Đa thức bất khả quy

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC ! ! Bạn muốn đọc nhanh thông tin cần thiết ? Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào đề mục để đọc toàn dòng bị che khuất ) ! Chọn đề mục muốn đọc nháy chuột vào ! ! Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ trang báo cáo hình ? Chọn, nháy chuột vào kích th thưước có sẵn Menu , ! Mở View Menu, Chọn Zoom to ! Chọn tỷ lệ có sẵn hộp kích th thưước muốn,, Nhấn OK tự điền tỷ lệ theo ý muốn Chúc bạn hài lòng với thông tin đđưược cung cấp a thc bt kh quy A PHN M U Lý chn ti Lý thuyt vnh v trng l mng kin thc quan trng dnh cho sinh viờn chuyờn ngnh Toỏn õy l mụn hc rt hay, thỳ v, kớch thớch c lũng say mờ hc v nghiờn cu Toỏn hc ca sinh viờn Nhng thi gian trờn lp cú hn nờn sinh viờn khụng th tỡm hiu ht cỏc cú liờn quan n mụn hc Do vy, c s hng dn ca giỏo viờn hng dn cựng vi lũng say mờ tỡm hiu v a thc bt kh quy vi nhng tớnh cht thỳ v nờn em ó quyt nh chn ti a thc bt kh quy thc hin tt khúa lun tt nghip ca mỡnh Mc ớch nghiờn cu - Nhm cng c, tng hp v nõng cao kin thc ó hc, tn dng v bit dng cỏc phng phỏp nghiờn cu khoa hc - Rốn luyn kh nng tip cn, tỡm hiu v nghiờn cu mt cũn khỏ mi i vi bn thõn Hỡnh thnh kh nng trỡnh by mt Toỏn hc tru tng mt cỏch logic v cú h thng - Tỡm c lp cỏc a thc bt kh quy trờn trng cú c s - Ch c cỏc tớnh cht ca a thc bt kh quy trờn trng hu hn i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu : Trỡnh by cỏc tớnh cht ca a thc bt kh quy trờn trng cú c s 0, trỡnh by cỏc tớnh cht ca a thc bt kh quy trờn trng hu hn Phm vi nghiờn cu: Tỡm c lp cỏc a thc bt kh quy trờn trng cú c s 0, trỡnh by cỏc tớnh cht ca a thc bt kh quy trờn trng hu hn Phng phỏp nghiờn cu - Phng phỏp nghiờn cu lớ lun: c ti liu liờn quan n ni dung ti c th: sỏch i s i cng, Lý thuyt vnh v trng, Lý thuyt Galois, - Phng phỏp tng kt kinh nghim: Tng kt kinh nghim ca bn thõn, cỏc bn hc xung quanh tng hp v h thng cỏc kin thc nghiờn cu y v khoa hc kt hp a cỏc bi c th hiu rừ sõu hn - Phng phỏp ly ý kin chuyờn gia: Ly ý kin ca ging viờn hon thnh v mt ni dung cng nh hỡnh thc ca ti nghiờn cu GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy B PHN NI DUNG CHNG I KIN THC C S I MT S KIN THC V NHểM Nhúm 1.1 nh ngha: Mt hp G c gi l mt nhúm nu tn ti mt ỏnh x t tớch Descartes G G vo G : f :GG G (a, b) ab thừa cỏc tớnh cht sau õy: (i) Kt hp: a(bc) = (ab)c, a, b, c G (ii) Cú n v: Tn ti mt phn t e G cho ae ea a, a G (iii) Cú nghch o: vi mi phn t a G luụn tn ti mt phn t b G cho ab ba e (iv) Giao hoỏn: ab ba, a, b G , thỡ nhúm X c gi l nhúm Abel Nhúm Abel nhiu cũn c gi l nhúm giao hoỏn 1.2 Tớnh cht (i) Phn t n v e ca G c xỏc nh l nht (ii) Mi phn t a ca G ch cú nht mt phn t nghch o a , hn na e1 e, a a, ab b1a 1 (iii) (Lut gin c) Cho a, b, x l nhng phn t tựy ý ca G T cỏc ng thc xa xb hoc ax bx u suy a b (iv) Trong G cỏc phng trỡnh xa b v ax b cú nghim nht n (v) Cho a X , ta xỏc nh a e, a n a a (n phn t) v a n a Khi ú ta c a n a m a nm , a n a nm m Hn na, nu G l Abel thỡ abn anbn , a, b G Nhúm 2.1 nh ngha: Cho G l nhúm, H l khỏc rng ca G Khi ú H l nhúm ca G nu H vi phộp toỏn cm sinh ca phộp toỏn G l nhúm Khi H l nhúm ca G ta ký hiu H G GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy 2.2 Tớnh cht (i) Cho H l khỏc rng ca G Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: H G xy H x, y H : x H x, y H : xy H (ii) Cho G l nhúm, H G v F H thỡ F G Nhúm hu hn sinh 3.1 nh ngha Cho G l mt nhúm v X G (i) Nhúm nh nht ca G cha X c goi l nhúm sinh bi X kớ hiu l X (ii) Nu H G v H X thỡ ta núi rng H sinh bi X hay X l h sinh ca H c bit nu H = G thỡ ta núi rng G l mt nhúm sinh bi X (iii) Nu G l mt h sinh hu hn no ú thỡ ta núi G l nhúm hu hn sinh c bit, nu G cú h sinh gm mt phn t thỡ G c gi l nhúm xyclic (iv) Nu X x1, x2 , , xn thỡ X c vit li l x1, x2 , , xn 3.2 Tớnh cht (i) Cho G l mt nhúm v X G Khi ú: Nu X thỡ X e Nu X thỡ X x1, x2 , , xn , n N , x1 X (ii) Nu G l nhúm xyclic sinh bi a thỡ G a n | n Z Cp ca nhúm cp ca phn t 4.1 nh ngha Cho G l nhúm (i) Cp ca G chớnh l lc lng ca G v kớ hiu l G (ii) Cp ca phn t a G l cp ca a v kớ hiu l a 4.2 Tớnh cht (i) Cho G l nhúm, a G Khi ú: a cú cp hu hn v ch m, n N , m n cho am an Nu a cú cp hu hn l d thỡ a e, a, a , , a d GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy Nu a cú cp hu hn l d thỡ d l s nguyờn dng nh nht cho a d e Nu tn ti n cho an e v ch d | n (ii) Cho G l nhúm, a G v a n Khi ú a m n m, n (iii) Cho G l nhúm xyclic cp n v G a Khi ú G a k v ch gcd k , n (iv) Mi nhúm cp nguyờn t u l nhúm xyclic (v) Cho G l nhúm xyclic Khi ú, nu H G thỡ H l nhúm xyclic ca nhúm G II MT S KIN THC VNH V TRNG Vnh : Vnh l mt hp R cựng vi hai phộp toỏn cng v nhõn tha cỏc tớnh cht sau: R1 , R, l nhúm Abel; R2 , R,. l na nhúm; R3 Phộp nhõn phõn phi i vi phộp cng, ngha l vi mi x, y, z R , ta cú x y z xy xz y z x yx zx Phn t trung hũa ca phộp cng c gi l phn t khụng, ký hiu l 0; phn t i xng ca phn t x R l phn t i ca x ký hiu l x Nu phộp nhõn giao hoỏn thỡ ta núi rng vnh R giao hoỏn; nu phộp nhõn cú phn t n v thỡ vnh R c gi l vnh n v Phn t n v c ký hiu l e hay Vnh 2.1 nh ngha Cho R l mt vnh Tp A khỏc rng ca R c gi l mt vnh ca R nu A n nh i vi hai phộp toỏn tronh vnh R v A cựng vi hai phộp toỏn cm sinh l mt vnh 2.2 nh lý (c trng ca vnh con) Cho A l mt khỏc rng ca vnh R Cỏc mnh sau õy l tng ng: (i) A l mt vnh ca R (ii) Vi mi x, y A, x y A, xy A, x A; (iii) Vi mi x, y A, x y A, xy A GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy Trng: Trng l mt vnh giao hoỏn, cú n v, nhiu hn mt phn t v mi phn t khỏc khụng u kh nghch Trng 4.1 nh ngha (i) Gi s X l trng, A khỏc rng ca X c gi l trng ca X nu A n nh vi hai phộp toỏn X v A cựng vi hai phộp toỏn cm sinh l mt trng (ii) Trng P ca F c gi l trng nguyờn t nu tha cỏc iu kin sau: P khụng cha trng no ca F khỏc P Mi trng ca F u cha P Khi F = P thỡ F c gi l trng nguyờn t 4.2 Tớnh cht (i) Gi s A l mt cú nhiu hn mt phn t ca trng X Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: A l trng ca X x, y A, x y A, xy A, x A, x A nu x x, y A, x y A, xy A nu y (ii) Gi s X l vnh giao hoỏn, cú n v, cú nhiu hn mt phn t Khi ú cỏc khng nh sau l tng ng: X l trng X khụng cú ideal no ngoi X v {0} Mi ng cu vnh khỏc ng cu khụng t vnh X n vnh bt k u l n cu (iii) Gi s X l vnh giao hoỏn, cú n v, ideal M ca X l ideal ti i v ch X M l mt trng ng cu vnh 5.1 nh ngha (i) Gi s X v Y l cỏc vnh nh x f : X Y c gi l ng cu vnh nu tha hai iu kin sau: GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy f ( x y ) f ( x) f ( y ) vi mi x, y X f ( xy ) f ( x) f ( y ) Nu X = Y thỡ ng cu f : X Y c gi l t ng cu ca X (ii) Cho ng cu vnh f : X Y Khi ú: f l n cu nu ỏnh x f l n ỏnh f l ton cu nu ỏnh x f l ton ỏnh f l song ỏnh nu ỏnh x f l song ỏnh 5.2 Tớnh cht (i) Tớch ca hai ng cu l ng cu (ii) Gi s f : X Y l mt ng cu vnh Khi ú: f l mt ton cu v ch Imf = Y f l mt n cu v ch Kerf = {0} c s ca vnh 6.1 nh ngha Gi s X l vnh Nu tn ti s nguyờn dng nh nht n cho na 0, a X thỡ ta núi vnh X cú c s n Nu khụng tn ti n nh vy thỡ ta núi vnh X cú c s c s ca vnh X c ký hiu l CharX Nu X l mt trng thỡ ta hiu c s ca trng X l c s ca vnh X 6.2 Tớnh cht (i) Gi s X l vnh cú n v l v cú c s n > Khi ú: n l s nguyờn dng nh nht cho n.1 = Nu X khụng cú c ca khụng (núi riờng X l nguyờn, X l trng) thỡ n l s nguyờn t (ii) Nu CharX = p l mt s nguyờn t thỡ: a b p a p b p a b p a p b p (iii) Cho F l mt trng v P l mt trng nguyờn t ca nú Nu: F cú c s thỡ P ng cu vi Q F cú c s nguyờn t p thỡ P ng cu vi Z p III A THC TRấN MT TRNG Cho K l mt trng, K[x] l vnh a thc GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy nh ngha a thc: Gi s f ( x) an x n an1 x n1 ao K x , an Khi ú ta núi f(x) cú bc n, kớ hiu : deg f(x) = n an c gi l h t cao nht , a0 c gi l hng t t do, i 0, n c gi l h t , cỏc xi i 0, n c gi l hng t ca a thc Nghim ca a thc : 2.1 nh ngha: Gi s c l mt phn t tựy ý ca vnh K, f ( x) an xn an1xn1 ao l mt a thc tựy ý ca K[x], phn t : f (c) anc n an1c n1 ao K x cú c bng cỏch thay x bi c c gi l giỏ tr ca f(x) ti c Nu f(x) = thỡ c gi l nghim ca f(x) +) Gi s K l mt trng , c K , f(x) K x , m l mt s t nhiờn ln hn 1, c l nghim bi cp m nu v ch nu f ( x) ( x c)m v f(x) khụng chia ht ( x c)m1 2.2 nh lý v phộp chia cú d: Gi s f(x), g(x) K x l hai a thc vi h t trng K, f(x) Khi ú, tn ti nht hai a thc f(x), g(x) K x cho : f ( x) g ( x).q( x) r ( x) Trong ú r(x) = hoc r(x) thỡ deg r(x) < deg g(x) phn t c K l mt nghim ca a thc f(x) K x v ch f ( x) ( x c) K[x] Ngha l f(x) = ( x c ).q(x), q(x) K x IV NH NGHA V TNH CHT CA A THC BT KH QUY nh ngha: Mt a thc f(x) K x , cú bc 1, gi l bt kh quy K x nu f(x) khụng cú c thc s, ngha l khụng tn ti hai a thc g(x), h(x) K x , cú bc cho : f(x) = g(x).h(x) Tớnh cht: M nh lý 4.2.1: Cho f(x) l a thc bt kh quy trờn K, f(x) l bt kh quy v ch c nht ca nú vi mi h s K cú dng v f ( x) , 0, K GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy nh lý 4.2.2: Nu f(x) l mt a thc bt kh quy trờn K x , g(x) l mt a thc bt kỡ trờn K x thỡ hoc l g ( x) f ( x) hoc l g ( x), f ( x) hng s Chng minh: Cho d x gcd f x , g ( x) T thut toỏn Euclid suy f(x) v g(x) cú h s K thỡ nhng h s ca d(x) cng thuc K Nhng vỡ f(x) bt kh quy trờn K, thỡ theo nh lý 2.2.1 d ( x) f ( x) hoc f d ( x) , K Suy iu phi chng minh nh lý 4.2.3: a thc f(x) l bt kh quy trờn K v ch f(x) l nguyờn t trờn K, ngha l : g ( x), h( x) K[ x], f ( x) | g ( x).h( x) f ( x) | g ( x) hoc f ( x) | h( x) Chỳ ý: Trong vnh a thc K x , ta cú : - Mi a thc bc nht l bt kh quy - Mi a thc bc 2, bc khụng cú nghim K l bt kh quy - Mi a thc bt kh quy bc khụng cú nghim K nh lý 4.2.4: ( nh lý v s nhõn t húa ) Trong vnh K[x], mi a thc cú bc , phõn tớch c thnh tớch ca nhng a thc bt kh quy S phõn tớch ny l nht theo nhng tha s m chỳng ch khỏc nhng hng s khỏc thuc K Tc l: Nu f(x) = f1(x)fr(x) = g1(x)gs(x) l hai biu din tớch ca nhng nhõn t bt kh quy trờn K thỡ r = s v f i(x) = i gki ( x),0 i K v k1,,kr l th t s cỏc s 1, r Chng minh: Cho f(x) l a thc khỏc hng s vi nhng h s K v cho n deg f ( x) Nu n = 1, thỡ f ( x) a0 x a1 bt kh quy v ta cú th cho rng nú biu din nh tớch ca mt tha s bt kh quy Cho n l mt s t nhiờn bt kỡ v gi s mi a thc bc nh hn n cú th biu din tớch ca nhng a thc bt kh quy trờn K Nu cho a thc f(x) bt kh quy trờn K, thỡ ta cú th cho rng nú biu din nh tớch ca mt tha s bt kh quy Nu ngc li nú phõn tớch c, nú biu din di dng f x g x r x , õy g ( x) v r ( x) l nhng a thc cú h s K v deg f ( x) n v deg r ( x) n Nhng ú theo gi thuyt quy np f(x) v r(x) biu din nh tớch ca nhng tha s bt kh quy trờn GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy K Suy iu ny cng ỳng vi f(x), ngha l mi a thc vi nhng h s thuc hp K biu din nh tớch ca nhng tha s bt kh quy trờn K Ta ch cũn chng minh tớnh nht ca biu din trờn Cho f ( x) f1 x f x f r x g1 x g2 x g s x õy f j x v g j x l nhng a thc khụng phõn tớch c trờn K Theo nh lý 2.2.3 ớt nht mt nhng a thc bt kh quy g j x chia ht cho f1 x l bt kh quy thỡ f1 x a1 g k1 x , õy a1 K Khi ú: f x f3 x f r x a1g1 x g k1 x g k1 x g s x Khụng mt tớnh tng quỏt ta gi thit r s Ngha l tip tc theo phng phỏp trờn, sau r bc ta nhn c: f1 x a1 g k1 x , f x a2 g k2 x , f r x ar g kr x D thy gia nhng a thc g k1 x , g k2 x , , g kr x s l tt c nhng a thc g1 x , g2 x , , g s x ngha l r = s v k1, k2 , , kr l th t no ú cỏc s 1, 2, , r iu ú phi nh vy vỡ trng hp ngc li ta s nhn c ng thc gia a thc bc khụng v a thc bc khỏc khụng V TRNG PHN R CA A THC : nh ngha: i) Cho K l trng v f(x) l a thc bc n trờn K Khi ú, trng E cha trng K nh trng con, c gi l trng phõn ró ca a thc f(x) trờn K nu f(x) cú ỳng n nghim ( k c nghim bi ) E v E l trng ti thiu ( theo quan h bao hm ) cha K v cỏc nghim ca f(x) ii) Cho a thc f ( x) an x n an1 x n1 ao K x , an ta gi a thc sau l o hm ca f(x): f '( x) nan xn1 2a2 x a1 Tớnh cht: Cho trng K v mt a thc f ( x) K[ x] bc n Khi ú, f(x) cú nghim bi v ch trng phõn ró ca f(x) cỏc a thc f(x) v f(x) cú mt nghim chung Tht võy: GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy Gi s Fq l trng hu hn v Fq F2 , Khi ú, mi phn t thuc Fq u l nghim ca phng trỡnh xq x Vỡ Fq F2 nờn theo Viet ta cú a aFq Mnh 4.4.7 Chng minh rng v l phn t nguyờn thy ca F7 nhng khụng phi Tỡm x, y 1,2,3,4,5,6 cho 3x y F7 Chngminh: Ta cú: F7* 2.3 Xột a thc x , d thy a1 khụng l nghim ca x2 t b1 22 Xột x3 , ta cú a2 khụng l nghim ca a thc x3 t b2 33 v t b b1b2 22.33 , ú b 2.3 F7* , suy b l phn t sinh ca F7* Vy b =3 l phn t nguyờn thy ca F7 Ta cú s phn t nguyờn thy ca F7 l 3k l phn t nguyờn thy F7 v ch gcd k ,6 , suy k (ly k ) M 35 nờn l phn t nguyờn thy ca F7 Do 3, nờn khụng l phn t nguyờn thy ca F7 * Tỡm x, y 1,2,3,4,5,6 cho 3x y F7 Ta cú: 31 51 32 52 33 53 34 v 54 35 55 36 56 Suy ra, 32 54 Vy ta tỡm c x 2, y Mnh 4.4.8 Tỡm cp ca F13 Chng minh: Ta cú: F13* 12 22.3 Xột a thc x6 1, thy a1 khụng l nghim ca x6 t b1 23 GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 35 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy Xột a thc x ,thy a2 khụng l nghim ca x t b2 34 * t b bb 8.3 11 suy b , nờn 11 l phn t sinh ca F13 Vỡ F13* suy 11n vi n Z , ú 11n 12 gcd 4,12 nh lý 4.4.9 (nh lý Wilson) Chng minh rng p 1! 1mod p nu v ch nu p l mt s nguyờn t Chng minh: Do p l mt s nguyờn t nờn Z *p l nhúm xyclic cp p suy a p 1, a Z *p hay a thc x p1 nghim Z *p Do ú x p x x x p , thay x = ta c p 1! Vy p 1! mod p Gi s p 1! mod p Ta cn chng minh p l s nguyờn t Tht vy, nu p l hp s ú tn ti a, b 2,3, , p cho p ab tc l ab mod p Do ú p 1! 1.2.3 p mod p (trỏi gi thit) Vy p l s nguyờn t Mnh 4.4.10 Chng minh rng nu nhúm nhõn F * ca trng F l xyclic thỡ F hu hn Chng minh: Gi s , xột a k F * Trng hp CharF , nu k = suy a0 (vụ lý) Do ú k , vỡ ak nờn a k suy a kộo theo F * hu hn ú F hu hn Trng hp CharF , nu a = thỡ F F2 nờn F hu hn Nu a , ta xột a ak F * kộo theo a k a Nu k = thỡ a = (vụ lý) nờn k , suy a a k kộo theo a k Khi ú tn ti m Z * cho a k a m suy am1 ú a nờn F * hu hn Vy F hu hn GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 36 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy Mnh 4.4.11 Cho q l ly tha ca mt s nguyờn t v r l mt c nguyờn t ca q Cho a Fq* v ord a m Fq* Khi ú, r | q / m nu v ch nu a Fq*r Chng minhi: Vỡ r | q / m nờn q mrt , t N Mt khỏc, r | q nờn gcd r, q r Theo nh lý 2.2.8, Fq* Fq*r Fq*r Fq*r r 1Fq*r ú l phn t nguyờn thy ca Fq v i Fq*r j Fq*r , i j ,0 i, j r Ta gi s a Fq*r , suy a i0 Fq*r , vi i0 r Khi ú, a i0 br , b Fq* suy a m i0mbmr , kộo theo i0mbmr t i0mt bmrt i0mt Vy i0mt suy q 1| mti0 (vụ lý vỡ mti0 q ) Vy a Fq*r Ta cú Fq*r q / r Nu a Fq*r thỡ a q1/ r v ord a m nờn m | q / r kộo theo r | q / m Mnh 4.4.12 Cho k l s nguyờn dng Chng minh rng a Fq* l ly tha bc k ca mt s phn t thuc Fq nu v ch nu a q q vi d gcd q 1, k T ú chng minh rng Fq*2 nu v ch nu q mod vi q l Chng minh: Gi s a b k Ta chng minn a q d vi d gcd q 1, k Tht vy, d gcd q 1, k nờn tn ti n Z cho n.d k Khi ú a q d b k q d b Gi s a F * q n q v a a b Tht vy, a k x q d Vy a q q q d q q Ta chng minh tn ti b Fq* cho nờn a q d Vy a l nghim ca a thc Xột Fq*k c k : c Fq* Theo nh lý 2.2.7, suy : GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 37 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy Fq*k q q gcd q 1, k d Do ú s phn t bc k Fq*k l Vỡ a thc x q d cú bc phn t ca F Vy a thc x *k q q d q q nờn cú ti a nghim v nhn tt c cỏc d d q d cú ỳng q nghim v tt c cỏc nghim ú d u thuc Fq*k Vy a q d thỡ a Fq*k , suy tn ti b Fq* cho a bk Do gcd q 1,2 Khi ú, ỏp dng chng minh trờn ta cú: q 1 Fq*2 gcd q1,2 q | q q 0mod q 1mod Mnh 4.4.13 Chng minh rng m Z ta cú: 1, q | m m a aFq 0,(q 1) | m Chng minh: Nu q | m suy tn ti t Z cho m t q Khi ú: a m aFq 0m 1m a2m aqm1 a2t q aqt q11 q Gi s Fq* a ú Fq* 1, , , , q Nu q | m suy m Khi ú a aFq m a m m m q2m aFq* GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 38 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy Ta cú: a m m m q 2m m q 1m m m nờn aFq Vy 1, q | m m a aFq 0,(q 1) | m Mnh 4.4.14 Cho q l ly tha ca mt s nguyờn t p Nu a, b Fq* , a a0p vi a0 Fq* v TrFq / Fp b / a0p thỡ tam thc x p ax b bt kh quy trờn Fq Chng minh: Gi s a a0p1 , vi a0 Fq* v TrFq / Fp b / a0p Khi ú, x p x b x ax b a a0 a0 a0 p t y p x b Theo nh lý 3.3.5, y p y p bt kh quy trờn Fq Vỡ th, a0 a0 x p ax b bt kh quy trờn Fq Mnh 4.4.15 Cho f ( x) x v p l mt s nguyờn t l Chng minh rng f(x) kh quy trờn Fp v ch p mod Chng minh: Gi s a Fp l mt nghim ca f ( x) x suy a2 ú a2 suy a Vy a Fp* M Fp* p nờn ta cú | p suy p mod hay p mod Nu p mod suy ra, suy tn ti a Fp* cho a Vỡ Fp* l nhúm xyclic cp p Nh vy a v a suy a2 nờn a2 Vy a l nghim ca a thc f ( x) x Do ú f ( x) x bt kh quy trờn Fp Mnh 4.4.16 Cú trng gm phn t Chng minh: GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 39 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy Xột f ( x) x F3 x Ta thy f(x) khụng cú nghim trờn F3 nờn f(x) bt kh quy trờn F3 Gi l nghim ca a thc f(x) trờn trng phõn ró F3 Ta cú F3 , x suy F3 : F3 deg F3 , Vỡ th F3 32 Do ú F3 F32 Ta cú 1, l c s ca F3 trờn F3 Vy ta cú cỏc phn t ca trng F3 l: F9 F3 a b | a, b F3 0,1,2, ,2 ,1 ,1 ,2 ,2 Phn t nghch o ca cỏc phn t khỏc khụng l : a 1+ 1+2 2+ 2+2 a 1 2 1+2 1+ 2+2 2+ Mnh 4.4.17 Cú cỏc trng ca trng F224 Chng minh: Gi Un l hp tt c cỏc c ca n Suy U 24 1,2,3,4,6,8,12,24 Vy cỏc trng ca trng F224 l : F2 , F22 , F23 , F24 , F26 , F28 , F212 , F224 Mnh 4.4.18 Tỡm tt c cỏc a thc bt kh quy bc hai trờn F2 Chng minh: Gi f ( x) ax bx c l a thc bt kh quy trờn F2 Do f(x) bt kh quy nờn f(x) khụng cú nghim F2 Suy a f (0) f (1) hay ac a b c a a ac c b Do ú: a b c a b c c Vy a thc x x l a thc bt kh quy bc hai nht trờn F2 Mnh 4.4.19 Chng minh rng x5 x2 bt kh quy trờn F2 t F25 F2 x x5 x , tớnh vt ca phn t bt k F25 Chng minh: Chng minh x5 x2 bt kh quy trờn F2 GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 40 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy a thc x5 x2 khụng cú nghim F2 Ta cú a thc x5 x2 l a thc bc hai bt kh quy nht F2 m x5 x2 khụng chia ht cho x x Vy x5 x2 bt kh quy trờn F2 t F25 F2 x x x Khi ú, , gi l nghim ca a thc x5 x2 suy F25 a0 a1 a2 a3 a4 ta cú vi F2 , i 1, Ta tớnh Tr Ta cú Tr a0Tr a1Tr a2Tr a3Tr a4Tr M: Tr 5.1 1a1 Tr 16 Do suy 16 2 Suy ra: Tr ( ) Tr ( ) Tr Tr Tr 12 24 48 Ta cú: suy Do ú 12 Suy 12 Vỡ th 24 12 , suy 48 24 Do ú: Tr Vy: Tr a0 a3 Mnh 4.4.20 Cho a l nghim ca a thc bt kh quy f K [ x] Chng minh rng K a : K deg f GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 41 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy Chng minh: Ta cú th gi thit f l mt a thc chun Khi ú, f l a thc ti tiu ca a trờn K Vỡ vy, K a : K deg f Mnh 4.4.21 Chng minh rng x4 x2 l a thc bt kh quy ca Q[x] Chng minh: Q u Q x4 x2 Q x cú nghim 2, i nờn 2, i u2 Mt khỏc, t u i suy i Q u v 2u Q u i Q 2, i Q u Vy Q u Q u2 Q u v ú 2u 2, i Ta cú: Q u : Q Q 2, i : Q Cho nờn x4 x2 l a thc bt kh quy ca Q[x] Nhn xột: bi toỏn ny, ta nhn thy rng nú cng tng t nh vớ d 6.4 phn I, ta khụng th bin i nú thnh a thc Aidenstaino Vỡ vy, nh lý thuyt Galois, ta ó chng minh c mt a thc l bt kh quy Mnh 4.4.22 a) Cho F l trng cú c s p v a F Chng minh rng nu a thc x p x a kh quy F[x] thỡ phõn ró F b) Vi mi s nguyờn t p, chng minh rng x p x bt kh quy trờn Q Chng minh: a) Gi l nghim ca f x p x a mt trng phõn ró ca f trờn Z p Khi ú 1, , p l cỏc nghim cũn li ca Zp Nu f x m a1 xm am xn bn vi m 0, n l mt phõn tớch ca f Z p [x] Khi ú a1 l tng ca m nghim ca f Do ú a1 m d vi m, d Z p Suy F Vy f phõn ró F b) Xột f x p x Z p x D thy rng f khụng cú nghim Z p nờn bt kh quy trờn Z p Mnh 4.4.23 Cho F l trng cú c s p v a F khụng cú cn bc p F Chng minh rng f x p a bt kh quy trờn F Chng minh: Gi s f kh quy Khi ú f gh vi GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 42 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy g xm a1xm1 a0 Sao cho m p Trong trng phõn ró E f ca f trờn F, tớnh nht ca dng nhõn t húa, ta cú: g x b xm mbxm bm m m m Suy a1 mb Do m F, ta cú b F Vụ lớ ! m Vỡ vy f bt kh quy GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 43 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy C PHN KT LUN Khúa lun ó trỡnh by mt s tớnh cht ca a thc bt kh quy trờn trng cú c s v trng cú c s khỏc Bờn cnh ú khúa lun ó a c mt s kiu kin, tiờu chun mt a thc bt kh quy, phõn tớch c trờn trng s v trng hu hn, chng minh c mt s mnh liờn quan Do ti liu v a thc bt kh quy cũn hn ch v kh nng cũn cú hn nờn cha th nghiờn cu sõu hn, khúa lun ch dng li mc xột mt s tớnh cht c bn ca a thc bt kh quy m cha xột c tớnh ng dng ca a thc bt kh quy Em hy vng tng lai mỡnh s cú iu kin tip tc nghiờn cu sõu hn nhng trờn Tuy bn thõn ó rt c gng nhng khúa lun khú trỏnh nhng sai sút, rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca quý thy cụ v cỏc bn khúa lun c hon thin hn GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 44 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Hu in (2003), a thc v ng dng, NXBGD [2] Hong Xuõn Sớnh (2004), i s i cng, NXBGD [3] Nguyn T Cng (2002), Giỏo trỡnh i s hin i, NXBHQGHN [4] Nguyn Chỏnh Tỳ (2006), M rng trng v lý thuyt Galois, NXBGD [5] Ngụ Vit Trung, Lý thuyt Galois, NXBHQGHN [6] Lờ Thanh H, Giỏo trỡnh Cỏc trng s i s v lý thuyt Galois, NXBGD [7] Phan Doón Thoi, Giỏo trỡnh lý thuyt trng, NXBHSP GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 45 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy LI CM N Sau thi gian hc nghiờn cu ti trng i hc Qung Bỡnh, vi nhng kin thc tip thu c t quý thy cụ ca trng v c bit l quý thy cụ b mụn Toỏn Khoa Khoa hc t nhiờn ó giỳp em cm thy t tin thc hin khúa lun tt nghip ton khúa Em xin gi li cm n chõn thnh n cỏc thy cụ b mụn Toỏn, c bit em xin gi li cm n sõu sc nht n thy Trn Mnh Hựng Thy ó tn tỡnh giỳp v ng viờn em hon thnh tt khúa lun tt nghip ny V em cng gi li cm n n gia ỡnh, bn bố ó to iu kin giỳp em thi gian qua Vỡ thi gian v kin thc cũn hn ch nờn mc dự bn thõn ó c gng nhiu nhng khúa lun khú trỏnh nhng thiu sút Mong nhn c ý kin úng gúp quý bỏu t quý thy cụ v cỏc bn Cui cựng, em xin chõn thnh cm n tt c mi ngi ó giỳp v to iu kin thun li cho em hon thnh tt khúa lun tt nghip ton khúa Qung Bỡnh, thỏng 05 nm 2014 Sinh viờn thc hin Nguyn Th Thanh Nga GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 46 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy MC LC A.PHN M U BNG K HIU B PHN NI DUNG CHNG I KIN THC C S I MT S KIN THC V NHểM Nhúm 2 Nhúm Nhúm hu hn sinh Cp ca nhúm cp ca phn t II.MT S KIN THC VNH V TRNG Vnh Trng: Trng ng cu vnh c s ca vnh III A THC TRấN MT TRNG nh ngha a thc: Nghim ca a thc : VI NH NGHA V TNH CHT CA A THC BT KH QUY nh ngha: Tớnh cht: V TRNG PHN R CA A THC : nh ngha: VI M RNG TRNG 10 VII PHN T I S 10 nh ngha 10 Tớnh cht 10 VII MT S TNH CHT CA TRNG HU HN 11 nh ngha 11 Nhúm nhõn ca trng hu hn 11 GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 47 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy S phn t ca trng hu hn 14 CHNG II A THC BT KH QUY 17 I A THC BT KH QUY TRấN TRNG S PHC 17 II A THC BT KH QUY TRấN TRNG S THC 17 III A THC BT KH QUY TRấN TRNG HU T 18 IV A THC BT KH QUY TRấN TRNG HU HN 24 C PHN KT LUN 44 TI LIU THAM KHO 45 GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 48 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga a thc bt kh quy BNG K HIU Tp rng Z Tp cỏc s nguyờn gcd(m, n) c chung ln nht ca m v n m|n m chia ht n [n] S nguyờn ln nht nh hn hoc bng n ( n R ) a b mod m a ng d vi b modulo m n S cỏc s nguyờn dng khụng vt quỏ n v nguyờn t cựng vi n (hm Euler) Fq Trng cú q phn t Fq* Nhúm nhõn cỏc phn t khỏc khụng ca Fq K(a) M rng n ca trng K sinh bi phn t a Phn t n v ca vnh (nhúm) ord (a) Cp ca phn t a a Phn t nghch o ca phn t a a Nhúm xyclic sinh bi phn t a F[x] Vnh cỏc a thc theo bin x trờn trng F deg f x Bc ca a thc f(x) gcd f x , g x c chung ln nht ca f(x) v g(x) f x | g x f ' x f x chia ht g(x) a thc o hm ca f(x) L > K hay K L L l m rng trng ca trng K L : K Bc ca m rng L trờn trng K charF c s ca vnh (trng) F GVHD: Th.s Trn Mnh Hựng 49 SVTH: Nguyn Th Thanh Nga [...]... những bội của  , như nghiệm của f(x) cũng sẽ bằng bằng nhau Hệ quả 2.3: Đa thức bất khả quy của R[x] là các đa thức bậc nhất và những đa thức bậc 2 có biệt số   b2  4ac  0 Chứng minh: Các đa thức bậc nhất và các đa thức bậc hai với biệt số âm rõ ràng là những đa thức bất khả quy của R[x] Giả sử p(x) là một đa thức bất khả quy của R[x] với bậc lớn hơn 1, ta có p(x) không có nghiệm thực Theo Định... Thanh Nga Đa thức bất khả quy Chú ý : Trong vành Q  x  , để xét xem đa thức có bất khả quy hay không phức tạp hơn nhiều Đối với đa thức bậc 2, 3 của Q  x  , các đa thức bất khả quy khi và chỉ khi chúng không có nghiệm hữu tỷ Nhưng đối với đa thức bậc lớn hơn 3 thì phức tạp hơn nhiều Ví dụ 3.1: x4  3x2  2   x2  2 x2  1 rõ ràng không có nghiệm hữu tỷ nào, nhưng nó không phải bất khả quy Vì... hết cho p thì f(x) bất khả quy trên Z[x] Nếu tất cả các giả thiết được thõa mãn thì f(x) cũng bất khả quy trên Q Ví dụ 3.2: Đa thức f ( x)  x 4  2 x  2 bất khả quy trên Q ( với p = 2 ) Ví dụ 3.3: Chứng minh đa thức sau là bất khả quy: x 4  2 x  3 Chứng minh: Đặt x = y + 1 thay vào đa thức f ( y)   y  1  2( y  1)  3 4  y 4  4 y3  6 y 2  2 y  2  f(y) bất khả quy với p = 2 Qua ví dụ... Cho f(x) là lũy thừa của một đa thức bất khả quy trên Fq và giả sử rằng f '( x)  0 i) Nếu gcd  f ( x), f '( x)   1 thì f(x) là đa thức bất khả quy ii) Nếu gcd  f ( x), f '( x)   1 thì p( x)  f ( x) là đa thức bất khả gcd  f ( x), f '( x)  quy Khi đó, f ( x)  p( x)m với m  deg f ( x) deg p( x) Chứng minh: Lấy f ( x)  p  x  với p(x) là một đa thức bất khả quy trong Fq  x m Khi đó f... một đa thức Fq GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 28 SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga Đa thức bất khả quy (b) Nếu f(x) bất khả quy và ad  bc  0 thì  cx  d  deg f ( x )  ax  b  f  là đa thức có  cx  d  bậc n Bây giờ ta sẽ chứng minh  i    ii  :   Giả sử  cx  d  deg f ( x )  ax  b  f  bất khả quy trên Fq Nếu f(x) khả quy thì  cx  d  f(x) được phân tích thành ít nhất hai nhân tử bất khả. .. ta có GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 27 SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga Đa thức bất khả quy TrF / K  q    q   q     q  q  =  q   q    q 2 =    q    q m 1 q m 1   qm m 1 = TrF / K   3 Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn Định lý 4.3.1 Giả sử f ( x)  Fq [x] là đa thức có bậc n thì f(x) là đa thức bất khả quy trên Fq nếu và chỉ nếu:   f ( x) | x q  x và gcd( f ( x),... con chứa p m phần tử của Fp n Nếu tồn tại F1 chứa đúng p m phần tử thì p m phần tử đó là nghiệm của đa thức x p  x Nhưng x p  x chỉ có p m m m nghiệm trong Fp n Suy ra F’ = F1 GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 16 SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga Đa thức bất khả quy CHƯƠNG II ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY I ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC Định lý 1.1: ( Định lý cơ bản của đại số sơ cấp ) Trường số phức C là trường... minh tính bất khả quy của một đa thức không Aidenstaino để nó thành Aidenstaino Điều này phát huy tác dụng của tiêu chuẩn Aidenstaino Như vậy, có một câu hỏi đặt ra là nếu cho một đa thức là bất khả quy, để chứng minh nó là bất khả quy thì có thể băng cách thay đổi biến mà biến đổi nó thành đa thức Aidenstaino không ? Câu trả lời là không bao giờ cũng có cách biến đổi như vậy 2 Ví dụ 3.4: Cho đa thức f... còn m = 1: bây giờ (3) có dạng (x – a2) – (x – a1) = 2, Từ đây suy ra a1 = a2 + 2, nó chính là điều kiện 3 của đề bài loại trù IV ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN 1 Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn Bổ đề 4.1.1 Cho f ( x)  Fq [x] là đa thức bất khả quy bậc m trên Fq và n là một số nguyên dương Khi đó, f(x) chia hết x q  x nếu và chỉ nếu m chia hết n n Chứng minh:   Giả sử... x)  1 thì m = 1 Do đó f ( x)  p  x  là một đa thức bất khả quy Nếu gcd  f ( x), f '( x)  1 thì p( x)  f ( x) là một đa thức bất khả quy gcd  f ( x), f '( x)  Mệnh đề 4.4.6 Chứng minh rằng tổng tất cả các phần tử của trường hữu hạn bằng 0 ngoại trừ trường F2 Chứng minh: GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 34 SVTH: Nguyễn Thị Thanh Nga Đa thức bất khả quy Giả sử Fq là trường hữu hạn và Fq  F2 , Khi