Các không gian mêtric mờ trực giác

MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các Không gian metric mờ trực giác 1.1 Không gian metric mờ trực giác 1.2 Không gian metric mờ trực giác tiền compact 12 1.3 Không gian metric mờ trực giác đầy đủ 16 Không gian định chuẩn mờ trực giác 23 2.1 Các khái niệm 23 2.2 Không gian định chuẩn mờ trực giác hữu hạn chiều 30 2.3 Toán tử tuyến tính bị chặn Kết luận 32 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Lý thuyết tập mờ giới thiệu Zadeh năm 1965 Tiếp sau kết Zadeh nhà toán học có cố gắng to lớn đạt tương tự mờ lý thuyết cổ điển Khái niệm tôpô mờ có ứng dụng quan trọng vật lý hạt lượng tử, đặc biệt liên hệ với lý thuyết e∞ thành chuổi, đưa nghiên cứu Elnaschie Một vấn đề quan trọng tôpô mờ đạt khái niệm riêng biệt không gian metric mờ trực giác Vấn đề xem xét Park Ông giới thiệu nghiên cứu khái niệm không gian metric mờ trực giác Sau trình bày khái niệm Nội dung luận văn trình bày thành hai chương Chương I, giới thiệu không gian metric mờ trực giác với khái niệm như, định nghĩa t-chuẩn liên tục, t-đối chuẩn liên tục, ví dụ, tính chất Sau trình bày định nghĩa không gian metric mờ trực giác tiền compact không gian metric mờ trực giác đầy đủ Chương II, giới thiệu không gian định chuẩn mờ trực giác với việc trình bày số khái niệm tính chất không gian định chuẩn mờ trực giác Trên sở đưa định nghĩa tính chất không gian định chuẩn mờ trực giác hữu hạn chiều toán tử tuyến tính bị chặn Luận văn hoàn thành trường đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình dìu dắt, giúp đỡ động viên tác giả tình thực luận văn Tác giả bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới thầy cô Bộ môn Giải tích-Khoa Toán-Đại học Vinh, quan tâm giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Cuối tác giả xin cảm ơn Khoa đào tạo Sau đại học-Đại học Vinh, trường THPT Phan Đình Phùng, bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt trình học thực đề tài Tuy nhiên, kiến thức thời gian hạn chế nên Luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc góp ý để Luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả CHƯƠNG CÁC KHÔNG GIAN METRIC MỜ TRỰC GIÁC 1.1 Không gian metric mờ trực giác 1.1.1 Định nghĩa ([3]),([5]) Một phép toán hai ∗ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] t-chuẩn liên tục thoả mãn điều kiện sau (a) ∗ kết hợp giao hoán; (b) ∗ liên tục; (c) a ∗ = a, với a ∈ [0, 1]; (d) a ∗ b c ∗ d a c, b d, với a, b, c, d ∈ [0, 1] 1.1.2 Ví dụ Hai ví dụ điển hình t-chuẩn liên tục a ∗ b = a.b a ∗ b = min(a, b) Chứng minh Trước hết ta chứng minh a ∗ b = ab t-chuẩn liên tục cách kiểm tra điều kiện Định nghĩa 1.1 a ∗ (b ∗ c) = a ∗ bc = abc = (ab)c = (a ∗ b) ∗ c a ∗ b = ab = ba = b ∗ a Suy ∗ kết hợp giao hoán Giả sử an → a bn → b n → ∞ Do an bn → ab, hay an ∗ bn → a ∗ b Từ ∗ liên tục a ∗ = a.1 = a a ∗ b = ab cd = c ∗ d với a c, b d, a, b, c, d ∈ [0, 1] Tương tự, a ∗ b = min(a, b) t-chuẩn liên tục (a) ∗ kết hợp giao hoán Giả sử a > b > c Khi (a ∗ b) ∗ c = b ∗ c = c a ∗ (b ∗ c) = a ∗ c = c Suy (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) a ∗ b = min(a, b) = min(b, a) = b ∗ a (b) ∗ liên tục Giả sử {an }, {bn } hai dãy cho an → a, bn → b n → ∞ an bn , với n = 1, 2, Khi an ∗ bn = an → a = a ∗ b (c) a ∗ = min(a, 1) = a (d) Hiển nhiên a ∗ b c ∗ d a c, b d với a, b, c, d ∈ [0, 1] 1.1.3 Định nghĩa ([5]) Một phép toán hai ♦ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] t-đối chuẩn liên tục thoả mãn điều kiện sau (a) ♦ kết hợp giao hoán; (b) ♦ liên tục; (c) a♦0 = a với a ∈ [0, 1]; (d) a♦b c♦d a c, b d, với a, b, c, d ∈ [0, 1] 1.1.4 Ví dụ Hai ví dụ điển hình t-đối chuẩn liên tục a♦b = min(a+ b, 1) a♦b = max(a, b) Chứng minh a♦b = min(a + b, 1) t-đối chuẩn liên tục (a) ♦ kết hợp giao hoán - Trường hợp a + b > Khi a♦b = min(a + b, 1) = (a♦b)♦c = 1♦c = min(1 + c, 1) = Mặt khác, a♦(b♦c) = a♦1 = b+c Trong trường hợp b+c < a♦(b♦c) = a♦(b + c) = min(a + b + c, 1) = Do (a♦b)♦c = a♦(b♦c) - Trường hợp a + b < Khi (a♦b)♦c = (a + b)♦c = min(a + b + c, 1) Nếu a + b + c < (a♦b)♦c = a + b + c a♦(b♦c) = a♦(b + c) = a + b + c Nếu a + b + c (a♦b)♦c = Mặt khác a♦(b♦c) = min[a + (b♦c), 1] = 1, b♦c = min(b+c, 1) = b+c a+b♦c Vậy (a♦b)♦c = a♦(b♦c) Hiển nhiên a♦b = b♦a (b) ♦ liên tục Giả sử an → a, bn → b, n → ∞ Suy an + bn → a + b Nếu an + bn 1, an ♦bn = = a♦b a + b Nếu an + bn < a + b < 1, an ♦bn = an + bn → a + b = a♦b Từ an ♦bn → a♦b Vậy ♦ liên tục (c) a♦0 = min(a + 0, 1) = a (d) Hiển nhiên a♦b = min(a+b, 1) min(c+d, 1) = c♦d với a c, b d a, b, c, d ∈ [0, 1] 1.1.5 Bổ đề ([5]) Nếu ∗ t-chuẩn liên tục, ♦ t-đối chuẩn liên tục ri ∈ (0, 1), i 7, (1) Nếu r1 > r2 , tồn r3 , r4 ∈ (0, 1) cho r1 ∗ r3 r1 r2 ♦r4 (2) Nếu r5 ∈ (0, 1), tồn r6 , r7 ∈ (0, 1) cho r6 ∗ r6 r5 r2 r5 r7 ♦r7 Chứng minh (1) Vì (0, 1)-bị chặn nên tồn {rn } ⊂ (0, 1) cho rn → Do tính liên tục ∗ nên ta có lim (r1 ∗ rn ) = r1 ∗ lim rn = r1 > r2 n→∞ n→∞ Suy ra, tồn r3 ∈ {rn } thoả mãn r1 ∗ r3 r2 Tương tự, tồn {an } ⊂ (0, 1) cho an → Từ tính liên tục ♦ ta có lim (r2 ♦an ) = r2 ♦ lim an = r2 < r1 n→∞ n→∞ Suy ra, tồn r4 ∈ {an } thoả mãn r2 ♦r4 r1 (2) Do r5 ∈ (0, 1) nên tồn rk ∈ (0, 1) cho rk > r5 Khi đó, sử dụng (1), tồn rk ∈ (0, 1) thoả mãn rk ∗ rk r5 Lấy r6 ∈ (0, 1) cho max(rk , rk ) Do đó, tồn r6 ∈ (0, 1) thoả r6 ∗ r6 r6 rk ∗ rk r5 Tương tự, r5 ∈ (0, 1) nên tồn rl ∈ (0, 1), rl < r5 Sử dụng (1), tồn rl ∈ (0, 1) để r5 rl ♦rl rl ♦rl Lấy r7 min(rl , rl ) Khi r7 ♦r7 r5 1.1.6 Định nghĩa ([3]) Một không gian metric mờ ba (X, M, ∗) cho X tập (khác rổng), ∗ t-chuẩn liên tục M tập mờ X × X × (0, 1) thoả mãn điều kiện sau với x, y, z ∈ X, s, t > 0, (i) M (x, y, t) > 0; (ii) M (x, y, t) = x = y; (iii) M (x, y, t) = M (y, x, t); (iv) M (x, y, t) ∗ M (y, z, s) M (x, z, t + s); (v) M (x, y, ) : (0, ∞) → [0, 1] liên tục Khi (M, ∗) metric X 1.1.7 Định nghĩa ([5]) Một năm (X, M, N, ∗, ♦) gọi không gian metric mờ trực giác X tập (khác rổng), * t-chuẩn liên tục, ♦ t-đối chuẩn liên tục M, N tập mờ X × (0, ∞), thoả mãn điều kiện sau với x, y, z ∈ X t, s > 0, (a) M (x, y, t) + N (x, y, t) 1; (b) M (x, y, t) > 0; (c) M (x, y, t) = x = y; (d) M (x, y, t) = M (y, x, t); (e) M (x, y, t) ∗ M (y, z, s) M (x, z, t + s); (f) M (x, y, ) : (0, ∞) → [0, 1] liên tục; (g) N (x, y, t) < 1; (h) N (x, y, t) = x = y; (i) N (x, y, t) = N (y, x, t); (j) N (x, y, t)♦N (y, z, s) N (x, z, t + s); (k) N (x, y, ) : (0, ∞) → [0, 1] liên tục Khi (M, N ) gọi metric mờ trực giác X 1.1.8 Nhận xét ([5]) Nếu (X, M, ∗) không gian metric mờ (X, M, 1− M, ∗, ♦) không gian metric mờ trực giác với t-chuẩn liên tục ∗ t-đối chuẩn liên tục ♦ thoả mãn x♦y = − [(1 − x) ∗ (1 − y)], với x, y ∈ X Chứng minh Đặt N = − M Các điều kiện (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i), (k) hiển nhiên Ta chứng minh bất đẳng thức (j) N (x, y, t)♦N (y, z, s) = [1 − M (x, y, t)]♦[1 − M (y, z, s)] = − [[1 − (1 − M (x, y, t))] ∗ [1 − (1 − M (y, z, s))]] = − (M (x, y, t) ∗ M (y, z, s)) − M (x, z, t + s) = N (x, z, t + s) Trong không gian metric mờ trực giác, M (x, y, ) không giảm N (x, y, ) không tăng Thật vậy, giả sử < t1 < t2 Khi đó, t2 = t1 + t , với t > Ta có M (x, y, t1 ) ∗ M (y, z, t ) M (x, z, t1 + t ) = M (x, z, t2 ) Cho z = y thay vào bất đẳng thức ta M (x, y, t1 ) M (x, y, t2 ) Như vậy, M (x, y, ) không giảm Tương tự, N (x, y, t1 )♦N (y, z, t ) Cho z = y, dẫn đến N (x, y, t1 ) N (x, z, t2 ) N (x, y, t2 ) Suy ra, N (x, y, ) không tăng Cho (X, d) không gian metric Kí hiệu a ∗ b = a × b a♦b = min(a + b, 1), với a, b ∈ [0, 1] cho Md Nd tập mờ X × (0, 1) định nghĩa sau Md (x, y, t) = htn htn + md (x, y) , Nd (x, y, t) = md (x, y) htn + md (x, y) với h, m > Khi (X, M, N, ∗, ♦) không gian metric mờ trực giác Chứng minh điều dễ dàng cần dựa vào Định nghĩa 1.1.9 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, M, N, ∗, ♦) không gian metric mờ trực giác Cho t > 0, hình cầu mở B(x, r, t) với tâm x ∈ X bán kính < r < định nghĩa B(x, r, t) = {y ∈ X : M (x, y, t) > − r, N (x, y, t) < r} 1.1.10 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, M, N, , ♦) không gian metric mờ trực giác Cho τ(M,N ) tập hợp tất tập A ⊂ X với x ∈ A tồn t > < r < cho B(x, r, t) ⊂ A Khi τ(M,N ) tôpô X(cảm sinh metric mờ trực giác (M, N )) Một dãy {xn } X hội tụ tới x M (xn , x, t) → N (xn , x, t) → n → ∞, với t > Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy với < ε < t > 0, tồn n0 cho M (xn , xm , t) > − ε N (xn , xm , t) < ε, với m, n n0 Không gian metric mờ trực giác (X, M, N, ∗, ♦) gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ 1.1.11 Nhận xét Một không gian metric mờ trực giác không gian Hausdorff thoả mãn tiên đề đếm thứ 1.1.12 Định nghĩa ([5]) Một tập A X gọi IF -bị chặn tồn t > < r < cho M (x, y, t) > − r N (x, y, t) < r, với x, y ∈ A 1.1.13 Định nghĩa ([5]) Một họ U tập mở gọi phủ mở A A ⊆ U ∈U U Một không gian A không gian metric mờ trực giác (X, M, N, ∗, ♦) compăc phủ mở A có phủ hữu hạn Nếu dãy A có dãy hội tụ tới phần tử A, gọi tập compăc 1.1.14 Định lý ([5]) Trong không gian metric mờ trực giác tập compăc đóng IF -bị chặn Chứng minh Giả sử A ⊂ X, A compăc Vì (X, M, N, ∗, ♦) không gian metric mờ trực giác nên T2 -không gian Do A compăc T2 -không gian nên A đóng 10 Mặt khác, A compăc nên tồn x1 , x2 , , xn ∈ A cho n A⊆ B(xi , ri , t), ri ∈ (0, 1), với i = 1, 2, , n i=1 Từ đó, với x, y ∈ A, tồn i0 , j0 ∈ {1, 2, , n} thoả mãn x ∈ B(xi0 , ri0 , t), y ∈ B(xj0 , rj0 , t) Khi M (x, xi0 , t) > − ri0 , N (x, xi0 , t) < ri0 , M (y, xj0 , t) > − rj0 , N (y, xj0 , t) < rj0 Suy M (x, xi0 , t) ∗ M (y, xj0 , t) > (1 − ri0 ) ∗ (1 − rj0 ), N (x, xi0 , t)♦N (y, xj0 , t) < ri0 ♦rj0 Từ ta có M (x, y, 3t) M (x, xi0 , t) ∗ M (xi0 , y, 2t) M (x, xi0 , t) ∗ M (xi0 , xj0 , t) ∗ M (xj0 , y, t) > (1 − ri0 ) ∗ (1 − rj0 ) ∗ M (xi0 , xj0 , t), N (x, y, 3t) N (x, xi0 , t)♦N (xi0 , y, 2t) N (x, xi0 , t)♦N (xi0 , xj0 , t)♦N (xj0 , y, t) < ri0 ♦rj0 ♦N (xi0 , xj0 , t) Mặt khác, từ tính liên tục ∗, ♦, tồn r ∈ (0, 1) cho (1 − ri0 ) ∗ (1 − rj0 ) ∗ M (xi0 , xj0 , t) > − r, ri0 ♦rj0 ♦N (xi0 , xj0 , t) < r Do đó, tồn t > < r < để M (x, y, 3t) > − r N (x, y, 3t) < r, với x, y ∈ A Vậy A IF-bị chặn 1.1.15 Hệ ([5]) Mọi tập đóng không gian metric mờ trực giác đầy đủ đầy đủ Chứng minh Giả sử A tập đóng không gian metric mờ trực giác đầy đủ (X, M, N, ∗, ♦) Gọi {xn } dãy Cauchy A Khi {xn } dãy Cauchy X-đầy đủ Do {xn } hội tụ tới x ∈ X Vì A-đóng nên x ∈ A VậyA đầy đủ 11 (l) ν(x, ) : (0, ∞) → [0, 1] liên tục; (m) lim ν (x, t) = lim ν (x, t) = t→∞ t→0 Trong trường hợp (µ, ν) gọi chuẩn mờ trực giác 2.1.2 Ví dụ ([5]) Cho (V, ) không gian định chuẩn Định nghĩa a ∗ b = a.b a♦b = min(a + b, 1), với a, b ∈ [0, 1] cho µ0 ν0 tập mờ X × (0, ∞) định nghĩa µ0 (x, t) = ν0 (x, t) = x t+ x t t+ x , , với t > Khi (V, µ0 , ν0 , ∗, ♦) không gian định chuẩn mờ trực giác Chứng minh Các điều kiện (a), (b), (c), (d), (f ), (g), (h), (i), (j), (l), (m) dễ dàng suy trực tiếp từ định nghĩa Trường hợp bất đẳng thức (e), ta giả sử t s Khi ts = ts+t y +sts x + xy (t+ x )(s+ y ) s t+s = µ0 (x + y, t + s) s+ x + y t+s+ x+y µ0 (x, t) ∗ µ0 (y, s) = ts ts+t( x + y ) = Với bất đẳng thức (k), ν0 (x + y, t + s) = x+y t+s+ x+y x + y t+s+ x + y x t+ x + y s+ y ν0 (x, t)♦ν0 (y, s) 2.1.3 Định nghĩa ([5]) Một dãy {xn } không gian định chuẩn mờ trực giác (V, µ, ν, ∗, ♦) gọi dãy Caushy với ε > t > 0, tồn n0 ∈ N cho µ(xn − xm , t) > − ε ν(xn − xm , t) < ε, với m, n n0 Dãy {xn } gọi hội tụ tới x ∈ V không gian định chuẩn mờ (µ,ν) trực giác (V, µ, ν, ∗, ♦) kí hiệu xn −−−→ x µ(xn − x, t) → ν(xn − x, t) → n → ∞ với t > Một không gian định chuẩn mờ trực giác gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ 2.1.4 Bổ đề ([5]) Cho (V, µ, ν, ∗, ♦) không gian định chuẩn mờ trực giác Nếu ta định nghĩa M (x, y, t) = µ(x − y, t) N (x, y, t) = ν(x − y, t), 24 (M, N ) metric mờ trực giác V, cảm sinh chuẩn mờ trực giác (µ, ν) Chứng minh Việc chứng minh (M, N ) metric mờ trực giác V dễ dàng cách kiểm tra điều kiện định nghĩa không gian metric mờ trực giác sử dụng giả thiết (V, µ, ν, ∗, ♦) không gian định chuẩn mờ trực giác Ta chứng minh (M, N ) cảm sinh chuẩn mờ trực giác (µ, ν) Giả sử {xn } dãy hội tụ tới x theo (µ, ν) Ta có µ(xn − x, t) → ν(xn − x, t) → 0, tương đương với M (xn , x, t) → N (xn , x, t) → n → ∞, t > (M,N ) hay xn −−−−→ x 2.1.5 Bổ đề ([5]) Cho (µ, ν) chuẩn mờ trực giác Khi đó, với t > 0, khẳng định sau đúng: (1) µ(x, t) ν(x, t) không giảm không tăng; (2) µ(x − y, t) = µ(y − x, t) ν(x − y, t) = ν(y − x, t) Chứng minh Ta chứng minh µ(x, t) không giảm Giả sử < t1 < t2 , ta cần chứng minh µ(x, t1 ) µ(x, t2 ) Theo định nghĩa ta có, µ(x, t1 ) ∗ µ(0, t2 − t1 ) Suy µ(x, t1 ) µ(x, t2 ) µ(x, t2 ) Tương tự ta có, ν(x, t1 ) = ν(x, t1 )♦ν(0, t2 − t1 ) ν(x, t2 ) Vậy µ(x, t) không giảm, ν(x, t) không tăng 2.1.6 Định nghĩa ([5]) Cho (V, µ, ν, ∗, ♦) không gian định chuẩn mờ trực giác Với t > 0, ta định nghĩa hình cầu mở B(x, r, t) với tâm x ∈ V bán kính < r < sau B(x, r, t) = {y ∈ V : µ(x − y, t) > − r, ν(x − y, t) < r} Cũng vậy, tập A ⊆ V gọi mở x ∈ A, tồn t > < r < cho B(x, r, t) ⊆ A 25 Kí hiệu τ( µ, ν) tập tất tập mở V τ( µ, ν) gọi tôpô cảm sinh chuẩn mờ trực giác Chú ý tôpô trùng với tôpô cảm sinh metric mờ trực giác 2.1.7 Định nghĩa ([5]) Cho (X, µ, ν, ∗, ♦) không gian định chuẩn mờ trực giác Một tập A V gọi tập IF -bị chặn tồn t > < r < cho µ(x, t) > − r ν(x, t) < r, với x ∈ A 2.1.8 Định lý ([5]) Trong không gian định chuẩn mờ trực giác tập compact đóng IF-bị chặn Chứng minh Không gian V với tôpô τ( µ, ν) T2 -không gian Vì tập compăc A ⊆ V đóng Ta cần chứng minh A IF-bị chặn Vì A tập compăc nên tồn x1 , x2 , , xn ∈ A, r ∈ (0, 1), t > cho n A ⊆ ∪ B(xi , r, 2t ) Suy ra, với x thuộc A, tồn i ∈ {1, 2, , n} i=1 cho x ∈ B(xi , r, 2t ) Khi µ(x − xi , 2t ) > − r ν(x − xi , 2t ) < r Ta có µ(x, t) µ(x − xi , 2t ) ∗ µ(xi , 2t ) > (1 − r) ∗ µ(xi , 2t ) ν(x, t) ν(x − xi , 2t )♦ν(xi , 2t ) < r♦ν(xi , 2t ) Từ tính liên tục ∗, ♦, tồn ε ∈ (0, 1) cho (1 − r) ∗ µ(xi , 2t ) > − ε (1 − r)♦ν(xi , 2t ) < ε Vậy, tồn t > 0, ε ∈ (0, 1) cho µ(x, t) > − ε ν(x, t) < ε, với x ∈ A 2.1.9 Bổ đề ([5]) Một tập A R IF-bị chặn (R, µ, ν, ∗, ♦) bị chặn R Chứng minh Giả sử A IF -bị chặn (R, µ, ν, ∗, ♦) Khi đó, tồn t > r0 ∈ (0, 1) cho = a ∈ A ta có t0 − r0 < µ(a, t0 ) = µ(1, |a| ) t0 r0 > ν(a, t0 ) = ν(1, |a| ) 26 Từ đó, tồn k > cho |a| k, A bị chặn R Điều ngược lại dễ dàng 2.1.10 Bổ đề ([5]) Một dãy {βn } hội tụ không gian định chuẩn mờ trực giác (R, µ, ν, ∗, ♦) hội tụ (R, |.|) Chứng minh Nếu |βn − β| → lim µ(βn − β, t) = lim µ(1, |βnt−β| ) = µ(1, ∞) = n→∞ n→∞ lim ν(βn − β, t) = lim ν(1, |βnt−β| ) = ν(1, ∞) = n→∞ n→∞ Vậy βn → β (R, µ, ν, ∗, ♦) Ngược lại, giả sử lim µ(βn − β, t) = lim ν(βn − β, t) = n→∞ n→∞ Nếu lim inf(βn − β) = u lim sup(βn − β) = v u, v khác ±∞ tìm dãy {βnk − β} {βnk − β} hội tụ tới u, v Từ giả thiết µ(u, t) = µ(v, t) = 1, với t > 0, u = v = 0, nghĩa lim{βn − β} tồn không Nếu chúng hai vô hạn, t ) µ không giảm biến thứ hai, ta có từ µ(x, t) = µ(1, |x| lim sup µ(1, |βnt−β| ) lim µ(βn − β, t) n→∞ lim inf µ(1, |βnt−β| ) Bây giờ, lim inf(βn − β) = −∞, có lim µ(βn − β, t) < lim inf µ(βn − β, t) = lim inf µ(1, |βnt−β| ) Điều kéo theo < theo Định nghĩa 2.1.1(g) Nếu lim sup(βn − β) = +∞ lim inf(β − βn ) = −∞ lại có < Từ đó, lim (βn − β) = 0, {βn } hội tụ (R, |.|) n→∞ Chú ý rằng, từ chứng minh bổ đề trên, (R, µ, ν, ∗, ♦) đầy đủ 2.1.11 Bổ đề ([5]) Nếu dãy thực {βn } IF-bị chặn tồn phần tử giới hạn 2.1.12 Định nghĩa ([5]) Bộ năm (Rn , φ, ψ, ∗, ♦) gọi không gian định chuẩn Ơclit mờ trực giác ∗ t-chuẩn, ♦ t-đối chuẩn (φ, ψ) chuẩn Ơclit mờ trực giác định nghĩa 27 n φ(x, t) = µ(xj , t) j=1 n ψ(x, t) = ν(xj , t), j=1 x = (x1 , , xn ), n j=1 aj n j=1 aj = a1 ∗ ∗ an , = a1 ♦ ♦an , t > 0, (µ, ν)là chuẩn mờ trực giác 2.1.13 Bổ đề ([5]) Nếu ♦ = max, (Rn , φ, ψ, ∗, ♦) không gian định chuẩn mờ trực giác n Chứng minh (a) φ(x, t) + ψ(x, t) = n µ(xj , t) + j=1 ν(xj , t) j=1 n ν(xj , t) = ν(xj0 , t) Khi ta có Giả sử j=1 φ(x, t) + ψ(x, t) µ(xj0 , t) + ν(xj0 , t) (b) Hiển nhiên φ(x, t) > n µ(xj , t) = ⇔ µ(xj , t) = 1, ∀j = 1, , n (c) φ(x, t) = ⇔ j=1 ⇔ xj = 0, ∀j = 1, , n ⇔ x = n n (d) φ(αx, t) = µ(αxj , t) = j=1 j=1 t t ) =φ(x, |α| ) µ(xj , |α| n n µ(xj , t) ∗ (e) φ(x, t) ∗ φ(y, s) = j=1 n n µ(xj , t) ∗ µ(yj , s) = µ(yj , s) j=1 µ(xj + yj , t + s) = φ(x + y, t + s) j=1 j=1 (f) Hiển nhiên φ(x, t) liên tục ∗ liên tục n (g) lim ϕ(x, t) = lim t→∞ t→∞ j=1 n lim ϕ(x, t) = lim t→0 t→0 j=1 n µ(xj , t) = µ(xj , t) = lim µ(xj , t) = j=1 t→∞ n lim µ(xj , t) = j=1 t→0 (h) Hiển nhiên ψ(x, t) < n (i) ψ(x, t) = ⇔ ν(xj , t) = ⇔ ν(xj , t) = 0, ∀j = 1, , n j=1 ⇔ xj = 0, ∀j = 1, n ⇔ x = 28 n (j) ψ(αx, t) = n ν(αxj , t) = j=1 j=1 t t ν(xj , |α| ) = ψ(x, |α| ) n n (k) ψ(x, t)♦ψ(y, s) = n ν(xj , t)♦ j=1 ν(yj , s) = j=1 ν(xj , t)♦ν(yj , s) j=1 n ν(xj + yj , t + s) = ψ(x + y, t + s) j=1 (l) Hiển nhiên (m) Hoàn toàn tương tự (g) 2.1.14 Bổ đề ([5]) Không gian định chuẩn Ơclit mờ trực giác (Rn , φ, ψ, ∗, ♦) đầy đủ Chứng minh Giả sử xk ∞ k=1 dãy Cauchy (Rn , φ, ψ, ∗, ♦) Suy ra, với ε > t > 0, tồn k0 ∈ N cho φ(xk − xm , t) > − ε ψ(xk − xm , t) < ε, với k, m k0 , hay n j=1 n j=1 µ(xkj − xm j , t) > − ε (1) ν(αxkj − xm j , t) < ε (2) Suy µ(xkj − xm j , t) > − ε với j = 1, , n k, m xkj k0 Do đó, với j = 1, 2, , n ∞ k=1 ν(xkj − xm j , t) < ε, dãy số Cauchy không gian định chuẩn mờ trực giác đầy đủ (R, µ, ν, ∗, ♦) nên xkj → xj k → ∞ Đặt x = (x1 , x2 , , xn ) Trong (1) (2) cố định k φ(xk k0 , cho m → ∞ ta có n − x, t) = ψ(xk − x, t) = j=1 n j=1 với k µ(xkj − xj , t) ν(xkj − xj , t), k0 Cho k → ∞ ta 29 lim φ(xk − x, t) = lim ψ(xk − x, t) = k→∞ Vậy xk → x Do k→∞ (Rn , φ, ψ, ∗, ♦) đầy đủ 2.2 Không gian định chuẩn mờ trực giác hữu hạn chiều 2.2.1 Định lý ([5]) Giả sử {x1 , x2 , , xn } tập vecto độc lập tuyến tính không gian vecto V (V, µ, ν, ∗, ♦) không gian định chuẩn mờ trực giác Khi có số c, d = không gian định chuẩn mờ trực giác (R, µ0 , ν0 , ∗, ♦) cho cách chọn vô hướng thực α1 , α2 , , αn ta có µ(α1 x1 + + αn xn , t) µ0 (c[|α1 | + + |αn |], t) (2) ν(α1 x1 + + αn xn , t) ν0 (d[|α1 | + + |αn |], t) (3) Chứng minh Đặt S = |α1 | + |α2 | + + |αn | Nếu S = 0, tất αj = 0, j = 1, , n, vậy(2), (3) với c, d = Nếu S > 0, (2) (3) tương đương với bất đẳng thức mà đạt từ (2) (3) cách chia cho S Đặt βj = µ(β1 x1 + + βn xn , t ) µ0 (c, t ), αj S, ta t = St , ν(β1 x1 + + βn xn , t ) ν0 (d, t ), t = t S, n |βj | = (4) |βj | = (5) j=1 n j=1 Do đó, ta chứng minh tồn c, d = chuẩn mờ trực giác (µ0 , ν0 ) cho (4) (5) Giả sử điều không Khi tồn n dãy {ym } vecto ym = β1,m x1 + + βn,m xn , với |βj,m | = j=1 cho µ(ym , t) → ν(ym , t) → m → ∞, mọi t > Từ n |βj,m | = 1, ta có |βj,m | Khi từ Bổ đề 2.1.9, dãy {βj,m } IF -bị j=1 chặn Theo Hệ 2.1.11, {β1,m } có dãy {γ1,m } hội tụ Giả sử β1 giới hạn {γ1,m } Giả sử {y1,m } dãy tương ứng {ym } có vô hướng {β1,m } Với cách lập luận trên, {y1,m } có dãy {y2,m } 30 tương ứng với vô hướng thực {β2,m } hội tụ Giả sử β2 giới hạn dãy vô hướng Tiếp tục trình này, sau n lần ta dãy n n {yn,m } {ym } cho yn,m = |γj,m | = γj,m → βj γj,m xj , j=1 j=1 m → ∞ Từ n lim µ(yn,m − m n (γj,m − βj )xj , t) βj xj , t) = lim µ( j=1 j=1 t t lim µ((γ1,m − β1 )x1 , ) ∗ ∗ µ((γn,m − βn )xn , ) = m n n n lim ν(yn,m − m n (γj,m − βj )xj , t) βj xj , t) = lim ν( j=1 j=1 t t lim ν((γ1,m − β1 )x1 , )♦ ♦ν((γn,m − βn )xn , ) = 0, m n n n ta có lim yn,m = m→∞ n |βj | = βj xj , j=1 j=1 n βj xj Vì {x1 , , xn } Vì βj không đồng thời không Đặt y = j=1 tập độc lập tuyến tính, có y = Từ giả thiết µ(ym , t) → ν(ym , t) → 0, ta có µ(yn,m , t) → ν(yn,m ) → Do µ(y, t) = µ(y − yn,m + yn,m , t) µ(y − yn,m , 2t ) ∗ µ(yn,m , 2t ) → ν(y, t) = ν(y − yn,m + yn,m , t) ν(y − yn,m , 2t )♦ν(yn,m , 2t ) → Vì y = Điều mâu thuẩn 2.2.2 Định nghĩa ([5]) Giả sử (V, µ, ν, ∗, ♦) (V, µ , ν , ∗ , ♦ ) không gian định chuẩn mờ trực giác Khi hai chuẩn mờ trực giác (µ, ν) (µ,ν) (µ , ν ) gọi tương đương xn −−−→ x (V, µ, ν, ∗, ♦) (µ ,ν ) xn −−−→ x (V, µ , ν , ∗ , ♦ ) 31 2.2.3 Định lý ([5]) Trên không gian vecto hữu hạn chiều V, hai chuẩn mờ trực giác (µ, ν) (µ , ν ) tương đương Chứng minh Giả sử dim V = n {v1 , , } sở V Khi x ∈ V có biểu diễn x = n j=1 αj vj (µ,ν) Giả sử xm −−−→ x (V, µ, ν, ∗, ♦) với m ∈ N, xm có biểu diễn nhất, nghĩa xm = α1,m v1 + + αn,m Theo Định lý 2.2.1, có số c, d = chuẩn mờ trực giác (µ0 , ν0 ) cho (2) (3) Vì n µ(xm − x, t) µ0 (c |αj,m − αj | , t) µ0 (c |αj,m − αj | , t) |αj,m − αj | , t) ν0 (d |αj,m − αj | , t) j=1 n ν(xm − x, t) ν0 (d j=1 Bây giờ, m → ∞ µ(xm − x, t) → ν(xm − x, t) → với t > |αj,m − αj | → R Nói cách khác, t t µ (xm − x, t) µ ((α1,m − α1 )v1 , ) ∗ ∗ µ ((αn,m − αn )vn , ) n n t t = µ (v1 , ) ∗ ∗ µ (vn , ) n(α1,m − α1 ) n(αn,m − αn ) t t ν (xm − x, t) ν ((α1,m − α1 )v1 , )♦ ♦ ν ((αn,m − αn )vn , ) n n t t )♦ ♦ ν (vn , ) = ν (v1 , n(α1,m − α1 ) n(αn,m − αn ) Từ |αj,m − αj | → , n(αj,mt −αj ) → ∞, ta có µ (vj , n(αj,mt −αj ) ) → ν (vj , n(αj,mt −αj ) ) → (µ ,ν ) (µ ,ν ) Khi xm −−−→ x (V, µ , ν , ∗ , ♦ ) Với lập luận, xm −−−→ x (µ,ν) (V, µ , ν , ∗ , ♦ ) ta suy xm −−−→ x (V, µ, ν, ∗, ♦) 2.3 Toán tử tuyến tính bị chặn 2.3.1 Định nghĩa ([5]) Một toán tử tuyến tính T : (V, µ, ν, ∗, ♦) → (V , µ , ν , ∗ , ♦ ) gọi bị chặn mờ trực giác tồn số h, k ∈ R − {0} cho với x thuộc V với 32 t > 0, µ (T x, t) µ(hx, t) ν (T x, t) ν(hx, t) 2.3.2 Hệ ([5]) Mọi toán tử tuyến tính bị chặn mờ trực giác liên tục Chứng minh Giả sử T : (V, µ, ν, ∗, ♦) → (V , µ , ν , ∗ , ♦ ) toán tử tuyến tính bị chặn mờ trực giác Khi đó, tồn h, k ∈ R − {0} cho x thuộc V t > 0, µ (T x, t) µ(hx, t) ν (T x, t) ν(hx, t) (µ,ν) Giả sử xn −−−→ x (V, µ, ν, ∗, ♦) Suy µ(xn − x, t) → 1, ν(xn − x, t) → 0, với t > Do đó, từ µ (T xn − T x, t) = µ (T (xn − x), t) t )→1 µ(h(xn − x), t) = µ(xn − x, |h| ν (T xn − T x, t) = ν (T (xn − x), t) t ν(h(xn − x), t) = ν(xn − x, |h| ) → Suy T xn → T x n → ∞ Vậy T -liên tục 2.3.3 Định nghĩa ([5]) Toán tử tuyến tính T : (V, µ, ν, ∗, ♦) → (V , µ , ν , ∗ , ♦ ) đẳng cấu tôpô mờ trực giác T song ánh hai T T −1 liên tục 2.3.4 Bổ đề ([5]) Toán tử tuyến tính T : (V, µ, ν, ∗, ♦) → (V , µ , ν , ∗ , ♦ ) đẳng cấu tôpô mờ trực giác T ánh xạ lên tồn số a, b, a , b = cho µ(ax, t) µ (T x, t) µ(bx, t) ν(a x, t) ν (T x, t) ν(b x, t) Chứng minh Từ giả thiết T bị chặn mờ trực giác, từ Hệ 2.3.2, suy T liên tục Khi T x = kéo theo = µ (T x, t) t µ(bx, t) = µ(x, |b| ) x = 0, T tương ứng một-một Vì thế, tồn T −1 từ µ (T x, t) µ(bx, t) ν (T x, t) ν(b x, t), tương đương với µ (y, t) 33 t µ(bT −1 y, t) = µ(T −1 y, |b| ) ν (y, t) µ ( 1b y, t) µ(T −1 y, t) ν ( b1 y, t) ν(bT −1 y, t) = ν(T −1 y, |bt | ), hay ν(T −1 y, t) y = T x Từ suy T −1 bị chặn mờ trực giác theo Hệ 2.3.2 liên tục Do T đẳng cấu tôpô mờ trực giác 2.3.5 Hệ ([5]) Đẳng cấu tôpô mờ trực giác bảo toàn tính đầy đủ Chứng minh Giả sử (V, µ, ν, ∗, ♦) đầy đủ T : (V, µ, ν, ∗, ♦) → (V , µ , ν , ∗ , ♦ ) đẳng cấu tôpô mờ trực giác Ta chứng minh (V , µ , ν , ∗ , ♦ ) đầy đủ Giả sử {yn } dãy Cauchy V Khi đó, với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho µ (ym − yn , t) > − ε ν (ym − yn , t) < ε, với m, n n0 , t > Với n = 1, 2, , tồn xn ∈ V cho yn = T xn , hay xn = T −1 yn Khi ta có µ(xm − xn , t) = µ(T −1 ym − T −1 yn , t) = µ(T −1 (ym − yn ), t) t )>1−ε µ (h(ym − yn ), t) = µ (ym − yn , |h| ν(xm − xn , t) = ν(T −1 ym − T −1 yn , t) = ν(T −1 (ym − yn ), t) t ν (h(ym − yn ), t) = ν (ym − yn , |h| ) < ε Từ {xn } dãy Cauchy V đầy đủ, suy xn → x ∈ V n → ∞ Do T liên tục nên T xn → T x, hay yn → y ∈ V Vậy (V , µ , ν , ∗ , ♦ ) đầy đủ 2.3.6 Định lý ([5]) Mọi toán tử tuyến tính T : (V, µ, ν, ∗, ♦) → (V , µ , ν , ∗, ♦), ♦ = max dimV < ∞ liên tục Chứng minh Nếu ta định nghĩa µ (x, t) = µ(x, t)∗µ (T x, t) 34 ν (x, t) = ν(x, t)♦ν (T x, t), (V, µ , ν , ∗, ♦) không gian định chuẩn mờ trực giác (a), (b), (c), (d), (f), (g), (h), (i), (j), (l), (m) suy trực tiếp từ định nghĩa Với bất đẳng thức tam giác (e) (k) µ (x, t) ∗ µ (z, s) = [µ(x, t) ∗ µ (T x, t)] ∗ [µ(z, s) ∗ µ (T z, s)] = [µ(x, t) ∗ µ(z, s)] ∗ [µ (T x, t) ∗ µ (T z, s)] µ(x + z, t + s) ∗ µ (T (x + z), t + s) = µ (x + z, t + s) Việc chứng minh (k) tương tự Như vậy, (µ, ν) (µ , ν ) hai không gian định chuẩn mờ trực giác không gian vecto hữu hạn chiều V (µ,ν) Theo Định lý 2.2.3 hai chuẩn tương đương Suy ra, xn −−−→ x (µ ,ν ) xn −−−−→ x, hay µ (xn − x, t) → ν (xn − x, t) → Khi µ (T (xn − x), t) µ (xn − x, t) → ν (T (xn − x), t) ν (xn − x, t) → (µ ,ν ) Suy ra, T xn −−−→ T x Do T liên tục 2.3.7 Hệ ([5]) Mọi đẳng cấu tuyến tính không gian định chuẩn mờ trực giác hữu hạn chiều đẳng cấu tôpô mờ trực giác Chứng minh Giả sử T : (V, µ, ν, ∗, ♦) → (V , µ , ν , ∗, ♦) đẳng cấu tuyến tính dimV = dimV = n < ∞ Suy ra, T ánh xạ một-một tồn T −1 Gọi {v1 , , } sở V , {T v1 , , T } sở V Với x ∈ V , x = α1 v1 + + αn , µ (T x, t) = µ (α1 T v1 + + αn T , t) (µ,ν) µ0 (c(|α1 | + + |αn |), t) (µ ,ν ) Vì vậy, xn −−−→ x, suy T xn −−−→ T x Do T liên tục Tương tự T −1 liên tục Vậy T đẳng cấu tôpô mờ trực giác 2.3.8 Hệ ([5]) Mọi không gian định chuẩn mờ trực giác hữu hạn chiều (V, µ, ν, ∗, ♦), với ♦ = max, đầy đủ 35 Chứng minh Giả sử ♦ = max Áp dụng Hê 2.3.7 (V, µ, ν, ∗, ♦) đẳng cấu tôpô mờ trực giác với (Rn , µ, ν, ∗, ♦) Vì (Rn , µ, ν, ∗, ♦) đầy đủ đẳng cấu tôpô mờ trực giác bảo toàn tính đầy đủ, ta suy (V, µ, ν, ∗, ♦) đầy đủ 36 kết luận Để tìm hiểu vấn đề không gian metric mờ trực giác, sau trình làm việc nghiêm túc tác giả hướng dẫn tận tình PGS.TS Trần Văn Ân luận văn đạt kết sau: Tiếp cận với với khái niệm Giải tích đại không gian metric mờ trực giác, không gian định chuẩn mờ trực giác Tác giả nắm số kiến thức không gian metric mờ trực giác, không gian định chuẩn mờ trực giác tìm hiểu số tính chất chúng Tìm hiểu mối quan hệ không gian metric mờ trực giác, không gian định chuẩn mờ trực giác với kết giải tích hàm như, tính liên tục, tính hội tụ, tính bị chặn, tính compact, tính đầy đủ thể Định lý 1.1.13, Hệ 1.1.14, Định lý 1.2.4, Bổ đề 1.2.5, Bổ đề 1.2.6, Bổ đề 1.3.1, Bổ đề 1.3.5, Định lý 1.3.8, Định lý 2.2.1 Nghiên cứu phương pháp xây dựng không gian Từ đưa chứng minh chi tiết số kết liên quan đến Giải tích hàm 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đức Ánh (2007), Một vài ứng dụng tập mờ trực giác g-đóng không gian tôpô mờ trực giác, Luận văn Thạc sỹ, Vinh [2] J L Kelly (1973), Tôpô đại cương, Nhà xuất ĐH THCN, Hà Nội [3] V Gregori, S Romaguera, P Veeramani (2006), A note on intuitionistic fuzzy topological spaces, Chaos solitons and fractals, (27), 331-344 [4] F G Lupiansnez (2006), On intuitionistic fuzzy topological spaces , Kybernetes, (35), 743-747 [5] R Saadati, J H Park (2006), On the intuitionistic fuzzy topological spaces, Chaos solitons and fractals, (28), 902-905 38 [...]... thì (M, N ) là một metric mờ trực giác trên V, được cảm sinh bởi chuẩn mờ trực giác (µ, ν) Chứng minh Việc chứng minh (M, N ) là một metric mờ trực giác trên V là dễ dàng bằng cách kiểm tra các điều kiện của định nghĩa không gian metric mờ trực giác và sử dụng giả thiết (V, µ, ν, ∗, ♦) là không gian định chuẩn mờ trực giác Ta chứng minh (M, N ) cảm sinh bởi chuẩn mờ trực giác (µ, ν) Giả sử {xn } là... vấn đề về không gian metric mờ trực giác, sau một quá trình làm việc nghiêm túc của tác giả dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Trần Văn Ân luận văn đã đạt được các kết quả sau: 1 Tiếp cận với với các khái niệm mới của Giải tích hiện đại là không gian metric mờ trực giác, không gian định chuẩn mờ trực giác Tác giả đã nắm được một số kiến thức cơ bản của không gian metric mờ trực giác, không gian định... metric mờ trực giác đầy đủ Từ xn tiến đến x theo metric mờ trực giác (M, N ) nếu và chỉ nếu |xn − x| → 0 nếu và chỉ nếu xn tiến đến x theo metric mờ trực giác (m, n) Do đó (M, N ) và (m, n) là những metric mờ trực giác tương đương Từ đó, không gian metric mờ trực giác (X, M, N, min, max) là không gian tôpô metric hoá được mờ trực giác đầy đủ 1.3.5 Bổ đề ([5]) Metric hoá được mờ trực giác bảo toàn dưới... G là mở đối với tôpô metric mờ trực giác và τ ⊂ U Do đó τ và U trùng nhau 1.3.6 Định lý ([5]) Một không gian con mở của một không gian metric hoá mờ trực giác đầy đủ là một không gian tôpô metric hoá được mờ trực giác đầy đủ Chứng minh Giả sử (X, M, N, ∗, ♦) là một không gian metric hoá mờ trực giác đầy đủ và G là một không gian con mở của X Nếu thu hẹp của (M, N ) trên G không đầy đủ thì chúng ta có... ♦N < ε Do đó dãy {xn } là dãy Cauchy trong không gian metric mờ trực giác đầy đủ (X, M , N , ∗, ♦) Vì thế nó hội tụ tới phần tử nào đó của X Từ xn → x0 trong Y , thêm x0 ∈ X suy ra Γ ⊆ X 22 CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN MỜ TRỰC GIÁC Trong phần này, sử dụng ý tưởng của không gian metric mờ trực giác, chúng ta định nghĩa khái niệm không gian định chuẩn mờ trực giác với sự trợ giúp của t-chuẩn liên tục... → ∞ Nói cách khác, M (f (xn , s), f (xm , s), t) m(xm , xn , t), với mọi m, n ∈ N, hay {f (xn , s)} là một dãy F -bị chặn Điều mâu thuẩn này chứng tỏ rằng p ∈ G Do đó {xn } hội tụ tới p theo (m, n) và như vậy (G, m, n, ∗, ♦) là một không gian metric hoá mờ trực giác đầy đủ 1.3.7 Hệ quả ([5]) Một tập Gδ trong một không gian metric mờ trực giác đầy đủ là một không gian tôpô metric hoá mờ trực giác đầy... tôpô cảm sinh bởi chuẩn mờ trực giác Chú ý rằng tôpô này trùng với tôpô cảm sinh bởi metric mờ trực giác 2.1.7 Định nghĩa ([5]) Cho (X, µ, ν, ∗, ♦) là một không gian định chuẩn mờ trực giác Một tập con A của V được gọi là tập IF -bị chặn nếu tồn tại t > 0 và 0 < r < 1 sao cho µ(x, t) > 1 − r và ν(x, t) < r, với mọi x ∈ A 2.1.8 Định lý ([5]) Trong một không gian định chuẩn mờ trực giác mọi tập compact... ♦) là một không gian metric mờ trực giác, x ∈ X và ∅ = A ⊆ X Ta định nghĩa D(x, A, t) = sup{M (x, y, t) : y ∈ A}, (t > 0) và C(x, A, t) = inf{N (x, y, t) : y ∈ A}, (t > 0) Chú ý rằng D(x, A, t) và C(x, A, t) là độ gần sát và độ không gần sát của x tới A tại t 1.3.3 Định nghĩa ([5]) Một không gian tôpô được gọi là không gian tôpô metric hoá mờ trực giác đầy đủ nếu tồn tại một metric mờ trực giác đầy... {xn } được gọi là hội tụ tới x ∈ V trong không gian định chuẩn mờ (µ,ν) trực giác (V, µ, ν, ∗, ♦) và kí hiệu bởi xn −−−→ x nếu µ(xn − x, t) → 1 và ν(xn − x, t) → 0 khi n → ∞ và với mọi t > 0 Một không gian định chuẩn mờ trực giác được gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy là hội tụ 2.1.4 Bổ đề ([5]) Cho (V, µ, ν, ∗, ♦) là một không gian định chuẩn mờ trực giác Nếu ta định nghĩa M (x, y, t) = µ(x... một không gian tôpô metric hoá mờ trực giác đầy đủ 1.3.8 Định lý ([5]) Cho (Y, M, N, ∗, ♦) là một không gian metric mờ trực giác và X là một không gian con tôpô metric hoá được mờ trực giác đầy đủ của Y Khi đó X là một tập con Gδ của Y Chứng minh Giả sử (X, M , N , ∗, ♦) là một không gian metric mờ trực giác cảm sinh cùng tôpô X như (M, N ) Với mỗi x ∈ X và mỗi n ∈ N, cho rn (x) là một số thực dương ... không gian định chuẩn mờ trực giác Tác giả nắm số kiến thức không gian metric mờ trực giác, không gian định chuẩn mờ trực giác tìm hiểu số tính chất chúng Tìm hiểu mối quan hệ không gian metric mờ. .. hoá mờ trực giác đầy đủ 1.3.7 Hệ ([5]) Một tập Gδ không gian metric mờ trực giác đầy đủ không gian tôpô metric hoá mờ trực giác đầy đủ 1.3.8 Định lý ([5]) Cho (Y, M, N, ∗, ♦) không gian metric mờ. .. tưởng không gian metric mờ trực giác, định nghĩa khái niệm không gian định chuẩn mờ trực giác với trợ giúp t-chuẩn liên tục t-đối chuẩn liên tục tổng quát không gian định chuẩn mờ trực giác giới