2 Không gian định chuẩn mờ trực giác
2.3. Toán tử tuyến tính bị chặn
2.3.1 Định nghĩa. ([5]) Một toán tử tuyến tính
T : (V, µ, ν,∗,♦) → (V0, µ0, ν0,∗0,♦0) được gọi là bị chặn mờ trực giác nếu tồn tại các hằng số h, k ∈ R− {0} sao cho với mọi x thuộc V và với mọi
t > 0,
µ0(T x, t) > µ(hx, t) và ν0(T x, t) 6ν(hx, t).
2.3.2 Hệ quả. ([5]) Mọi toán tử tuyến tính bị chặn mờ trực giác là liên tục.
Chứng minh. Giả sử T : (V, µ, ν,∗,♦) → (V0, µ0, ν0,∗0,♦0) là toán tử tuyến tính bị chặn mờ trực giác. Khi đó, tồn tại h, k ∈ R− {0} sao cho mọi x thuộc V và mọi t > 0, µ0(T x, t) >µ(hx, t) và ν0(T x, t) 6 ν(hx, t).
Giả sử xn −−−→(µ,ν) x trong (V, µ, ν,∗,♦). Suy ra
µ(xn−x, t) →1, ν(xn−x, t) →0, với mọi t > 0. Do đó, từ
µ0(T xn−T x, t) =µ0(T(xn−x), t) >µ(h(xn−x), t) =µ(xn−x,|h|t ) →1
và
ν0(T xn−T x, t) = ν0(T(xn−x), t) 6ν(h(xn−x), t) = ν(xn−x, |h|t ) → 0. Suy ra T xn →T x khi n → ∞. Vậy T-liên tục.
2.3.3 Định nghĩa. ([5]) Toán tử tuyến tính
T : (V, µ, ν,∗,♦) → (V0, µ0, ν0,∗0,♦0) là một đẳng cấu tôpô mờ trực giác
nếu T là song ánh và cả hai T và T−1 là liên tục. 2.3.4 Bổ đề. ([5]) Toán tử tuyến tính
T : (V, µ, ν,∗,♦) → (V0, µ0, ν0,∗0,♦0) là đẳng cấu tôpô mờ trực giác nếu T là ánh xạ lên và tồn tại những hằng số a, b, a0, b0 6= 0 sao cho
µ(ax, t) 6 µ0(T x, t) 6 µ(bx, t) và
ν(a0x, t) 6 ν0(T x, t) 6ν(b0x, t).
Chứng minh. Từ giả thiết T là bị chặn mờ trực giác, và từ Hệ quả 2.3.2, suy ra T liên tục. Khi T x = 0 kéo theo 1 = µ0(T x, t) 6 µ(bx, t) = µ(x,|b|t )
và cho nên x = 0, do đó T là tương ứng một-một. Vì thế, tồn tại T−1 và từ µ0(T x, t) 6 µ(bx, t) và ν0(T x, t) 6 ν(b0x, t), tương đương với µ0(y, t) 6
µ(bT−1y, t) =µ(T−1y,|b|t ) và ν0(y, t) 6 ν(bT−1y, t) = ν(T−1y, |bt0|), hay µ0(1by, t) 6 µ(T−1y, t) và ν0(b10y, t) 6 ν(T−1y, t) trong đó y = T x. Từ đó suy ra T−1 là bị chặn mờ trực giác và theo Hệ quả 2.3.2 thì nó liên tục. Do đó T là một đẳng cấu tôpô mờ trực giác.
2.3.5 Hệ quả. ([5]) Đẳng cấu tôpô mờ trực giác bảo toàn tính đầy đủ. Chứng minh. Giả sử (V, µ, ν,∗,♦) đầy đủ và
T : (V, µ, ν,∗,♦) → (V0, µ0, ν0,∗0,♦0) là đẳng cấu tôpô mờ trực giác. Ta chứng minh (V0, µ0, ν0,∗0,♦0) đầy đủ.
Giả sử {yn} là dãy Cauchy trong V0. Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho
µ0(ym−yn, t) > 1−ε và ν0(ym −yn, t) < ε,
với mọi m, n > n0, t > 0. Với mọi n = 1,2, ..., tồn tại xn ∈ V sao cho yn = T xn, hay xn = T−1yn. Khi đó ta có µ(xm −xn, t) =µ(T−1ym −T−1yn, t) = µ(T−1(ym −yn), t) > µ0(h(ym −yn), t) = µ0(ym −yn,|h|t ) > 1−ε và ν(xm −xn, t) =ν(T−1ym−T−1yn, t) = ν(T−1(ym −yn), t) 6ν0(h(ym −yn), t) =ν0(ym −yn,|h|t ) < ε.
Từ đó {xn} là dãy Cauchy trong V đầy đủ, suy ra xn → x ∈ V khi n→ ∞. Do T liên tục nên T xn → T x, hay yn →y ∈ V0. Vậy (V0, µ0, ν0,∗0,♦0) đầy đủ.
2.3.6 Định lý. ([5]) Mọi toán tử tuyến tính
T : (V, µ, ν,∗,♦) → (V0, µ0, ν0,∗,♦), trong đó ♦ = max và dimV < ∞ là liên tục.
Chứng minh. Nếu ta định nghĩa
µ00(x, t) = µ(x, t)∗µ0(T x, t) (6) và
ν00(x, t) =ν(x, t)♦ν0(T x, t), (7) thì (V, µ00, ν00,∗,♦) là một không gian định chuẩn mờ trực giác vì (a), (b),
(c), (d), (f), (g), (h), (i), (j), (l), (m) là suy trực tiếp từ định nghĩa. Với bất đẳng thức tam giác (e) và (k)
µ00(x, t)∗µ00(z, s) = [µ(x, t)∗µ0(T x, t)]∗[µ(z, s)∗µ0(T z, s)] = [µ(x, t)∗µ(z, s)]∗[µ0(T x, t)∗µ0(T z, s)] 6 µ(x+z, t+s)∗µ0(T(x+z), t+s) = µ00(x+z, t+s).
Việc chứng minh (k) là tương tự. Như vậy, (µ, ν) và (µ00, ν00) là hai không gian định chuẩn mờ trực giác trên không gian vecto hữu hạn chiều V. Theo Định lý 2.2.3 hai chuẩn này tương đương. Suy ra, nếu xn −−−→(µ,ν) x thì xn (µ 00,ν00) −−−−→ x, hay µ00(xn−x, t) →1 và ν00(xn−x, t) → 0. Khi đó µ0(T(xn−x), t) > µ00(xn−x, t) →1 và ν0(T(xn −x), t) 6 ν00(xn−x, t) →0. Suy ra, T xn (µ 0,ν0) −−−→ T x. Do đó T là liên tục.
2.3.7 Hệ quả. ([5]) Mọi đẳng cấu tuyến tính giữa các không gian định chuẩn mờ trực giác hữu hạn chiều là một đẳng cấu tôpô mờ trực giác.
Chứng minh. Giả sử T : (V, µ, ν,∗,♦) →(V0, µ0, ν0,∗,♦) là đẳng cấu tuyến tính và dimV = dimV0 = n < ∞. Suy ra, T là ánh xạ một-một và tồn tại T−1. Gọi {v1, ..., vn} là một cơ sở của V, khi đó {T v1, ..., T vn} là cơ sở của V0. Với mọi x ∈ V, x = α1v1 +...+ αnvn, khi đó
µ0(T x, t) =µ0(α1T v1 +...+αnT vn, t) >µ0(c(|α1|+ ...+|αn|), t). Vì vậy, xn −−−→(µ,ν) x, suy ra T xn (µ
0,ν0)
−−−→ T x. Do đó T liên tục. Tương tự T−1 liên tục. Vậy T là đẳng cấu tôpô mờ trực giác.
2.3.8 Hệ quả. ([5]) Mọi không gian định chuẩn mờ trực giác hữu hạn chiều (V, µ, ν,∗,♦), với ♦ = max, là đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử ♦ = max. Áp dụng Hê quả 2.3.7 thì (V, µ, ν,∗,♦) là đẳng cấu tôpô mờ trực giác với (Rn, µ, ν,∗,♦). Vì (Rn, µ, ν,∗,♦) là đầy đủ và đẳng cấu tôpô mờ trực giác bảo toàn tính đầy đủ, ta suy ra (V, µ, ν,∗,♦)
kết luận
Để tìm hiểu các vấn đề về không gian metric mờ trực giác, sau một quá trình làm việc nghiêm túc của tác giả dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Trần Văn Ân luận văn đã đạt được các kết quả sau:
1. Tiếp cận với với các khái niệm mới của Giải tích hiện đại là không gian metric mờ trực giác, không gian định chuẩn mờ trực giác. Tác giả đã nắm được một số kiến thức cơ bản của không gian metric mờ trực giác, không gian định chuẩn mờ trực giác và tìm hiểu một số tính chất của chúng.
2. Tìm hiểu mối quan hệ giữa không gian metric mờ trực giác, không gian định chuẩn mờ trực giác với các kết quả trong giải tích hàm như, tính liên tục, tính hội tụ, tính bị chặn, tính compact, tính đầy đủ thể hiện ở Định lý 1.1.13, Hệ quả 1.1.14, Định lý 1.2.4, Bổ đề 1.2.5, Bổ đề 1.2.6, Bổ đề 1.3.1, Bổ đề 1.3.5, Định lý 1.3.8, Định lý 2.2.1.
3. Nghiên cứu phương pháp xây dựng các không gian mới. Từ đó đưa ra chứng minh chi tiết một số kết quả liên quan đến Giải tích hàm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đức Ánh (2007), Một vài ứng dụng của các tập mờ trực giác g-đóng trong không gian tôpô mờ trực giác, Luận văn Thạc sỹ, Vinh. [2] J. L. Kelly (1973), Tôpô đại cương, Nhà xuất bản ĐH và THCN, Hà
Nội.
[3] V. Gregori, S. Romaguera, P. Veeramani (2006), A note on intu- itionistic fuzzy topological spaces, Chaos solitons and fractals, (27), 331-344.
[4] F. G. Lupiansnez (2006), On intuitionistic fuzzy topological spaces , Kybernetes, (35), 743-747.
[5] R. Saadati, J. H. Park (2006), On the intuitionistic fuzzy topological spaces, Chaos solitons and fractals, (28), 902-905.