Hệ thống các bài bài tập điện động lực phần tĩnh điện

Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện Lời mở đầu Điện động lực nghiên cứu quy luật tổng quát điện từ trờng hạt tích điện Những phơng trình điện động lực học phơng trình Maxwell Nó cho phép ta giải thích đợc tợng điện từ nghiên cứu đợc tợng điện từ Điện động lực nh môn học khác, việc giải tập quan trọng, giúp cho học sinh, sinh viên nắm vững lý thuyết, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng kiến thức cách tốt Các tập điện động lực bao gồm nhiều phần, nhng phạm vi luận văn xin đề cập tới phần tĩnh điện Trong chơng trình đa vào giảng dạy, số tiết chữa tập phần không nhiều Vì nên sinh viên cha có điều kiện hệ thống lại khắc sâu tập, khả giải tập tĩnh điện sinh viên hạn chế Vì lí với yêu mến môn Điện động lực nên chọn đề tài: Hệ thống tập điện động lực phần tĩnh điện Nhìn chung tập tĩnh điện đa dạng, phong phú có nhiều phơng pháp giải khác Trong phạm vi luận văn, trình bày loại tập loại đợc minh hoạ phơng pháp giải khác Bằng kiến thức Điện đại cơng, Điện động lực, giải tích, cách thu thập tài liệu có liên quan, với giúp đỡ thầy cô, anh chị khoá trớc, bạn bè đặc biệt cô giáo Lê Thị Thai, hoàn thành luận văn với nội dung nh sau: - Phần I: Cơ sở lý thuyết - Phần II: Bài tập - Phần III: Kết luận Tôi hy vọng sau luận văn đợc hoàn thành giúp bạn sinh viên khoá sau có thêm tài liệu bổ ích Đây giai đoạn đầu ngời tập làm nghiên cứu khoa học với kiến thức cha nhiều, kinh nghiệm với quỹ thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đợc bảo, góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên, học sinh để luận văn đợc hoàn chỉnh Cuối cùng, với lòng biết ơn sâu sắc xin gửi lời cảm ơn chân thành tới cô giáo hớng dẫn Lê Thị Thai - Ngời giúp đỡ nhiều kiến thức, phơng pháp nghiên cứu nguồn tài liệu quý giá, đồng thời xin Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện gửi đến thầy cô giáo khoa, bạn bè đồng nghiệp lời cảm ơn sâu sắc, tạo điều kiện để hoàn thành tốt luận văn Vinh, tháng 5/ 2003 Ngời thực : Phan Thị Quý Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện Phần I: Cơ sở lý thuyết I Phân loại : Trờng tĩnh điện có loại toán bản: I.1- Loại 1: cho biết trờng tức cho biết = ( r ) hàm toạ độ Ta phải tìm phân bố điện tích tức tìm = ( r ) ; = ( r ) : điểm không gian I.2- Loại 2: Cho biết phân bố điện tích, ta phải tìm giá trị điện trờng điểm không gian I.3- Loại 3: Tìm lực tác dụng lên điện tích, vật dẫn, đặt điện trờng tính điện dung, lợng Cùng với loại toán trên, tập phần tĩnh điện có số toán tính điện tích cảm ứng II Phơng pháp giải: II.1- Loại 1: Khi biết : = ( r ) ta tìm đợc phân bố điện tích tơng ứng nhờ phơng trình Maxwell divD = ; D = E , phơng trình Poat xông = mối liên hệ cờng độ điện trờng E : E = grad , điều kiện biên: D n D1n = II.2 -Loại 2: Khi biết = ( r ) ; = ( r ) để tính trờng ta sử dụng phơng pháp sau: II.2.1 -Phơng pháp 1: Tính trờng dựa vào định luật Culông: q + Đối với trờng điện tích điểm thì: E i = q i ri ; i = i 4ri 4r i Trong đó: qi điện tích điểm thứ i gây trờng ri khoảng cách từ điện tích điểm thứ i tới điểm ta xét số điện môi tuyệt đối môi trờng + Đối với trờng hệ điện tích điểm thì: Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện n n q ri E = Ei = i ; i =1 i =1 4ri n qi i =1 ri n = i = i =1 + Đối với trờng hệ điện tích phân bố liên tục thể tích V dV r dV đó: E= ; = V r r V r +Nếu xét hệ điện tích phân bố liên tục mặt S với mật độ điện tích mặt ( r ) ta có: ( r ) dS r dS E= ; = S r S r r +Nếu hệ điện tích phân bố liên tục đoạn dây với với dl r dl E= ; = mật độ : L r r L r +Nếu hệ điện tích vừa có điện tích phân bố theo mật độ điện tích khối ( r ) vừa có điện tích phân bố theo mật độ điện mặt ( r ) : ( r ) dV r ( r ) r dV dS E= dS ; = + + 2 V r V r S r r S r r II.2.2 - Phơng pháp 2: Tính trờng dựa vào định lý Ôxtrôgratxky-Gauxơ Điện thông qua mặt kín tổng đại số điện tích nằm mặt kín chia cho số điện môi q qi q hay = E = = S dS = E Từ ta tính đợc E theo = grad II.2.3- Phơng pháp Tính trờng dựa vào việc lấy tích phân phơng trình Poatxông, Laplaxơ = = (phơng trình Poatxông) (phơng trình Laplaxơ) Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện Từ hai phơng trình sử dụng điều kiện biên cho phép ta tính đợc trờng điểm Tuy nhiên để giải đợc phơng pháp ta cần phải sử dụng phơng trình Laplaxiên, Građiên hệ toạ độ trụ hệ toạ độ cầu = r + sin + r r r r sin r sin grad = e r + e + e r r sin + Trong hệ toạ độ trụ ta có: = + r + r r r r z 2 grad = e r + e + ez r r z II.2.4 - Phơng pháp 4: Tính trờng phơng pháp ảnh điện Phơng pháp áp dụng cho toán tìm trờng hay số điện tích điểm có mặt biên Nội dung phơng pháp chổ chọn điện tích tởng tợng phụ cho điện tích với điện tích cho gây điện trờng mà trờng mặt vật dẫn điện cho trùng với mặt đẳng trờng II.3- Loại 3: Tìm lực tác dụng lên điện tích , vật dẫn đặt điện trờng điện dung, lợng II.3.1 Lực tác dụng tĩnh điện trờng - Lực điện trờng tác dụng lên điện tích điểm : F = e - Nếu điện tích đợc phân bố liên tục thể tích V thì: F = dV V - Lực tác dụng lên lỡng cực tổng lực tác dụng lên điện tích âm điện tích dơng F = e r + l ( r ) {( ) } Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện F = ( p ) (trong trờng hợp lỡng cực nhỏ) Trong cờng độ điện trờng nơi có lỡng cực - Nếu biết biểu thức lợng hệ điện tích ta tính lực tác dụng theo: W F = = gradW r - Đối với lỡng cực đặt trờng tĩnh điện F = grad( ) W = U = Nh tùy theo toán cụ thể mà ta áp dụng công thức cho thích hợp II.3.2 Tính lợng trờng tĩnh điện - Năng lợng trờng tĩnh điện đợc tính theo công thức : Hay: W= DdV (*) 2V W= dV (**) 2V với (*) lợng điện trờng lợng đợc phân bố liên tục không gian có điện trờng, (**) lợng điện trờng lợng tơng tác điện tích Trong đó: dV điện tích nguyên tố tích dV , điện tất điện tích lại gây nguyên tố dV - Năng lợng hệ điện tích điểm đợc tính : W= e i i n - Năng lợng hệ vật dẫn tích điện : + Vì điện tích vật dẫn phân bố mặt công thức tính lợng đối hệ vật dẫn : W= dS Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện + Vì điện vật dẫn số nên vật dẫn thứ i Wi = 1 i i dS i = i e i 2 Đối với hệ : W = Wi = n i e i n + Nếu hệ vật dẫn tụ điện, ta có : 1 e2 W = C( V1 V2 ) = 2 C II.3.3 Tính điện dung vật dẫn Để tính điện dung vật dẫn cô lập tụ điện ta sử dụng công thức sau: - Đối với điện dung vật dẫn cô lập C = Trong đó: q V q điện tích vật dẫn V điện vật dẫn - Đối với điện dung tụ điện ta sử dụng công thức C = q V1 V2 Trong V1 ,V2 hai tụ Ngoài loại toán tập phần tĩnh điện có số toán tính điện tích cảm ứng Phơng pháp chủ yếu để giải toán dùng thuyết tơng hỗ Green Công thức tổng quát thuyết : n k =1 ' n k q k = k q ' k k =1 Trong đó: k vật dẫn chúng tích điện qk k vật dẫn chúng tích điện qk Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện Trong trờng hợp hệ vật dẫn mà có số tất điện tích điểm Khi ta phải hiểu k trờng điểm đặt qk (Trờng tất điện tích điểm tạo trừ điện tích qk) Ngoài phơng pháp dùng thuyết tơng hỗ Green để giải ta giải toán theo phơng pháp ảnh điện nói Đối với phơng pháp ảnh điện ta cần thay hệ điện tích cho hệ hai điện tích q qc (điện tích cảm ứng ) với giá trị vị trí q c cần tìm cho trờng đợc tạo giống hệt với trờng tạo hệ điện tích ban đầu Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện Phần II: Bài tập I Loại I : Bài tập tìm phân bố điện tích cho biết trờng Nhìn chung việc giải tập thuộc loại tơng đối đơn giản cách áp dụng phơng trình divD = ; D = điều kiện biên D2n-D1n= ta tìm dợc phân bố tơng ứng biết trờng Khi cho ta tìm phân bố điện tích dựa vào phơng trình Poat xông = Do việc giải tập loại tơng đối đơn giản đề tài giải số tập điển hình Một số công thức vận dụng giải tập loại : Trong toạ độ trụ a gradu = u u u er + e + ez r r z u u 2u b u = r + + r r r r r z Trong toạ độ cầu a gradu = u u u er + e + e r r d sin u 2u u b u = + sin + sin r r sin sin r r Một số toán Bài Thế trờng tĩnh điện chân không Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện 10 ax = ax (x > 0) (x < 0) Xác định phân bố điện tích tạo trờng Bài giải : Ta có phơng trình Poatxông hệ toạ độ Đề vuông góc 2 = + + = y z x ax Từ điều kiện toán : = ax (x > 0) (x < 0) Ta thấy phụ thuộc bậc vào toạ độ x = ( x ) Mà = nên mật độ điện khối = Nh trờng tạo thành điện tích phân bố theo thể tích + Xác định Ta có điện trờng E đợc tính: y = =0 y z = a Ex = = x a =0 z (x > 0) (x < 0) Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện 52 q2 Từ biểu thức tính lợng tụ điện : W = 2C R 2R1 q C = = R1 R 2W Nên ta có : RR q2 R R1 Vậy : W = ; C = R R1 R 1R Bài 27: Tính lợng điện dung tụ điện trụ đặt chân không Bài giải: Tụ điện trụ tụ điện có hai mặt trụ đặt đồng tâm với có bán kính R1, R2 (R1 W2 > W1 W1 C (W2 = W1) Vậy công A cần tìm : A = W2 - W1 = W1 -W1 =W1( - 1) = ( - 1) C1 ()2 0 = S ( - 1) ()2 d Vậy : A = S ( - 1) ()2 d Bài 29: Xác dịnh lợng tơng tác hai lỡng cực điện có mô men lỡng cực điện P P đặt tùy ý chân không Hỏi phải tốn công để đặt hai lỡng cực song song với Bài giải: Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện 54 Theo ta có P , P hai mô men lỡng cực r vectơ bán kính 12 từ tâm lỡng cực P tới tâm lỡng cực P Khi P nằm trờng P P nằm trờng P1 tơng tác đợc với thông qua môi trờng điện trờng trờng gây P1 P2 P1 P2 r 12 - Gọi E cờng độ trờng P1 sinh đặt vị trí P ta có: P1 r 12 ( Thế lỡng cực vị trí ) = - với = 12 12 E2 P2 r12 Mà : 12= ( P1 r 12 r12 3( P1 r12 ( = - = 12 E2 r12 ( P 31 3( P r 125 )= r12 r12 )r 12 )r 12 ) P1 r12 Khi lợng tơng tác P với trờng sinh P : P1 2 ( P r 12 ) P r 12 P1 P W = - ( P E2 ) = r12 r12 ) Nh công cần phải tìm để đặt hai lỡng cực song song phải lợng mà hệ hai lỡng cực có chúng nằm song song Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện 55 A = W12 P1 P2 3( P1 P2 cos ) = r12 r12 Với góc hớng lỡng cực hớng nối tâm hai lỡng cực P P 3( P r 12 )( P r 12 ) Vậy: W = r12 r12 A= P1 P2 3( P1 P2 cos ) r12 r12 Bài 31: Một tụ điện phẳng có hai tụ cách khoảng d, diện tích tụ S Độ điện thẩm hai tụ biến thiên đặn( tỷ lệ tuyến tính) theo khoảng cách từ sang khác Hãy tính điện dung tụ điện đó, biết giá trị độ điện thẩm bề mặt lần lợt 1và Bài giải: Do độ điện thẩm hai tụ biến thiên đặn theo khoảng cách từ sang khác suy : (x) = ax + b ; Trong (0) = = b (d) = = ad + b Ta có công thức tính điện dung tụ phẳng là: C = S ( x )S C( x ) = d d d 1d 1d = dx = dx = dx = ln aS C ( x )S S ( x ) S ax + b Mà: = b = ad + b ad = 2- a = d = ln Vậy nên : C S( ) d S( ) C= d ln Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện 56 Bài 32: Một tụ điện phẳng đợc mắc vào nguồn để giữ cho hiệu điện U Đa vào khoảng cách hai điện môi có số để lấp đầy a) CMR : Khi nguồn điện thực công q U0 ( - 0)/ Trong q0 điện tích tụ ban đầu(khi tụ cha lấp đầy điện môi) b) Tính công thực lực lấp đầy điện môi Công thực lực đặt lên điện môi hay điện môi Bài giải: Ta có lợng tụ điện : W = Q2 2C Trong trình điện môi dịch chuyển vào tụ điện, điện tích lẫn điện điện dung C tụ điện thay đổi nên : dW = Q dQ Q dC C 2C Do hiệu điện U0 không đổi suốt trình nên; U0 = Q C dW = U0dQ - U dC - Số hạng U0dQ công nguồn điện làm thay đổi điện tích tụ điện - Số hạng - U dC công lực cần thiết đặt lên điện môi a) Sau dịch chuyển miếng điện môi vào tụ điện, điện tích tụ điện : q0/0 Do công nguồn điện A= q / q0 U dQ = U q / q0 dQ = q U đpcm b) Ta có điện dung tụ điện lúc đầu(khi cha có miếng điện môi) C0 = q0 U0 Điện dung tụ điện lúc chuyển miếng điện môi vào: C = q0 U Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện 57 Do công lực : q / U q0 / U0 U0 qU dC = 0 2 Công lực tác dụng lên điện môi gây Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện 58 Một số nhận xét Qua việc giải số toán loại nhận thấy: Tuy yêu cầu toán khác nhau, có xác định điện dung có xác định lợng, có tính lực nhng hầu hết đan xen toán phải xác định lực, lợng điện dung Về phơng pháp giải chủ yếu ta áp dụng công thức tính lực lợng vật dẫn, tụ điện, lỡng cực điện, đặt trờng tĩnh điện cho toán Tuy nhiên toán tính điện dung lợng vật ta tính theo hai phơng pháp + Ta tính lợng trớc tính điện dung theo công thức: W= q2 2C + Hoặc ta tính điện dung trớc từ định nghĩa C = Và ta tính V1 - V2 theo công thức theo công thức E q V1 V2 = -grad sau tính lợng Ngoài việc sử dụng công thức mà ta nêu phần lý thuyết để giải số toán ta sử dụng công thức công A độ biến thiên lợng : A = W2 - W1 Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện 59 IV Một số toán tính điện tích cảm ứng Bài 33: Một điện tích điểm q nằm chân không, cách tâm cầu dẫn nối đất đoạn l Bán kính cầu a (a[...]... thấy ở bài toán này không có mặt phân cách do đó không có sự phân bố điện tích mặt Vậy = q ar e a 2r Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện 15 Một số nhận xét: Qua việc giải một số bài toán điển hình của loại bài toán tìm sự phân bố điện tích ta nhận thấy rằng giải bài tập loại này không phức tạp lắm Nhìn chung các bớc giải khá rõ ràng: - Từ giả thiết của bài toán ta xác định đợc các mặt... 2 t = n + C1 = C1 = 6 3a 2 Hệ thống các bài tập Điện động lực phần tĩnh điện 19 r >a a 3 3r = 2 2 r + a 6 2 Vậy: ra ) ( r ... tạo giống hệt với trờng tạo hệ điện tích ban đầu Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện Phần II: Bài tập I Loại I : Bài tập tìm phân bố điện tích cho biết trờng Nhìn chung việc giải tập thuộc... Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện 48 III Loại 3: Bài tập xác định lực lợng Bài 23: Có tụ điện phẳng, cốt hình vuông cạnh a, khoảng cách hai cốt d, đa vào khoảng không gian hai cốt điện. .. (d b) + b - Để xác định lực cần phải thực để đa điện môi vào độ điện thẩm điện môi hai cốt tụ điện đợc tích điện đến hiệu điện Hệ thống tập Điện động lực phần tĩnh điện 49 không đổi ta phải