Hệ thống bài tập về thống kê lượng tử

1 ======================================================================================================== mục lục Mục lục A- Phần mở đầu B- Phần nội dung I- Hệ thống lý thuyết Phơng pháp "ô" Bonzơman để tìm thống kê lợng tử Phơng pháp Gipxơ để tìm thống kê lợng tử II- Hệ thống tập Dạng 1: Tính tổng thống kê hệ Dạng 2: Tính lợng tự do, lợng trung bình, entropi, nhiệt dung hệ Dạng 3: Tìm thống kê khí photon Dạng 4: Những tập liên quan đến thống kê Fecmi-Dirăc Dạng 5: Những toán suy biến C- Phần kết luận Tài liệu tham khảo Trang 4 15 31 31 33 36 39 41 44 46 A Phần mở đầu I lý chọn đề tài Vật lý thống kê ngành vật lý nghiên cứu hệ nhiều hạt phơng pháp thống kê - Vật lý thống kế giúp ta hiểu sâu môn học liên quan: nhiệt học, nhiệt động lực học, đại cơng, lý thuyết học lợng tử - Phơng pháp thống kê kiến thức vật lý thống kê sở quan trọng giúp ta có điều kiện học lên, nghiên cứu sâu lý thuyết đại khác - Phần "Thống kê lợng tử" phần khó Do thời gian có hạn nên tập thống kê lợng tử sinh viên đợc giới thiệu qua, em chọn đề tài "Hệ thống tập thống kê lợng tử" để có điều kiện tìm hiểu sâu hơn, hoàn thiện kiến thức vật lý thống kê nói riêng kiến thức vật lý liên quan nói chung II mục đích nghiên cứu ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh ======================================================================================================== - Nghiên cứu hệ thống lý thuyết phần thống kê lợng tử - Su tầm, giải phân loại toán thống kê lợng tử III cấu trúc luận văn - Luận văn đợc chia thành phần: A- Phần mở đầu B- Phần nội dung I- Phần lý thuyết: Tìm thống kê lợng tử phơng pháp 1- Phơng pháp ô Bon zơ man 2- Phơng pháp Gipxơ lợng tử II- Phần tập: Gồm có dạng tập thông thờng lợng tử thống kê Dạng 1: Tính tổng thống kê hệ Dạng 2: Tính lợng tự do, lợng trung bình, Entropi, nhiệt dung hệ Dạng 3: Tìm thông số khí phô tôn Dạng 4: Những thống kê Fecmi-Dirac Dạng 5: Các toán suy biến C Phần kết luận Đề tài "Hệ thống tập thống kê lợng tử" đề tài khó, mẻ, nói lần sinh viên vật lý khoa nhận đề tài Bởi vậy, tiếp nhận đề tài em gặp nhiều khó khăn Nhng với cố gắng thân giúp đỡ tận tình thầy giáo hớng dẫn, em hoàn thành nội dung mà luận văn đặt Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý thầy giáo khoa đặc biệt thầy giáo Đỗ Văn Toán, bạn bè lớp nhiệt tình giúp đỡ em hoàn thành luận văn Vinh, ngày 10 tháng năm 2003 Sinh viên: Trịnh Thị Nhung ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh ======================================================================================================== B Phần nội dung I- Hệ thống lý thuyết Vật lý thống kê nghiên cứu mối liên hệ đặc tính vĩ mô hệ mà ta khảo sát với đặc tính định luật chuyển động hạt vi mô cấu thành hệ dựa vào tính chất biết hạt tạo thành hệ, hai vấn đề ngợc lại nghĩa tìm đặc tính hạt cấu thành hệ dựa vào tính chất vĩ mô hệ Tuỳ thuộc vào hệ mô hình vật chất mà ta dùng để diễn tả tợng hay tợng khác mà ngời ta thờng tách Vật lý thống kê làm hai phần: Vật lý thống kê cổ điển Vật lý thống kê lợng tử Vật lý thống kê lợng tử tổng quát chặt chẽ vật lý thống kê cổ điển, từ vật lý thống kê l ợng tử ta thu đợc tất luận đề vật lý thống kê cổ điển Cơ sở, công cụ toán học Vật lý thống kê lý thuyết xác xuất Trong phần thống kê cổ điển ta xét hệ hạt mà chuyển động chúng tuân theo định luật học cổ điển mà cụ thể để mô tả chuyển động hạt dùng phơng trình tắc Hamitơn Tuy vậy, nhiều kết thu đợc không phù hợp với thực nghiệm nh khúc xạ cân vật đen tuyệt đối để giải thích nhiều tính chất đối tợng vi mô thay cho học cổ điển ta phải dùng học lợng tử, ví dụ nh lỡng tính sóng hạt đối tợng vi mô ( đợc khám phá đợc xác nhận nhiều kiện thực nghiệm), tính gián đoạn thông số vật lý đặc trng cho hạt vi mô, tính chất Spin Nhiệm vụ vật lý thống kê lợng tử nghiên cứu tính chất hệ nhiều hạt mô tả phơng pháp học lợng tử Ta phải xét tập hợp trạng thái vi mô khác tơng thích với điều kiện bên định (tập hợp thống kê lợng tử) Sau dựa vào trạng thái khả hữu hệ phơng pháp thống kê ta xác định đợc xác xuất trạng thái, đó, xác định đợc trị trung bình thông số vi mô khác ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh ======================================================================================================== hệ Nói khác đi, khảo sát hệ lợng tử ta cần phải biết định luật phân bố xác xuất trạng thái riêng lẻ Để tìm định luật phân bố thống kê lợng tử, ngời ta dùng hai phơng pháp: Phơng pháp Gipxơ phơng pháp ô Bonzơman Về phơng diện lịch sử phơng pháp ô Bonzơman đời trớc phơng pháp Gipxơ Vì ta xét phơng pháp ô Bonzơman, phơng pháp Gipxơ có nhiều u điểm đợc coi phơng pháp vật lý thống kê Phơng pháp ô Bonzơman để tìm thống kê lợng tử 1.1 Giới thiệu phơng pháp ô Bonzơman Nội dung phơng pháp là: Chia không gian pha làm ô tơng ứng với giá trị khác lợng xét phân bố khác hạt hệ theo ô đó, từ tìm đợc số trạng thái vi mô khả hữu hệ tơng thích với điều kiện bên định tức tìm đợc xác xuất nhiệt động hệ; sau dựa vào nguyên lý Bonzơman: Entrôpi trạng thái vĩ mô hệ tỷ lệ với loga xác xuất nhiệt động S = KlnWt (1.1) Trong đó: K: số Bonzơman Wt : xác xuất nhiệt động S : Entrôpi hệ Để tìm Entrôpi S hệ dựa vào điều kiện cực đại Entrôpi có cân nhiệt động ta tìm đợc phân bố thống kê hệ Bởi phơng pháp ô Bonzơman có đề cập đến khái niệm không gian pha Entrôpi, trớc tiên ta nhắc lại khái niệm khuôn khổ vật lý thống kê lợng tử Ta biết Entrôpi đợc xác định qua lôgarit số trạng thái vi mô khả hữu hệ (lôgarit xác xuất nhiệt động) theo công thức (1.1) S = KlnWt (1.1) Entrôpi định nghĩa nh có tất tính chất cần đòi hỏi, mà phù hợp với định lý Necxtơ (định lý thứ ba nhiệt động lực học) Thực vậy, nhiệt độ hạ thấp dần xuống, hệ chiếm mức lợng ngày thấp cuối hệ nằm trạng thái lợng tử thấp (về ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh ======================================================================================================== phơng diện lợng) Entrôpi trở thành không W=1 đó: S = KlnWt = Kln1 = Trong Vật lý thống kê lợng tử trạng thái hệ không gian pha tơng ứng với điểm pha mà thể tích cực tiểu không gian pha Đối với hệ gồm N hạt, thể tích cực tiểu nh không gian pha = h N Kết đo đợc rút trực tiếp từ hệ thức bất định tất 3N toạ độ xung lợng suy rộng = ( p1q1 )( p q2 ) ( p3 N q3 N ) h 3N Do hệ lợng tử gồm N hạt, thể tích không gian pha có chứa /h3N trạng thái lợng tử Mặt khác, ta biết vật lý thống kê lợng tử, tính phân biệt đợc hạt, phép hoán vị chúng không đa đến trạng thái vi mô Vì vậy, số trạng thái lợng tử N! lần nhỏ thể tích không gian pha có chứa /h3N N! trạng thái Hơn nữa, trạng thái lợng tử phân biệt định hớng Spin hạt ( có tất 2s+1 định hớng khác nhau) mà Spin lại không tham gia vào không gian pha, số trạng thái lợng tử (2s+1) lần lớn Nh thể tích không gian pha chứa tất ( 2s + 1) h 3N N! trạng thái lợng tử Ngời ta phân biệt hai loại không gian pha: không gian K (có 2f N chiều, với f số bậc tự hạt) không gian (có 2f chiều) 1.2 Thống kê Macxoen-Bonzơman Xét hệ N hạt đựng thể tích V có lợng toàn phần U Ta chia không gian pha làm m ô pha (m Td = h2 IK Giải: Ta có tổng thống kê hệ bao gồm N dao động tử hai chiều : h ( n + 1) KT ( n + 1) exp n =0 Ký hiệu h = KT ta có : ( n +1) e = = ( n + 1) exp{ ( n + 1)} = e e n =0 n =0 e ( ) ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 29 ======================================================================================================== Việc tính giá trị Zq trờng hợp tổng quát phức tạp, đòi hỏi phải dùng hàm đặc biệt Xét hai trờng hợp : Đối với nhiệt độ thấp với mô men quán tính I nhỏ, tổng thu số hạng : h lim Z q = exp +1 T IKT h Đối với nhiệt độ cao T >> Td = với phân bố lợng IK Rôtato theo mức xem liên tục theo trị số Khi ta thay tổng tích phân : h ( + 1) T Z q = ( + 1) exp d = ( + 1) exp d l ( l + 1) d T IKT 0 T Để lấy tích phân ta đa vào biến số x = ( + 1) d T Suy T T IKT Zq = exp( x ) dx = = Td Td h2 Dạng 2: Tính lơng tự do, lợng trung bình, entropi, nhiệt dung hệ Đối với dạng tập ta thờng vận dụng công thức sau : Năng lợng tự = ln Z Z tổng thống kê đợc xác định công thức : h exp KT Z= h exp KT Entrôpi S= T ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 30 ======================================================================================================== Năng lợng trung bình E = KT ln Z ; T h E e KT h = Nk Cv = KT Nhiệt dung T v h exp KT Ví dụ 1: Tính lợng trung bình nhiệt dung N dao động tử điều hoà tuyến tính độc lập Giải: Năng lợng trung bình dao động tử: Từ Z dd = E h n = exp h exp n exp KT KT KT n = n=0 Ta có: E En exp KTn E = n =1 E exp KTn n =1 = Z KT = KT Z Z Z T h h .N Suy E= + h exp KT Ví dụ 2: Tính lợng tự Entrôpi hệ Ndd tử điều hoà tuyến tính độc lập Ta có: = ln Z Mà h exp KT Z= h exp KT suy h = NKT ln1 e KT h + N ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 31 ======================================================================================================== h h Entrôpi S= = NK ln1 e KT h KT KT e Ví dụ 3: Tính lợng trung bình nhiệt dung hệ bao gồm từ N dd tử điều hoà hai chiều độc lập có mức lợng n = h ( n + 1) suy biến (n+1) lần Ta có tổng thống kê hệ bao gồm Ndd tử chiều : h ( n +1) Z= ( n + 1)e KT n =0 Ký hiệu ( n +1) h ( n +1) = = nên ta có: ( n + 1)e e KT n =0 n =0 e = = e e ( ) h e KT Suy Z= h KT e Từ lợng trung bình nhiệtdung hệ đợc xác định công thức : E = KT ln Z 2h = N h + h T e KT h h Cv = NK Sh KT KT Ví dụ 4: Tìm lợng trung bình nhiệt dung hệ N hạt không tơng tác Nhiệt dung hai trạng thái lợng tử không suy biến Ta có tổng thống kê : ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 32 ======================================================================================================== KT Z = e + e KT N = e KT + e KT N Z = e KT T C T + e Đặt TC = K Vậy ln Z E = KT = N + NKTe T Và Tc Tc T c Cv = NK e T + e T T TC N N TC e T +1 Dạng 3: Tìm thống kê khí photon Ta hình dung xạ cân nh chất khí hạt photon không tơng tác với Bởi spin photon một, chất khí nh cần phải tuân theo phân bố Bozơ-Anhxtanh Số hạt chất khí photon thay đổi phụ thuộc vào thể tích nhiệt độ Vì lợng tự khí photon hàm thể tích nhiệt độ số hạt hệ Ví dụ 1: Phổ lợng photon có dạng E ( q ) = cq q véc tơ sóng; q =| q | Tính lợng tự Entrôpi khí photon Giải: Ta thấy thể hoá học photon nên : F = àN PV = PV i h i mà PV = = KT ln1 e KT = KT ln1 e KT i i Tổng theo i thực chất tổng theo tất giá trị vectơ sóng q đợc thay tích phân ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 33 ======================================================================================================== dN ( q ) = 4VP dp 4V q 4Vq dq = dp = h3 h3 ( ) Nếu kể đến phơng phân cực photon ta có: cq PV = KT ln1 e KT 4q ( KT ) V Vdq = ln e x x dx 3 ( ) ( ) ( KT ) V x = dx ẽ ( ) e x = ) cq KT x dx e ẽ = 15 nên ta có Giá trị tích phân PV = F = V = Trong ( ( KT ) 45( C ) = 2K 3 VT số Stephan-Bozơman 15 C Ta dễ dàng tìm đợc Entrôpi 4VT F S = = T V Ví dụ Tính hàm nhiệt động F, S, E, P xạ điện từ Giải: áp dụng phân bố Bozơ-Anhxtanh cho khí photon ta có số photon thuộc loại phân cực khác có tần số từ đến + d : dn( ) = V8 d h C exp KT Năng lợng xạ ứng với khoảng tần số : V8h 3d dE ( ) = hdn( ) = h exp 1C KT ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 34 ======================================================================================================== Tích phân khoảng đến sử dụng công thức tích phân ví dụ ta có : E = aT V với a= K 15C 3h Dựa vào phơng trình Gipxơ-Hemhônxơ F T = E T T2 Ta rút lợng tự photon T4 F = T = Va T2 Từ ta tìm đợc Entrôpi S áp suất p EdT S= F = aVT p = F = a T = E = U T V 3V E mật độ lợng xạ V Ví dụ 3: Tìm phơng trình đoạn nhiệt khí photon với U= S = aVT 3 Trong trình đoạn nhiệt S = Vậy VT3=const Ví dụ 4: Tìm liên hệ áp suất mật độ lợng bozơ lợng tử trờng hợp không tơng đối Giải: Theo định nghĩa thể nhiệt động Theo ví dụ ta có i PV = = KT ln1 e KT = KT ln1 e KT dN ( ) i dN ( ) số mức nằm quảng từ đến + d Tích phân theo phần, ta nhận đợc: ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 35 ======================================================================================================== PV = N ( ) d e KT dN d d E= Mặt khác e KT Nhng N ( ) = A n n = hạt không tơng đối nên dN = nN ( ) So sánh biểu thức E PV ta có : d PV = E ; PV = E n P= 2E 3V Dạng 4: Những tập liên quan đến thống kê Fecmi-Dirăc Ta biết thống kê Fecmi- Dirăc đợc áp dụng vào hạt có spin bán nguyên tức fecmiôn, thí dụ nh êlectrôn, nuclêon, mêzôn nguyên tử mà tổng êlectrôn nuclêôn số lẻ Ví dụ 1: Tính xác xuất nhiệt độ phòng (KT=0,025eV) election chiếm trạng thái nằm cao mức Fecmi 0,12eV thấp mức Fecmi -0,1eV Giải: Ta có hàm phân bố Fecmi f ( E) = Nếu E = 0,1 eV f ( E) = Nếu E = 0,1 eV Ví dụ 2: Chứng minh E-à e KT + Eà 0,1 = =4 KT 0,025 e +1 = 1,79.10 f ( E ) = 0,98 + f ( E ) dE = E ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 36 ======================================================================================================== Ta có: f ( E) = Eà e KT f ( E ) = Eà E KT E e KT + e KT + Eà x = e KT Đổi biến số dx = e KT + Suy Eà KT dE f ( E ) dx dE = = = x +1 E ( x + 1) 0 Ví dụ 3: Tìm lợng cực đại electron kim loại 0o K Giải: Số electron có lợng nằm E E+dE : dn = ( 2m ) 3 E2 dE h Số toàn phần electron đơn vị thể tích : n= E max E max dn = 0 ( 2m ) h3 2E dE = ( 2m ) h3 3 2 Emax ( ) h 3n Emax = 2m Dạng Những toán suy biến Ví dụ 1: Tìm điều kiện ứng dụng thống kê cổ điển giải thích ý nghĩa vật lý Nh ta biết thống kê Bozơ-Anhxtanh Fecmi-Đirắc chuyển thành thống kê Macxoen Bonxơman thoã mãn điều kiện: Suy exp >> KT Với giá trị lợng electron dẫn đến điều kiện : ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 37 ======================================================================================================== e KT >> Tính số hạt toàn phần N = dn = 4Vm KT KT e e d h3 2KT KT Ve = n V mKT e KT = N Ta có h Nghĩa điều kiện ứng dụng thống kê cổ điển có dạng : 2mKT h2 V >> N N Khoảng cách trung bình hạt d = n 13 với n = V 2mKT n > Hay Vxs = KT m h h = KTm mVxs ta có h = bớc sóng Đơbrơi, điều kiện nhận đợc có ý nghĩa là: mV Thống kê cổ điển ứng dụng đợc trờng hợp khoảng cách trung bình hạt lớn bớc sóng Đơbrơi nhiều (d >> ) Ví dụ 2: Tính nhiệt độ suy biến hiđrô, số hạt đơn vị thể tích số hạt điều kiện tiêu chuẩn Dựa vào tiêu chuẩn suy biến ta có : Vì h2 TH = n 2mK Từ rút nhiệt độ thờng, phân tử hiđrô tuân theo thống kê cổ điển ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 38 ======================================================================================================== Ví dụ 3: Số nguyên tử hiđrô đơn vị thể tích phải để thống kê lợng tử có tác dụng nhiệt độ phẳng (T=300 oK) Mật độ khí trờng hợp này? Từ điều kiện ứng dụng thống kê lợng tử V 2mKT N h > n nhiệt độ T, giá trị xung lợng phân tử p = 2m Thể tích không gian pha Số trang thái Bất đẳng thức mKT h 3 Vp ( mKT ) V = mKT ( mKT ) h3 2V h3 V >> N trùng với điều kiện suy biến ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 39 ======================================================================================================== C- phần kết luận Với thời gian có hạn, tài liệu tham khảo hạn chế nhng với giúp đỡ thầy Đỗ Văn Toán, em hoàn thành đợc số vấn đề luận văn - Về phần lý thuyết: Qua tài liệu tham khảo tìm đợc thống kê lỡng tử hai phơng pháp: Để khảo sát hệ nhiều hạt, Bonzơman đề xuất phơng pháp tiếng gọi phơng pháp ô Bonzơman Nội dung phơng pháp chia không gian pha làm ô tơng ứng với giá trị khác lợng xét phân bố khác hạt hệ theo ô đó, từ tìm đợc số trạng thái vi mô khả hữu hệ tơng thích với điều kiện bên định, tức tìm đợc xác xuất nhiệt động hệ; sau dựa vào nguyên lý Bonzơman tìm đợc Entropi hệ dựa vào điều kiện cực đại Entropi có cân nhiệt động ta tìm đợc phân bố thống kê hệ Vận dụng điều ta tìm đợc ba loại thống kê lợng tử: - Thống kê Macxoen- Bonzơman - Thống kê Bozơ-Anhxtanh - Thống kê Fecmi-Dirăc phơng pháp thứ hai phơng pháp Gipxơ lợng tử Đối với phơng pháp ta tìm đợc ba loại thống kê lợng tử Thực chất ta áp dụng phơng pháp Gipxơ mà ta xét vật lý thông kê cổ điểm, áp dụng để nghiên cứu hệ lợng tử, nhiên đặc tính hạt vi mô hệ lợng tử nên áp dụng phơng pháp ta cần có thay đổi thích hợp Sau tìm thống kê hai phơng pháp em làm phép so sánh ba loại thống kê - Về phần tập: Em tìm hiểu đa đợc dạng tập thống kê lợng tử Mỗi dạng tập có cách giải công thức áp dụng ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 40 ======================================================================================================== riêng Tuy nhiên hầu nh dạng cần phải tính đợc tổng trạng thái (tổng thống kê) hệ, tức áp dụng dạng để giải tập liên quan Nh ta biết , áp dụng thống kê cổ điển xét nhiệt dung chất khí vật rắn, kết thu đợc phù hợp với kết thực nghiệm số trờng hợp đặc biệt (khí đơn nguyên tử), nói chung có khác biệt, áp dụng định lý phân bố động theo bậc tự ta dẫn đến "tai biến tử ngoại" Thống kê cổ điển giải thích đợc tợng Lý thuyết thống kê lợng tử giúp ta khắc phục khó khăn Tuy nhiên thống kê lợng tử Macxoen-Bonzơman cha quan tâm đến đặc tính lợng tử hạt nên áp dụng trờng hợp cụ thể (thoả mãn điều kiện không suy biến) Hai thống kê lợng tử lại: thống kê BozơAnhxtanh đợc áp dụng cho hệ hạt có spin nguyên, thống kê Fecmi- Dirăc đợc áp dụng cho hệ hạt có spin bán nguyên Với thời gian tài liệu hạn chế, chắn luận văn không tránh khỏi sai sót, em kính mong thầy cô giáo, bạn khoa góp ý để luận văn đợc hoàn thiện Tài liệu tham khảo 1- Giáo trình Nhiệt động lực học vật lý thống kê Vũ Thanh Khiết- NXB ĐHQG Hà Nội.1996 2- Bài tập vật lý lý thuyết ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh 41 ======================================================================================================== Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tờng NXB ĐHQG Hà Nội.1996 3- Cơ học lợng tử: Nguyễn Xuân Hãn- NXB ĐHQG.1998 4- Vật lý thống kê Lanđao- NXB GD.1976 5- Cơ học lợng tử Vũ Ngọc Sáu- Đại học Vinh.2000 ================================================================================================= ========== Luận văn tốt nghiệp Thị Nhung Trịnh [...]... II Hệ thống bài tập: Bài tập về thống kê lợng tử rất phong phú và đa dạng, mỗi dạng bài tập có 1 cách giải khác nhau, thông thờng hay vận dụng lý thuyết lợng tử để giải các bài tập ấy Đây là một số dạng bài tập hay gặp nhất trong thống kê lợng tử 1 Dạng 1: Tính thống kê của hệ: ở dạng bài tập này ta thờng dùng công thức Z = k =0 Trong đó: Ek exp Z là tổng thống kê hay tổng trạng thái các hệ. .. tổng trạng thái các hệ Ek: là năng lợng ứng với tổng thống kê của hệ : có ý nghĩa của nhiệt độ tuyệt đối Tuỳ vào từng hệ riêng mà ta có cách tính tổng thống kê khác nhau Sau đây là một số ví dụ đặc trng cho dạng bài tập này Ví dụ 1: Tính tổng thống kê của hệ N dao động tử điều hoà một chiều độc lập Giải: Do hệ có N dao động tử điều hoà nên tổng thống kê : Z = ( Z dd ) N trong đó : Z dd = En h ... để tìm các thống kê lợng tử 2.1 Phân bố chính tắc lợng tử Phơng pháp Gipxơ mà ta xét ở vật lý cổ điển về cơ bản vẫn có thể áp dụng để nghiên cứu các hệ lợng tử, tuy nhiên do đặc tính của các hạt vi mô và của hệ lợng tử nên khi áp dụng phơng pháp đó ta cần có những thay đổi thích hợp Lập luận giống nh trong trờng hợp vật lý thống kê cổ điển ta tìm thấy rằng đối với hệ đẳng nhiệt xác xuất để hệ nằm ở trạng... giống nh trong trờng hợp vật lý thống kê cổ điển phơng trình (**) là cơ sở để nghiên cứu các quá trình không cân bằng trong khuôn khổ của vật lý thống kê lợng tử Cũng giống nh trong vật lý thống kê cổ điển ta thu đợc tập hợp thống kê lợng ^ tử cân bằng từ điều kiện: = 0 t ^ ^ H , = 0 hay là ^ và do đó ma trận mật độ là Khi đó toán tử mật độ ^ giao hoán với toán tử H ^ có hàm riêng chung Vì vậy... hợp thống kê lợng tử là tập hợp các hệ tơng tự nh nhau và ở trong các trạng thái vi mô khác nhau Vì vậy một tập hợp thống kê lợng tử đợc mô tả bằng một tập hợp các hàm sóng k và một tập hợp tơng ứng các xác xuất Wk của các trạng thái diễn tả bằng các k Do đó theo lý thuyết xác xuất trị trung bình của đại lợng S theo tập hợp thống kê lợng tử ( trung bình pha lợng tử) đợc xác định theo công thức : ... loạt các hệ lợng tử mà ta gọi là các hệ lợng tử định xứ, trong đó các đối tợng vi mô lợng tử có thể xem nh là định xứ tại các điểm không gian xác định Đối với các hệ nh vậy nguyên lý về tính không thể phân biệt của các hạt vi mô xem nh không có hiệu lực, nghĩa là trong các hệ định xứ, các đòi hỏi về tính đói xứng của hàm sóng không làm giảm số các trạng thái vi mô khả hữu Thuộc loại hệ đó là các hệ cấu... Nếu hệ nằm trong trạng thái dừng k với năng lợng đã cho Ek thì ta tìm đợc k và Ek từ phơng trình : ^ = k Ek Hk Tơng tự nh trong trờng hợp cổ điển một trạng thái vi mô nhất định của hệ lợng tử tơng tự với một tập hợp các trạng thái vi mô k và xác xuất để cho hệ nằm trong một trạng thái vi mô k nào đó sẽ bằng Wk mà ta phải tìm Và cũng giống nh trong trờng hợp cổ điển tập hợp thống kê lợng tử là tập hợp... lợng tử và phân bố Macxoen-Bonzơman lợng tử chúng ta cha chú ý đến toàn bộ các đặc tính của hệ lợng tử, đặc biệt là cha chú ý đến tính đồng nhất nh nhau của các hạt vi mô cũng nh đến tính đối xứng của hàm sóng Do đó các thống kê vừa tìm đợc chỉ có thể áp dụng đợc cho một số trờng hợp đặc biệt Nếu chú ý đến toàn bộ các đặc tính đó thì, nh ta đă thấy, ta sẽ tìm đợc hai loại thống kê lợng tử quan trọng: Thống. .. vị (về toạ độ) các hạt Đối với hệ các hạt Bozon và các hạt Fecmion tức là hệ đợc mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng thì các phép hoán vị đều không đa đến 1 trạng thái vật lý mới nào của hệ, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu hoặc đối dấu nghĩa là diễn tả cùng 1 trạng thái lợng tử Do đó đối với hệ hạt Bozon và hệ hạt Fecmion ta có : G(n0, n1,) = 1 Nhng trong thống kê Macxoen-Bonzơman,... công thức trên ta thấy rằng: mãn điều kiện à >> KT M hay exp >> 1 thì thống kê Bozơ-Anhxtanh và Fecmi-Đirắc chuyển KT thành thống kê Macxoen-Bonzơman nghĩa là ta có thể coi thống kê MacxoenBonzơman nh là trờng hợp giới hạn của 2 thống kê đó Nhng khi tìm hàm phân bố Macxoen-Bonzơman ta đã giả thiết là các hạt khác nhau về phơng diện hoán vị toạ độ Vì vậy trong trờng hợp tổng quát, sự phân bố theo ... II Hệ thống tập: Bài tập thống kê lợng tử phong phú đa dạng, dạng tập có cách giải khác nhau, thông thờng hay vận dụng lý thuyết lợng tử để giải tập Đây số dạng tập hay gặp thống kê lợng tử Dạng... thống kê lợng tử Vật lý thống kê lợng tử tổng quát chặt chẽ vật lý thống kê cổ điển, từ vật lý thống kê l ợng tử ta thu đợc tất luận đề vật lý thống kê cổ điển Cơ sở, công cụ toán học Vật lý thống. .. phân bố thống kê hệ Vận dụng điều ta tìm đợc ba loại thống kê lợng tử: - Thống kê Macxoen- Bonzơman - Thống kê Bozơ-Anhxtanh - Thống kê Fecmi-Dirăc phơng pháp thứ hai phơng pháp Gipxơ lợng tử Đối