Chương 7 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG kê

Chương 7: KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ I Khái niệm chung : Giả thuyết thống kê mệnh đề tham số, luật phân phối hay tính chất biến ngẫu nhiên Ví dụ : • Giả thuyết tham số μ = EX : ⎧H0 : μ = μ a) ⎨ ⎩ H1 : μ > μ ⎧H0 : μ = μ c) ⎨ ⎩ H1 : μ ≠ μ ⎧H0 : μ = μ b) ⎨ ⎩ H1 : μ < μ Trong đó, H0 gọi giả thuyết không, H1 gọi đối thuyết μ0 số biết Đối thuyết a) b) gọi đối thuyết phía Đối thuyết c) gọi đối thuyết hai phía • Giả thuyết luật phân phối : H0 : “ X có luật phân phối với hàm phân phối F(x)” (H1 : “ X khơng có luật phân phối với hàm phân phối F(x)”, khơng cần phát biểu) • Giả thuyết tính chất : H0 : “ X Y độc lập ” (H1 : “X Y không độc lập”, không cần phát biểu) Cách kiểm định giả thuyết : Gọi M không gian mẫu quan sát X từ tổng thể M • Chia M thành hai miền M0 M1 cho : M0 ∪ M1 = M M0 ∩ M1 = ∅ • Lấy mẫu ( x1 , … , xn ), 1) Nếu (x1, … , xn) ∈ M0 chấp nhận H0 H1) 2) Nếu (x1, … , xn) ∈ M1 chấp nhận H1 H0) Gọn : 1) Nếu (x1, … , xn ) ∈ M1 chấp nhận H1 H0) 2) Nếu (x1 , … , xn ) ∉ M1 chấp nhận H0 H1) (Bác bỏ (Bác bỏ (Bác bỏ (Bác bỏ Sai lầm kiểm định : • Sai lầm loại : Bác bỏ H0 thực tế H0 Xác suất xảy sai lầm loại : α = P[(X1 , …, Xn )∈ M1 / H0 ] • Sai lầm loại : Chấp nhận H0 thực tế H0 sai Xác suất xảy sai lầm loại : β = P[(X1 , …, Xn )∈ M0 / H1 ] Một cách chia M thành M0 M1 gọi qui tắc ( tiêu chuẩn) kiểm định M1 gọi miền bác bỏ H0 Người ta xây dựng qui tắc cho đạt α đủ nhỏ cho trước với β chấp nhận α gọi mức ý nghĩa kiểm định, thường cho trước 1% 5% II Kiểm định giả thuyết so sánh kỳ vọng với số cho trước : Đặt μ = EX σ2 = DX Các giả thuyết : H0 : μ = μ0 a) H1 : μ > μ0 ; b) H1 : μ < μ0 ; c) H1 : μ ≠ μ0 1) Khi n ≥ 30, σ2 biết Xét thống kê X − μ0 Z= ~ N (0,1) σ H0 n Miền bác bỏ H0 ứng với đối thuyết : a) M1 = { ( x1 , … , xn ) : Z > z1− α } b) M1 = { ( x1 , … , xn ) : Z < - z1− α } c) M1 = { ( x1 , … , xn ) : ⎢Z ⎢ > z1− α/2 } Trong đó, zα phân vị mức α Φ(x) } 2) Khi n ≥ 30, σ2 Xét thống kê X −μ Z= ~ N (0,1) S H0 n Miền bác bỏ H0 phần 1) (1) 3) Khi n < 30, σ2 biết X ~ N(μ ,σ2 ) Thống kê Z miền bác bỏ H0 phần 1) 4) Khi n < 30, σ2 X ~ N(μ ,σ2 ) Xét thống kê X − μ0 T= ~ t (n − 1) S n H0 Miền bác bỏ H0 ứng với đối thuyết : n −1 t M1 = { ( x1 , … , xn ) : T > 1−α } n −1 t (2) M1 = { ( x1 , … , xn ) : T < - 1−α } n −1 M1 = { ( x1 , … , xn ) : ⎢T ⎢ > t1− α } } III Kiểm định giả thuyết so sánh hai kỳ vọng : Quan sát X hai mẫu lấy từ hai tổng thể A B Trên tổng thể A : σ X có kỳ vọng μ1 phương sai , mẫu cỡ n1, kỳ S vọng mẫu, phương sai mẫu có điều chỉnh Trên tổng thể B : σ X có kỳ vọng μ2 phương sai , mẫu cỡ n2, kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu có điều chỉnh S Xét giả thuyết : H0 : μ1 = μ2 a) H1 : μ1 > μ2 ; b) H1 : μ1 < μ2 ; c) H1 : μ1 ≠ μ2 2 σ σ Khi n1 ≥ 30, n2 ≥ 30 và biết Xét thống kê X1 − X Z= ~ N (0,1) σ 12 n1 + σ 22 n2 Miền bác bỏ H0 ứng với đối thuyết (1) Khi phương sai mẫu chưa biết ta thay phương sai mẫu 2 Khi n1 < 30, n2 < 30 σ = σ = σ2 Xét thống kê T= X1 − X ⎛1 1⎞ S ⎜ + ⎟ ⎝ n1 n2 ⎠ ~ t (n1 + n2 − 2) Trong 2 ( n − 1) S − ( n − 1) S 2 S2 = n1 + n2 − Miền bác bỏ H0 ứng với đối thuyết (2) IV Kiểm định giả thuyết so sánh tỷ lệ với số cho trước : Giả sử tham số p tỷ lệ phần tử loại L tổng thể M m f = Gọi m số phần tử loại L mẫu tần n suất phần tử loại L mẫu Xét mẫu cỡ lớn : nf ≥ 10 , n(1-f) ≥ 10, giả thuyết: H0 : p = p0 a) H1 : p > p0 ; b) H1 : p < p0 ; c) H1 : p ≠ p0 thống kê Z= f − p0 p0 (1 − p0 ) n ~ N (0,1) , H0 Miền bác bỏ H0 phần 1) kiểm định giả thuyết kỳ vọng V Kiểm định giả thuyết so sánh hai tỷ lệ: Xét mẫu cỡ lớn : n1 ≥ 30, n2 ≥ 30 Quan sát tỷ lệ phần tử lọai L hai mẫu lấy từ hai tổng thể A B Trên tổng thể A : tỷ lệ phần tử loại L p1, mẫu cỡ n1, tần suất f1 Trên tổng thể B : tỷ lệ phần tử loại L p2, mẫu cỡ n2, tần suất f2 Xét giả thuyết : H0 : p1 = p2 a) H1 : p1 > p2 ; b) H1 : p1 < p2 ; c) H1 : p1 ≠ p2 Xét thống kê f1 − f Z= ~ N (0,1) ⎛1 1⎞ ˆ ˆ⎜ + ⎟ pq ⎝ n1 n2 ⎠ Trong đó, pˆ = n1 f1 + n2 f n1 + n2 qˆ = − pˆ Miền bác bỏ H0 ứng với đối thuyết (1) VI Kiểm định giả thuyết so sánh hai phương sai : Quan sát X hai mẫu lấy từ hai tổng thể A B Trên tổng thể A : X ~N(μ1,σ 12 ), mẫu cỡ n1, phương sai mẫu có điều chỉnh S1 Trên tổng thể B : X ~N(μ2, σ 22 ), mẫu cỡ n2, phương sai mẫu có điều chỉnh S Xét giả thuyết : H0 : σ 12 = σ 22 a) H1 : σ 12 > σ 22 ; b) H1 : σ 12 ≠ σ 22 thống kê S12 F = ~ F (n1 − 1, n2 − 1) S2 có luật phân phối Fisher với bậc tự n1-1 n2-1 2 Chú ý ta đánh số cho S1 > S Miền bác bỏ H0 ứng với đối thuyết : n1 −1, n2 −1 t M1 = { ( x1 , … , xn ) : F > 1−α } n1 −1, n2 −1 t M1 = { ( x1 , … , xn ) : ⎢F ⎢ > 1−α / } n −1, n −1 Trong đó, t1−1 α phân vị mức (1-a) luật Fisher với bậc tự n1-1 n2-1 VII Kiểm định giả thuyết luật phân phối : H0 : “ X có luật phân phối với hàm phân phối F(x)” Lập bảng : Lớp Tần số L1 Lk Tổng Tần số TN N1 Nk n Tần số LT N’1 N’k n Trong đó, Ni tần số thực nghiệm lớp Li, hay số phần tử mẫu rơi vào Li N’i tần số lý thuyết lớp Li, hay số phần tử mẫu rơi vào Li H0 N’i = npi pi = P( X∈ Li / H0 ) Nếu Li = (ai , ai+1 ] pi = P( < X < ai+1 / H0 ) = F(ai+1) - F(ai) Định lý Pearson : Thống kê Q có luật chi bình phương với k-r-1 bậc tự ( N i − N i' ) 2 Q=∑ ~ (k − r − 1) χ ' Ni i =1 Miền bác bỏ H0 : k − r −1 M1 = { ( x1 , … , xn ) : Q > χ1−α } k Trong đó, χ1k−−αr −1 phân vị mức 1-α luật chi bình phương với k-r-1 bậc tự VIII Kiểm định giả thuyết tính độc lập : Ta có bảng số liệu hai chiều hai thuộc tính X Y : Giả thuyết H0 : “ Thuộc tính X Y độc lập” Thuộc tính X có n mức độ A1, …, An Thuộc tính Y có m mức độ B1, …, Bm Ta quan sát N cá thể Và lập bảng sau Thuộc tính A1 N11 An Tổng số Nn1 B1 ( N’11 ) ( N’n1 ) NB1 Bm N1m ( N’1m ) Tổng số NA1 Nnm ( N’nm ) NBm NAn N Trong đó, Nij tần số thực nghiệm, hay số quan sát có thuộc tính Ai Bj N’ij tần số lý thuyết, hay số phần tử mẫu có thuộc tính Ai Bj H0 N 'ij = Thống kê n m Q = ∑∑ N A i NB j n ( N i j − N i' j ) ~ χ [(h − 1)(c − 1)] ' N i =1 j =1 ij có phân phối chi bình phương với (h-1)(c-1) bậc tự Trong đó, h số hàng, c số cột Miền bác bỏ H0 : M1 = { ( x1 , … , xn ) : Q > χ1(−hα−1)( c −1) } Trong đó, χ1−α phân vị mức 1-α luật chi bình phương với (h-1)(c-1) bậc tự ( h −1)( c −1) ... giả thuyết: H0 : p = p0 a) H1 : p > p0 ; b) H1 : p < p0 ; c) H1 : p ≠ p0 thống kê Z= f − p0 p0 (1 − p0 ) n ~ N (0,1) , H0 Miền bác bỏ H0 phần 1) kiểm định giả thuyết kỳ vọng V Kiểm định giả thuyết. .. ⎨ ⎩ H1 : μ < μ Trong đó, H0 gọi giả thuyết không, H1 gọi đối thuyết μ0 số biết Đối thuyết a) b) gọi đối thuyết phía Đối thuyết c) gọi đối thuyết hai phía • Giả thuyết luật phân phối : H0 : “ X... tiêu chuẩn) kiểm định M1 gọi miền bác bỏ H0 Người ta xây dựng qui tắc cho đạt α đủ nhỏ cho trước với β chấp nhận α gọi mức ý nghĩa kiểm định, thường cho trước 1% 5% II Kiểm định giả thuyết so