Giáo trình môn toán thống kê toán c1 đh quốc gia tp HCM

Khoa Kinh tế-Luật ĐHQG Tp HCM GIÁO TRÌNH MƠN TỐN - THỐNG KÊ TỐN C1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com TẬP HỢP I Khái niệm tập hợp Tập hợp phần tử Khái niệm tập hợp khái niệm tốn học khơng định nghĩa Do ta hiểu cách đơn giản tập hợp gom góp vật thể mà ta gọi phần tử Người ta kí hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C, …, X, Y… Các phần tử tập hợp kí hiệu chữ in thường a, b, …,x, y… y Ví dụ 1: ◘ Tập hợp số tự nhiên từ đến 10 ◘ Tập hợp người Việt Nam ◘ Tập hợp người u ◘ Tập hợp bạn nam lớp cao 1,65m • Nếu x phần tử tập hợp A , ta kí hiệu x ∈ A • Nếu y khơng phần tử tập hợp A kí hiệu y ∉ A A x Biểu đồ Ven tập hợp A Cách xác định tập hợp a) Liệt kê phần tử: Liệt kê phần tử tập hợp hai dấu { } Ví dụ 2: a) Tập hợp A số tự nhiên từ đến kí hiệu A = {1, 2, 3, 4, 5} b) Tập hợp B nghiệm thực phương trình x − x = B = {0, 1} Ví dụ 3: Liệt kê phần tử tập hợp sau a) Khơng có q độc lập tự b) Tập hợp A số phương khơng vượt q 100 b) Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử Trong vài trường hợp, chẳng hạn cho A tập hợp số ngun dương, việc liệt kê phần tử trở nên khó khăn Khi thay liệt kê phần tử ta tính chất đặc trưng phần tử A = { x x số ngun dương } Ví dụ 4: Tập hợp B nghiệm phương trình x − x + = viết theo tính chất đặc trưng { } B = x ∈ » x − x + =   Tập hợp B viết theo cách liệt kê phần tử là: B = 1, Bộ mơn Tóan- Thống kê 3  2 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ví dụ 5: Cho tập hợp C = {−15, − 10, − 5, 0, 5, 10, 15} Viết tập C cách rõ tính chất đặc trưng cho phần tử { } Ví dụ 6: Xét tập hợp D = n ∈ » ≤ n ≤ 20 Hãy viết tập D cách liệt kê phần tử Tập hợp rỗng • Tập hợp khơng chứa phần tử tập hợp rỗng, kí hiệu ∅ { } Ví dụ 7: Cho E = x ∈ » x + x + = E = ∅ phương trình x + x + = vơ nghiệm II Tập hợp 1) Định nghĩa: Tập A gọi tập tập B kí hiệu A ⊂ B , phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B Hay; A ⊂ B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) A B Thay cho A ⊂ B , ta viết B ⊃ A (đọc B chứa A ) Nếu A khơng phải tập B , ta viết A ⊄ B 2) Tính chất: Từ định nghĩa ta suy a) A ⊂ A , với tập hợp A A b) Nếu A ⊂ B, B ⊂ C A ⊂ C B C c) ∅ ⊂ A , với tập hợp A { } ▲ Câu hỏi: Cho A = x ∈ » − ≤ x ≤ Hãy cho biết: ◘ Các tập A có chứa phần tử ◘ Các tập A khơng chứa 0, ◘ Hãy cho tập hợp C thoả C ⊄ A {−1, 2, 3} ⊂ C III Tập hợp Khi A ⊂ B B ⊂ A ta nói tập hợp A tập hợp B viết A = B Như A = B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) { B = {n ∈ » n bội 12} Ví dụ 8: Xét hai tập hợp A = n ∈ » n bội 6} 1) Hãy kiểm tra kết luận sau: a) A ⊂ B Bộ mơn Tóan- Thống kê b) B ⊂ A Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 2) A có B khơng? IV Các phép tốn tập hợp Giao hai tập hợp Cho hai tập hợp A B Giao A B , kí hiệu A ∩ B tập hợp phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Tức B x ∈ A x∈ A∩ B ⇔  x ∈ B A C Ví dụ 1: Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} { C = { x ∈ » x } B = x ∈ » − ≤ x ≤ } − 3x = a) Liệt kê phần tử tập hợp B C b) Tìm A ∩ B, B ∩ C A ∩ C Hợp hai tập hợp Cho hai tập hợp A B , hợp hai tập hợp A B , kí hiệu A ∪ B tập hợp phần tử thuộc A thuộc B Tức A x ∈ A x∈ A∪ B ⇔  x ∈ B B Ví dụ 2: Với tập hợp A, B C ví dụ ◘ A ∪ B = { } ◘ B ∪ C = { .} ◘ ( A ∩ B ) ∪ C = { } Hiệu phần bù hai tập hợp Cho hai tập hợp A B Hiệu hai tập hợp A B , kí hiệu A \ B tập hợp phần tử A thuộc A khơng thuộc B Tức là: B x ∈ A x∈ A\ B ⇔  x ∉ B Bộ mơn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Đặc biệt: Khi B ⊂ A phần hiệu A \ B gọi phần bù B A Kí hiệu C A B Ví dụ 3: Cho A tập hợp học sinh lớp 10 học trường em B tập hợp học sinh học mơn Tiếng Anh trường em Hãy diễn đạt lời tập hợp sau a) A ∩ B c) A \ B b) A ∪ B d) B \ A Một số tập tập hợp số thực Trong chương sau, ta thường sử dụng tập sau tập số thực » Tên gọi kí hiệu Tập hợp Tập số thực ( −∞; + ∞ ) » Đoạn [ a; b] Biểu diễn trục số {x ∈ » a ≤ x ≤ b} Khoảng ( a; b ) Nửa khoảng [ a; b ) Nửa khoảng ( a; b ] Nửa khoảng ( −∞; a ] Nửa khoảng [ a; + ∞ ) Khoảng ( −∞; a ) Khoảng ( a; + ∞ ) Trong kí hiệu trên, kí hiệu −∞ đọc âm cực, kí hiệu +∞ đọc dương vơ cực; a b gọi đầu mút đoạn, khoảng hay nửa khoảng Bài tập a) Cho A = { x ∈ » x < 20 x chia hết cho 3} Hãy liệt kê phần tử tập hợp A b) Cho tập hợp B = {2, 6, 12, 20, 30} Xác định B cách tính chất đặc trưng cho phần tử c) Hãy liệt kê phần tử tập hợp học sinh lớp em cao 1m60 Trong hai tập hợp A B đây, tập hợp tập hợp tập hợp lại? Hai tập hợp A B có khơng? a) A tập hợp hình vng Bộ mơn Tóan- Thống kê B tập hợp hình thoi Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com b) A = { n ∈ » n ước chung 24 30} B = { n ∈ » n ước 6} Tìm tất tập tập hợp sau a) A = {a, b} b) B = {0, 1, 2} Liệt kê phần tử tập hợp sau: { } { c) C =  x x = 1 , n ∈ », x ≥  n 8 a) A = n ∈ » 2n + < 16  } b) B = n ∈ » n < 16 { { } d) D = x ∈ » x ( x + 1) ( x − ) = } { e) E = x ∈ » x = 2k , k ∈ », k ≤ } f) F = x ∈ » x − =   x − x + 10 =    x − x =  { } h) H =  x ∈ »  { } j) L = x ∈ » x (1 − x ) ( x − ) = g) G = x ∈ » x > x  { i) K = x ∈ » x < } Xác định tập hợp sau phương pháp nêu tính chất đặc trưng: a) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} 4 c) C =  , b) B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36} 1 1 , , ,  16 32 64  d) D = {0, 3, 6, 9, 12, 15} Tập hợp A có tập con, nếu: a) A có phần tử b) A có phần tử c) A có phần tử Cho A = ∅; B = {a} ; C = {a, b} ; D = {a, b, c} Hãy viết tất tập hợp A, B, C, D Cho hai tập hợp: { } B = {6l + 4 l ∈ »} A = 3k + 1 k ∈ » Chứng tỏ B ⊂ A Cho tập hợp A , xác định A ∩ A, A ∪ A, A ∩ ∅, A ∪ ∅, C A A, C A∅ 10 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Bộ mơn Tóan- Thống kê B = {2, 4, 6} C = {1, 3, 5} Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Tìm A ∪ B, A ∩ B, ( A ∪ B ) ∩ C , ( A ∩ B ) ∪ C , A \ B, ( B \ C ) ∩ A 11 Cho A = {0 ; 2; 4; 6; 8; 10} , B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} C = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Hãy tìm a) A ∩ ( B ∩ C ) b) A ∪ ( B ∪ C ) d) ( A ∪ B ) ∩ C e) ( A ∩ B ) ∪ C c) A ∩ ( B ∪ C ) 12 Cho tập hợp A số tự nhiên ước 18, tập hợp B số tự nhiên ước 30 Xác định tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A { } A = x ∈ » x ≤ 13 Cho { } B = x ∈ » < x < a) Liệt kê phần tử A, B b) Tìm tất tập B c) Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A 14 Tìm tất tập X cho {1, 2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} { } 15 Cho E = x ∈ »1 ≤ x ≤ 10 tập E: { } A = x ∈ »1 < x < , B = {1, 3, 5, 7, 9} a) Viết tập E, A cách liệt kê phần tử b) Tìm phần bù E A B c) Tính số tập có phần tử phần tử E 16 Cho: { } A = x ∈ » ( x − 3) ( x + x − ) = { } { } B = x ∈ » x < C = x ∈ » x ≤ a) Liệt kê phần tử A, B, C b) Xác định B \ ( A ∩ C ) ; ( B ∪ C ) \ A; ( A \ B ) ∩ ( B \ A ) c) So sánh B \ ( A ∪ C ) ( B \ A ) ∩ ( B \ C ) Bộ mơn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com HÀM SỐ I Khái niệm hàm số Trong giáo trình xét trường hợp đặc biệt hàm số hàm số thực Ánh xạ Giả sử X, Y hai tập hợp tùy ý khác rỗng cho trước Một phép liên kết f tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử y = f ( x ) ∈ Y gọi ánh xạ từ X vào Y Kí hiệu: f :X→ Y x → y = f (x) Khi đó: X gọi tập hợp nguồn ( tập xác định) Y gọi tập hợp đích ( tập giá trị) Người ta thường kí hiệu tập xác định Df, tập giá trị Rf Ví dụ 1: a) Giả sử X ={1, 2} Y={a, b, c} Tương ứng → a, → b cho ta ánh xạ f :X→ Y b) Giả sử Z={1, 2, 3, 4} T={a, b, c} Tương ứng → a,2 → b,3 → c, → a cho ta ánh xạ f : Z → T c) Giả sử Z ={1, 2, 3, 4} T={a, b, c} Tương ứng → a,1 → b,3 → c, → a khơng phải ánh xạ Định nghĩa hàm số Ánh xạ f cho với giá trị x ∈ D f có giá trị tương ứng y ∈ » ta có hàm số thực Kí hiệu: f :X→ » x → y = f (x) • Ta gọi x biến số y = f ( x ) hàm số x • Tập hợp D f gọi tập xác định hàm số Một hàm số cho dạng bảng, biểu đồ cơng thức Ghi chú: Khi cho hàm số cơng thức mà khơng rõ tập xác định ta có quy ước sau: Bộ mơn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Tập xác định hàm số y = f ( x ) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f ( x ) có nghĩa Ví dụ 2: Xét biểu thức sau, biểu thức hàm số? Hãy tìm tập xác định chúng a) c) f :X → » x → y = f (x) = x + f :X→ X x → y = f (x) = x f :X→ » b) d) x −1 x → y = f (x) = x −1 f :X → » x → y = f (x) = c f :X → » e) 2x + x → y = f (x) =   x x ≥ x0 f(x) đạt cực tiểu xo b) Nếu n chẵn fn(xo) [...]... kì của hàm số tuần hoàn Bộ môn Tóan- Thống kê 18 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ví dụ 16: Hàm sinx là hàm tuần hoàn với chu kì là 2π Nhưng hàm số f(x) =c là hàm tuần hoàn nhưng lại không có chu kì Bộ môn Tóan- Thống kê 19 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chương... arcsinx Bộ môn Tóan- Thống kê 15 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com π 2 −1 1 − π 2 5.2 Hàm số y= f(x)=arccosx Tập xác định của hàm số là D f = [-1,1], R f = [0,π] Đồ thị của hàm số y= arccosx π −1 5.3 Hàm số y=f(x)=arctg(x) π π Tập xác định của hàm số là D f = », R f = [ − , ] 2 2 Đồ thị của hàm số y=arctg(x) Bộ môn Tóan- Thống kê 16 Khoa... Hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán số học( cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấy hàm hợp của các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số, hàm ngược Ví dụ 14: a) Bộ môn Tóan- Thống kê 11 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com π y = 3x + x 2 − 4; y = cos2x + sin(3x- ) + 5 4 y = 3 x − lg(2x... 2x x 3 Hàm số logarit y = f (x) = log a x,a > 0,a ≠ 1 Tập xác định của hàm số logarit là D f = ( 0, +∞ ) Đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm (1,0) Bộ môn Tóan- Thống kê 13 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com y = log 2 x y = log1/ 2 x 4 Hàm số lượng giác y = f (x) = s inx, cosx,tgx,cotgx Tập xác định của hàm số y=sinx, y= cosx là D f... cosx y = sin x π 2 − − π 2 π 2 π 2 π   Tập xác định của hàm số y= tgx là D f = » \ (2k + 1) , k ∈ »  , R f = » 2   Đồ thị của hàm số y= tgx Bộ môn Tóan- Thống kê 14 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com y = tgx − π 2 π 2 Tập xác định của hàm số y= cotgx là D f = » \ {kπ,k ∈ »}, R f = » Đồ thị của hàm số y=cotgx − π 2 y = cotgx π... tổng số tiền kiếm được khi bán sản phẩm nên TR = P.Q V ậy TR là một hàm số hợp Thay P = 80 − 0, 2Q , ta có TR = ( 80 − 0, 2.Q ) Q = 80Q − 0, 2Q 2 Bộ môn Tóan- Thống kê 10 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ví dụ 9: Cho hàm số F(x) = cos 2 (x + 9) Tìm các hàm số f(x), g(x) và h(x) sao cho F=f g h 3 Hàm ngược Hàm số ngược của một hàm... ) Giải: ∀x1 , x2 ∈ » và x1 ≠ x2 , ta có: 2 2 f ( x1 ) − f ( x2 ) −3 x1 + 6 x1 + 8 − ( −3 x2 + 6 x2 + 8 ) = = −3 ( x1 + x2 ) + 6 x1 − x2 x1 − x2 Bộ môn Tóan- Thống kê 17 (1) Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com  x1 < −2 ⇒ x1 + x2 < −2 − 2 = −4  x2 < −2 o Trên ( −10; − 2 ) , ta có  ⇒ −3 ( x1 + x2 ) > 12 Từ (1), trên khoảng đã cho f... α nguyên âm: tập xác định D f = » \ {0} … Đồ thị của hàm số y = x α luôn đi qua điểm (1,1) và qua O(0,0) nếu α > 0 , không đi qua O(0,0) nếu α > 0 Bộ môn Tóan- Thống kê 12 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com y = x2 y=x y = x1/ 2 y = x −1 2 Hàm số mũ y = f (x) = a x ,a > 0,a ≠ 1 Tập xác định của hàm số là D f = », R f = ( 0, +∞ ) Đồ thị... a) là dãy số giảm, nó bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1; Dãy b) không phải là dãy số đơn điệu, nó bị chặn dưới bởi -1 và bị chặn trên bởi 1; Bộ môn Tóan- Thống kê 1 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Dãy c) là dãy tăng, nó bị chặn dưới bởi 1 nhưng không bị chặn trên, do đó nó không bị chặn; Dãy d) là dãy số tăng, nó bị chặn dưới... bội khi đó là 1  a n−1 a r =  n  , r = n−1 n trong đó n là số nguyên thỏa mãn n ≥ 1  a  a 2.2.3 Tổng Tổng các phần tử của cấp số nhân : Bộ môn Tóan- Thống kê 2 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com n Sn = ∑ ar k = ar 0 + ar1 + ar 2 + + ar n k =0 a(1− r n+1 ) 1− r 2.3 Dãy Fibonacci Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên ... B C ) Bộ mơn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com HÀM SỐ I Khái niệm hàm số Trong giáo trình xét trường hợp... B Bộ mơn Tóan- Thống kê b) B ⊂ A Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 2) A có B khơng? IV Các phép tốn tập hợp Giao hai tập hợp... Tập hợp B viết theo cách liệt kê phần tử là: B = 1, Bộ mơn Tóan- Thống kê 3  2 Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp. HCM Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ví dụ 5: