Hệ thống bài tập phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt

1 lời nói đầu Trong Phơng pháp Toán- Lý nh môn học khác, việc giải tập quan trọng, giúp cho sinh viên nắm vững lý thuyết, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng kiến thức cách tốt hơn, nhng muốn giải đợc tập, cần phải có phơng pháp giải Với dạng tập có nhiều phơng pháp giải, việc xây dựng lựa chọn phơng pháp giải hợp lý cho dạng tập cần thiết Các tập Phơng pháp Toán- Lý gồm nhiều phần, phạm vi khoá luận xin đề cập tới tập phơng trình truyền sóng phơng trình truyền nhiệt Do số tiết tập phơng trình truyền sóng phơng trình truyền nhiệt không nhiều nên sinh viên có điều kiện hệ thống lại hình thành kỹ giải tập cho , khả giải tập sinh viên nhiều hạn chế Có phơng pháp đợc dùng để giải toán phơng trình Vật lýToán, phạm vi khoá luận xin đề cập tới phơng pháp tách biến, phơng pháp đợc dùng để giải tập cho hai phần : phơng trình truyền sóng phơng trình truyền nhiệt Trong thực tế tập truyền sóng ta gặp nhiều toán truyền sóng môi trờng hữu hạn, quy luật truyền sóng rõ ràng phải phụ thuộc vào chế độ biên khoảng không gian Vấn đề đợc xét cụ thể phần tập dao động dây (hoặc thanh) dao động màng, với phơng trình truyền nhiệt vậy, phản ánh quy luật truyền nhiệt vật biết đợc phân bố nhiệt độ ban đầu xác lập chế độ nhiệt biên Chúng ta gặp toán phơng trình truyền sóng phơng trình truyền nhiệt không gian nhiều chiều, nhng nội dung khoá luận xin giới thiệu số toán xét không gian chiều hai chiều đợc trình bày môn Phơng pháp Toán- Lý dùng cho sinh viên ngành Vật lý Có thể nói phơng pháp tách biến phơng pháp dễ tiếp thu sinh viên ngành Vật lý, nhng để giải trọn vẹn toán có sử dụng phơng pháp yêu cầu ngời giải phải nắm đợc kiến thức chơng trình toán cao cấp , lý thuyết phơng trình vi phân chuỗi hàm Vì lý chọn đề tài : Hệ thống tập phơng trình truyền sóng phơng trình truyền nhiệt , hy vọng giúp đỡ sinh viên ngành Vật lý việc giải tập phơng trình truyền sóng phơng trình truyền nhiệt Bằng kiến thức Phơng pháp Toán- Lý , Giải tích cách tìm tòi thu thập tài liệu hoàn thành khoá luận với nội dung nh sau : Phần I : Tóm tắt lý thuyết Trong phần giới thiệu phần lý thuyết liên quan đến giải tập Phần II : Hệ thống giải tập phơng pháp tách biến Phần III : Kết luận chung Đây giai đoạn đầu ngời tập làm nghiên cứu khoa học với kiến thức cha đợc nhiều , với vốn kinh nghiệm quỹ thời gian có hạn nên chắn khoá luận không tránh khỏi thiếu sót, mong đợc quan tâm, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khoá luận đợc hoàn chỉnh Cuối cùng, xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc dến thầy giáo Mạnh Tuấn Hùng giúp đỡ nhiều kiến thức, phơng pháp tài liệu Xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Vật lý bạn bè giúp hoàn thành tốt khoá luận Vinh, tháng năm 2003 Tác giả phần i : tóm tắt lý thuyết A- phơng trình truyền sóng I - Phơng trình sóng chiều Bài toán có điều kiện biên không 1.1 Phơng trình : 2u u = a Giải toán tìm nghiệm phơng trình t x (1) miền ( 0 = B Với = phơng trình (10) có nghiệm X(x) = => X(x) = c1x + c2 X ' ( x) = c1 = X (l ) = c = B nên X ( x) = B , nghiệm phơng trình (5) : v(x,t) = B u0 B ta có điều kiện ban đầu phơng trình (5) : = u0 (14) v t =0 = u (15) * Giải phơng trình (7) với điều kiện (8) có nghiệm : w( x, t ) = ak e k =0 ka t l cos kx , 2l từ điều kiện ban đầu (9) : w t = = u t = - v t = = (x) - u0 (17) nên a k =0 k cos kx = ( x) u0 2l Ta thấy ak hệ số khai triển hàm [ ( x ) u ] thành chuỗi Fourier theo hàm cosin nên ta có : 34 l a k cos kx kx dx = [ ( x ) u ] cos dx 2l 2l l 2lu l kx k a k = ( x ) cos dx sin 2l k l k=2n 2lu k sin = ( 1) n 2lu k ( n + ) mà (n=1,2 ) k=2n+1 (n=0,1,2 ) ( 1) 4u0 kx ( x ) cos dx + ( 2n + 1) l 2l n +1 l ak = Vậy nghiệm phơng trình (7) thoả mãn điều kiện (9) : ( n +1) a t l w( x, t ) = an e cos ( 2n + 1)x 2l n =0 ( 2n + 1)x dx + ( 1) 4u0 an = ( x ) cos ( 2n + 1) l 2l n +1 l với (18) Do nghiệm toán cho : u ( x, t ) = u + a n e ( n +1) a t l n =0 cos ( 2n + 1)x 2l Với an đợc xác định công thức (18) Bài 20: Tìm phân bố nhiệt độ đồng chất , biết nhiệt độ ban đầu không , nhiệt độ mút x = l không , nhiệt độ x = đợc cho u(0,t) = At Giải: Gọi u(x,t) nhiệt độ thiết diện có hoành độ x thời điểm t 35 u(x,t) thoả mãn phơng trình truyền nhiệt thanh: u 2u = a2 t x (1) u x =0 = At u x =l = thoả mãn điều kiện biên : ( 2) điều kiện đầu : u t =0 = (3) Nghiệm phơng trình (1) đợc tìm dới dạng : u ( x, t ) = v ( x, t ) + At x At l (4) Thay (4) vào (1) ta có : v x 2v + A A = a2 t l x v 2v x = a2 + A A t l x (5) hàm v(x,t) thoả mãn phơng trình (5) thoả mãn điều kiện biên : v x =0 = u x =0 At = At At = v x =l = At + At = v x =0 = v x =l = (6) điều kiện ban đầu : v t =0 = (7) Nghiệm phơng trình (5) đợc tìm dới dạng: v(x,t) = v1(x) + w(x,t) (8) Từ (5) (8) ta có : d v1 w x w = a2 + a + A A t x l dx nên hàm v1(x) thoả mãn phơng trình : với điều kiện biên : v1 x=0 = 0; v1 x =l điều kiện ban đầu : v1 Ax = +A l x =0 , hàm w(x,t) thoả mãn phơng trình: với điều kiện biên : a2 w 2w = a2 t x w x =0 = 0; w x =l = w t =0 = v1 ( x ) Trớc hết ta giải phong trình (9) thoả mãn điều kiện biên (10) : a v1" ( x ) = A Ax A x v1" ( x ) = l l a (9) (10) (11) (12) (13) 36 v1 ( x) = A a2 x x3 + c1 x + c 6l Từ điều kiện (10) ta có : v1 ( ) = c = v1 ( l ) = A a2 l2 l3 Al + c1l = c1 = 3a 6l nên nghiệm phơng trình (9) thoả mãn điều kiện (10) : A v1 ( x) = a x x lx 6l x x x + l l l Al v1 ( x ) = 6a hay (14) Ta có nghiệm phơng trình (11) thoả mãn điều kiện biên (12) : w( x, t ) = a k e ka t l sin k =1 kx l với ak đợc xác định từ điều kiện ban đầu (13) : w t =0 kx Al = ak sin = l 6a k =1 l a k sin kx Al dx = l 6a l Al ak = 2 6a ak l Al = 2 2 6a k ak = nên l k x x x + l l l x x kx x l l + l sin l dx l l x3 x2 x kx l + cos + l l k l l l k x2 x kx + cos l l l l dx l l l x3 x kx l2 kx cos + 2 sin l l l k l l l Al k 3 a 2 Al w( x, t ) = a ka t l e k =1 k sin kx l (15) 37 Từ (4), (8), (14), (15) ta có nghiệm toán : 2 x Al x x x Al u ( x, t ) = At + + l 6a l l l a Bài 21: k k =1 e ka t l sin kx l Tìm phân bố nhiệt độ đồng chất , biết nhiệt độ ban đầu không , nhiệt độ mút x = l không , nhiệt độ x = đợc cho : u x =0 = A sin t Giải: Gọi u(x,t) nhiệt độ thiết diện có hoành độ x thời điểm t Ta có u(x,t) thoả mãn phơng trình truyền nhiệt: u 2u = a2 t x (1) miền ( 0[...]...11 phần II : Hệ thống giải các bài tập bằng phơng pháp tách biến A- phơng trình truyền sóng I - Phơng trình sóng 1 chiều : Dạng 1: Bài toán có điều kiện biên bằng không Bài 1: Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x = 0 và x = l, biết độ lệch ban đầu đợc cho bởi u(x,0) = 4 x(l x) l2 (0 x l) còn vận tốc... ) ( n = 0,1,2 ) Từ đó có nghiệm của bài toán : 4l u ( x, t ) = 2 ( 1) n ( 2n + 1) n=0 ( 2 n +1) a t l 2 2 e sin ( 2n + 1)x l 32 Dạng 2 : Bài toán có điều kiện biên khác không Bài 19: Một thanh đồng chất của một mút cách nhiệt , còn một mút giữ ở nhiệt độ không đổi u0 Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh biết nhiệt độ ban đầu u(x,0) = (x) Giải: Gọi u(x,t) là nhiệt độ trong thanh tại thiết diện... u(x,t) thoả mãn phơng trình truyền nhiệt của thanh: u 2u = a2 2 t x (1) u x =0 = At u x =l = 0 thoả mãn điều kiện biên : ( 2) và điều kiện đầu : u t =0 = 0 (3) Nghiệm của phơng trình (1) đợc tìm dới dạng : u ( x, t ) = v ( x, t ) + At x At l (4) Thay (4) vào (1) ta có : v x 2v + A A = a2 2 t l x v 2v x = a2 2 + A A t l x (5) trong đó hàm v(x,t) thoả mãn phơng trình (5) và thoả mãn điều kiện... có điều kiện biên bằng không Bài 14: Tìm nghiệm của phơng trình : u 2u = a2 2 t t trong miền (0 < x < l, t > 0) thoả mãn các điều kiện biên u(0,t) = 0 ; u(l,t) = 0 và các điều kiện ban đầu : l nếu 0 < x x 2 u ( x,0) = l x nếu l x < l 2 Giải: : Gọi u(x,t) là nhiệt độ trong thanh tại thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t, khi đó u(x,t) thoả mãn phơng trình truyền nhiệt của thanh: với điều kiện... (18) 24 Từ (17) và (18) ta có nghiệm của phơng trình (7) thoả mãn điều kiện (8),(9) là: w( x, t ) = 8QL (1) k +1 (2k + 1)at ( 2k + 1)x cos sin 2 2 2l 2l E k =0 (2k + 1) (19) Từ (14) và (18) ta có nghiệm của bài toán : Q 8QL (1) k +1 (2k + 1)at (2k + 1)x u ( x, t ) = x + 2 cos sin 2 E 2l 2l E k =0 (2k + 1) II Phơng trình sóng 2 chiều : Dạng 3 : Dao động của màng hình chữ nhật Bài 12: Một màng... u(x,t) thoả mãn phơng trình truyền nhiệt của thanh : 2 u 2 u =a t x 2 (1) với điều kiện biên: u x =l = u 0 u =0 x x =0 (2) và điều kiện ban đầu: u t = 0 = (x) (3) Nghiệm của phơng trình (1) đợc tìm dới dạng: u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) (4) trong đó hàm v(x,t) thoả mãn phơng trình: 2 v 2 v =a t x 2 (5) với điều kiện biên: v =0 x , x =0 v = u 0 x =l (6) còn w(x,t) thoả mãn phơng trình: w 2w = a2 2... 2l n +1 l với (18) Do đó nghiệm của bài toán đã cho là : u ( x, t ) = u 0 + a n e ( 2 n +1) a t l n =0 2 cos ( 2n + 1)x 2l Với an đợc xác định bởi công thức (18) Bài 20: Tìm phân bố nhiệt độ trong một thanh đồng chất , biết nhiệt độ ban đầu bằng không , nhiệt độ tại mút x = l bằng không , còn nhiệt độ tại x = 0 đợc cho bởi u(0,t) = At Giải: Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh tại thiết diện có... (6) vào (4) ta có : (6) 30 sin k n sin 2 2 2 2 kx ny k n sin a + t sin sin 2 2 l m l m k n + l m k n kx ny l m kn , = sin sin sin Đặt kn ( x, y ) = sin 2 2 l m 2 2 4A u ( x, t ) = alm k =1 n =1 2 và à kn k n = + l m 2 Khi đó ta có nghiệm của bài toán : l m kn , 4A 2 2 sin kx sin ny u ( x, t ) = kn alm k =1 n =1 à kn l m B Phơng trình truyền nhiệt Dạng 1 : Bài. .. At = 0 v x =0 = 0 v x =l = 0 (6) và điều kiện ban đầu : v t =0 = 0 (7) Nghiệm của phơng trình (5) đợc tìm dới dạng: v(x,t) = v1(x) + w(x,t) (8) Từ (5) và (8) ta có : 2 d 2 v1 w x 2 w = a2 + a + A A 2 t x l dx nên hàm v1(x) thoả mãn phơng trình : với điều kiện biên : v1 x=0 = 0; v1 x =l và điều kiện ban đầu : 2 v1 Ax = +A 2 l x =0 , còn hàm w(x,t) thoả mãn phơng trình: với điều kiện biên : a2 w 2w... 2 k và c1 = Ak l ( k= 1, 2 ) phơng trình (5) có nghiệm : X k ( x ) = Ak sin kx l và phơng trình (6) có nghiệm tổng quát tơng ứng : Tk ( t ) = Bk cos kat kat + Dk sin l l Nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (2) : kat kat kx u k ( x, t ) = ak cos + bk sin cos l l l + Xét coscl = 0 cl = (2n + 1) 2 c= (2n + 1) 2l a k = Ak Bk ( k=1,2 ) bk = Ak Dk (n = 0, 1, 2 ) ( 2n + 1) thì phơng trình ... phải nắm đợc kiến thức chơng trình toán cao cấp , lý thuyết phơng trình vi phân chuỗi hàm Vì lý chọn đề tài : Hệ thống tập phơng trình truyền sóng phơng trình truyền nhiệt , hy vọng giúp đỡ sinh... việc giải tập phơng trình truyền sóng phơng trình truyền nhiệt phơng pháp tách biến nh trình bày ta phân loại tập thành hai dạng nh sau : Dạng : Bài toán có điều kiện biên không Dạng : Bài toán... vk(x,y) Bài tập: 23 11 phần II : Hệ thống giải tập phơng pháp tách biến A- phơng trình truyền sóng I - Phơng trình sóng chiều : Dạng 1: Bài toán có điều kiện biên không Bài 1: Xác định dao động tự