Phơng trình lợng giác Nguyễn Văn ĐắcHệ thống bài tập phơng trình Lợng giác I... Phơng trình giải bằng công thức hạ bậc, nhân đôi... Các phơng pháp giải phơng trình lợng giác A.. Phơng ph
Trang 1Phơng trình lợng giác Nguyễn Văn Đắc
Hệ thống bài tập phơng trình
Lợng giác
I Các phơng trình lợng giác cơ bản
3) sin2x - cos3x = 0 18) (sin x - 2) (cosx - 2) = 0
5) Sinx
Cosx 1 − = 0 20) (cosx -1) (2cosx- 2) =0
6) Sin4x
Sin x Cosx − = 0 21) cos (2x-3) - cos (3x-2)=0
4
π ) + sin (x +
4
π ) = 0
Cosx = 0 9) (2sinx - 1) (2sinx + 1) = 0 24) Cos2x
Sinx Cosx − = 0
10) 2sin
(x-2
π ) +
3 = 0 25) cos (πcosx)=1
11) sin (x -
6
π ) - sin (3x+
3
π )=0 26) tanx = -1
12) sin3x - cos (
6
(x-4
π )-1 = 0
13) sin x 1 cos x2
cos x
3 = 0
14) sin (
6
π sin 2x) = 1
15) 2sin (x+ 100) = 2 30) tan2x = tan 6x
32) (tanx - 1) (tanx + 3) =0 31) tan(π sin x)= 0
(x-2
π )=cot (3x-3
2
π )
II- Các dạng phơng trình lợng giác đơn giản
1 Phơng trình bậc nhất, bậc hai đv hàm lợng giác
1) 4sin2x – 8 sinx + 3 = 0 9) cosx + cosx
2 - 2 = 0
Trang 22) 2 cos2x + 5 cosx + 3 = 0 10) cosx + 3sinx
2 = 0 3) tan2x + (1- 3)tanx - 3 = 0 11) sin4x + cos4x + cox2x – 2 = 0
4) sin2x - sinx = 0 12) 4sin4x + 16cos4x + cos 2x – 5 = 0 5) 4cos2x + 4sinx – 5 = 0 13) 7tanx - 4cotx = 3
6) 4sin2x - 2 3cosx + 2 = 0 14) tanx
2 + 3cotx
2-1 - 3 = 0 7) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 15) tan2x + tanx = 0
8) 9sin22x - 5 cos22x - 5 sin2x + 4 = 0 16) 8cos4x = 1 + cos4x
2 Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1) Sinx - cosx = 1 2) cosx - 3sinx =2
(x-6
π )+2cos(x +
6
π ) =
3 1 −
5) 2sin24x + 3sin 8x = 3 6) 2sinx - 2 3cosx + 2
sin x − 3 cos x 1 + =3
7) Tìm m để pt có nghiệm
a) sinx + 2mcosx = m + 1 b) (m-2)sin2x + cos2x = m+1
3 Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
1) 2sin2x + 3sinxcosx + cos2x = 0 2) 2sin2x -3sinxcosx + 3cos2x = 1
3) sin2x + 1
2(1- 3)sin2x - 3cos2x = 0 4) 4sin22x - 3sin4x + 2cos22x = 4 5) Tìm m để pt có nghiệm 6) tan2x - 2 tanx + 1 = 12
cos x
a) msin2x + (m+1)sinxcosx + (m+1)cox2x=0
b) m2sin2x + (m-1)sin2x + 2 cos2x = 1
4 Phơng trình giải bằng công thức biến tổng thành tích và tích thành tổng
1) cosx - cos2x + cos3x = 0 5) cos6x + 3 cos8x + 3 cos10x + cos12x=0 2) sin6x - sin2x = 2cos4x 6) 2sin(4x+
3
π )-4cos2x +
3=0
3) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 7) 2sin6x+1 = 4sin(3x+
12
π )
4) sinx + cos3x + sin5x + cos7x = 0 8) sin6x - 2sin2x = 0
9) 2cos3xcosx = 1
2+ cos2x 13) cos9x + cosx = sin13x + sin 3x 10) 2sin3xsinx + cos4x + cos22x = 2 14) cos9x + cosx = cos5x (1+cos34x) 11) 2sin3xcosx = sin 2x + 3cos4x 15) 2cos4x + 2 2cos(2x+
8
π )+1 = 0
12) 2sin3xcosx + sin34x = sin2x+2 16) sinx+sin2x+sin3x =cosx+cos2x+ cos3x
5 Phơng trình giải bằng công thức hạ bậc, nhân đôi
Trang 3Phơng trình lợng giác Nguyễn Văn Đắc
1) sin2x + sin23x + sin25x = 3
2cosxcos2x = 1
8
2) sin2x + sin22x = sin25x + sin26x 6) sin3x cosx - sinxcos3x = 2
8
3) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 7) sin8x + cos8x = cos8x
4) 8cos4x = 1 + cos4x 8) sin6x+2cos6x+sin4x+2cos4x=2
6 Phơng trình giải bằng công thức cộng cung
1) cos3x + tanxsin3x = 1 7) sin x cos5x
sin 5x cos x
−
2) cos3x - 3sin3x = 2cosx *8) 2sin3x - 1
sin x= 2cos3x + 1
cos x
3) cos5x + cos2x + sin3xsin2x = 0 *9) sin4x-cos4x = 1 + 4 2sin (x -
4
π )
4) 3sin2x + cos2x = 2sinx 10) 1 cos x 1 cos x
cos x
+ + − = 4sinx với x ∈[0; 2 π]
5) sin 7x - cos7x = 2cos5x 11) sin 3x sin x
1 cos 2x
−
− = cos2x+sin2x
6) -cos4x + tanxsin4x = 1
7 Đơn giản biểu thức để giải phơng trình
1) Sin3x - sinx = cos x2
1 sin x + 7) sin 3(x+π) - sin 2(x+2π)- sin (x+3π) = 0 2) sin 4x 3 cos x
2(cos3x cos x) =
sin x cos x 1
(tan x cot x) sin 2x 2
3) sin 3x cos3x 1 cot x
sin x + cos x = + 9) 2 tanx + cotx = 2 3
sin 2x +
4) sin 3x cos3x 1 tan x
sin x + cos x = + 10) 2cot x = 3 + tanx + 2 cot2x
11) 2cot x = cot2x + 1 3
sin 2x + 12) 2
sin 2x =cotx - cot2x +1 5) sin2xtanx + cos2xcotx - sin2x = 1+tanx + cotx
6) sin ( 2x
2
π + ) cot3x + sin (π+ 2x) - 2 cos 5x = 0
III Các phơng pháp giải phơng trình lợng giác
A đa PT về dạng tích
1 Nhẩm nghiệm để ghép nhóm và đoán định nhân tử chung
1) sin2x + 4 = 3cos2x + 5 sin x + cosx 7) sin 2x + cos2x + sinx + cosx + 1 = 0 2) sin2x + 3sinx = 3 + 2cosx 8) cos2x + cosx - cos4x = sin3x + sin2x 3) sin2x + sinx = cos8x + cos7x + cos6x 9) 4sinx + cosx = 1 + tanx - 3sinx tanx 4) 4sinx + cosx + 3sinx tanx = 3 (tanx +1) 10) sin2x + 10cosx = sinx + 5
Trang 45) 2 (sin2x – cos2x) = tanx + 1 12) sin3x-cos3x-2sin2x-2cos2x-2sinx+2cosx+1=0 6) cos6x + sin5x + sin2x = cos4x + cosx 11)cos3x + cos2x + sin2x + sinx - 5cosx = 3
2 Dựa theo nhân tử chung quen thuộc và đẳng thức lợng giác
1) sin3x - cos3x = cosx - sinx 6) tanx + sin2x - 2 = 0
2) sin3x - cos3x = cos2x 7) tanx + sin2x + 2 = 0
3) 1 + sin4x = sin2x + cos2x 8) 2sinx + cos3x + sin2x = 1 + sin4x
4) sin5x + cos5x = sin3x + cos3x 9) 1 + 2 sin (2x +
4
π ) = 2
2 cos2x sin (x +
4
π )
5) sin4x = 1 + cosx 10) (2sinx + 1) (3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos2x = 3
3 Dựa theo các đẳng thức đại số
1) 1 + sinx cos2x = sinx + cos2x 10) tan2x = 8cos2x + 3sin2x
2) 1
cos x + sin2x = 2sinx + 1 11) cos3x + 3cosx = 4tan3x
3) tan2x + sin22x = 4cos2x 12) 4 (sinx + cosx)3 = cos6x + 3cos2x 4) sin22x = cos2x + cos3x – cosx 13) cot2x = 8cos2x + 3sin2x
5) 9sin 2 x + 6sinx cosx + cos 2 x = 4- 4cosx+cos 2 x 14) sin2x - 4tan2x = 3
6) 9sin2x + 3sin2x + 4cosx = 4 15) tan2x + 2tanx + sin22x = 0
7) cosx + tanx = 1 + tanx sinx 16) sin2x = 2cotx + cot2x
8) 4cotx = 4cot2x + 2cos 2x
1 cos 2x + 17) sin
22x = - cos2x - sin3x - sinx
9) 1
sin 2x + 4tanx = 4tan2x + 2 18) sin 2x3
sin x cos x −
4 Dựa theo công thức nghiệm của tam thức bậc hai
1) 3sin2x + cos2x + 4 = 3sinx + 7cosx 5) cotx tan2x tan3x = tan2x + tan3x - tanx 2) cos2x + 3sinx cosx - 3
2sinx - 1
2cosx = 0 6) sin22x + sinx = (tanx + cosx) sin2x 3) 2sin2x + sin2x + 2sin (x-
4
π ) = 1 7) 1 + sin2x = (sin2x + tanx) cosx
4) cos 2 x + cos2x = sin2x + cos4x+sin3x cosx 8) 9sin2x + 3sin2x + 4cosx = 4
B Phơng pháp đặt ẩn phụ
1 Đặt 1 ẩn phụ triệt để
1) sin6x + cos6x + sin2x = 1 17) sin3x + cos3x + sin2x = 1
2) sin10x + cos10x + sin22x = 1 18) cosx + sinx + 1 1 10
sin x cos x + = 3
3) 4sin4x + 2sin2x + cos4x + sin22x =1 19) 2+sin3x –cos3x = sinx + cosx
4) 8sin4x + 4cos4x + sin22x = 4 20) tan3x + cot3x + tan2x + cot2x = 1
5) 3tanx + 2cotx – 5 = 0 21) tan2x cot2x + tanx – cotx =2
6) tanx 3 cotx 1 3 0
2 + 2 − − = 22) tan2x + cot2x + tanx – cotx = 2
Trang 5Phơng trình lợng giác Nguyễn Văn Đắc
7) tan2x + 3tanx + 2cotx – 6 = 0 23) tan3x + cot3x + 1
sin 2x = 3 8) cot2x + 4 cotx – 2tanx – 3 = 0 24) cot22x + 1
sin 2x+ tan2x + cot2x = 3 9) 12
sin x+3tanx + cotx = 6 25) 9tan2x + cot2x + 3tanx + cotx = 14
10) tan2 x 2 x
cot
2 + 2 + 2cotx + tanx = 9 26) 3sin2x + cos2x - 3(sinx + 3cosx )+4=0 11) 2sin3x + 4cos3x = 3sinx 27) 12cosx + 5sinx + 5
12cos x 5sin x 4 + + + 8 = 0
12) 2sin22x - 3sin2xcos2x + cos22x = 2 28) sin3x - cos3x = sin x cos x
sin 2x
+
13) sin3x + sinxsin2x - 3cos3x = 0 29) 2sin3(x
4
π + )=2sinx
14) 2tan3x + cotx = 2
sin 2x+1 30) 2sin(3x +
4
1 8sin 2x cos 2x +
15) sinx - cosx + 4sin2x = 1 31) 3(tanx + cotx)=2(2+sin2x)
16) sin x 1+ + cos x 1 1+ =
2 Đặt một ẩn phụ không triệt để
1) cos2x + 3sinxcosx - 3
2sinx - 1
2cosx = 0 3) sin22x + sinx= (tanx + cosx)sin2x 2) cotxtan2xtan3x = tan2x + tan3x – tanx 4) 1+ sin2x = (sin2x + tanx)cosx
3 Đặt bằng hai ẩn phụ
2) 2sin2x - 3sinxcosx + 3cos2x = 1 7) sin3x - cos3x = cosx - sinx
3) sin2x + 3sinx = 3 + 2cosx 8) sin4x = 1 + cosx
4) cos3x + cos2x + sin2x + sinx - 5cosx = 3 9)3sin x + cos x = 3
C Phơng pháp đánh giá
1 Đánh giá dựa theo tính chất hàm lợng giác
1) cos2007x + sin2008x = 1 9) 3 sin x− cos x 3=
2) 2 cos x 3 sin x − = 2 10) 2 sin x sin x cos x
3 cos x
+
+
6
2 cos x
sin x cos x
1 sin x
+
4) cosx + cos3x = tanx cotx
4 + 4 12) tanx + cotx + tan2x + cot2x + tan3x + cot3x = 6 5) cosxcos3xcos5x = 1 13) 3sinx + 4cosx = 5 + (4tanx - 3)2
1 tan x + + 1 cot x − = 2
Trang 67) 4
sin x + cos 1 = 15) sin10x + cos10x = sin4x cos4x
sin x + cos x + cos x = 2 16) sinxsin2x sin2009x+cosxcos2x cos2010x=1
2 Đánh giá dựa theo BĐT đại số
1) 3cot2x + tan6x = 4 4) (1 + 14
sin x)(1+ 14
cos x ) = 25 2) sin20x + cos20x = 19
sin x)(1+ 2
6
1 ) 25 cos x =
3) sin8x + 1
8cos8x = 1
27 6) 4cos22x + 2cos2x + 6 = 4 3sinx 7) 4+ 3tan2x = 4sinx + 2cos2x + 2 3tanx 8) 3 + sin22x = 2sin2x + cos2x + 2 2sinx 9) 2 + cos22x + cos2x = cos42x + 2 2 cos x
3 Đánh giá dựa trên tính biến thiên hàm số
1) cos3x – sin3x = sinx – cosx 4) 4cot2x + tan8x = 5
3
8 cot x tan x
3) 2(sin4x + cos4x)+ 18 18 33
sin x cos x + = 6) cosx = x + 1
4 Sử dụng đạo hàm bậc cao và tính chẵn, lẻ
1) sinx = x - x3
3!
2) sinx = x - x3 x5
3! + 5! 5) cosx + cos2x = 2- 5x2
2
3) cosx = 1- x2
2! 6) x2 + cos2x = 1
V Một số bài toán liên quan
1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số
1) y=sin2x + 3cos2x-3 2) y sin x cos x 1
sin x cos x 3
=
3) y=cos x 2sin x 3
2cos x sin x
y sin x cos x sin x cos x = + + +
2 Tìm m để phơng trình có nghiệm
1) m(tan2x + cot2x) + (tanx + cotx)+2 = 0 2) tan2x + cot2x + mtanx - mcotx + m-1 = 0
3 Tìm m để phơng trình
1) cos2x = mcos2x 1 tan x+ có nghiệm thuộc 0;
3
π
2) cos2x – sin3x = m có đúng 2 nghiệm ∈ ;
4 4
π π
−
3) 1+ sin2mx = cosx có nghiệm duy nhất
Trang 7Phơng trình lợng giác Nguyễn Văn Đắc
4) sin3x+cos2x=1+sinxcos2x tơng đơng với pt sin3x-msinx= (4-2/m/)sin2x
đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng
2002-2009 A-Đề thi tuyển sinh Đại học 2002-2009
1.KA02tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của phơng trình 5(sinx +cos3x sin 3x
1 2sin 2x
+
2 Khối B2002: sin23x- cos24x = sin25x - cos26x
3 Khối D2002: Tìm x thuộc đoạn [0;14]nghiệm đúng phơng trình
cos3x -4cos2x + 3cosx - 4 = 0
4 KA03: cotx - 1 = cos 2x 2 1
sin x sin 2x
1 tan x + − 2
+ 5, Khối B 2003: cotx -tanx +4sin2x =
2 sin 2x
6 Khối D2003: sin2(x 2 2 x
) tan x cos 0
π
− − = 7 Khối B2004:5sinx-2 = 3(1-sinx)tan2x
8 KD04: (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 9 KA05: cos23xcos2x - cos2x = 0
10 KB05: 1+sinx +cosx + sin2x + cos2x = 0
11.KD05: cos4x + sin4x +
cos(x-4
π )sin
(3x-4
π )-3
2=0 12 KA06: 2(cos6 sin x) sin x cos x6
2 2sin x
13 KB06: cotx + sinx(1+tanxtanx
2)=4 14 KD06: cos3x + cos2x - cosx - 1 =0
15 KA07: (1+sin2x)cosx + (1+cos2x) sinx = 1+sin2x 16 KB07: 2sin22x + sin7x - 1 = sinx
17 Khối D2007: (sinx x 2
cos ) 3 cos x 3
3
2
x
π π
− 19KB08 sin3x- 3cos3x=sinxcos2x- 3sin2xcosx 20KD08 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 21CD08 sin3x- 3cos3x=2sin2x
18KA09 (1 2sin )cos
3 (1 2sin )(1 sin )
+ − 19) KB09sinx+cosxsin2x+ 3cos3x=2(cos4x+sin3x) 20CD09 (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx 21) KD09 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0
B Đề thi một số trờng cao đẳng năm 2007
1 CĐGT vận tải: sin2x + cos2x – 3sinx – cosx +1 = 0
2 CĐ công nghiệp: cos4x – sin x = 3(cosx – sin4x)
3, CĐ truyền hình: sin3x + cos3x = 2(sinx + cosx)-1
Trang 84 CĐ công nghiệp Việt – Hung: cosx (cosx-1)= sin x
5 CĐ Phòng không – không quân: sin2x (tanx +1) = 3sinx (cosx - sinx)+3
6 CĐkinh tế đối ngoại: sin6x + cos6x = 2 sin2(x+
4
π )
7 CĐ kinh tế –kỹ thuật CNI: sin2(x
3
π + )+ sin2(x+2
3
π )= 3 sin x
2
−
8 CĐ ytế hà nội: 2 2 sin(x ) 1 1
4 cos x sin x
π
9 CĐGTVTIII: 2sin ( 2 2x) 3 cos 4x 4cos x 1 2
4
10 CĐ Nguyễn Tất Thành: cos2x – 2sinx + 2 = 0
11 CĐ kỹ thuật cao Thắng: 2sin3x + 4cos3x = 3sinx
12 CĐSPTWTPHCM: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0
13 CĐ xây dựng số 2: cos4x – sin4x + cos4x = 0
14 CĐ ytế Nghệ An: 2sin2x + cosx = sinx + 4sin2x cosx
15 CĐ tài chính Hải Quan: cosx cos2x sin3x = 1
4sin2x
16 CĐCN thực phẩm TPHCM: 1 1 2 sin(x )
cos x sin x 4
π
17:ĐH Sài gòn, khối A: 3tan2
(x-2
π )= 21 sin x
sin x
−
C Một số đề dự bị và cao đẳng các năm 2002 - 2009
1 2 2 cos (x 3 ) 3cos x sin x 0
4
π
− − − = 32 cot x = tanx + 2cos 4x
sin 2x
4sin 3 cos 2x 1 2cos (x )
π
− = + − 33 tìm nghiệm trên (0;π) của phơng trình
3 cos3x – sin2x = 3(cos 2x sin 3x) − 4sin2 x 2 3
3 cos 2x 1 2cos (x )
π
4 cos3x + sin7x = 2sin2( 5x
4 2
π + )- 2cos2 9x
2
cos 2x 1 ( x) 3tan x
5 4(sin3x + cos3x)= cosx + 3sinx 35.sinxcos2x + cos2x (tan2 - 1) + 2sin3x = 0
6 2sinx cos2x + sin2xcos2x = sin4xcosx 37 cos3x 1 = − 3 sin 3x
7 2sinxcosx + sin2xcosx = sin4xcosx 38 tan2x + 8cos2xcotx = cot2x
8 sin2x + 2 2 cos x 2sin(x ) 3 0
4
π
2
cos sin 1 sin 2x
sin 2x 2sin (x )
4
π
=
+
8cos x = sin x
Trang 9Phơng trình lợng giác Nguyễn Văn Đắc
10 sin7xcos3x sin cosx 5x sin 2x cos 7x 0
2 2 + 2 2 + = 31 cos x(cos x 1)2 2(1 sin x)
sin x cos x − = + +
11 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0 30 (2 3) cos x 2sin (2 x2 4)
1 2cos x 1
π
=
−
12: sin(πcosx)=1 29 tan2x – tanx = 1
3cosxsin3x
13 sin3 x2 cos3 x2 1
cos x
2 sin x 3
−
= +
14: 3 sin 2x 2 2 sin x − 2 = 6 − 2
15 3cosx + 2cos2x – cos3x = 2sinx sin2x – 1
16 Tìm m để phơng trình 4cos3x + (m-3)cosx – 1 = cos2x có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;
2 π π
−
17 cosxcosxcos3x sin x sin sinx 3x 1
sin x cos sin x 1 2cos ( )
π
19 cos2xsin4x + cos2x = 2cosx(sinx + cosx)-1
20 sin8x+cos8x = 5 10 10
cos 2x 2(sin x cos x)
21 4sin3xcos3x + 4cos3xsin3x + 3 3cos4x = 3
22 sin x cos x4 4 1cot 2x 1
5sin 2x 2 8sin 2x
23 tan4x + 1 = (2 sin 2x)sin 3x2 4
cos x
−
24 tanx + cosx – cos2x = sinx (tanxtanx
2+1)
25 Tìm a để pt có nghiệm 2sin x cos x 1 a
sin x 2cos x 3
26 3cosx (1- sin x)- cos2x = 2 sin x sin x 1 2 −
27 3 - tanx (tanx + 2sinx)+6cosx = 0
28 cos2x + cosx (2tan2x - 1) = 2
31 tìm x ∈ 0;3
2
π
thoả mãn pt
2
cos x(cos x 1)
2(1 sin x) sin x cos x − = + +