Hệ thống bài tập phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt

lời nói đầu Trong Phơng pháp Toán- Lý cũng nh trong các môn học khác, việc giải bài tập là hết sức quan trọng, nó giúp cho sinh viên nắm vững hơn về lý thuyết, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

lời nói đầu

Trong Phơng pháp Toán- Lý cũng nh trong các môn học khác, việc giải bài tập là hết sức quan trọng, nó giúp cho sinh viên nắm vững hơn về lý thuyết, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng kiến thức một cách tốt hơn, nhng

muốn giải đợc bài tập, cần phải có phơng pháp giải Với mỗi dạng bài tập có một hoặc nhiều phơng pháp giải, vì thế việc xây dựng và lựa chọn phơng pháp giải hợp lý cho mỗi dạng bài tập là rất cần thiết

Các bài tập Phơng pháp Toán- Lý gồm nhiều phần, trong phạm vi khoá luận này chúng tôi chỉ xin đề cập tới các bài tập về phơng trình truyền sóng và phơng trình truyền nhiệt Do số tiết bài tập về phơng trình truyền sóng và ph-

ơng trình truyền nhiệt không nhiều nên sinh viên ít có điều kiện hệ thống lại và hình thành kỹ năng giải bài tập cho mình , vì vậy khả năng giải các bài tập của sinh viên còn nhiều hạn chế

Có 3 phơng pháp đợc dùng để giải các bài toán của phơng trình Vật Toán, trong phạm vi của một khoá luận chúng tôi chỉ xin đề cập tới phơng pháp tách biến, phơng pháp này đợc dùng để giải các bài tập cho cả hai phần : phơng trình truyền sóng và phơng trình truyền nhiệt

Trong thực tế đối với bài tập truyền sóng ta gặp rất nhiều bài toán truyền sóng trong môi trờng hữu hạn, trong đó quy luật truyền sóng rõ ràng phải phụ thuộc vào chế độ ở trên biên của khoảng không gian Vấn đề này sẽ đợc xét cụ thể hơn trong phần bài tập về dao động của dây (hoặc thanh) và dao động của màng, với phơng trình truyền nhiệt cũng vậy, nó phản ánh quy luật truyền nhiệt trong vật khi biết đợc phân bố nhiệt độ ban đầu và xác lập chế độ nhiệt tại biên

Chúng ta có thể gặp các bài toán của phơng trình truyền sóng và phơng trình truyền nhiệt trong không gian nhiều chiều, nhng trong nội dung của một khoá luận chúng tôi chỉ xin giới thiệu một số bài toán xét trong không gian

một chiều và hai chiều đợc trình bày trong bộ môn Phơng pháp Toán- Lý dùng cho sinh viên ngành Vật lý

Có thể nói phơng pháp tách biến là một phơng pháp dễ tiếp thu đối với sinh viên ngành Vật lý, nhng để có thể giải trọn vẹn một bài toán có sử dụng phơng pháp này thì yêu cầu ngời giải phải nắm đợc những kiến thức của chơng trình toán cao cấp , nhất là lý thuyết phơng trình vi phân và chuỗi hàm Vì những lý do trên tôi đã chọn đề tài : “ Hệ thống bài tập phơng trình truyền sóng và phơng trình truyền nhiệt ”, hy vọng rằng nó sẽ giúp

đỡ các sinh viên ngành Vật lý trong việc giải các bài tập về phơng trình truyền sóng và phơng trình truyền nhiệt

Bằng những kiến thức về Phơng pháp Toán- Lý , Giải tích bằng cách tìm tòi và thu thập các tài liệu tôi đã hoàn thành cuốn khoá luận này với những nội dung chính nh sau :

Phần I : Tóm tắt lý thuyết Trong phần này chúng tôi giới thiệu những phần lý thuyết liên quan đến giải các bài tập

Phần II : Hệ thống giải bài tập bằng phơng pháp tách biến

Phần III : Kết luận chung

Đây là giai đoạn đầu của ngời mới tập sự làm nghiên cứu khoa học với kiến thức cha đợc nhiều , với vốn kinh nghiệm còn ít và quỹ thời gian có hạn nên chắc chắn khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong

đợc sự quan tâm, đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên để khoá luận này đợc hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc dến thầy giáo Mạnh Tuấn Hùng đã giúp đỡ tôi rất nhiều cả về kiến thức, về phơng pháp và tài liệu Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Vật lý và bạn bè đã giúp tôi hoàn thành tốt khoá luận này

Vinh, tháng 5 năm 2003 Tác giả

u a t

trong miền ( 0<x<l , 0<t≤T ), thoả mãn điều kiện ban đầu :

( ) F( )x

t

u x f u

x u

k k

π sin )

, (

l

x k t T l

a k t T

(9)Giả sử g(x,t) có thể khai triển thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong [ 0, l ] :

( ) ( )

l

x k t g t

x

g

k k

π sin ,

l

0

sin ,

l

a k t

để thoả mãn điều kiện ban đầu (6) thì các Tk(t) phải thoả mãn :

Tk(0) = f k ; T’k(0) = F k ( k=1,2 ) (12)

với f k, F k là hệ số trong khai triển f(x), F(x) thành chuỗi sin

Giải (11) với điều kiện (12) ta có nghiệm Tk(t) và từ đó đa ra nghiệm của

2

t x g x

v a t

x v

k k

π sin )

, (

1

∑∞

=

= (16)

C¸c bµi tËp: 6,7, 8, 9

Gi¶i bµi to¸n: T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : 2 22

2

2

x

u a t

( ) ( )

v t

u t

w

x f v u w

t t

t

t t t

1 0 0

0

1 0 0 0

2 2 2

2

y

u x

u a t

u

(30)trong miền {(x,y)∈G , 0<t≤T} thoả mãn các điều kiện ban đầu :

( ) ( )x y

t

u y x u

∂

∂ +

∂

∂

= +

) 35 ( 0

) 34 ( 0

) ( )

( '

2

2 2 2

2

v y

v x

v

t T a t T

λ λ

Từ (3.3) và (3.4) ta có : v(x,y)(x,y)∈G = 0 (36)Nếu G là hình chữ nhật ta tìm hàm v(x,y) dạng : v(x,y)=X(x).Y(y) (37)

= +

) 39 ( 0

) ( ) (

"

) 38 ( 0

) ( ) (

"

y Y y Y

x X x X

β

α

với λ = α + β .

Giải (38), (39) và kết hợp điều kiện (36) ta tìm đợc các giá trị riêng λ, tơng ứng với chúng ta có hàm riêng vλ( )x,y , nghiệm tổng quát của (34) Từ đây tìm

đợc nghiệm của bài toán dới dạng chuỗi với các hệ số xác định theo điều kiện ban đâù

Các bài tập: 12,13

b Phơng trình truyền nhiệt

Giải bài toán: Tìm nghiệm của phơng trình : 2 22

u a t

trong miền {0<x<l , 0<t≤T }, thoả mãn các điều kiện ban đầu : u t=0 = ϕ( )x (41)

còn điều kiện biên có thể cho dới dạng sau :

u u

u h x

u

(44)Nghiệm đợc tìm dới dạng u(x,t) = X(x).T(t) và sử dụng phơng pháp tách biến

ta sẽ tìm đợc nghiệm của bài toán

Các bài tập: 14,15,16,17,18

Giải bài toán tìm nghiệm của phơng trình 2 22

x

u a t

Cách 1 : Nếu đặt u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) (50)

thì hàm v(x,t) thoả mãn phơng trình 2 22

x

v a t

thoả mãn các điều kiện biên w(0,t) = 0 ; w(l,t) = 0 (54)

và các điều kiện ban đầu w(x,0) =ψ( ) ( )x − f x = f1( )x (55) Nghiệm của phơng trình (53) thoả mãn điều kiện biên (54) đợc tìm nh trong lý thuyết

với ( ) ( ) [ ( )t ( )t ]

l

x t t

x

1

' 2

' 1

, = − ϕ − ϕ − ϕ , (58)thoả mãn điều kiện biên :

Mặc dù ở đây nêu ra hai cách giải cho bài toán này nhng tuỳ vào điều kiện của bài toán cụ thể mà lựa chọn phơng pháp thích hợp

Các bài tập: 19,20,21,22

Bài toán hỗn hợp của phơng trình truyền nhiệt trong không gian nhiều biến cũng đợc giải tơng tự bài toán hỗn hợp của phơng trình truyền sóng

Ta tìm nghiệm của phơng trình :  ∂ 

∂ +

2 2

y

u x

u a t

u

(61)thoả mãn điều kiện biên : u(x,y,t) (x,y)∈c =0 (62)

và điều kiện ban đầu : u(x,y,0) ( )=ϕ x,y với (x,y) ∈ G , (63)trong đó c là biên của miền G trong mặt phẳng 0xy

dới dạng u(x,y,t) = v(x,y).T(t) (64)

và khi đó ta có các phơng trình T'(t) + λa2T(t) = 0 (65)

2 0

2 2

2

= +

∂

∂ +

∂

y

v x

v

λ (66)

trong đó v( )x,y c = 0 (67)Với G là hình chữ nhật hàm v(x,y) đợc tìm dới dạng v(x,y) = X(x).Y(y) (68) T-

ơng tự nh phơng trình sóng hai chiều ta sẽ tìm đợc nghiệm v(x,y), đồng thời

ứng với trị riêng λ ta giải đợc phơng trình (65) Khi đó nghiệm của phơng trình (61) thoả mãn các điều kiện đã cho có dạng :

phần II : Hệ thống giải các bài tập

bằng phơng pháp tách biếnA- phơng trình truyền sóng

I - Phơng trình sóng 1 chiều :

Dạng 1: Bài toán có điều kiện biên bằng không

Bài 1: Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x = 0

và x = l, biết độ lệch ban đầu đợc cho bởi u(x,0) = 4 ( 2 )

l

x l

x − (0 ≤ x ≤ l) còn

vận tốc ban đầu bằng không

Giải :

Gọi u(x,t) là độ lệch của dây tại điểm có hoành độ x ở thời điểm t

u(x,t) thoả mãn phơng trình dao động của dây : 2 22

2

2

x

u a t

0

2 0

t

t

x u

l

x l x u

(2)

và điều kiện biên : u x=0 = 0 u x=l = 0 (3) Theo lý thuyết, ta có nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn điều kiện biên (3) có dạng :

l

x k l

at k b l

at k a t

x u t

π

sin ).

sin cos

( ) , ( )

, (

1 1

Ta xác định ak, bk sao cho u(x,t) thoả mãn điều kiện ban đầu (2)

Theo điều kiện ban đầu (2) ta có :

nếu k = 2n

nếu k = 2n+ 1

1 0

) ( 4 sin

l

x l x l

x k a u

k k t

sin

1 0

a k b t

u

k

k t

π π

(6)

Từ (5) ta thấy ak là hệ số trong khai triển 4 ( 2 )

l

x l

x l x l a

l k

π sin ) ( 4 2

0 2

dx l

x k x l

l

2 2

8

3 3

3 3 3

3 3 ⇒ a k = 8 . 23 3 ( 1 cos )

=

−

3 3 3

3

1 2 32

0 ) cos 1 ( 16

π

π π

at n

n t

x u

n

π

π π

) 1 2 ( sin ) 1 2 ( cos 1 2

1 32

) , (

3

+ +

+

= ∑∞

Bài 2 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x=0

và x = l biết độ lệch ban đầu bằng không, vận tốc ban đầu đợc cho bởi :

) 0 ,

x t u

với v0 là hằng số dơng và π/2 < c <l - π/2

Giải :

Gọi u(x,t) là độ lệch của điểm trên dây có hoành độ x ở thời điểm t

Ta có u(x,t) thoả mãn phơng trình dao động của dây :

nếu x− <c π /2 nếu x− >c π /2

2 22

2

2

x

u a t

u

∂

∂

=

∂

∂ trong miÒn (0<x<l , 0<t≤T) (1)

víi ®iÒu kiÖn biªn: u x=0 = 0 u x=l = 0 (0≤ t≤T) (2)

vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu :

( )

        − = ∂ ∂ = = = 0 cos 0 0 0 0 c x v t u u t t (0≤ x≤l) (3)

Ta biÕt nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (2): ( )

l x k t l a k b t l a k a t x u k k k π π π sin sin cos , 1 ∑∞ =       + = (4)

Tõ ®iÒu kiÖn ban ®Çu ta cã : sin 0 0 1 0 =∑∞ = → = = = k k k t a l x k a u π (5)

F( )x l x k l a k b t u k k t = = ∂ ∂ ∑∞ = = π π sin 1 0 NhËn thÊy b k lµ hÖ sè trong khai triÓn F(x) thµnh chuçi Fourier theo hµm sin trong kho¶ng (0, l) ⇒ ( ) dx l x k x F dx l x k l a k b l l k π π π sin sin 0 0 2 ∫ ∫ = ⇒ b k = +∫ − − 2 / 2 / sin ) cos( 2 π π π π c c o dx l x k c x a k v =

            −       − +       −       + ∫ ∫ + − + − 2 / 2 / 2 / 2 / 0 sin 1 sin 1 π π π π π π π c c c c dx c x l k dx c x l k a k v =

                  −       − − −       −       + + − + − + − 2 / 2 / 2 / 2 / 0 cos 1 1 1 1 cos 1 1 π π π π π π π π π c c c c c x l k l k c x l k l k a k v = −

                − − −     + + + − 2 2 cos 2 2 cos 1 1 2 2 0 π π π π π π π π l k l c k l k l c k l k a k v































−







−

−

2 2

cos 2 2

cos 1

k l

c k l

k l

c k l

k

nÕu x− <c π /2 nÕu x− >c π /2





 + +

=

l

k l

c k l

k l

c k l

k l

k l

c k l

k l

c k l

sin 1

1 2

sin 2

sin 1

π

π π π

π π

π

l

k l

2 1

1 1

π π

c k l

k a k

v

2 cos

sin 1

1

2

2 2

c k l

k a k

v

2 cos

sin 1

2

2 2

π π

sin

4 ,

1

2

2 2

2 0

l

x k l

at k l

k k

l

k l

c k a

v t x u

k

π π

π

π π

Bài 3 : Xác định dao động dọc của thanh nếu một mút gắn chặt còn một mút

tự do, biết các điều kiện ban đầu : u t=0 = f(x), ( )

0

x F t

x

u

(3)

Ta tìm nghiệm riêng của phơng trình (1) dạng : u(x,t) = X(x).T(t) (4)

Bằng lý luận quen thuộc ta có :

= +

) 6 ( 0

"

) 5 ( 0

"

2 T a T

X X

λ λ

Từ điều kiện biên (3) ta có : X(0) = 0 ; X ’(l) = 0 (7)

Giải phơng trình (5) với điều kiện (7), ta xét các trờng hợp :

∗ λ = - c2<0 Phơng trình (5) có nghiệm tổng quát : X(x) = c1.e-cx + c2.ecx

2 1

cl

cl c c e e

c c l X

c c x X

0 0

2

1

c l X

c X

( '

0 )

0 (

2

1

cl c c l X

c X

x

2

1 2 sin + π

=

có thể lấy k = 0,1,2 ( do tính tuỳ ý của A k )

Khi đó nghiệm tổng quát của phơng trình (6) tơng ứng : ( ) ( ) ( )

l

at k

D l

at k

B t

2

1 2 sin 2

1 2

at k

b l

at k

a t

x u

k

k k

2

1 2 sin 2

1 2 sin 2

1 2 cos )

, (

0

π π

0

l

x k a

2

1 2 sin 2

1 2

0 0

x F l

x k l

a k b t

u

k k t

= + +

(10)Nhận thấy a k là hệ số trong khai triển chuỗi Fourier nên

l

x k x

f l a

l

o k

2

1 2 sin ) (

= ∫ (11)Tơng tự , từ (10) ta có :

-l x l x

l

x k x

F l

x k l

a k b

l

o

l

o k

2

1 2 sin ) ( 2

1 2 sin 2

F a k b

l

o k

2

1 2 sin ) ( 1

2

π

+ +

= ∫ (12)

Vậy (8) là nghiệm của bài toán trong đó ak và bk đợc xác định từ (11),(12)

Bài 4 : Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén cho nên độ dài của nó còn

lại là 2l(1-ε) Lúc t = 0, ngời ta buông ra Chứng minh rằng độ lệch của thiết

diện có hoành độ x ở thời điểm t đợc cho bởi:

l

at n

l

x n n

) 1 ( 8

+ +

Chọn hệ trục toạ độ có gốc trùng với tâm của thanh Trục 0x dọc theo thanh

Khi đó u(x,t) thoả mãn phơng trình dao động của thanh :

Theo bài ra, tại thời điểm t = 0 ngời ta buông ra tức vận tốc

ban đầu bằng không , hai đầu mút của thanh đều tự do nên ta có điều kiện biên

Sử dụng phơng pháp tách biến ta có :

= +

) 6 ( 0

) (

"

) 5 ( 0

) (

"

2T t a t T

x X x X

λ

λ

B©y giê ta ®i t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (5) víi ®iÒu kiÖn biªn :

( '

0 )

( '

1

1

c l X

c l X

⇒ c2 ≠ 0 vµ c2 = A0

nªn X 0 (x) = A0

øng víi trÞ riªng λ = 0 th× (6) cã nghiÖm tæng qu¸t : T 0 (t) = B0t + D0

nªn ta cã nghiÖm riªng cña (1) u 0 (x,t) = a0 + b0t (a0 = A0D0; b0= A0B0) (8)

∗λ = c2> 0 NghiÖm tæng qu¸t cña (5) lµ : X(x) = c1cos cx + c2sin cx

−

= +

0 sin 0

cos sin

0 cos sin

0 ) cos(

) sin(

0 ) cos(

) sin(

2

1 2

1

2 1

2 1

2 1

cl c

cl c cl

c cl c

cl c cl c cl

cc cl c

cc

x

u

cl cc

cl cc

l

x k A x

at k B t

at k b l

at k a t

k k k

D A b

B A a

( k=1,2 ) (9)

+ XÐt coscl = 0 ⇒

2

) 1 2 ( + π

2

) 1 2 ( + π

= (n = 0, ±1, ±2 )

2

1 2

( )

l

x n A

x

2

) 1 2 ( sin + π

D l

at n

B t

2

1 2 sin 2

1 2

at n

b l

at n

a t

x

2

) 1 2 ( sin 2

) 1 2 ( sin 2

) 1 2 ( cos

n n n

D A b

B A a

(10)

Tõ (8),(9),(10) ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn (2)

chÝnh lµ tæng cña c¸c nghiÖm riªng cña u(x,t) :

l

x n

l

at n

b l

at n a

l

x k l

at k b l

at k a t

k

k k

2

1 2 sin 2

1 2 sin 2

1 2 cos

cos sin

cos )

,

(

0

1 0 0

π π

π

π π

x n a

l

x k a a

u

n

n k

k

2

) 1 2 ( sin cos

0 1

) 1 2 ( cos

0 1

0 0

= + +

+ +

a n b l

x k b l

a k b

t

u

n n

k k

t

π π

π π

(12)

LÊy tÝch ph©n 2 vÕ cña (11) theo x cËn tõ (-l →l)

dx x dx

l

x n a

dx l

x k a

2

) 1 2 ( sin cos

x x

x k x dx

x k k

l l

π

ε

π π

ε

(15)

dx l

x n x

dx l

x n

) 1 2

l

x n x

l a

2

1 2

dx l

x n n

l l

x n x

n

l l

2

) 1 2 ( cos )

1 2 (

2 2

) 1 2 ( cos )

1 2

1 2 (

8 2

) 1 2 ( sin 2

) 1 2 ( sin )

1 2

(

4

2 2

2 2

2

π

ε π

π π

n n

l

) 1 2 (

8 1

π

ε +

at n

n

l t

x u

n

n

2

) 1 2 ( sin 2

) 1 2 ( cos ) 1 2 (

) 1 ( 8 ) , (

1 2

π

π π

Dạng 2 : Bài toán có điều kiện biên khác không.

Bài 10 : Xác định dao động của một dây gắn chặt ở mút x = 0, còn mút x = l

chuyển động theo quy luật Asinωt, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không

Giải: :

Gọi u(x,t) là độ lệch của điểm trên dây có hoành độ x ở thời điểm t

u(x,t) thoả mãn phơng trình dao động :

l x

0

0

(1) với điều kiện biên : u x=0 = 0; u x=l = Asin ωt (2)

và điều kiện đầu : u t=0 = 0; 0

l x

x x

x

v

w u

0 0

0 0

t t

t t

t t

t

w t

w t

u t

v

w v

(9)

Ta t×m nghiÖm w(x,t) cña ph¬ng tr×nh (5) díi d¹ng : w(x,t) = X(x).T(t) (10)

B»ng lý luËn quen thuéc ta cã :

) 12 (

) 11 ( 0

) ( )

(

"

0 ) ( ) (

= +

t T a t T

x X x X

T( ) = sin ω (14)

Thay (14) vµo (12) : − 2 sin + 2 sin t = 0

B

A a t B

A

ω λ

a

x c

l c

)

(

0 )

B c

sin

x a

l

B x

sin

l

B t

x

sin

) ,

⇒ t a x

a l

A t

x

ω sin .sinsin

) ,

(16)nªn ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña ph¬ng tr×nh (5) lµ:

t w w

t

t

sin

sin 0

at k b l

at k a t

x v

k

k k

π π

cos )

, (

t v v

t

t

sin

sin 0

k k

l

x k l

a k b

k

sin

sin sin

ω ω

A a

k b

l k

π

ω ω

ω

sin sin

2

A l

l

a k

sin

x l

k a

dx l

x k a

x I

l l

cos cos

2

1 sin

k a l

l

k a

k a l

π ω

π ω π

ω

π

sin 2

1

2 2

sin ) 1 (

l

k a

l

k

π ω

π ω

1 2

2 1

.

2 ) 1 ( sin

) 1 ( sin

2

l

k a

l a

A l

k a

l

a

l k

a l

A a

k

k k

π ω

ω π

ω

ω π ω

at k l

k a

l a

A t

x v

k

π ω

.

2 ) , (

l

a k l

Aa a

l

t x a

A t x

u

k

π ω

ω ω

ω

ω

sin sin

) 1 ( 2

sin

sin sin )

, (

=

Bài 11 : Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất mà một mút cố định, còn

mút kia chịu tác dụng của lực Q (lên một đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết

và điều kiện biên : - một đầu mút cố định u x=0 = 0

- một đầu mút chịu tác dụng của lực Q lên một đơn

vị diện tích : Q

x

u E

l x

=

∂

∂

= (3)

Ta tìm nghiệm dới dạng : u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) (4) Trong đó hàm v(x,t) thoả mãn phơng trình thuần nhất : 2 22

2

2

x

v a t

v

l x

với điều kiện biên : w x=0 = 0; = 0

∂

∂

=l x

) 11 ( 0

) ( )

(

"

0 ) ( ) (

= +

t T a t T

x X x X

λ λ

Q (l).T(t) X'

0 X(0).T(t)

Để hệ có nghiệm không đồng nhất bằng không thì T(t) ≠ 0

⇒ X' (l) =B ⇒

E B

Q t T

) ( = (13)

X'

0 c X(0)

x E

at k

b l

at k

a

k

k k

2

) 1 2 ( sin 2

) 1 2 ( sin 2

) 1 2 ( cos

0

π π

k k

E

Q l

x k a

=

∂

∂

0 0

0 0

2

) 1 2 ( sin 2

) 1 2 (

t

b l

x k l

a k b t

( )2

1 2

1 2

1 8

Ql a

k k

π (18)