Kiểm định giả thiết thống kê

CHƯƠNG 7: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ Trong thực tế ta thường gặp vấn đề: phải kiểm tra xem 1 điều gì đó đúng hay sai, nội dung thông tin mà ta nhận được từ các nguồn cung cấp 1 người,

CHƯƠNG 7:

KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ

Trong thực tế ta thường gặp vấn đề: phải kiểm tra xem 1 điều gì đó đúng hay sai, nội dung thông tin mà ta nhận được từ các nguồn cung cấp (1 người, 1 cơ quan, 1 tờ báo, 1 tổ chức, ) có đáng tin cậy không.

Công việc kiểm tra lại nội dung thông tin mà ta nhận được xem có đáng tin cậy không chính là bài toán kiểm định.

2

Thí dụ 1: Một tổ chức cho rằng chiều cao trung bình hiện nay của thanh niên VN là 1.65m Hãy lập giả thiết để kiểm chứng kết quả này?

HD:

H0:=1.65

H1:≠1.65

: chiều cao TB thực tế của thanh niên hiện nay

0= 1.65: chiều cao TB của thanh niên hiện nay theo

lời tổ chức này

H0gọi là giả thiết thống kê (giả thiết không)

H1gọi là giả thiết đối

3

Ta tiến hành kiểm định (kiểm tra) như sau:

 Thu thập số liệu thực tế (lấy mẫu): đo chiều cao của khoảng 1 triệu người

 Dùng 1 quy tắc kiểm định tương ứng với giả thiết đang xét (kiểm định giá trị trung bình) để quyết định: chấp nhận hay bác bỏ H0

Chấp nhận H0: tổ chức này báo cáo đúng Con số 1.65m là đáng tin cậy

Bác bỏ H0: tổ chức này báo cáo sai

4

Thí dụ 2: Một học viên luyện thi cao học cho rằng tỷ lệ học viên thi đạt môn XSTK là 50% Hãy lập giả thiết thống kê để kiểm chứng điều này?

HD:

H0: p=0.5

H1: p≠0.5

p: tỷ lệ học viên thực tế thi đạt môn XSTK

p0= 0.5 : tỷ lệ học viên thi đạt môn XSTK theo lời

người này

Thí dụ 3: Một cô gái được cho là thùy mị, nết na, đằm thắm, dịu dàng, ngăn nắp, chu đáo, …nói chung là hết…

ý! Và ta muốn để ý!

Ta phải kiểm tra điều này! Tuy nhiên ta sẽ không quyết định được lập giả thiết thống kê như thế nào, bởi

vì sai lầm nào cũng đau khổ cả! Và ta không thể tự

mìnhtiến hành kiểm định được!

Bài toán loại này ta không thể xét được, bởi vì không có quy tắc quyết định chung Ctmb quyết định như thế nào!

6

Để xét xem chấp nhận hay bác bỏ H0 thì ta phải lấy mẫu, và đưa ra quyết định dựa trên mẫu Trong quá trình làm, có 4 trường hợp sau:

Quyết định Chủ quan

Thực tế khách quan

H 0 sai H 0 đúng

H0đúng Sai lầm loại 1 Đúng

P(sll1)= P(bác bỏ H0/H0đúng) , P(sll2)= P(chấp nhận H0/H0 sai)

7

Ta không thể làm giảm P(sll1) và P(sll2) xuống cùng

lúc được (cỡ mẫu cố định), nếu làm giảm P(sll1) thì

sẽ làm tăng P(sll2), và ngược lại Chỉ có thể làm

giảm cả P(sll1) và P(sll2) cùng lúc bằng cách tăng cỡ

mẫulên

Về mặt khách quan thì cả 2 loại sai lầm đều nguy hiểm, tuy nhiên về mặt chủ quan thì ta coi sai lầm

loại 1 là nguy hiểm hơn sai lầm loại 2 Do đó người

ta lập giả thiết sao cho sai lầm loại 1 là nguy hiểm hơn

8

VD1:Một người bị nghi ngờ là ăn trộm

Ta lập giả thiết:

H0: người này là vô tội H1: người này là có tội

(Trong xã hội văn minh, dân chủ thì luôn mong muốn điều tốt đẹp xãy ra!)

Công an đi thu thập chứng cớ để bác bỏ H0, nếu có đủ chứng cớ thì kết luận người này có tội (bác bỏ H0), nếu không đủ chứng cớ thì vẫn phải kết luận người này vô tội (chấp nhận H0)

Ta có 2 loại sai lầm sau:

Trong thực tế người này vô tội, nhưng do sự tắc trách của CA hoặc do bị hãm hại mà người này bị kết luận là có tội  BẮT OAN (sll1)

Trong thực tế người này có tội, nhưng do là SIÊU TRỘM nên CA không tìm được chứng cớ nên phải thả ra  THẢ LẦM (sll2)

Ta thấy BẮT OAN nguy hiểm hơn THẢ LẦM, nếu

có thả lầm thì ta hy vọng rằng “Lưới trời lồng lộng,

tuy thưa mà khó lọt, lọt lần này thì chưa chắc sẽ lọt

VD 2: Một người đi khám bệnh xem có bị ung thư phổi không, ta đặt giả thiết sau:

H0: người này có bệnh ung thư phổi

Ta có hai loại sai lầm tương ứng:

 sai lầm loại I là người này có bệnh nhưng bác sĩ kết luận không có

 sai lầm loại II là người này không có bệnh nhưng bác sĩ kết luận có

Ta thấy sai lầm loại I là nguy hiểm hơn

11

Do đó ta đưa ra quy tắc kiểm định sao cho:

P(sll1) <=, với  là 1 con số cho trước, gọi là mức (có) ý nghĩa của kiểm định

P(sll2) bé nhất có thể được

12

CÁC DẠNG KIỂM ĐỊNH:

Kiểm định tham số

Kiểm định giá trị trung bình

Kiểm định tỷ lệ

Kiểm định phương sai

Kiểm định tham số có 2 dạng:

2 phía

1 phía (phải, trái)

Kiểm định phi tham số

Kiểm định quy luật phân phối xác suất Kiểm định tính độc lập của 2 dấu hiệu

PHƯƠNG PHÁP KIỂM ĐỊNH

Phương pháp khoảng tin cậy

Phương pháp giá trị tới hạn

Phương pháp p-value

Ta chỉ học phương pháp giá trị tới hạn

14

PHẦN I: KIỂM ĐỊNH THAM SỐ

 KIỂM ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

 KIỂM ĐỊNH TỶ LỆ

 KIỂM ĐỊNH PHƯƠNG SAI

15

1) KIỂM ĐỊNH GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH:

: trung bình đám đông

0: 1 con số cần kiểm định xem đúng hay sai

a) Kiểm định 2 phía

H0: =0 ; H1: 0

b) Kiểm định một phía

Phía phải: H0: =0 ; H1: >0

Phía trái: H0: =0 ; H1: <0

1 n  30 , biết 2:



x



|t| < t : chấp nhận H0

|t|  t : bác bỏ H0 , chấp nhận H1

Trong trường hợp bác bỏ H0 : + Nếu x   o thì  > 0

+ Nếu x   o thì  < 0

Nếu không biết 2

: thay  bằng s s

n

x

t (   0 )

|t| < t : chấp nhận H0

|t|  t : bác bỏ H0 , chấp nhận H1

18

1 n < 30, biết 2(X có phân phối chuẩn)



x

t (  0 )

|t| < t : chấp nhận H0

|t|  t : bác bỏ H0

2 n < 30, không biết 2 (X có phân phối chuẩn)

s

n o x

t  (   ) ,   t (n–1) (tra bảng H)

|t| < t(n–1) : chấp nhận H0

|t|  t(n–1) : bác bỏ H0

19

Bài 1 : Giám đốc một xí nghiệp cho biết lương

trung bình của 1 công nhân thuộc xí nghiệp hiện nay là 600 ngàn đồng/tháng.

Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân thấy lương trung bình là 520 ngàn đồng/tháng, với độ lệch chuẩn

 = 40 ngàn đồng/tháng Lời báo cáo của giám đốc có tin cậy được không, với mức có ý nghĩa là  = 5%.

20

Giả thiết H0:  = 600 ; H1:   600

 : là tiền lương trung bình thực sự của công nhân hiện nay

o= 600 : là tiền lương trung bình của công nhân theo lời giám đốc

x= 520 , n = 36 > 30 ,  = 40 ,  = 5%

 = 5%   = 1 –  = 0,95  t= 1,96

40 36 ) 600 520 ( )

x o n

t

|t|= 12 > 1,96= t: bác bỏ H0 Kết luận : với mức ý nghĩa là 5%, không tin vào lời của giám đốc

Lương trung bình thực sự của công nhân bé hơn 600 ngàn đồng / tháng (do x520600o)

Chú ý quan trọng:

Trước tiên phải đặt giả thiết thống kê rùi muốn làm

gì thì làm!

Nếu không đặt giả thiết thống kê mà có tính toán đúng thì cũng hổng được điểm

Tính toán, tra bảng đúng nhưng kết luận sai thì cũng hổng được điểm “Uổng ơi là uổng!”

22

Bài 3 :Một cửa hàng thực phẩm nhận thấy thời gian vừa qua

trung bình một khách hàng mua 25 ngàn đồng thực phẩm trong ngày Nay cửa hàng chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng thấy trung bình một khách hàng mua 24 ngàn đồng trong ngà y và phương sai mẫu hiệu chỉnh là s2= (2 ngàn đồng)2.

Với mức ý nghĩa là 5% , thử xem có phải sức mua của khách hàng hiện nay có thay đổi so với trước đây.

23

Giải

Giả thiết H0:  = 25 H1:   25

 : là sức mua của khách hàng hiện nay

o= 25 : là sức mua của khách hàng trước đây

n = 15 ; x = 24 , s = 2 ,  = 5%

 = 5%   = 0,95

 t(n–1) = t0,05(14) = 2,1448 (tra bảng H)

9364 , 1 2

15 ) 25 24 ( )

|t| =1,9364 < t(n– 1) = 2,1448 : Chấp nhận H0 Kết luận : với mức có ý nghĩa là 5%, sức mua của khách hàng hiện hay không thay đổi so với trước đây

24

Kiểm định về tỷ lệ: khi n  30

Giả thiết thống kê : H0: p = p0 Giả thiết đối : H1: p  p0

) 0 1 ( 0

) 0 (

p p

n p f t







  t (tra bảng G)

|t|  t : bác bỏ H0

|t| < t : chấp nhận H0 Điều kiện áp dụng :











 5 ) 0 1 (

5 0

p n

p n

Trong trường hợp bác bỏ H0 : + Nếu f > p0 thì p > p0 + Nếu f < p0 thì p < p0

Lưu ý: cần nhớ kỹ cái gì?

Bài 4 : Theo một nguồn tin thì tỉ lệ hộ dân thích

xem dân ca trên Tivi là 80% Thăm dò 36 hộ dân thấy có 25 hộ thích xem dân ca.

Với mức có ý nghĩa là 5% Kiểm định xem nguồn tin này có đáng tin cậy không?

26

Giải

Giả thiết H0: p = 0,8 ; H1: p  0,8

p : là tỷ lệ hộ dân thực sự thích xem dân ca

po= 0,8 : là tỷ lệ hộ dân thích xem dân ca theo nguồn tin

n = 36 , f = 25/36= 0,69 ,  = 5%

 = 5%   = 1 –  = 0,95  t= 1,96

65 , 1 8

, 0 2 , 0

36 ) 8 , 0 69 , 0 ( ) 1 (

)













o p o

n o f t

|t| = 1,65 < t= 1,96 : Chấp nhận H0

kết luận : với mức có ý nghĩa 5%, nguồn tin trên đáng tin cậy

27

Bài 5 : Một máy sản xuất tự động, lúc đầu tỷ lệ sản phẩm

loại A là 20% Sau khi áp dụng một phương pháp sản xuất mới, người ta lấy 40 mẫu, mỗi mẫu gồm 10 sản phẩm để kiểm tra Kết quả kiểm tra cho ở bảng sau :

Số sản phẩm loại A trong mẫu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Với mức ý nghĩa 5% Hãy cho kết luận về phương pháp sản

Giải

H0:p=20% ; H1:p 20% ;  = 0,05 thì t= 1,96

Trong đó p là tỷ lệ sản phẩm loại A của máy sau khi áp dụng phương pháp sản xuất mới

Theo số liệu ở bảng trên thì tỷ lệ sản phẩm loại A của mẫu là

5375 , 0 400

9 1 8 5 7 4 6 10 5 8 4 6 3 4 1 2





































f

) 2 , 0 1 ( 2 , 0

400 ) 2 , 0 5375 , 0









t

|t| = 16,875 > t= 1,96 : bác bỏ H0 Do f=0,5375>po=0,2 nên

ta kết luận pp sản xuất mới làm tăng tỷ lệ sản phẩm loại A

Kiểm định phương sai

X có quy luật phân phối chuẩn X  N(, 2) Giả thiết thống kê H0: 2= 2o ; H1: 2 2o

2

2 ) 1 ( 2

o

s n



Nếu 2 ( 1)

2



n



 < 2 < 2 ( 1)

2

1 n

Nếu 2 ( 1)

2



n



 > 2 , hoặc 2 ( 1)

2

1 n

 < 2 : bác bỏ H0

Trong trường hợp bác bỏ H0: + Nếu s2> 2o thì 2> 2o

Bài 8: Nếu máy móc hoạt động bình thường thì

kích thước của một loại sản phẩm (cm) là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với phương sai 2=25 cm2 Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường, người ta đo thử 20 sản phẩm và tính được s2= 27,5cm2.

Với  = 0,02 , hãy kết luận về điều nghi ngờ này?

31

Giải:

H0: 2= 25 H1: 2 25

2: phương sai của kích thước sản phẩm hiện nay 25

2

0

 : phương sai của kích thước sản phẩm khi máy hoạt động bình thường

Tra bảng I ta có 2 (19)

01 , 0

 = 7,6327 ; 2 (19)

99 , 0

25 5 , 27 19 2 0

2 ) 1 (



) 19 ( 2 01 , 0

 < 2< 2 (19)

99 , 0

 : chấp nhận H0

SUẤT

Trong thực tế ta thường gặp vấn đề là ta phải kiểm tra xem một đại lượng ngẫu nhiên đang xét có một quy luật phân phối nào đó không VD như chiều cao của một loại cây có quy luật phân phối chuẩn không?

Trọng lượng một loại sản phẩm có quy luật phân phối chuẩn?

34

PHẦN II.1: KIỂM ĐỊNH QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

TIÊU CHUẨN K.PEARSON ( TIÊU CHUẨN  2 )

Cho bảng tần số của ĐLNN X :

Tần số n1 n2 nk

ni: tần số quan sát (tần số thực nghiệm)

n = n1+ n2+…+ nk : cỡ mẫu

Lập giả thiết

H 0 : X phân phối theo quy luật A

H 1 : X không phân phối theo quy luật A

35

1 X là ĐLNN rời rạc

pi= P(X= xi) : theo quy luật A

Ta xét X có quy luật phân phối nhị thức, Poisson

2 X là ĐLNN liên tục

pi= P(xi-1< X < xi) hoặc pi= P(xi< X < xi+1)

Ta xét X có quy luật chuẩn

36

3 Quy tắc kiểm định

i

np i n k i

2 1





 







 Với mức ý nghĩa   2     1

1  k r

 trong đó:

r = số tham số chưa xác định của quy luật X

k là số điểm (khoảng) chia các giá trị của X







  



1











  







I.2 CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI CƠ BẢN CẦN KIỂM ĐỊNH

1 Nhị thức

X ~ B(n,p)

n, p biết  r= 0

n biết, p chưa biết  r = 1

n, p chưa biết  r= 2

2 Poisson

X ~ P()

 chưa biết, thay bằng x  r=1

3 Chuẩn

X ~ N(, 2) Nếu , 2 chưa biết Thay  = x , 2 = s2

(hoặc 2ˆs )  r = 2

38

Lưu ý : Điều kiện để áp dụng tiêu chuẩn phù hợp 2  theo K.Pearson

Các tần số quan sát ni 5 Nếu các ni quá nhỏ thì phải ghép các giá trị hay các khoảng giá trị của mẫu lại để tăng nilên

39

Bài 1: Quan sát 1 đối tượng trong 100 ngày.

Gọi X là số lần xuất hiện của đối tượng trong 1 ngày, ta có:

Số ngày 5 10 19 29 21 6 9 0 0 1 0 Với  =5%, hãy xét xem X ~B (10 ; 0,3) ?

40

Giải:

H0: X có quy luật phân phối nhị thức B(10; 0,3)

H1: X không có quy luật phận phối nhị thức B(10; 0,3)

Trước hết, ta thu ngọn mẫu để cho thỏa nikhông quá nhỏ: ni  5

X 0 1 2 3 4 5  6

ni 5 10 19 29 21 6 10 Nếu giả thiết H0đúng, ta tính được các xác suất:

pi=P(X=xi)=C xi(0,3)xi(0,7)10xi

Ví dụ: p1= P(X=0)= 0 (0,3)0(0,7)10 0,0282

C

Ta lập bảng sau:

i

np i

np i

n 2



 

0 1 2 3 4 5

 6

5 10 19 29 21 6 10

0,0282 0,1211 0,2335 0,2668 0,2001 0,1029 0,0474

2,82 12,11 23,35 26,68 20,01 10,29 4,74

1,6852 0,3676 0,8104 0,2017 0,0490 1,7885 5,8370

Lưu ý: Để 



7 1

i

pi= 1 thì p7= 1– 



6 1

i

Pi = 0,0474

Vậy 2= 10,7394 k=7 , r=0 , =0,05

95 , 0 ) 1 7 (

2 05 , 0



) 6 (

2 95 , 0

  : chấp nhận H0

43

Bài 2: Trong dân gian lưu truyền 1 quan niệm

rằng: 1 loại thức ăn A nào đó làm tăng khả năng sinh con trai Để kiểm tra quan niệm này người

ta cho 1 nhóm phụ nữ dùng thức ăn A rồi xem xét 80 trường hợp có 3 con trong thời gi an dùng loại thức ăn A đó Kết quả cho trong bảng sau:

X: số bé trai 3 2 1 0

ni: số phụ nữ 14 36 24 6 Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định xem liệu lọai thức ăn A có tác dụng đến việc sinh con trai

Giải:

H0 : loại thức ăn A không có tác dụng đến giới tính của bào thai

Nếu H0đúng thì số bé trai trong gia đình có 3 con là 1 ĐLNN có qluật nhị thức với n=3, p= ½

Gọi X là số con trai trong 1 gia đình có 3 con H0 : X~B(3, ½)

Đặt : Bk = biến cố trong 3 đứa trẻ có k đứa là con trai

Ta lập bảng sau:

xi ni pi npi

i

np i

np i

n 2



 

3 2 1 0

14 36 24 6

1/8 3/8 3/8 1/8

10 30 30 10

1,6 1,2 1,2 1,6

Nếu H0 đúng thì:

p1= P(B0) =

8 3 3 2 1 1 3

) 1

( 2

, 8 1 3 2 1 0





























C B P p C

8 1 3 2 1 3 3

) 3

( 4

, 8 3 3 2 1 2 3

) 2

(





























C B p p C

B P p

Vậy 2= 5,6

=0,05 , k=4 , r=0

95 , 0 ) 1 (

2

) 3 (

2 95 , 0

2 

  : chấp nhận H0

Số liệu đã cho chưa cho phép ta khẳng định loại thức ăn A có ảnh hưởng đến giới tính

47

Bài 3: Sản phẩm được sản xuất ra trên một dây

chuyền tự động được đóng gói một cách ngẫu nhiên theo quy cách: 3 sản phẩm/hộp Tiến hành kiểm tra 200 hộp ta được kết quả:

Số sp loại I có trong hộp 0 1 2 3

Với = 2% , có thể xem số sp loại I có trong hộp là đại lượng ngẫu nhiên có quy luật phân phối

Giải:

Gọi X là số sp loại I có trong một hộp.

XB(3, p)

Ta xấp xỉ p bằng:

74 , 0 200

* 3

70

* 3 110

* 2 14

*



f

H0: X  B(3 ; 0,74)

Ta lập bảng sau:

i

np i

np i

n 2



 

0 1 2 3

6 14 110 70

0,017576 0,150072 0,427128 0,405224

3,5152 30,0144 85,4256 81,0448

1,75644 8,5446 7,06932 1,50519

2= 18,8755 > 2 (4 1 1)

98 ,

Bài 4: Một nhà máy sản xuất máy in nói rằng số

lỗi in trong 1 cuốn sách dày 300 trang của máy

in là 1 ĐLNN có quy luật phân phối Poisson với tham số =4,7 Kiểm tra 300 trang sách in của

50 máy in cùng loại, ta thu được:

Số lỗi 0 1 2 3 4 5 6 7 8  9 Số máy 1 1 8 6 13 10 5 5 1 0 Với mức ý nghĩa 1%, hỏi lời tuyên bố của nhà sản xuất có đúng không?

51

Giải: Gọi X= số lỗi trong 300 trang in

H0: X ~ P(4,7)

P1= P(X 2)

= e-4,7

1523 , 0 )

! 2

2 ) 7 , 4 (

! 1

1 ) 7 , 4 (

! 0

0 ) 7 , 4

P2= P(X=3) = e-4,7

! 3

3 ) 7 , 4 ( = 0,1574

P3= P(X=4)= e-4,7

! 4

4 ) 7 , 4 ( = 0,1849

P4= P(X=5) = e-4,7

! 5

5 ) 7 , 4 ( = 0,1738

P5= P(X=6) = e-4,7

! 6

6 ) 7 , 4 ( = 0,1362

x i n i p i np i

i

np i

np i

n 2



 

 2 3 4 5 6

7

10 6 13 10 5 6

0,1523 0,1574 0,1849 0,1738 0,1362 0,1954

7,6150 7,8692 9,2463 8,6915 6,8083 9,7697

0,7470 0,4440 1,5239 0,1970 0,4803 1,4546

Tổng n =50 1 4,8468

 = 0,01, k = 6, r = 0  2 ( 5 ) 15 , 0863

99 ,



 2 = 4,8468 <2 ( 5 ) : chấp nhận H 0 tin lời tuyên bố trên.