Hệ thống các bài toán động học chất điểm bồi dưỡng học sinh giỏi vật lí trung học phổ thông

Chuyển động của vật có vận tốc đầu chịu tác dụng của trọng lực Đề tài đã đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầygiáo Đỗ Văn Toán và sự giúp đỡ của thầy, cô giáo trong k

Mở đầu

Động học chất điểm là một phần cơ bản của cơ học, thờng xuyên đợc

đề cập tới trong các tài liệu tham khảo, các chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi

Tuy nhiên các vấn đề của Động học chất điểm cha đợc hệ thống lại mộtcách đầy đủ, sâu sắc theo chủ đề và các dạng bài tập

Để giúp cho các bạn học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi rèn luyệnphơng pháp giải các bài tập Động học chất điểm, chuẩn bị cho kỳ thi học sinhgiỏi các cấp, chúng tôi đã xây dựng đề tài "Hệ thống các bài toán Động họcchất điểm bồi dỡng học sinh giỏi"

Nội dung của đề tài bao gồm các vấn đề sau:

A - Hệ thống lý thuyết phần Động học chất điểm

B - Hệ thống bài tập phần Động học chất điểm

I Chuyển động đều

1 Chuyển động thẳng đều

2 Chuyển động tròn đều

II Chuyển động biến đổi

1 Chuyển động thẳng biến đổi đều

2 Chuyển động tròn biến đổi đều

3 Chuyển động của vật có vận tốc đầu chịu tác dụng của trọng lực

Đề tài đã đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầygiáo Đỗ Văn Toán và sự giúp đỡ của thầy, cô giáo trong khoa Vật lý - trờng

Đại học Vinh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc tới quýthầy cô

Vì khả năng có hạn, thời gian và kinh nghiệm nghiên cứu cha nhiều nênluận văn không tránh khỏi những khiếm khuyết, rất mong đợc sự giúp đỡ, góp

ý của các thầy, cô giáo và bạn đọc để đề tài đợc hoàn chỉnh hơn

0 t o

o ta có: x = s = v.t

v > 0 nếu chọn chiều dơng là chiều chuyển động

v < 0 nếu chọn chiều dơng ngợc chiều chuyển động

1.2 Đồ thị chuyển động

- Đồ thị toạ độ theo thời gian

Đồ thị là nửa đờng thẳng: có độ dốc

(hệ số góc) là v giới hạn bởi điểm (xo, to)

- Đồ thị vận tốc theo thời gian

Đồ thị là nửa đờng thẳng: Song song

với trục thời gian Giới hạn bởi điểm (to, v)

1.3 Công thức cộng vận tốc (đổi vận tốc theo hệ quy chiếu)

II Chuyển động biến đổi

1 Chuyển động thẳng biến đổi đều

1.1 Vận tốc trung bình và vận tốc tức thời của chuyển động thẳng biến đổi

t

.tvt

sv

- Vận tốc tức thời v =

t Δ

s Δ v

; t Δ

s

1.2 Gia tốc trong chuyển động thẳng biến đổi

t Δ

v Δ t t

v v a

1 2

Hệ thức độc lập với thời gian v2 - vo = 2a(x - xo) = 2as

1.4 Tính chất của chuyển động

- Chuyển động nhanh dần av > 0 ⇒a, v cùng chiều

- Chuyển động chậm dần av < 0 ⇒ a, v ngợc chiều

1.5 Đồ thị của chuyển động

- Đồ thị của gia tốc theo thời gian

Diện tích S biểu diễn vận tốc

- Đồ thị vận tốc theo thời gian

Diện tích s biểu diễn đờng đi

- Đồ thị toạ độ theo thời gian

2 Chuyển động tròn biến đổi đều

- Gia tốc trong chuyển động tròn bất kỳ

Véc tơ gia tốc: Véc tơ gia tốc a luôn hớng vào bề lõm của quỹ đạo

t 0

a

a= const

a > o S

t Δ

v Δ a

a a

a

2 n

t

n t

Δω t

t

ω ω

1 2

- Các trờng hợp riêng: α = 0: chuyển động tròn đều

α = const: Chuyển động tròn biến đổi đều

- Các phơng trình chuyển động tròn biến đổi đều

Tính chất của chuyển động rơi tự do:

Rơi tự do là chuyển động không vận tốc đầu trong trờng trọng lực Nó

là chuyển động nhanh dần đều

- Gia tốc rơi tự do Phơng: thẳng đứng

a=g Chiều: hớng xuống Độ lớn: g = 9,8m/s2

- Các phơng trình

Chọn trục 0y thẳng đứng, hớng lên, gốc tại mặt đất

Về độ cao: y = gt2 y0

2

1+

- Tính chất của chuyển động

Đi lên: va,  ngợc chiều: Chậm dần đều

Đi xuống: va,  cùng chiều: Chuyển động nhanh dần đều

;g

Quá trình đi xuống giống quá trình đi lên nhng ngợc chiều

Vận tốc của vật ở độ cao y: v = v 2 2gy

Vận tốc: vx = vo; vy = gt

o

2 y

2

o x

yv

gtv

vtgα)

Quỹ đạo: Parabol có phơng trình y = 2 2

o

x2vg

2 o

2 y

Vy = 0; t =

2g

αsinvy

;g

sinα

o max

Vật chạm đất: y = 0; t =

g

sin2αv

x

;g

sinα

o max

Quỹ đạo: Parabol có phơng trình y = x x.tgα

αcos2v

2 2 o

xmax

β

- Chọn chiều dơng là chiều chuyển động, nếu có nhiều vật chuyển

động có thể chọn chiều dơng riêng cho mỗi vật

- áp dụng phơng trình s = vt theo điều kiện của đề để giải quyết bài toán

Bài tập ví dụ:

Bài 1: Hai xe chuyển động thẳng đều từ A đến B cách nhau 60km Xe(I) có vận tốc 15km/h và đi liên tục không nghỉ Xe (II) khởi hành sớm hơn 1giờ nhng dọc đờng phải ngừng 2 giờ

Hỏi xe (II) phải có vận tốc nào để tới B cùng lúc với xe (I)?

Giải: Chọn chiều dơng là chiều chuyển động Hệ thức liên hệ giữaquãng đờng và thời gian chuyển động là: s = vt

- Thời gian chuyển động của xe (I) từ A đến B là:

t1 = 4(h)

15

60v

3

60t

Hỏi từ A ngời đó phải bơi tới B theo cách nào: Bơi thẳng từ A tới B haychạy 1 đoạn AD nào đó trên bờ sau đó từ D bơi ra B?

áp dụng bằng số v2 = 12km/h; v1 = 3km/h; d = 1km; s = 2km

Nguyễn Minh Phơng

d

Giải: Ta nhận thấy vận tốc bơi trong nớc của ngời nhỏ hơn vận tốc chạy

v2 trên bờ nên không thể nói thời gian bơi đoạn AB luôn nhỏ nhất Vì vậy taxét trờng hợp ngời này đi theo đờng gấp khúc ADB

- Để tìm đợc điểm D ta xác định giá trị đoạn x sao cho thời gian đi

đoạn gấp khúc ADB nhỏ nhất

- Thời gian đi đoạn gấp khúc ADB là:

t =

2 1

1 1 2 2 2 2

1

2 2

vv

svxvxdvv

xsv

x

=

−++

y d v x v v

2yv

2 1

2 2

2 2 2 2 2

1

2 2

−

− +

2 1

2 2 2 2 2 2

vv

)v(vdyv

1 2

1

2 2

2 1

2 2 1 2

1

2 2

1 min

v v

dv v

v

v v dv v

v

v y

s - x x x

Nếu xD≥ s thì không tồn tại điểm D để thời gian đi đoạn gấp khúc ADBnhỏ nhất nên cần bơi thẳng từ A đến B.

Nếu xD≤ s thì ngời này cần chạy trên bờ một đoạn AD = s - xD tới điểm

D rồi từ đó bơi thẳng tới B

1

312

1.3v

vdv

Vì xD < s nên ngời đó phải chạy trên bờ một đoạn s - xD = 2km - 0,253km

= 1,747km rồi từ đó bơi thẳng tới B

Giải: Tại thời điểm t nào đó vị trí

các tàu nh hình vẽ:

C là hình chiếu của tàu B lên

ph-ơng chuyển động của tàu A

Suy ra khoảng cách CA đợc tăng lên với vận tốc v(1 - cosα)

Vậy khi 2 tàu chuyển động: AB + AC = s = const (1)

- Tại thời điểm ban đầu A ≡ C hay AC = 0 ⇒ s = AB = a

- Sau một khoảng thời gian đủ lớn B ≡ C, vì hai tàu chuyển động cùngvận tốc nên khoảng cách giữa hai tàu lúc đó không đổi và bằng:

d = AB = AC = a 1,5km

2

1 S 2

- Lập các phơng trình theo đề bài để tìm ẩn của bài toán

cùng chiều bên đờng sắt bên cạnh Từ lúc nhìn thấy điểm cuối đến lúc nhìnthấy điểm đầu của đoàn tàu mất 8s Đoàn tàu mà ngời này quan sát gồm 20toa, mỗi toa dài 4m Tính vận tốc của nó (coi các toa sát nhau)

dòng nớc chảy với vận tốc vo Một ngời

từ vị trí A ở bờ sông này muốn chèo

thuyền tới vị trí B ở bờ sông bên kia

(hình vẽ)

Cho AC = b; CB = a; Tính trị số nhỏ nhất vận tốc của thuyền so với nớc

mà ngời này phải chèo đều để có thể tới đợc B

α

α

o o

min

ba

bvsinα

vu

th-về phía thợng nguồn một thời gian T = 1giờ rồi lại quay th-về điểm xuất phát, tại

đó con tàu lại gặp chính thân cây kia một lần nữa xác định vận tốc của dòngnớc, biết rằng vận tốc của con tàu đối với nớc là 13,6m/s

Giải: Chọn hệ quy chiếu gắn với bờ, trục toạ độ ox, chiều dơng là chiềuchuyển động của dòng nớc

Kể từ lần gặp nhau đầu tiên (tại B) thời gian trôi của thân cây và thờigian mà tàu đã chạy là bằng nhau

Gọi u là vận tốc của dòng nớc đối với bờ; v là vận tốc của tàu đối với

n-ớc thì vận tốc của tàu đối với bờ lúc xuôi dòng là v + u và lúc ngợc dòng là v

- u

Thời gian trôi của thân cây: to =

u x

Thời gian tàu đã chạy: t =

uv

xduv

d

+

++

xu)T(vu

v

u)T(vuv

xduv

du

x

+

+

−+

−

−

=+

++

−

=

⇔

uv

xu)T(vTu

x

+

+

−+

= ⇔ Tu2 - (1 + v)Tu + xv = 0 (1)Với T = 1giờ; v = 13,6 m/s ≈49km/h; x = 1km, thay vào (1) ta đợc

Bài 4: Hai chiếc canô A và B xuất phát đồng thời từ một cái phao thảneo từ giữa một dòng sông, chuyển động sao cho quỹ đạo của chúng là 2 đờngthẳng vuông góc với nhau, canô A đi dọc theo sông Sau khi đi đợc cùngquãng đờng L đối với cái phao, 2 canô lập tức quay về Cho biết vận tốc củamỗi canô đối với nớc gấp n lần vận tốc dòng chảy Hãy xác định tỉ số tA/tB của

2 khoảng thời gian hành trình của 2 canô

Giải: Chọn hệ quy chiếu gắn với bờ

Gọi u là vận tốc của dòng chảy đối với bờ, vận tốc của canô đối với nớc

sẽ là v' = nu

- Thời gian đi và về của canô A dọc theo bờ sông là:

1 n

n u

2L 1

n

1 1 n

1 u

L u nu

L u

=

−

+ +

2Lv

2L

t

2 B

nt

t

2 B

di chuyển đối với nhau

Bài 2: Một ô tô xuất phát từ một điểm A trên đờng để trong khoảng thờigian ngắn nhất đi đến điểm B nằm trên cánh đồng cách đờng một đoạn L

Hỏi ô tô phải rời đờng từ điểm C cách D bao nhiêu? Biết vận tốc ô tôkhi chạy trên cánh đồng giảm đi n lần so với khi nó chạy trên đờng

ĐS:

1 n

1 CD

2 −

= (Đk: CD < AD)Bài 3: Một ngời đứng cách một đờng thẳng một khoảng H = 50m, ở trên

đờng có một ô tô đang chạy lại gần anh ta với vận tốc v1 = 10m/s Khi ngời ấythấy ô tô còn cách mình 130m thì bắt đầu chạy ra đờng để đón ô tô theo hớngvuông góc với mặt đờng Hỏi ngời ấy phải chạy với vận tốc bao nhiêu để cóthể gặp đợc ô tô?

ĐS: 4,17m/s

Bài 4: Một ngời muốn chèo thuyền qua sông theo hớng AB vuông gócvới bờ sông Nếu vận tốc của thuyền đối với nớc là v1 = 3m/s, vận tốc củadòng nớc đối với bờ sông là v2 = 1,5m/s và chiều rộng của sông là s = 400mthì ngời đó phải chèo thuyền theo hớng tạo thành với AB một góc α bằng baonhiêu và mất bao nhiêu thời gian để tới bờ bên kia?

ĐS: 154s, α=30oBài 5: Một tàu ngầm đang xuống sâu theo phơng thẳng đứng Máy thuỷ

âm định vị trên tàu phát tín hiệu âm kéo dài trong thời gian to theo phơngthẳng đứng xuống đáy biển Tín hiệu âm phản hồi mà tàu nhận đợc kéo dàitrong thời gian t Hỏi tàu đang xuống sâu với vận tốc v bằng bao nhiêu? Biếtvận tốc của âm trong nớc là u và đáy biển nằm ngang

ĐS: v = u

tt

tt

X D L

B

;R

vn

- Nếu vật vừa quay tròn đều vừa tịnh tiến, ta để ý rằng:

+ Khi vật có hình tròn lăn không trợt, độ dài cung quay của một điểmtrên vành bằng quãng đờng đi

+ Vận tốc của một điểm đối với mặt đất đợc xác định bằng công thứccộng vận tốc

v v

v M = M/o + o/dát = M/o + trong đó: vM/o: Véc tơ vận tốc của M trong chuyển động quay tròn đềuquanh tâm 0

vA/o =⇒ A = 

A

C 0

A

v

vD = D/o +  ⇒ D =

Chú ý:

Trong chuyển động lăn không trợt, điểm tiếp xúc C của vật với đờng

nh trong ví dụ trên đợc gọi là tâm quay tức thời Vận tốc của một điểm bất kỳ

h-Giải: Ví lý do đối xứng nên tại bất kỳ thời điểm nào, vị trí 3 con rùa

đều tạo thành tam giác đều có tâm là tâm của tam giác ban đầu Thành phầnvận tốc tiếp tuyến và thành phần vận tốc hớng tâm có độ lớn không đổi

Ký hiệu AtBtCt là tam giác đều

đ-ợc tạo thành ở thời điểm t, ta có

AtG = AoG - vnt =

2

3 t v 3

L o

−(AoBoCo là tam giác đều lúc xuất phát)

B

v 

o B

v  /

o C

2 o t

2 t

v2

3L4

3v2

3tv3

L4

vG

Av

b) Bài tập đề nghị

Bài 1: Một vệ tinh nhân tạo chuyển động tròn đều quanh trái đất mỗivòng 90 phút, vệ tinh bay ở độ cao 320km cách mặt đất Tính vận tốc và giatốc hớng tâm của vệ tinh Cho biết bán kính trái đất là 6380km

ĐS: 117065 km/h2Bài 2: Một đồng hồ có kim giờ dài 3cm, kim phút dài 4cm, so sánh vậntốc góc và vận tốc dài của 2 đầu kim

ω

ω16;

v

v

g

p g

Bài 3: Một xe ô tô có bánh xe với bán kính 30cm chuyển động đều.Bánh xe quay đều 10 vòng/s và không trợt Tính vận tốc của ô tô

ĐS: 18,6m/s

II Chuyển động biến đổi

1 Chuyển động thẳng biến đổi đều

a) Bài toán: Tính gia tốc, vận tốc, thời gian và quãng đờng trong

chuyển động thẳng biến đổi đều

Ph

ơng pháp:

- áp dụng công thức định nghĩa của gia tốc a =

Δt Δv

- áp dụng các công thức của chuyển động thẳng biến đổi đều:

Bài 1: Trên quãng đờng nhất định, một chất điểm chuyển động nhanh dần

đều không vận tốc đầu với gia tốc a mất thời gian T Tính thời gian chất điểm

chuyển động trên quãng đờng nói trên nếu chuyển động của chất điểm là luân

phiên giữa chuyển động với gia tốc a nói trên trong thời gian T1 =

1

2 1 2

aT aT

1

2

1 2aT T 3aT T

aT 2 1

2

1 T

naT T

1)aT (n

aT 2

2 (1 T T 1 2n

5 3 1 2

2 1

2

2 2

1).n(n

.TT2

2n.n.2

T

=

++

2

2 2

2

2

T2

12

1)n(n.2.10

T2

2n.2.10

T

=

++

2

1 400

1)n (n 200

⇔

=

+ +

Vậy thời gian chất điểm chuyển động là:

1,2T20

24T20

T10

T8)T8(T

=

Bài 2: Một xe con chuyển động thẳng đều với vận tốc vo thì ngời lái xenhìn thấy một xe tải đang chuyển động cùng chiều, thẳng đều phía trớc vớivận tốc v1(v1 < vo) Nếu thời gian phản ứng của ngời lái xe là τ (tức là thời gianngời lái xe con bắt đầu phát hiện xe tải đến khi hãm phanh), xe con chuyển

động chậm dần đều với gia tốc a Hỏi khoảng cách tối thiểu của 2 xe kể từ lúcngời lái xe con nhìn thấy xe tải phải là bao nhiêu để không xẩy ra tai nạn?

Giải:

Trong khoảng thời gian t: Xe con đi đợc AA1 = voτ

Xe tải đi đợc BB1 = v1τ

- Chọn trục toạ độ xx' gắn với xe tải (gốc toạ độ 0 ≡B1; gốc thời gian

là lúc thắng xe từ A1)

Vận tốc xe con lúc bắt đầu thắng xe: v = vo - v1

- Phơng trình chuyển động của xe con:

x = - xo + vt - at (a 0;x A B )

2

1

1 1 o

vx0x2

1 o 2

o o

Chú ý: ở bài tập này cũng có thể xét chuyển động của 2 xe đối với đất.Tuy nhiên để thuận tiện ta đã chọn xe tải làm hệ quy chiếu

Bài 3: Một ngời đứng ở sân ga nhìn ngang đầu toa thứ nhất của một

đoàn tàu bắt đầu chuyển bánh Toa thứ nhất đi qua trớc mắt ngời ấy trong thờigian t1 = 6s; giả sử chuyển động của đoàn tàu là nhanh dần đều, tính xem toathứ n đi qua trớc mắt ngời ấy trong thời gian bao nhiêu?

Xét trờng hợp n = 7 (coi các toa có độ dài bằng nhau và bỏ qua khoảngcách các chỗ nối)

Giải:

Trục toạ độ x'x, chiều ( + ) là chiểu chuyển động

Ngời quan sát đứng ở A, đoàn tàu chuyển động nhanh dần đều từ nghỉ

- Phơng trình chuyển động của nó là: at2

2

1

s=Nếu chọn gốc toạ độ tại vị trí ban đầu thì s đồng thời cũng là quãng đ-ờng mà tàu đi đợc sau thời gian t

- Gọi t1 là thời gian toa đầu tiên đi hết qua ngời quan sát tại A, tn - 1 làthời gian n - 1 toa tàu đi hết qua A và tn là thời gian n toa tàu đi hết qua A

- Thời gian mà toa thứ n đi qua A sẽ là: t = tn - tn - 1 - Các quãng đờng

mà đoàn tàu đi đợc tơng ứng với các khoảng thời gian nói trên sẽ là:

a2

at

1)t1n(2

⇒ t = tn – tn - 1 = ( n − n −1)t1

Với n = 7; t1 = 6s; ta tính đợc t = 0,8s

Bài 4: Một tấm đồng chất ABC

hình dạng là một tam giác vuông cân,

cạnh huyền AB dài 12 cm đợc đặt thẳng

đứng tựa đỉnh A trên mặt phẳng ngang

nhẵn không ma sát Ngời ta thả cho tấm

phẳng đổ xuống dới tác dụng của trọng

lực Hãy xác định quỹ đạo của điểm M

nằm chính giữa cạnh bên BC

Chú ý: Trong suốt thời gian chuyển động đỉnh A luôn nằm trên mặt ngang.Giải: Chọn hệ trục toạ độ xAy

nh hình vẽ

Khi tấm đồng chất ABC đổ xuống

thì theo định lý chuyển động của khối

=

sin.AMy

cos.3

AM2

xsin

.GAy

cos.MGx

x

t

t t

t t

M

M t

t M

t t G M

Với ϕ là góc tạo bởi AtMt và trục Ax

B

A

CM

At

xy

Với AM = 3 10

2

BCAB

2 2

=

sin103y

cos102

xt

Bài 2: Một ngời đứng ở sân ga thấy rằng toa thứ nhất của một đoàn tàu

đang tiến vào ga đi qua trớc mắt mình trong thời gian t1 = 4s toa thứ 2 trongthời gian 5s, sau đó đầu toa thứ nhất dừng lại cách ngời ấy một khoảng s

= 75m Biết chuyển động của đoàn tàu là chậm dần đều, hãy tính gia tốc củachuyển động đó (bỏ qua khoảng cách các chỗ nối)

ĐS: - 0,25m/s2Bài 3: Thớc A có chiều dài 25 cm treo trên tờng bằng một sợi giây.Trong tờng ở phía dới thớc có một lỗ sáng nhỏ B (hình vẽ)

Hỏi cạnh dới của thớc phải ở cao hơn lỗ sáng một khoảng h là baonhiêu để khi đốt sợi dây cho thớc rơi, thớc sẽ che khuất lỗ sáng trong thời gian0,1s

ĐS: 20,4cmBài 4: Chứng tỏ rằng trong chuyển động thẳng nhanh dần đều khôngvận tốc ban đầu, quãng đờng đi đợc trong những khoảng thời gian bằng nhauliên tiếp tỉ lệ với các sô lẻ liên tiếp 1, 3, 5, 7…

Bài 5: Chứng minh rằng trong chuyển động thẳng biến đổi đều Nhữngquãng đờng đi đợc trong những khoảng thời gian liên tiếp chênh lệch nhau 1 l-ợng không đổi

A

B h