Hệ thống bài tập về thống kê lượng tử

Tuy vậy, nhiều kết quả thu đ- ợc là không phù hợp với thực nghiệm nh khúc xạ cân bằng của vật đen tuyệt đối cho nên để giải thích nhiều tính chất của các đối tợng vi mô thay thế chocơ họ

- Phần "Thống kê lợng tử" là phần khó Do thời gian có hạn nên các bài tập

về thống kê lợng tử sinh viên chỉ mới đợc giới thiệu qua, vì vậy em đã chọn đềtài "Hệ thống bài tập về thống kê lợng tử" để có điều kiện tìm hiểu sâu hơn,hoàn thiện hơn về các kiến thức vật lý thống kê nói riêng và các kiến thức vật

lý liên quan nói chung

II mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu hệ thống lý thuyết phần thống kê lợng tử.

- Su tầm, giải và phân loại các bài toán về thống kê lợng tử

III cấu trúc luận văn

Đề tài "Hệ thống bài tập về thống kê lợng tử" là một đề tài khó, khá mới

mẻ, có thể nói đây là lần đầu tiên một sinh viên vật lý của khoa nhận đề tàinày Bởi vậy, khi tiếp nhận đề tài em còn gặp rất nhiều khó khăn Nhng với sự

cố gắng của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo hớng dẫn, em đãhoàn thành các nội dung chính mà luận văn đặt ra

Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý và các thầy giáotrong khoa và đặc biệt là thầy giáo Đỗ Văn Toán, các bạn bè trong lớp đã nhiệttình giúp đỡ em hoàn thành luận văn này

Vinh, ngày 10 tháng 1 năm 2003

Sinh viên: Trịnh Thị Nhung

B Phần nội dung

I- Hệ thống lý thuyết.

Vật lý thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ

mà ta khảo sát với các đặc tính và các định luật chuyển động của các hạt vimô cấu thành hệ dựa vào các tính chất đã biết của các hạt tạo thành hệ, và hai

là vấn đề ngợc lại nghĩa là tìm các đặc tính của các hạt cấu thành hệ dựa vàocác tính chất vĩ mô của hệ

Tuỳ thuộc vào hệ mô hình vật chất mà ta dùng để diễn tả hiện tợng nàyhay hiện tợng khác mà ngời ta thờng tách Vật lý thống kê làm hai phần: Vật lýthống kê cổ điển và Vật lý thống kê lợng tử Vật lý thống kê lợng tử là tổngquát và chặt chẽ hơn vật lý thống kê cổ điển, bởi vì từ vật lý thống kê lợng tử

ta có thể thu đợc tất cả các luận đề cơ bản của vật lý thống kê cổ điển

Cơ sở, công cụ toán học của Vật lý thống kê là lý thuyết xác xuất.Trong phần thống kê cổ điển ta xét hệ các hạt mà chuyển động của chúng tuântheo các định luật của cơ học cổ điển mà cụ thể ở đây để mô tả chuyển độngcủa các hạt dùng phơng trình chính tắc Hamitơn Tuy vậy, nhiều kết quả thu đ-

ợc là không phù hợp với thực nghiệm nh khúc xạ cân bằng của vật đen tuyệt

đối cho nên để giải thích nhiều tính chất của các đối tợng vi mô thay thế chocơ học cổ điển ta phải dùng cơ học lợng tử, ví dụ nh lỡng tính sóng hạt của các

đối tợng vi mô ( đã đợc khám phá và đợc xác nhận bởi nhiều sự kiện thựcnghiệm), tính gián đoạn của các thông số vật lý đặc trng cho hạt vi mô, cáctính chất Spin

Nhiệm vụ của vật lý thống kê lợng tử là nghiên cứu các tính chất củacác hệ nhiều hạt mô tả bằng phơng pháp cơ học lợng tử Ta phải xét một tậphợp các trạng thái vi mô khác nhau tơng thích với những điều kiện bên ngoàinhất định (tập hợp thống kê lợng tử) Sau đó dựa vào các trạng thái khả hữu đócủa hệ và bằng phơng pháp thống kê ta có thể xác định đợc xác xuất của trạngthái, và do đó, xác định đợc trị trung bình của các thông số vi mô khác nhau

của hệ Nói khác đi, khi khảo sát các hệ lợng tử ta cần phải biết định luật phân

bố xác xuất của các trạng thái riêng lẻ

Để tìm các định luật phân bố thống kê lợng tử, ngời ta có thể dùng haiphơng pháp: Phơng pháp Gipxơ và phơng pháp các “ô” của Bonzơman Về ph-

ơng diện lịch sử phơng pháp các “ô” của Bonzơman ra đời trớc phơng phápGipxơ Vì vậy đầu tiên ta hãy xét phơng pháp các ô của Bonzơman, tuy rằngphơng pháp Gipxơ có nhiều u điểm hơn và đợc coi là phơng pháp cơ bản củavật lý thống kê hiện tại

1 Phơng pháp các ô của Bonzơman để tìm các thống kê lợng tử.

1.1 Giới thiệu về phơng pháp các ô của Bonzơman

Nội dung của phơng pháp đó là: Chia không gian pha ra làm các “ô”

t-ơng ứng với các giá trị khác nhau của năng lợng và xét các sự phân bố khácnhau của các hạt của hệ theo các ô đó, từ đó tìm ra đợc số các trạng thái vi môkhả hữu của hệ tơng thích với những điều kiện bên ngoài nhất định tức là tìm

đợc xác xuất nhiệt động của hệ; sau đó dựa vào nguyên lý Bonzơman:

“Entrôpi của trạng thái vĩ mô của hệ là tỷ lệ với loga của xác xuất nhiệt động”

Ta biết rằng Entrôpi đợc xác định qua lôgarit của số các trạng thái vi môkhả hữu của hệ (lôgarit của xác xuất nhiệt động) theo công thức (1.1)

S = KlnWt (1.1)

Entrôpi định nghĩa nh vậy không những có tất cả các tính chất cần đòi hỏi, màcòn phù hợp với định lý Necxtơ (định lý thứ ba của nhiệt động lực học) Thựcvậy, khi nhiệt độ hạ thấp dần xuống, hệ sẽ chiếm các mức năng lợng ngàycàng thấp và cuối cùng khi hệ chỉ nằm trong trạng thái lợng tử thấp nhất (về

phơng diện năng lợng) thì Entrôpi của nó trở thành bằng không bởi vì khi đóW=1 và do đó:

S = KlnWt = Kln1 = 0Trong Vật lý thống kê lợng tử một trạng thái của hệ trong không gian pha tơngứng với không phải là một điểm pha mà là một thể tích cực tiểu nào đó củakhông gian pha Đối với một hệ gồm N hạt, thể tích cực tiểu nh vậy của khônggian pha là bằng Γ min =h3N Kết quả đo đợc rút ra trực tiếp từ hệ thức bất

định đối với tất cả 3N toạ độ và xung lợng suy rộng

N

p q

p q

p1∆ 1 ∆ 2∆ 2 ∆ 3 ∆ 3 ≥ 3

∆

= Γ

Do đó đối với một hệ lợng tử gồm N hạt, một thể tích bất kỳ Γ của không gianpha sẽ có chứa Γ/h3N trạng thái lợng tử

Mặt khác, ta biết rằng trong vật lý thống kê lợng tử, do tính không thểphân biệt đợc của các hạt, các phép hoán vị bất kì của chúng sẽ không đa đếntrạng thái vi mô nào cả Vì vậy, số các trạng thái lợng tử sẽ N! lần nhỏ đi vàtrong thể tích Γ của không gian pha sẽ chỉ có chứa Γ/h3N N! trạng thái Hơnnữa, bởi vì các trạng thái lợng tử có thể phân biệt nhau ở định hớng của Spincủa các hạt ( có tất cả là 2s+1 định hớng khác nhau) thế mà Spin lại khôngtham gia gì vào trong không gian pha, cho nên số các trạng thái lợng tử sẽ(2s+1) lần lớn hơn Nh vậy một thể tích Γcủa không gian pha sẽ chứa tất cả là

Ngời ta phân biệt hai loại không gian pha: không gian K (có 2f N chiều, với f

là số bậc tự do của hạt) và không gian à (có 2f chiều)

1.2 Thống kê Macxoen-Bonzơman

Xét một hệ N hạt đựng trong thể tích V có năng lợng toàn phần U Tahãy chia không gian pha ra làm m ô pha (m<<N) tơng ứng với các năng lợngkhác nhau ε1, ε2, εm ( điều đó có nghĩa là các hạt của hệ trong khi chuyển

động có thể có năng lợng tơng ứng với một trong các trị số ε1, ε2, εm)

Giả sử các hạt đợc phân bố tùy theo các ô đó với các số chứa đầy nào

đó n1, n2, nm, trong đó ni là số hạt chứa trong ô thứ i có năng lợng εi (có

nghĩa là trong một trạng thái nào đó của hệ, n1 có năng lợng ε1, n2 hạt có nănglợng ε2 )

Các sự phân bố tuỳ ý khác nhau của N hạt theo m ô là tơng ứng với cáctrạng thái vi mô khác nhau của hệ (hay xác xuất nhiệt động), tức là số các ph-

ơng pháp khác nhau phân bố N hạt theo m ô, đợc xác định bằng biểu thức

Thực vậy, để tìm số các trạng thái vi mô của hệ ta phải xét số các hoán vị của

N hạt đó, bởi vì mỗi một sự phân bố của N hạt theo m ô là ứng với một trạngthái vi mô của hệ và mỗi một hoán vị giữa hai hạt nào đó tơng ứng với mọithay đổi trạng thái của hai hạt đó tức là tơng ứng với một trạng thái vi môkhác của hệ Đối với N hạt ta có thể thực hiện N! phép hoán vị Tuy nhiên, sốhoán vị có ý nghĩa đối với chúng ta sẽ nhỏ hơn N!, bởi vì trong số các hoán vị

đó ta sẽ gặp các loại hoán vị không cho ta trạng thái vi mô nào mới cả, đó là

n1! hoán vị trong cùng ô thứ nhất, n2! hoán vị trong cùng ô thứ 2 Vì vậy tachỉ tìm số các hoán vị các hạt giữa các ô, muốn vậy ta đem số hoán vị tổngcộng N! chia cho số hoán vị bên trong các ô tức là n1! n2! nm! Do đó ta tìm đ-

ợc biểu thức (1.2)

Lấy lôgarit biểu thức (1.2)

( )! ln

! ln ln

1 ni N

i n n N

i n

Lấy biến phân các phơng trình (1.3),(1.4) và (1.5) theo các số chứa đầy và coirằng ni lớn và bỏ qua đơn vị so với lnni ta có :

i i

N

1 1

βexp

ợc thực hiện theo tất cả các trạng thái năng lợng khác nhau) và ta ký hiệu bằngchữ Z

} {

1 1

exp)

Để tìm hằng số β, tơng tự nh trong trờng hợp vật lý thống kê cổ điển ta hãy sosánh các đại lợng thống kê và đại lợng nhiệt động Muốn vậy ta xét trạng tháicân bằng của hệ, khi đó theo nguyên lý Bonzơman ta sẽ có:

max

lnW K

N KT

i i

i

Bởi vì, trong số tổng cộng N hạt của hệ có ni hạt có năng lợng εi, cho nên từ đó

ta suy ra rằng xác xuất Wi(εi) tìm hạt có năng lợng εi ( tức là xác xuất để hạtnằm trên trạng thái với năng lợng (εi) sẽ bằng :

Nh vậy, nếu biết phổ rời rạc các trị số có thể có của năng lợng ta có thể xác

định đợc xác xuất sao cho hạt có giá trị năng lợng bất kỳ

Công thức (8.13) chính là phân bố Macxoen - Bonzơman lợng tử và còn đợcgọi là công thức của thống kê Macxoen - Bonzơman

Trong khi tiến hành lập luận và tính toán nh trên, thực tế ta cha chú ý đến toàn

bộ các đặc tính cơ bản của hệ lợng tử, đặc biệt là cha chú ý đến tính đồng nhất

nh nhau của hạt vi mô cũng nh đến tính đồng nhất của hàm sóng của các hệ ợng tử (đối xứng và phản đối xứng) Do đó thống kê Macxoen-Bonzơman mà

l-ta vừa tìm đợc chỉ có thể áp dụng đợc cho một số trờng hợp đặc biệt Nếu chú

ý đến toàn bộ các đặc tính cơ bản của hệ lợng tử ta sẽ tìm đợc 2 loại thống kêlợng tử nữa

số, chú ý rằng số đối tợng trong mỗi ô là tùy ý Số các phơng thức đó là:

( 1)!

!

! 1

00|000|00|0000|0|000

Hiển nhiên là chuỗi đó cần phải bắt đầu từ một ô nào đó, thí dụ là từ ô thứnhất số các phép hoán vị giữa các ô còn lại là bằng (zi-1)! Toàn bộ các yếu tốsắp xếp với nhau là ni+zi-1 Số hoán vị tổng cộng giữa các yếu tố đó là (ni+zi-1)! Tuy nhiên trong số đó có những hoán vị ở đó các hạt không phân biệt đãchuyển vị các ô với nhau Số các hoán vị đó là hoán vị giữa các ô còn lại, tức

là (zi-1)! Đồng thời số hoán vị của các hạt đối với nhau là n! Bởi vì các hoán

vị của các hạt và các ô với nhau không tơng ứng với các trạng thái mới chonên để tìm các hoán vị tơng ứng với các trạng thái vi mô khác nhau ta cần phải

đem số tổng cộng các hoán vị (ni+zi-1)! chia cho ni! và (zi-1)! Từ đó ta tìm đợc(1.14)

Wi đặc trng cho số các trạng thái có thể có đối với các ni và zi cho trớc đối vớicác nk và zk khác, số lợng các trạng thái có thể có sẽ là khác Toàn bộ cáctrạng thái vi mô có thể có (tức là xác xuất nhiệt động) của hệ sẽ là :

i i W

i i

i i i

i i

i

n

z n

z n

=

i

i i

z n

βε α

Từ đó ta có hàm phân bố theo hàng năng lợng hay số hạt trung bình ứng với

một ô sẽ là :

1 ) exp( − − −

=

i

i i

z n

βε α

Từ đó ta có hàm phân bố theo năng lợng hay số hạt trung bình ứng với 1 ô sẽ

là : ( )

1 ) exp(

i i

z

n

f

βε α

(1.18) chính là hàm phân bố năng lợng trong thống kê Bozơ-Anhxtanh vàhằng số β đợc xác định nh sau :

Theo nguyên lý Bonzơman và dựa vào (1.4) và (1.5) ta có :

i

n K

S

1 exp

exp ln

ε β α

ε β α ε

i z U N

ε β α

ε β α β

Hằng số α đợc xác định từ điều kiện chuẩn hoá

i

z n

N

1 exp α β ε

1.4 Thống kê Fecmi-Đirắc

Xét hệ các hạt Fecmion mà trạng thái của nó dợc diễn tả bằng hàm sóngphản đối xứng và tuân theo nguyên lý Pauli Nguyên lý này chứng tỏ rằng,khi trạng thái lợng tử của hạt đợc xác định bằng 1 số lợng tử (n, l, m, s chẳnghạn), thì trong một ô chỉ có thể có một số hạt hoặc là ô có thể bỏ trống

Giống nh trờng hợp trên ta hãy xét một miền thứ i có không gian pha có zi ô

và ta sẽ có phân phối ni hạt trong đó, đồng thời là hiển nhiên trong trờng hợpnày ta phải có zi ≥ ni, nếu không nguyên lý Pauli sẽ bị vi phạm

Nh vậy bài toán quy về việc tìm số các phơng pháp mà theo đó ta có thể phânphối ni đối tợng không phân biệt trong zi ô bằng cách đặt vào mỗi ô một đối t-ợng hay bỏ trống ô đó Số các phơng pháp đó là:

)!

(

!

i i i

i n z n

z Wi

−

Ta cần chứng minh (1.19)

Thật vậy, đầu tiên ta hãy tìm số các phơng pháp mà theo đó ni đối tợng khácnhau mà có thể phân bố theo zi ô đã đánh số, sao cho trong mỗi ô không thể

i n z n

z

−

Thật vậy, đối với đối tợng thứ nhất ta có zi khả năng phân phối, trong khi đốivới đối tợng thứ hai sau khi đã xếp đặt đối tợng thứ nhất ta có (zi - 1) khảnăng, đối với đối tợng thứ 3 ta có (zi - 3) khả năng, v.v

Đối với đối tợng cuối cùng chỉ còn lại (zi - ni +1) khả năng

Nh vậy số các phân phối tất cả ni đối tợng là bằng :

1 2

1

i i

i i

i

i i i

i i

n z

z n

z

n z z

z z

i

n z n

z W

i

n

n z

i i n

n z

βε α

Từ đó, khi có cân bằng nhiệt động, số hạt ni đợc phân bố theo zi ô với năng ợng εi là bằng:

z n

ε β α

Và một cách tơng ứng hàm phân bố theo năng lợng (hay số hạt trung bình cónăng lợng εi) là bằng:

exp

1 )

i i z

n f

ε β α

L) đo đợc ở trạng thái vi mô Ψk làbằng:

dq q

k k

) (

^ ) (

^

Ψ Ψ

=∫ + L L

Sự biến thiên trạng thái với thời gian xác định bằng phơng trình Schodinger

Nếu hệ nằm trong trạng thái dừng Ψk với năng lợng đã cho E thì ta tìm đợc k

Tơng tự nh trong trờng hợp cổ điển một trạng thái vi mô nhất định của hệ lợng

tử tơng tự với một tập hợp các trạng thái vi mô Ψk và xác xuất để cho hệ nằmtrong một trạng thái vi mô Ψk nào đó sẽ bằng W mà ta phải tìm k

Và cũng giống nh trong trờng hợp cổ điển tập hợp thống kê lợng tử là tập hợpcác hệ tơng tự nh nhau và ở trong các trạng thái vi mô khác nhau Vì vậy mộttập hợp thống kê lợng tử đợc mô tả bằng một tập hợp các hàm sóng Ψk vàmột tập hợp tơng ứng các xác xuất W của các trạng thái diễn tả bằng các k Ψk

Do đó theo lý thuyết xác xuất trị trung bình của đại lợng S theo tập hợp thống

kê lợng tử ( trung bình pha lợng tử) đợc xác định theo công thức :

dq q q

W

)(

^)(

ΨΨ

'

dqdq q

q q q L

( q q

) ( ) ' ( )

,' (q q W k* q k* q

k k

Ψ Ψ

=∑

ρ

Ma trận mật độ chính là ma trận của toán tử mật độ ^

ρ đợc định nghĩa nh sau :

' ) ' ( ) ,' (

)(

k

k k

k q t q t W

t q

q, ,' ) ( ,' ) ( ,' ) (

Tõ (+) ta cã :

),(

^),(

t q H t

t q

,(

dq t q q

q H t

t q

q W q q H t

q q q q H

i t

t q q

ρ ρ

Cũng giống nh trong trờng hợp vật lý thống kê cổ điển phơng trình (**) là cơ

sở để nghiên cứu các quá trình không cân bằng trong khuôn khổ của vật lýthống kê lợng tử

Cũng giống nh trong vật lý thống kê cổ điển ta thu đợc tập hợp thống kê lợng

H

Khi đó toán tử mật độ ^ρ giao hoán với toán tử ^H và do đó ma trận mật độ là

tích phân chuyển động Hơn nữa ^ρ và ^Hcó hàm riêng chung Vì vậy trong ờng hợp cân bằng thống kê ma trận mật độ có thể viết dới dạng :

tr-) ( ) ' ( )

,' (q q W * q k q

k k k

Ψ Ψ

=

1exp

0

ta đợc Ψ = −θlnZ

Dễ dàng thấy đợc Ψ , θ có các tính chất của năng lợng tự do và nhiệt độ tuyệt

đối Thật vậy, muốn vậy ta hãy xét các đạo hàm của Ψ và θ theo thông sốngoài a hiển nhiên là:

θθ

Ek Z

Z

Z

k

exp exp

−

k

k k

E a

E

θ

θθ

∫ Ψ

∂

∂ Ψ

H a

H a

E

k k

H^ Ψ = Ψ theo a ta đợc:

a

k Ek k a

Ek a

k H k a

H

∂

Ψ

∂ + Ψ

∂

∂

a H E dq

a

E dq a

k k k

k k

E a dq

H a

dq a

k

a

H dq

a

H a

Tức là ta cũng lại tìm đợc một biểu thức nhiệt động quen biết

Sau nữa, phát triển các lập luận tơng tự nh đã tiến hành đối với hệ cổ điển ta sẽthấy rằng Ψ và θ có ý nghĩa của năng lợng tự do và nhiệt độ tuyệt đối vàphân bố (2.1) là phân bố chính tắc lợng tử

Chúng ta chú ý rằng sự phân bố (2.1) đợc viết đối với hệ có các mức hoàn toànkhông suy biến Còn nếu xảy ra sự suy biến nghĩa là cùng một mức ứng với

nhiều hàm Ψk khác nhau, hay là nhiều trạng thái vật lý khác nhau, thì hiểnnhiên là ta phải viết W k dới dạng :

trong đó gk là độ suy biến

Tơng tự nh vậy trong trờng hợp cổ điển, nếu hệ lợng tử gồm N hạt không tơngtác thì từ phân bố chính tắc lợng tử ta suy ra phân bố Macxoen-Bonzơman l-

k

E là năng lợng của toàn bộ hệ

2.2 Thống kê Bozơ-Anhxtanh và Fecmi-Đirắc

ở trên trong khi tìm các phân bố chính tắc lợng tử và phân bốMacxoen-Bonzơman lợng tử chúng ta cha chú ý đến toàn bộ các đặc tính của

hệ lợng tử, đặc biệt là cha chú ý đến tính đồng nhất nh nhau của các hạt vi môcũng nh đến tính đối xứng của hàm sóng Do đó các thống kê vừa tìm đợc chỉ

có thể áp dụng đợc cho một số trờng hợp đặc biệt Nếu chú ý đến toàn bộ các

đặc tính đó thì, nh ta đă thấy, ta sẽ tìm đợc hai loại thống kê lợng tử quantrọng: Thống kê Bozơ-Anhxtanh và thống kê Fecmi-Đirắc Ta hãy tìm hai loại

thống kê đó xuất phát từ công thức (2.2)’ Nếu hệ gồm các hạt không tơng tácthì ta có:

∑∞

=

= 0

từ 0 đến ∞ Độ suy biến gk trong công thức (2.2)’ sẽ tìm đợc bằng cách tìm sốcác trạng thái khác nhau về phơng diện vật lý ứng với cùng giá trị năng lợng

k

E , do chính là số các hoán vị (về phơng diện toạ độ) của các hạt tơng ứng

nh trong trờng hợp thống kê cổ điển, thay thế cho phân bố chính tắc lợng tử taphải dùng phân bố chính tắc lớn lợng tử Tơng tự, phân bố chính tắc lớn hơn l-ợng tử có dạng :

g n N

N n

n W

0 1

!

1 ) ,

N xuất hiện trong công thức trên là vì có kể

đến tính đồng nhất của các hạt và tính không khác biệt của các trạng thái mà

ta thu đợc do hoán vị của hạt

Ký hiệu

! ) , ( 0 1

N

g n

n

G  = k (*)’ và thay thế vào công thức trên ta có :

) , (

) (

exp ) ,

n n

n

l l

Ta có 2 nhận xét về công thức (2.4) Một là, bởi vì vế phải của (2.4) có thể coi

là hàm của nl nên ta có thể đoán nhận công thức đó nh là xác xuất để cho có n0

hạt nằm trên mức ε0, n1 hạt nằm trên mức εl Nghĩa là xác xuất các số chứa