa số.
3.2. Mối quan hệ giữa đa thức bất khả quy và số nguyên tố
Euclid đã chứng minh được rằng tập số nguyên tố là vô hạn. Xét đa thức P x( ) x với x là những số nguyên, thì theo định lý Euclid chỉ ra
có vô hạn số nguyên tố trong tập giá trị của đa thức P x( ). Nếu xét một đa thức bất kì thì liệu rằng đa thức đó có chứa vô số số nguyên tố không. Trong quá trình nghiên cứu, người ta đưa ra được các kết quả sau:
)
i Nếu tất cả các hệ số của P x( ) chia hết cho một số d 1 thì tất cả giá trị của P x( ) chia hết cho d , khi đó tập giá trị của P x( ) không có số nguyên tố nào.
)
ii Nếu P x( )G x H x( ) ( ) thì giá trị của P x( ) không chứa số nguyên tố nào.
Từ những số nguyên tố ta xây dựng được đa thức bất khả quy. Cụ thể cho số nguyên b2, mọi số tự nhiên a bất kì đều được biểu diễn dưới dạng
1
0 n 1 n ... , 0, 0 0, 0 , 1,2,...,
n i
aa b a b a n a a b i n
Cho a p với p là số nguyên tố, bằng cách biểu diễn cơ số b như trên, ta thay b bởi x sẽ tạo ra một đa thức bất khả quy. Ta chú ý thêm rằng
b p, vì nếu b p, P x( ) sẽ là hằng số an và trong trường hợp này an là
số nguyên tố.
Ví dụ. 3 2
1999 1.10 9.10 9.10 9
Thay 10 bởi x trong phân tích trên ta được đa thức
3 2
( ) 9 9 9
p x x x x là đa thức bất khả quy. Tương tự ta phân tích 4 3 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
19996 3.6 6 3.6 1 . Ta thay 6 bởi
x ta được đa thức bất khả quy sau 4 3 2
( ) 3 3 1
P x x x x x .
Do trường hợp b2 rất phức tạp nên trong các trường hợp còn lại ta chỉ xét b2.
Tiêu chuẩn Peron thể hiện rõ mối liên hệ giữa đa thức bất khả quy và số nguyên tố.
Định lý. Cho b3 là số nguyên và p là số nguyên tố. Ta viết trong hệ số cơ số b, nghĩa là có dạng 1
0 n 1 n ...
n
pa b a b a ở đây n là số tự nhiên, a0 0, 0 ai b i, 0,n và ta xét đa thức
1
0 1
( ) n n ...
n
P x a x a x a . Khi đó đa thức P x( ) không phân tích được với p b (vì với pb đa thức là một hằng số).
Chứng minh
Ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn Peron của định lý trước để chứng minh. Hiển nhiên P b( ) p và P b( 1) 0 vì b 1 1 nên tất cả các hệ số ai
lớn hơn hoặc bằng không và ít nhất một trong số chúng là số dương. Ta chỉ cần chứng minh mọi nghiệm của P x( ) thỏa mãn bất đẳng thức
1 2
b
( trong đó số kí hiệu phần thực của một số phức , còn
r
với r là một số thực nào đó, nghĩa là nằm bên trái đường thẳng đi qua điểm có hoành độ r và song song với trục tung).
Ta có thể cho rằng 0, vì với 0 bất đẳng thức
1 2
b
là hiển nhiên đúng. Ta kí hiệu rlà modun của , tức là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
r
. Ta có thể giả thiết r1, bởi vì trong trường hợp ngược lại nếu
1 r từ bất đẳng thức, hiển nhiên 1 1 2 r b suy ra 1 2 b vì b ≥ 2 và hiển nhiên đúng.
Rõ ràng là với những điều ở trên thì 0 và suy ra từ đẳng thức ( ) 0
P , ta có thể chia hai vế cho n và nhận được
1 2 0 2 ... n 0 n a a a a Từ đây ta có 1 2 0 2 ... n n a a a a