Phương pháp lí thuyết nhóm trong vật lí lượng tử

Trờng Đại học Vinh khoa vật lý - nghiên cứu thiết kế mạch khuếch đại công suất dùng tranzito lỡng cực khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học vật lý Vinh, tháng 05/2006 - Lời cảm ơn Đầu tiên em chân thành cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý tạo điều kiện cho em đợc làm quen với việc nghiên cứu khoa học Cám ơn Thầy Cô giáo Khoa bồi dỡng kiến thức cho em thời gian học tập Khoa Vật lý Để hoàn thành Luận văn em xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy giáo hớng dẫn TS Võ Thanh Cơng giúp em có đợc ý tởng luận văn giúp em hoàn thành luận văn Cũng qua em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo phản biện TS Đinh Phan Khôi ý kiến đóng góp bổ ích cho luận văn Em xin chân thành cám ơn Thầy Cô giáo tổ Vật lý Đại cơng ý kiến góp ý cho luận văn Xin chân thành cám ơn bạn sinh viên Khoa vật lý động viên cổ vũ em hoàn thành luận văn Tuy nhiên cố gắng nhng lần làm đề tài chắn Luận văn không tránh khỏi sai sót, em mong đợc góp ý ý kiến thầy cô giáo bạn Chân thành cảm ơn! Phần Mở đầu Vật lý học đời từ yêu cầu đợc tìm hiểu cải biến giới ngời Quá trình phát triển vật lí học trải qua nhiều giai đoạn thăng trầm Vật lí học lợng tử đời bớc ngoặt làm thay đổi nhận thức, quan niệm cũ vật chất giúp nhà nghiên cứu hiểu rõ chất tợng lí thú mà vật lí cổ điển không lí giải đợc nh tính bền nguyên tử, quy luật xạ vật đen Từ dẫn đến việc xây dựng khái niệm l ợng tử bớc đầu việc hình thành học lợng tử Bộ môn học lợng tử sở lí thuyết vật lý học vi mô, học thuyết khó giai đoạn chuyển tiếp sang điện động lực học lợng tử, lí thuyết hạt trờng lợng tử Để hiểu học lợng tử cần phải trang bị số kiến thức toán học tơng đối rộng, nh kiến thức hàm đặc biệt, đại số, lí thuyết nhóm chủ yếu biểu diễn nhóm Khi nghiên cứu đại lợng vật lý, gặp phải tính chất đặc biệt - Tính chất đối xứng Cụ thể là: - Tính chất đối xứng không gian thời gian hệ quy chiếu quán tính dẫn đến định luật bảo toàn quen thuộc nh định luật bảo toàn lợng, xung lợng, mômen xung lợng - Tính chất đối xứng cấu trúc vật chất nh tinh thể, phân tử, hạt bản, dẫn đến phơng pháp phân loại mức lợng, siêu đố xứng khối lợng hay số đại lợng khác Tính chất đối xứng đại lợng tự nhiên " tính toán" môn toán học trừu tợng gọi lý thuyết nhóm Nói chung lý thuyết nhóm cung cấp cho vật lý học phơng pháp gọn, xác, bổ sung cho phơng pháp khác Trong số toán đặc biệt, nói số mặt vấn đề giải công cụ lý thuyêt nhóm Do đó, với phát triển vật lý học, phơng pháp lý thuyết nhóm trở thành phơng pháp thông dụng, nói chung thiếu đợc Chính lý mà chọn đề tài nhằm mục đích góp phần nhỏ giới thiệu cho bạn đọc điểm sở lý thuyết nhóm lý thuyết biểu diễn nhóm, cần thiết cho lĩnh vực ứng dụng quan trọng vật lý học lợng tử Với mục đích lí nh nêu trên, luận văn phần mở đầu kết luận đợc chia làm chơng: Chơng I: Lý thuyết nhóm chơng giới thiệu đại cơng nhóm nêu số nhóm đặc trng: Nhóm hình học, nhóm ma trận, nhóm đối xứng phân tử, nhóm đối xứng SN, tính đồng cấu đẳng cấu nhóm Chơng II : Lý thuyết biểu diễn nhóm Trong chơng nêu khái niệm biểu diễn nhóm cách giải toán lý thuyết nhóm với bổ đề Schur Chơng III: Một số toán vật lý với phơng pháp nhóm Tổng quát phơng pháp giải toán lý thuyết nhóm, quy tắc xác định hàm sóng Spin nêu nguyên lý xếp mức lợng tập hợp electron Bài toán khảo sát xạ sóng điên từ đợc đề cập tới chơng III Bản luận văn tổng quan đợc số vấn đề lý thuyết nhóm, lý thuyết biểu diễn nhóm phơng pháp giải toán lý thuyết Hy vọng tài liệu tham khảo có ích cho sinh viên khoa vật lý Đó bớc đầu tác giả luận văn thực tập nghiên cứu trình bày vấn đề khoa học Nếu có điều kiện đề tài đợc phát triển thêm Do hạn chế thời gian trình độ, luận văn tránh khỏi sai sót Tác giả luận văn mong đợc góp ý thầy cô giáo, anh chị bạn sinh viên để luận văn đợc hoàn thiện Chơng I Lý thuyết nhóm 1.1 Đại cơng nhóm Định nghĩa 1: Cho tập hợp G, có xác định luật hợp thành gọi phép nhân, cho phép lập từ cặp phần tử x, y thuộc G đại lợng xác định gọi tích, kí hiệu xy Nếu phép nhân thỏa mãn tính chất sau: Tính kín: với phần tử x, y thuộc G: x, y G kết xy thuộc G: xy G Tính kết hợp: x(yz) = (xy)z với x, y, z G Tính có đơn vị: Tồn phần tử e G gọi đơn vị , có tính chất : ex = xe = x với x G Tính có nghịch đảo: Với phần tử x G, có tồn phần tử xác định x-1 G, có tính chất: xx-1= x-1x =e với x G Tập hợp G nh gọi nhóm Định nghĩa 2: Cho nhóm G H tập mà phần tử phần tử G Nếu H lập thành nhóm phép nhân nhóm G H đợc gọi nhóm G Từ định nghĩa ta nhận thấy, phần tử đơn vị thân nhóm G nhóm G Hai nhóm gọi nhóm tầm thờng Những nhóm không tầm thờng gọi nhóm thực Định nghĩa 3: Cho G nhóm x y hai phần tử G: x, y G Nếu xy = yx nhóm G gọi nhóm giao hoán hay gọi nhóm Abel Định nghĩa 4: Cho G nhóm, số phần tử nhóm gọi cấp nhóm Cấp nhóm số hữu hạn nhóm G gọi nhóm hữu hạn Một số ví dụ nhóm 1.1.1 Tập số nguyên N lập thành nhóm với phép nhân nhóm phép cộng, phần tử đơn vị số Nhóm N nhóm Abel vô hạn 1.1.2 Nhóm Zn Tập tất nghiệm bậc n lập thành nhóm với phép nhân số phức thông thờng Phần tử đơn vị số Nhóm Zn =Z(1)n nhóm tuần hoàn điển hình, cấp n Nhóm Z(m)n gồm n nhóm tuần hoàn, nhóm Z(1)n Z(n-1)n đồng Ví dụ: Căn bậc có giá trị: e= z0 = 1; z1 = i; z2 = - 1; z3 = - i lập thành nhóm tuần hoàn, có phần tử đơn vị 1 Các nhóm hình học Tập phép chuyển động tịnh tiến lập thành nhóm Phép nhân nhóm phép dịch chuyển liên tiếp Phần tử đơn vị phép không dịch chuyển 2 Nhóm tuần hoàn Cn: Ký hiệu Cn tập gồm phần tử Cni với n i số nguyên dơng i n Nếu phép nhân hai phần tử Cn là: Cni Cnj = Cni+j Tập Cn lập thành nhóm Cấp nhóm n Ví dụ với n = ta có: C4 ={ C40 = e, C41, C42, C43} (C44 = C40) Về mặt hình học nhóm Cn nhóm gồm tất phép quay hình tháp đáy có n cạnh trùng với Tập hợp Cn = { e, cn, c2n, cn-1n} Với cn phép quay mặt phẳng với góc làm thành nhóm n - Phép nhân phép thực liên tiếp phép quay mặt phẳng - Phần tử nghịch đảo ( Ckn)-1 = Cn-kn Nhóm nhóm hữu hạn tuần hoàn cấp n Tập hợp C4 ={ e, C4, C24,C34} (C44 = e) làm thành nhóm giao hoán Hai phần tử C4 C34 nghịch đảo C4 C34 = C44 = e Phần tử C24 nghịch đảo Nhóm Ci: ( Nhóm nghịch đảo không gian) Ta có tập hợp Ci = {e, I } Với I phép nghịch đảo không gian: Ir = -r Rõ ràng tập hợp làm thành nhóm Phép nhân nhóm phép thực liên tiếp phép biến đổi nhóm Cụ thể phép biến đổi đơn vị e phép nghịch đảo không gian I Nhóm nhóm hữu hạn, tuần hoàn, cấp Ta có, thực liên tiếp hai phép nghịch đảo không gian I lại trở giá trị cũ: I2r = r hay I = e (e phép biến đổi để nguyên điểm không gian) I-1 = I Nhóm Ci gọi nhóm nghịch đảo không gian Nhóm Cs: ( Nhóm phản chiếu) Tập hợp Cs = {e, } Với phép phản chiếu qua mặt phẳng Nhóm Cs nhóm hữu hạn, tuần hoàn, cấp Phép nhân hiểu theo nghĩa thực liên tiếp phép chiếu qua gơng Phép biến đổi đơn vị phép tự phản chiếu = e 1.3 Nhóm ma trận GL(n) Tập hợp tất ma trận cấp n không kì dị xác định C với phép nhân nhóm phép nhân ma trận thông thờng có tính chất sau: - Phần tử đơn vị ma trận đơn vị cấp n - Phép nhân ma trận kín: Tích ma trận cấp n ma trận cấp n - Phép nhân có tính chất kết hợp: (AB)C = A(BC) ( A, B, C) - Trừ ma trận có định thức (ma trận kì dị), tất ma trận cấp n có nghịch đảo, tính theo phơng pháp thông thờng ma trận cấp n Nh vậy, tập hợp tất ma trận cấp n xác định C có định thức khác làm thành nhóm liên tục Nhóm GL(n) nhóm không giao hoán Các nhóm nhóm GL(n) nhóm SL(n), O(n), U(n) SL(n) tập ma trận cấp n không kỳ dị có định thức O(n) tập ma trận trực giao với U(n) tập ma trận unita cấp n ( U = U+) 1.3.1 Nhóm quay không gian ba chiều O(3) Tập phép quay không gian Euclide chiều lập thành nhóm Đây nhóm thông dụng nhiều lĩnh vực vật lý nh: vật lý nguyên tử , vật lý hạt nhân nhóm biểu diễn đại lợng môment động lợng Ta bắt đầu thực nghiên cứu phép quay mặt phẳng xOy quanh gốc toạ độ, tạo thành nhóm SO(2) Đó nhóm quay không gian chiều quanh trục OZ cố định Mỗi thực liên tiếp hai phép quay với góc phép nhân nhóm nói trên: I O(1 ) O(2) = O(1+ 2) Phần tử đơn vị phép không quay =0 Phần tử nghịch đảo phép quay trở lại =- Tất phép quay giao hoán với nên SO(2) nhóm giao hoán Mọi yếu tố nhóm hoàn toàn xác định đợc giá trị thông số thay đổi liên tục từ đến Do SO(2) nhóm liên tục thông số Trong phép quay O() vectơ sở i j chuyển thành vectơ đơn vị i j liên hệ với i j hệ thức: i = i cos + j = - i sin + j sin j cos Hai công thức viết dới dạng ma trận nh sau: cos ( i , j ) = ( i , j ) sin Vậy ma trận phép biến đổi là: cos sin cos sin O() = sin cos Dễ thử lại ma trận O() ma trận trực giao O()OT() = OT()O() = I có định thức 1: det O() =1 thoả mãn điều kiện: O(1)O(2) = O(1+ 2) Trong phép quay O() vectơ r với thành phần x y r=x i +yj chuyển thành vectơ với thành phần x' y' r = x i + y j Mặt khác, r , i j thu đợc từ r , i , j sau phép quay hệ thức r , i j có dạng giống nh hệ thức r , i j cụ thể r = x i + y j Thay vào biểu thức diễn tả i , j theo i , j , ta suy x = x cos + ysin y = -x sin + ycos Công thức viết dới dạng ma trận nh sau: Các phép quay mặt phẳng xOy xung quanh gốc toạ độ O đồng thời phép quay không gian ba chiều quanh trục Oz Ký hiệu vectơ đơn vị sở không gian Euclide ba chiều i , j , k , ký hiệu phép quay góc quanh trục Oz C() Phép quay chuyển vectơ đơn vị sở nói thành vectơ đơn vị sở sau đây: i = i cos j = i sin + j sin + k j cos + k k = k Do ma trận phép quay C() có dạng cos Cz = sin sin cos 0 Tơng tự nh vậy, ma trận phép quay góc quanh trục Ox Oy, ký hiệu Cx() Cz() có dạng Cx() = cos sin cos Cx() = sin sin cos sin cos 1.3.2 NHóm SO(3) Xét nhóm quay không gian ba chiều SO(3) Mọi phép quay không gian ba chiều quanh gốc toạ độ O thực dới dạng tổ hợp ba phép quay liên tiếp sau đây: phép quay góc quanh trục Oz chuyển trục toạ độ Ox Oy thành Ox' Oy', phép quay góc quanh trục Ox' chuyển trục Oy' Oz thành Oy'' Oz'', phép quay quanh trục Oz'' Ba góc , gọi ba góc Euler Ký hiệu phép quay với ba góc Euler , O( , ) Ma trận phép quay tích ba ma trận tơng ứng với phép quay quanh trục Oz, Ox' Oz'', cụ thể là: O(, , ) = Cz() Cx() Cz() Thay vào biểu thức Cz(), Cx() Cz(), ta thu đợc Các góc thay đổi từ đến 2, góc thay đổi từ đến Nhóm SO(3) nhóm liên tục ba thông số 1.4 Nhóm đối xứng phân tử: Các cấu tạo vật chất nh nguyên tử, phân tử, tinh thể nói chung có cấu hình xếp đặn không gian mang tính chất đối xứng Chẳng hạn, phân tử OsF8 có hạt nhân, hạt nhân Os nằm tâm hình lập phơng, hạt nhân F nằm đỉnh hình Nh cấu hình không gian không thay đổi ta thực phép quay hay phép phản chiếu, phép nghịch đảo không gian làm cho hình lập phơng trùng với Những phép biến đổi phần tử nhóm O(3) làm thành nhóm gọi nhóm đối xứng phân tử Os F8 Định nghĩa: Tập hợp tất phần tử nhóm trực giao chiều O(3) làm cấu hình hạt nhân trùng với làm thành nhóm gọi nhóm đối xứng phân tử Ta nghiên cứu số ví dụ nhóm đối xứng: 4.1 Nhóm Cn: Là nhóm gồm tất phép quay làm hình tháp đáy có n cạnh trùng với Ví dụ: Phân tử C2 H3Cl3 có cấu hình không gian sau: Ta thấy phân tử H2, Cl2 tơng ứng thuộc cấu hình không gian hai đờng tròn Với vị trí phân tử đờng tròn cách 1200, nhận đờng thẳng qua hai hạt nhân C làm trục đối xứng Nghĩa quay phân tử C2H3Cl3 quanh trục đối xứng với góc 1200 ta nhận đợc phân tử trùng với phân tử ban đầu Nh vậy, nhóm thuộc loại Cn nhóm hữu hạn tuần hoàn cấp n=3 nhóm đối xứng C3 Trục quay nhóm kí hiệu Cn, gọi trục đối xứng đợc vẽ thẳng đứng C3 = g( ) = g(120 0) 1.4 Nhóm Cnv: Là nhóm gồm tất phần tử nhóm O(3) làm hình tháp đáy có n cạnh trùng với 10 s số biểu diễn bất khả quy nhóm Từ (2.4.4) ta có kết sau: Số biểu diễn bất khả quy số lớp nhóm s = s Các hệ thức cho phép ta tìm cấu trúc nhóm hữu hạn Từ phơng trình (2.4.1) lấy vết hai vế sử dụng hệ thức trực giao ta có kết quả: àp* àp G p aà = Từ ta có tiêu chuẩn bất khả quy: Đặc biểu biểu diễn bất khả quy Dà thoả mãn điều kiện sau: G p 2.5 àp* àp = (2.4.5) Bài toán hạ cảm Về mặt lý luận, nh vận dụng, vấn đề quan trọng toán hạ cảm với nội dung sau: Cho nhóm G nhóm G nó, chẳng hạn G nhóm O(3) G nhóm điểm Ta ký hiệu D biểu diễn bất khả quy nhóm G Nếu ma trận D = {D(g)} ta hạn chế phần tử g G, ma trận thu đợc dĩ nhiên biểu diễn nhóm G Biểu diễn gọi biểu diễn hạn chế nhóm Biểu diễn hạn chế nói chung khả quy Tìm cấu trúc biểu diễn hạn chế theo biểu diễn bất khả quy nhóm G gọi toán hạ cảm ký hiệu: G G: D = aàDà Trong đó: Dà biểu diễn bất khả quy nhóm Ví dụ: Cho G = T G = C3 chọn lấy biểu diễn bất khả quy D nhóm T Bảng đặc biểu T C3 T e 3C2 A 1 C 1 1 D -1 C3 A C e 1 4C3 C3 4C32 C32 22 Theo bảng đặc biểu, phần tử C3 C32 nhóm C3 nằm cột thứ thứ bảng nhóm T Do đó, ta có bảng đặc biểu hạn chế biểu diễn D nh sau: T C3 : e C3 C32 0 Hai biểu diễn chiều a liên hợp phức với nhóm đợc gộp lại thành biểu diễn có chiều gấp đôi, biểu diễn có đặc biểu 2, -1, -1 Ta có kết quả: T C : D1 = a Nh vậy, biểu diễn bất khả quy ba chiều F nhóm T trở thành biểu diễn bất khả quy nhóm C3 phân thành tổng trực tiếp biểu diễn chiều a Chơng III Một số toán vật lý với phơng pháp nhóm 23 3.1 Phơng pháp sơ đồ Young trạng thái spin theo liên kết L- S 3.1.1 Liên kết L - S Do spin S bảo toàn nên trạng thái hàm riêng toán tử S2 S3 Số trạng thái có tất (2S +1) tơng ứng với giá trị S Để xác định trạng thái với phơng pháp lý thuyết nhóm, ta có hai phơng pháp giải: Phơng pháp dùng toán tử Young nhóm đối xứng SN Phơng pháp dùng hệ số Clebsh-Gordan Trong giới hạn phần trình bày phơng pháp thứ đơn giản trực quan Dựa vào mối quan hệ phép biểu diễn nhóm đối xứng SN nhóm SO(3), ngời ta thấy toán xác định trạng thái S3 giải toán tử Young: Y= QP Để cụ thể hơn, ta lấy nhóm S3, tức N=3 chọn toán tử Young tơng ứng với Young sau: Ta có: Y=Q P Với Q= {e - (1,3)}; P= {e+(1,2)} => Y=QP ={ e - (1,3)}{e+(1,2)}= e+(1,2) - (1,3) - (1,3)(1,2) Bây ta chọn hàm (1,2,3) tuỳ ý toán tử Young tác dụng lên hàm đợc định nghĩa nh sau: a, Tác dụng hoán vị: p1 p = S3 p2 p3 lên hàm (1,2,3) định nghĩa là: P (1,2,3) = (p1,p2,p3) Chẳng hạn là: (1,2,3) (1,2,3) = (2,3,1) b, Tác dụng tổng nhiều hoán vị p ( P ) (1,2,3) = lên hàm (1,2,3) định nghĩa là: P (1,2,3) Chẳng hạn với toán tử ta đợc: Y (1,2,3) = e (1,2,3) + (1,2) (1,2,3) - (1,3) (1,2,3) - (1,3)(1,2) (1,2,3) = (1,2,3) + (2,1,3) - (3,2,1) - (2,3,1) Nếu ta chọn hàm Spin hệ: = (1,2, ,N) 24 Cho toán tử Young tơng ứng với bảng Young tác dụng lên hàm theo định nghĩa ta đợc hàm khác nói chung có chuẩn khác đơn vị Ta chuẩn hóa hàm cách nhân với hệ số Sau đó, ta quy ớc kí hiệu kết đợc chuẩn hóa bảngYoung Vậy theo kết lý thuyết nhóm, trạng thái Spin hệ hạt có Spin 1/2 bảng Young chuẩn có tính chất: Các sơ đồ Young tơng ứng chứa N ô Các sơ đồ Young tơng ứng có không hai hàng Giá trị Spin S là: S = (m1- m2)/2 đó: m1 số ô hàng thứ m2 số ô hàng thứ hai Các trạng thái S3 tơng ứng với tổ hợp khác Sa3: S3 =Ms = S a3 Sa3 : v thành phần thứ véc tơ Spin Sa Ví dụ: Cho hệ gồm hai hạt: N=2 Theo quy tắc trên, hàm Spin hệ có không hai hàng có hai ô Vì có hai khả năng: 1 2 (1) Với msa= Sa3 Ta có tổ hợp: (2) = (1) (2); (3) ms1= ms2 = - : = (1)(2); (4) ms1= ms2 = : ms1= -ms2 = : =(1)(2); (5) Với khả (1) tổ hợp (3), (4) (5) ta có: s= 25 = (1)(2 ) ; ms1 = m s2 = ; s =1 ; s = (1)(2 ) ; m s1 = m s2 = ; s = ; s = 1 {(1)( ) + (2)(1) } ; m s1 = m s2 = ; s = ; s = 2 Đó trạng thái Spin S= 1, 0, -1 tơng ứng với Spin S =1 Với khả (2) ta có: a = = {(1)(2) -(2) (1)} 2 ms1 = - ms2 = ; S=1; S3 = Trong trờng hợp này, tổ hợp (3) (4) cho kết 3.2 Nguyên lý loại trừ Pauli hàm sóng không gian theo liên kết L-S 3.2.1 Các quy tắc hàm sóng Trong hàm sóng không gian, xét hệ electron đồng nh nên cần tuân theo nguyên lí loại trừ Pauli, hàm sóng toàn phần: = (1, 2, 3, , N)(1, 2, 3, , N) phải hàm phản xứng hoán vị hạt với Chúng ta giới hạn trờng hợp tất hạt đồng có mômen quỹ đạo nh nhau: l1 = l2 = l3 == lN = l Nh vậy, theo lí thuyết nhóm , ngời ta chứng minh đợc quy tắc sau: Quy tắc 1: Nếu hàm sóng Spin sơ đồ (hoặc bảng) Young đó, hàm sóng không gian sơ đồ (hoặc bảng) Young liên hợp với sơ đồ Quy tắc 2: Các sơ đồ Young cho hàm sóng không gian có không (2l +1) hàng Nh vậy, từ quy tắc từ sơ đồ Young hàm sóng Spin có không hai hàng (2l+1) cột Ta biết xác định giá trị S từ sơ đồ Young theo công thức: S = (m1 - m2)/2 Đối với sơ đồ Young hàm không gian, việc xác định giá trị tơng ứng L tơng đối phức tạp Ngời ta chứng minh đợc kết sau: l=1 N Sơ đồ Young {0} {1} {2} Các giá trị L 0= s 1=p 0, = s , d 26 {12} {3} {2, 1} {13} {4} {3, 1} {2, 2} {2, 12} {4,1} {3,2} {3,12} {22, 1} {4,2} {4,12} {32} 1=p 1, = p, f 1, = p, d 0=s 0, ,4 = s, d, g 1, 2, = p, d, f 0, = s, d 1= p 1, 2, 3, = p, d, f, g 1, 2, = p, d, f 0, = s, d 1=p 0, 2, 2, 3, = s, p , d, d,f, g 1, = p, f 1, = p, f Ví dụ: Giả sử có hai hạt, N=2 thuộc cấu hình np2, tức l1 =l2 =1 ; m1, m2 = 1, 0, -1 Giả sử hàm sóng đối xứng, tơng ứng với sơ đồ Young: = (1,2) = (m1(1) m2(2) +m1(2) m2(1)) Ta lập cặp (m1 ,m2 ) lập tổng ML = m1 + m2: (m1, m2) hay (m2, m1) ML 1, 1, 1, -1 0, -1 -1 -1, -1 -2 0, 0 Nhìn vào bảng giá trị cho thấy : Các giá trị ML = 2, 1, 0, -1, -2 ứng với L =2 giá trị ML = ứng với L = nên rõ ràng hàm sóng không gian tơng ứng với sơ đồ Young đối xứng (trong trờng hợp xét l1 =l2 =1) có giá trị L =0, Xét ví dụ khác cho N = cấu hình nd3, tức là: l1 = l2 = l3 = ; m1 ,m2 , m3 = 2, 1, 0, -1 ,-2 Giả sử hàm sóng không gian phản xứng, tơng ứng với sơ đồ Young: 123 Vậy hàm sóng khác 0, số m1 ,m2 m3 lấy giá trị khác Bảng giá trị cho thấy : Do ML = 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3 tơng ứng L =3 ML = 1, 0, -1 ứng với L =1 nên ta thấy sơ đồ Young cho hai giá trị L =1, 27 (m1, m2) hay (m2, m1) ML 2, 1, , 1, -1 2, 1, -2 -2, 2, 0 -2, 2, -1 -1 -2, 1, -1 -2 -1, 0, -2 -3 -1, 0, 1, 0, -1 1, 0, -2 -1 3.2.2 Quy tắc đa tuyến Hunde ứng với cấu hình định tập hợp electron, có nhiều mức lợng khác Để xếp mức lợng , có mức lợng dựa vào thực nghiệm, Hunde đề xuất quy tắc sau: - Với cấu hình định, trạng thái có S lớn trạng thái có lợng thấp - Với trạng thái có S, trạng thái có L lớn trạng thái có mức lợng thấp - Để xếp mức lợng theo J , ta chia cấu hình thành loại: Loại có electron tơng đơng, tức electron tơng đơng thuộc cấu hình (ne)N N, electron hệ có mô men l Số electron tơng đơng 2(2l =1) Số electron tơng đơng bé nửa tổng số electron tơng đơng gọi cấu hình bình thờng Loại có electron tơng đơng lớn nửa tổng số electron tơng đơng gọi cấu hình Với cấu hình bình thờng mức lợng tăng theo J Còn cấu hình đảo ngợc mức lợng giảm theo J Để hiểu rõ hai khái niệm: Electron tơng đơng electron tơng đơng khả dĩ, ta có ví dụ sau: Cho hệ electron trạng thái n1 = n2 =1; l1 = l2 = Tức thuộc cấu hình 1p2 Thế ta có electron tơng đơng trạng thái với l Nhng l = 1, ta lại có giá trị m = 1, 0, -1 tơng ứng với giá trị m ta có giá trị khác spin S =1/2, -1/2 nên số electron tơng đơng Vì vậy, trạng thái xét cặp electron cấu hình bình thờng 28 Cho cấu hình 2p4 , số electron tơng đơng 4, số electron tơng đơng lập luận nh Nh cấu hình xét cấu hình đảo ngợc Tóm lại, dựa vào quy tắc sơ đồ Young, bảng giá trị tơng ứng sơ đồ Young quy tắc Hunde xác định đợc trạng thái trạng thái lợng khác theo trình tự tăng dần lợng nguyên tử Xét trạng thái số nguyên tố: a) Nguyên tố H với cấu hình 1S, tức L= l= 0; S = s = 1/2; J=1/2 Vậy trạng thái : 2S1/2 b) Nguyên tố He với cấu hình 1S2, tức N =2 ta có: l1 =l2 =0 , L= S1 = S2 = 1/2 , S =1,0 J = L= 0; S =1 J = L= 0; S =0 Do l1 = l2 =l = , theo quy tắc sơ đồ Young sơ đồ Young tơng ứng với hàm spin không 2l +1 =1 cột, nh có khả sau hàm spin c) Xét nguyên tố Li với cấu hình 1S2 2S Nh xét , electron thuộc cấu hình 1S2 có L= 0, S = thờng gọi vỏ kín nên cần xét electron với cấu hình 2S Trờng hợp giống trờng hợp a) xét nên ta có trạng thái 2S1/2 trạng thái d) Xét nguyên tố Be với cấu hình 1S22S2 Các electron thuộc cấu hình 1S2 làm thành vỏ kín Vậy nên ta cần xét cấu hình 2S2 Giống nh nguyên tố He xét trên, ta có: Trạng thái 1S0 trạng thái e) Nguyên tố B với cấu hình 1S 22S22P Các electron thuộc cấu hình 1S22S2 làm thành vỏ kín Nh electron trạng thái 2P, tức là: L = l =1 , S = s = 1/2 => J = 3/2, 1/2 Vì trạng thái 2P có electron tơng đơng nên trạng thái xét trạng thái bình thờng nguyên tử Nên theo quy tắc Hunde đa tuyến ,ta có mức lợng đợc xếp theo thứ tự tăng dần sau: 2P 1/2 (trạng thái bản), P3/2 3.3 Tơng tác hệ vi mô với xạ điện từ 3.3.1 Tơng tác sóng điện từ với hạt vi mô Chúng ta biết nguyên tử, phân tử cấu tạo chất nói chung trung tâm xạ hấp thụ sóng điện từ Trong trình này, cấu tạo 29 chuyển từ trạng thái với số lợng tử n sang trạng thái khác với số lợng tử m Vấn đề đặt ta cần tính xác suất chuyển dời Theo lý thuyết nhiễu loạn, ta có toán tử Hamiltonian dạng W=- e (A, P) Mc (3.3 1) A hàm trờng vectơ xạ điện từ Giả sử trờng trờng sóng phẳng đơn sắc có vectơ sóng k tần số có dạng: A = Q0 u sin (k r - t) = 1 Q0 u exp{-(ik r - t)} + Q0 u exp{(ik r - t)} 2 Với Q0 có giá trị không đổi u vectơ dọc theo phơng không đổi điện trờng, E =- A Q0 = U sin (kr - t) c t c Nh toán tử Hamiltonian nhiễu loạn tơng tác cấu tạo vật chất với sóng điện từ đơn sắc phẳng là: W = W exp it + W* exp (-it) với W = - e Q0 exp( -ikr)(u,p) 2cM 3.3.2 Xác suất chuyển dời trạng thái Theo lý thuyết ta có xác suất chuyển dời trạng thái đợc tính theo công thức: P= với |< m|W|n>| = |< m|W|n>|2 h e Q0 2cM (3.3.2) Vấn đề cần tính phần tử ma trận công thức Trong trờng hợp thực tiễn, hạt vi mô có kích thớc bé, hàm sóng |m > |n > khác không r < a0 (a0 bán kính Bohr) Với xạ tử ngoại ánh sáng nhìn thấy, ta có: | kr| ka0 = 10 Thành thử, ta có khai triển sau: exp (-ikr) = ikr + (ikr ) + 2! Từ đó, theo công thức (3.3.2), ta viết: |< m|W|n>| = W1mn - W2mn + 30 W1mn = - với e Q0 < m| (u, p)|n> 2cM W2mn = -i (3.3.3) e Q0 < m| (k,r)(u, p)|n>, 2cM (3.3.4) Mặt khác, ta chứng minh: p= M (rH0 H0r) với H0 = p +U(r) ih 2M (3.3.5) Theo công thức trên, ta lại có: W1mn = =i e Q0 M < m| u( (rH0 H0r))|n> 2cM ih (3.3.6) eQu {< m| rH0 |n> - < m| H0r|n >} h = - ieQ E0 m E0 n < m|(u,r)|n> h H0| n> = E0n| n > Cuối ta có: W1mn = - imn Q< m| (u,d) |n > với d = er mn = (3.3.7) E0 m E0 n h Bức xạ điện từ tơng ứng với phần tử ma trận W1mn gọi xạ lỡng cực điện thành phần tợng tơng tác hệ vi mô với sóng phẳng đơn sắc Thành phần thứ hai W2mn đợc xác định, ta tính đợc thành phần R = < m| (kr(u, r)|n> Để đơn giản ta chọn hớng trục y theo trục theo vectơ phân cực u điện trờng, trục x theo phơng truyền sóng k Tơng ứng chọn trục trên, ta ký hiệu R Rz Rz = -ihk< m| x =- |n> y ihk { < m|x + y | n> + < m| x - y |n >I y y x x Nhng theo hệ thức số hạng thứ vế bên phải tỉ lệ với: = = 2M h 2M (E0n E0m )< m| xy| n> h2 nm < m| xy| n>< m|x 31 + y | n> y x (3.3.8) = = Tiếp theo 2M < m| xyH0 H0xy| n> h2 (3.3.9) 2M { < m| xyH0| n> } h2 Lz = -ih( x -y ) y x Ta viết lại dới dạng: Rz = -iknm M < m| xy| n> + k < m| Lz |n> (3.3.10) Tơng tự nh vậy, chọn trục z theo u trục y theo k hay trục x theo u trục z theo k ta có kết sau: R Rx = -iknm M < m| yz| n> + R Ry = -iknm M < m| zx| n> + k < m| Lx |n> k < m| Ly |n> (3.3.11) (3.3.12) Các xạ tơng ứng với phần tử ma trận thứ công thức công thức (3.4.11) ký hiệu xạ tứ cực điện Các xạ tơng ứng với phần tử ma trận thứ hai công thức công thức (3.4.8) ký hiệu xạ tứ cực từ Thông thờng xạ tứ cực điện tứ cực từ xạ từ nhỏ nhiều lần xạ lỡng cực điện Chỉ xạ lỡng cực điện không ta tính đến xạ Có thể xảy trờng hợp cấu tạo vật chất, hấp thụ phôtôn với lợng h1, chuyển từ trạng thái có lợng En sang trạng thái có lợng Em đồng thời phóng phôtôn khác với lợng Ta luật bảo toàn lợng: có định En + h1 = Em + h2 Quá trình gọi xạ Rahman hay gọi trình tán xạ tổ hợp Ta chứng minh trờng hợp trình n m cho phép phần tử ma trận < m | xi x k|n > ( x1 = x, x2 = y, x3 = z) không đồng thời không 3.3.3 Các quy tắc lọc lựa cho chuyển động xuyên tâm Nh ta biết, trờng hợp chuyển động xuyên tâm trạng thái có dạng: 32 | n, l, m > = Rnl (r) Yl m(, ) (3.3.13) Ta giả thiết trạng thái đầu | n, l, m > trạng thái sau | n, l, m> ta tính phần tử ma trận Bức xạ lỡng cực điện < n, l, m| xi |n, l , m > ( i = j =1, 2, 3) Bức xạ tứ cực điện < n, l, m| xi xj |n, l , m > ( i j =1, 2, 3) Bức xạ lỡng cực từ < n, l, m| Li |n, l , m > ( i = j =1, 2, 3) Bức xạ Rahman < n, l, m| xixj |n, l , m > ( i = j =1, 2, 3) Ta xét trờng hợp n= n trờng hợp ta có (Rnl, Rnl) Nên tiêu chuẩn khác không phần tử ma trận quy tiêu chuẩn khác không ma trận sau Bức xạ lỡng cực điện (Yl m(, ), xi Yl m(, ) Bức xạ tứ cực điện (Yl m(, ), xi xj Yl m(, ) Bức xạ lỡng cực từ Bức xạ Rahman (Yl m(, ), Li Yl m(, ) (Yl m(, ),xixj Yl m(, ) ( i = j =1, 2, 3) (i j =1, 2, 3) ( i = j =1, 2, 3) ( i = j =1, 2, 3) Bài toán gọi toán tìm quy tắc lọc lực cho mômen xung l ợng cho chuyển động xuyên tâm Ta xét xạ lỡng cực điện theo phân cực z Lúc ta có: (Yl m(, ), z Yl m(, ) = (Yl m(, ), rcos Yl m(, ) (3.3.14) = r (Yl m(, ), cos Yl m(, ) Theo tính chất hàm cầu ta lại có: (Yl m(, ), cos Yl m(, ) = a l,l+1 m,m + b l,l-1 m,m (3.3.15) Tức phần tử khác không m = m l = l +1 l = l -1 Tơng tự biểu diễn r dới dạng phức: x1 + i x2 = x + iy = r sinexp(i) x1 - i x2 = x - iy = r sinexp(-i) (3.3.16) Mặt khác: (Yl m(, ), sin Yl m(, ) = c l, l+1 m,m+1 + d l,l -1 m,m+1 (3.3.17) Ta thu đợc quy tắc lọc lựa là: m = m m =0 , 1; l = l l = 33 (3.3.18) Kết luận Luận văn đạt đợc số kết sau: Đã tổng quan ccách có hệ thống sở lý thuyết nhóm hữu hạn kiến thức liên quan nh khái niệm lớp, phần tử liên hợp, nhóm vv Đã sâu cào số nhóm không gian thông dụng nh nhóm O(3), nhóm điểm, nhóm đối xứng Nghiên cứu chi tiết lý thuyêt biểu diễn định lý nh: bổ đề Schur, đặc trng biểu diễn điều kiện bất khả quy biểu diễn Bớc đầu sử dụng lý thuyết nhóm nghiêm cứu toán vật lý nh:liên kết L S, nguyên lý loại trừ Pauli hàm sóng không gian theo liên kết L S, tơng tác hệ vi mô với xạ điện từ Có thể tính toán đợc biểu diễn bất khả quy nhóm điểm nhóm đồng cấu với nhóm Nắm đợc cách áp dụng lý thuyết nhóm vào nghiên cứu vật lý Luận văn nhiều sai sót thời gian hạn chế trình độ chuyên ngành môn học Tác giả luận văn mong đợc góp ý chân tình Thầy Cô giáo cổ vũ động viên bạn đồng nghiệp Với vốn kiến thức đạt đợc qua luận văn, có điều kiện tiếp tục nghiên cứu, tác giả luận văn có điều kiện tiếp xúc với nhiều vấn đề lĩnh vực lý thuyết nhóm cho vật lý lĩnh vực vật lý lý thuyết Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hoàng Phơng Nhập môn học lợng tử, NXBGD 1998 [2] Nguyễn Hoàng Phơng Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý học lợng tử, NXBKH&KT Hà Nội 2002 [3] Phạm Quý T - Đỗ Đình Thanh Cơ học lợng tử, NXBĐHQGHN 2003 34 [4] Nguyễn Văn Hiệu Bài giảng Vật lý lý thuyết sở lý thuyết đối xứng nguyên tử, phân tử chất rắn, Hà nội 1997 Mục lục Phần mở đầu Chơng 1: Lý thuyết nhóm 1.1 Đại cơng nhóm 1.2 Các nhóm hình học 1.3 Nhóm ma trận GL(N) 1.4 Nhóm đối xứng phân tử 1.5 Nhóm đối xứng SN 1.6 Lớp 1.7 Tính đồng cấu đẳng cấu nhóm Chơng 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm 2.1 Một số định nghĩa 2.2 Đặc biểu 2.3 Các bổ đề Schur 35 5 11 14 18 19 21 21 22 23 2.4 Các hệ thức trực giao 2.5 Bài toán hạ cảm Chơng 3: Một số toán vật lý với phơng pháp nhóm 3.1 Phơng pháp sơ đồ Young trạng thái Spin theo liên kết L-S 3.2 Nguyên lý loại trừ Pauli hàm sóng không gian theo liên kết L-S 3.3 Tơng tác hạt vi mô với sóng điện từ Kết luận Tài liệu tham khảo Mục lục 36 24 25 28 30 35 40 41 [...]... lý thuyết nhóm cho vật lý nhất là đối với lĩnh vực vật lý lý thuyết Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hoàng Phơng Nhập môn cơ học lợng tử, NXBGD 1998 [2] Nguyễn Hoàng Phơng Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lý học lợng tử, NXBKH&KT Hà Nội 2002 [3] Phạm Quý T - Đỗ Đình Thanh Cơ học lợng tử, NXBĐHQGHN 2003 34 [4] Nguyễn Văn Hiệu Bài giảng Vật lý lý thuyết cơ sở của lý thuyết đối xứng của các nguyên tử, ... đơng) Nhóm Td là nhóm đối xứng của các phân tử tứ diện Ví dụ: Phân tử CH4 thuộc nhóm đối xứng này 1.4.8 Nhóm Th: Là tích trực tiếp 2 nhóm T và nhóm Ci: Th =T Ci 1.4.9 Nhóm O: Là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình lập phơng trùng với chính nó Phần tử đối xứng gồm có 3 trục C4 đi qua các mặt đối diện, 4 trục c3 đi qua các đỉnh đối diện, 6 trục C2 đi qua các cạnh đối diện Nhóm có 24 phần tử 1.4.10 Nhóm. .. thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng Kí hiệu là SN Các phần tử của nhóm có thể kí hiệu nh sau: 1 p1 N p N 2 p2 nghĩa là : Vật 1 biến thành p1 Vật 2 biến thành p2 Vật N biến thành pN Đơn vị e là phép hoán vị để nguyên mọi vật: 1 2 N 1 2 N Phần tử nghịch đảo: p1 1 p2 2 pN N Nhóm SN là nhóm hữu hạn, không giao hoán, cấp của nhóm là N! 1 2 3 1 2 3 ; p1 = 1 2 3 2 3 1 Ví dụ nhóm S3... gọi là D3h 1.4.6 Nhóm T: Là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình tứ diện đều trùng với chính nó Phần tử đối xứng: 4 trục C3 đi qua một đỉnh và tâm điểm của mặt đối diện 3 trục C2 đi qua trung điểm các cạnh đối diện Nhóm có 12 phần tử 1.4.7 Nhóm Td: Tập hợp tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm tứ diện đều trùng với chính nó làm thành một nhóm gọi là nhóm Td Nhóm có 24 phần tử Phần tử đối xứng gồm... I e C2 e e (1, e 2) Ci C2 C S2 17 1.6.2.2 Nhóm C3 và Z3 đẳng cấu với nhau C3 : e C3 C32 C3 C32 C32 e e C3 e Z3 : 2 2 e Chơng II Lý thuyết biểu diễn nhóm 2 e 2.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1: Trong vật lý lý thuyết nhóm đợc thâm nhập vào các bài toán cụ thể qua lý thuyết biểu diễn của nhóm Cho G là một nhóm và một nhóm ma trận D nào đó Nếu với mọi phần tử của G: g G sẽ có một ma trận D(g) thuộc... dụ: Phân tử C2H2Cl2 có nhóm đối xứng là nhóm C2h, trong đó h là mặt phẳng của phân tử Do C2h = C2 Ci ; Ci ={e, I} và do C2 I = h nên ta có: C2h = {e, C2, I, C2I = h) 1.4 4 Nhóm Dn : Là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình lăng trụ đều n cạnh trùng với chính nó Phần tử đối xứng là : Một trục Cn và n trục C2 vuông góc với Cn và cách đều nhau 1.4.5 Nhóm Dnh: Là nhóm gồm tất cả các phần tử của nhóm O(3)... thuyết cơ sở của lý thuyết đối xứng của các nguyên tử, các phân tử và các chất rắn, Hà nội 1997 Mục lục Phần mở đầu Chơng 1: Lý thuyết nhóm 1.1 Đại cơng về nhóm 1.2 Các nhóm hình học 1.3 Nhóm ma trận GL(N) 1.4 Nhóm đối xứng các phân tử 1.5 Nhóm đối xứng SN 1.6 Lớp 1.7 Tính đồng cấu và đẳng cấu giữa các nhóm Chơng 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm 2.1 Một số định nghĩa 2.2 Đặc biểu 2.3 Các bổ đề Schur 35 3... các trạng thái là các hàm riêng của toán tử S2 và S3 Số trạng thái đó có tất cả là (2S +1) tơng ứng cùng với một giá trị S Để xác định các trạng thái này với phơng pháp lý thuyết nhóm, ta có hai phơng pháp giải: Phơng pháp dùng các toán tử Young của nhóm đối xứng SN Phơng pháp dùng các hệ số Clebsh-Gordan Trong giới hạn phần này chúng ta chỉ trình bày phơng pháp thứ nhất vì nó đơn giản và trực quan... lý thuyết nhóm hữu hạn và các kiến thức liên quan nh khái niệm lớp, phần tử liên hợp, nhóm con vv 2 Đã đi sâu cào một số nhóm không gian thông dụng nh nhóm O(3), nhóm điểm, nhóm đối xứng 3 Nghiên cứu chi tiết lý thuyêt biểu diễn và các định lý cơ bản nh: bổ đề Schur, đặc trng của biểu diễn và các điều kiện bất khả quy của biểu diễn 4 Bớc đầu đã có thể sử dụng lý thuyết nhóm nghiêm cứu các bài toán vật. ..Phần tử đối xứng : Một trục Cn và n mặt thẳng đứng cách đều nhau Ví dụ: Phân tử nớc H2O có nhóm đối xứng gồm các phần tử của nhóm C2 và 2 mặt phẳng phản chiếu thẳng đứng đi qua trục C2 (là trục qua O và tâm điểm hai H) và vuông góc với nhau Nghĩa là một nhóm có 1 trục đối xứng hạng 2 và 2 mặt đối xứng thẳng đứng Nhóm này gọi là nhóm C2v Các phần tử của nhóm C2v : H C2v ={e, C2, 1, 2} Nhóm đối ... thành học lợng tử Bộ môn học lợng tử sở lí thuyết vật lý học vi mô, học thuyết khó giai đoạn chuyển tiếp sang điện động lực học lợng tử, lí thuyết hạt trờng lợng tử Để hiểu học lợng tử cần phải... thiệu đại cơng nhóm nêu số nhóm đặc trng: Nhóm hình học, nhóm ma trận, nhóm đối xứng phân tử, nhóm đối xứng SN, tính đồng cấu đẳng cấu nhóm Chơng II : Lý thuyết biểu diễn nhóm Trong chơng nêu... y G Nếu xy = yx nhóm G gọi nhóm giao hoán hay gọi nhóm Abel Định nghĩa 4: Cho G nhóm, số phần tử nhóm gọi cấp nhóm Cấp nhóm số hữu hạn nhóm G gọi nhóm hữu hạn Một số ví dụ nhóm 1.1.1 Tập số