Luận văn thạc sĩ Gía trị nguyên tố của đa thức bất khả quy

44 584 1
Luận văn thạc sĩ Gía trị nguyên tố của đa thức bất khả quy

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LINH GIÁ TRỊ NGUYÊN TỐ CỦA ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LINH GIÁ TRỊ NGUYÊN TỐ CỦA ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC : PGS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên - 2014 Q R C C R [...]... phân tích bằng quy nạp theo bậc của đa thức Giả sử f (x) F [x] là đa thức dạng chuẩn bậc d > 0 Nếu d = 1 thì f (x) bất khả quy nên sự phân tích bất khả quy của f (x) là f (x) = f (x), kết quả đúng cho trường hợp d = 1 Cho d > 1 và giả sử kết quả đã đúng cho các đa thức bậc nhỏ hơn có sự phân tích bất khả quy là bất khả quy Khi đó Đặt g (x) = a1 g(x) k cao nhất của d Nếu f (x) bất khả quy thì f (x)... dựng đa thức bất khả quy từ số nguyên tố Từ các số nguyên tố, áp dụng tiêu chuẩn Eidenstein, chúng ta có thể xây dựng các đa thức với hệ số nguyên bất khả quy trên là số nguyên tố thì với mọi số tự nhiên n+1 số nguyên ta luôn có đa thức f (x) = an xn + an1 pxn1 + + a1 px + a0 p Z[x] là bất khả quy trên trong đó a0 , an và mọi bộ p p, bất kì a0 , , an , n>0 Chẳng hạn, nếu Q không là bội của Q... toán lớn của Lí thuyết số chưa được giải quy t khi bậc của f (x) lớn hơn 1 Mục đích của chương này là trình bày lại các kết quả trong bài báo "Prime numbers and irreducible polynomials" của M Ram Murty [Mu] về mối liên hệ giữa tính bất khả quy trên Q và giá trị nguyên tố của đa thức với hệ số nguyên 29 30 3.1 Từ giá trị nguyên tố suy ra tính bất khả quy Trước hết, chúng ta chỉ ra rằng nếu một đa thức với... là đa thức bậc nhất (ii) Điều kiện đủ Rõ ràng các đa thức bậc nhất và các đa thức bậc hai không có nghiệm thực là các đa thức bất khả quy trên R 28 Điều kiện cần Giả sử f (x) là đa thức bất khả quy trên R Khi đó f (x) có bậc dương Theo Định lí cơ bản của Đại số, tồn tại một nghiệm phức của f (x) Nếu R thì f (x) chia hết cho x , do f (x) bất khả quy nên f (x) = k(x ), k R , vậy f (x) là đa thức. .. p là số nguyên tố nên Cp là bội của p với mọi k!(p k)! p1 k = 1, , p 1 Hơn nữa Cp = p không là bội của p2 Vì thế h(x) là bất h(x) = khả quy trên Q theo tiêu chuẩn Eidenstein Suy ra f (x) là bất khả quy trên Q Trong phần cuối của tiết này, chúng ta trình bày một phương pháp xét tính bất khả quy trên Q của đa thức bằng cách chọn một số nguyên tố p phù hợp rồi 17 rút gọn các hệ số của đa thức theo... d) = (4, 4) bất khả quy trong Z5 thì Vì deg f (x) = 4 = degf (x) nên theo Mệnh đề 1.2.9 đa thức f (x) bất khả quy trên Q Chương 2 Trường phân rã của đa thức và tính bất khả quy trên R và C Trong suốt chương này luôn giả thiết F là một trường Dựa vào tính chất bất khả quy, chúng ta chỉ ra rằng với mỗi đa thức trường E tối thiểu chứa trường F f (x) F [x], tồn tại một f (x) E và các nghiệm của thế được... nguyên tố nếu và chỉ nếu mọi số tự nhiên p|ab kéo theo p|a p|b hoặc với a, b Mệnh đề sau đây là điều tương tự cho đa thức bất khả Cho p(x) F [x] quy 1.1.7 Mệnh đề bất khả quy trên p(x)|b(x) F với mọi p(x) là đa thức có bậc dương Khi đó nếu và chỉ nếu p(x)|a(x)b(x) a(x), b(x) F [x] kéo theo p(x)|a(x) là hoặc Đặc biệt, một đa thức bất khả quy là ước của một tích hữu hạn đa thức thì nó phải là ước của. .. tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc thấp hơn Để chứng minh định lí trên, chúng ta cần nhắc lại khái niệm đa thức nguyên bản và một số tính chất của đa thức nguyên bản 1.2.4 Định nghĩa Đa thức f (x) Z[x] cchung lớn nhất của các hệ số của 1.2.5 Bổ đề được gọi là nguyên bản nếu ước f (x) là 1 Tích của hai đa thức nguyên bản là đa thức nguyên bản Chứng minh Giả sử f (x) = g(x)h(x),... n là nghiệm của đa thức có vô hạn nghiệm Điều này là vô lí vì bậc dương bằng nhau và số nghiệm của g(x) a g(x) a, g(x) và tức là đa g(x) a có không vượt quá bậc của g(x) a Vậy f (x) là đa thức bất khả quy trên trường Q các số hữu tỷ Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng nếu có một số tự nhiên cho giá trị n đủ lớn sao f (n) của đa thức f (x) Z[x] là số nguyên tố thì f (x) là bất khả quy trên trường... vế của (3.2) cho ||m (3.2) ta được || 1 < H Từ đó ta có || < H + 1 Bây giờ chúng ta đưa ra tiêu chuẩn bất khả quy trên Q dựa theo giá trị nguyên tố của đa thức 3.1.3 Định lý m > 0 cho Đặt f (n) Cho H = max |ai /am | 0 i m1 là số nguyên tố thì Chứng minh Nếu trong đó f (x) = am xm + + a1 x + a0 Z[x] là đa thức có bậc f (x) Nếu tồn tại số tự nhiên n H +2 sao f (x) là đa thức bất khả quy trên Q khả . ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LINH GIÁ TRỊ NGUYÊN TỐ CỦA ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC . Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LINH GIÁ TRỊ NGUYÊN TỐ CỦA ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY Chuyên ngành:. PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC : PGS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên - 2014 Q R C C R

Ngày đăng: 08/06/2015, 11:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan