Giáo trình xác suất thống kê

Chu’ ong ’ ˜’ ’ VE ´ NIE ˆ M CO’ BAN ˆ` XAC ´ SUAT ˆ´ NHUNG KHAI ’ TUC ’ HO’ P ’ T´ICH TO ˆ ´ VE ˆ` GIAI ˆ BO 1.1 ˘´c nhˆ Qui ta an Gia’ su’’ mˆo.t cˆong viˆe.c n`ao d¯o´ d¯u’o.’c chia th`anh k giai d¯oa.n C´o n1 c´ach thu.’c hiˆe.n giai d¯oa.n thu´’ nhˆa´t, n2 c´ach thu.’c hiˆe.n giai d¯oa.n thu´’ hai, ,nk c´ach thu.’c hiˆe.n giai d¯oa.n thu´’ k Khi d¯o´ ta c´o n = n1 n2 nk c´ach thu.’c hiˆe.n cˆong viˆe.c `’ kh´ac ’ d¯i qua d¯iˆe’m B C´o d¯u’ong • V´ı du Gia’ su’’ d¯ˆe’ d¯i tu`’ A d¯ˆe´n C ta ba˘´t buˆo.c phai ’ ’ `’ kh´ac d¯ˆe d¯i tu`’ B d¯ˆe´n C Vˆa.y c´o n = 3.2 c´ d¯ˆe d¯i tu`’ A d¯ˆe´n B v`a c´o d¯u’ong ach ’ ´ ` kh´ ac d¯ˆe d¯i tu’ A d¯ˆen C A 1.2 B C ’ Chinh ho.’p ’ ho.’p chˆa.p k cua ’ n phˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a Chinh a`n tu’’ (k ≤ n) l` a mˆo.t nh´om (bˆo.) c´o thu´’ tu.’ gˆ o`m k phˆa`n tu’’ kh´ac cho.n tu`’ n phˆ a`n tu’’ d¯a˜ cho ’ ho.’p chˆ ’ n phˆ Sˆ o´ chinh a.p k cua a`n tu’’ k´ı hiˆe.u l` a Akn ´’ t´ınh: Cˆ ong thuc Akn = n! = n(n − 1) (n − k + 1) (n − k)! `’ tham du.’ Hoi ’ c´o mˆ • V´ı du Mˆo.t buoˆ’i ho.p gˆo`m 12 ngu’oi a´y c´ach cho.n mˆo.t chu’ to.a v` a mˆo.t thu’ k´y? ’ Giai `’ 12 ngu’oi `’ tham du.’ buˆo’i ho.p l`a mˆo.t Mˆo˜i c´ach cho.n mˆo.t chu’ to.a v`a mˆo.t thu’ k´ y tu ’’ ’ ho.’p chˆa.p k cua ’ 12 phˆa`n tu chinh ˜’ ’ vˆ Chu’ong ’ Nhung kh´ niˆ e.m co’ ban e` x´ ac suˆ a´t Do d¯´o sˆo´ c´ach cho.n l`a A212 = 12.11 = 132 ´’ c´ac chu˜’ sˆo´ 0,1,2,3,4,5 c´o thˆe’ lˆa.p d¯u’o.’c bao nhiˆeu sˆ • V´ı du Voi o´ kh´ac gˆ o`m chu˜’ sˆ o´ ’ Giai ’ l`a sˆo´ gˆo`m chu˜’ sˆo´ C´ac sˆo´ ba˘´t d¯ˆa`u ba˘`ng chu˜’ sˆo´ (0123, 0234, ) khˆong phai ’ cho.n c´ac chu˜’ sˆo´ 1,2,3,4,5 Do d¯o´ c´o c´ach cho.n chu˜’ sˆo´ Chu˜’ sˆo´ d¯ˆa`u tiˆen phai d¯ˆa`u tiˆen Ba chu˜’ sˆo´ kˆe´ tiˆe´p c´o thˆe’ cho.n t` uy y ´ chu˜’ sˆo´ c`on la.i C´o A35 c´ach cho.n Vˆa.y sˆo´ c´ach cho.n l`a 5.A35 = 5.(5.4.3) = 300 1.3 ’ Chinh ho.’p l˘ a.p ’ ho.’p l˘ ’ n phˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a Chinh a.p chˆa.p k cua a`n tu’’ l`a mˆo.t nh´om c´o thu´’ tu.’ gˆ o`m k ’ o mˆ o˜i phˆ a`n tu’’ c´o thˆe c´o m˘ a.t 1,2, ,k lˆ a`n phˆ a`n tu’’ cho.n tu`’ n phˆa`n tu’’ d¯a˜ cho, d¯´ nh´ om ’ ho.’p l˘ ’ n phˆ Sˆ o´ chinh a.p ch˘ a.p k cua a`n tu’’ d¯u’o.’c k´ı hiˆe.u Bnk ´’ t´ınh Cˆ ong thuc Bnk = nk ’ c´ • V´ı du Xˆe´p cuˆo´n s´ach v`ao ng˘ an Hoi o bao nhiˆeu c´ach xˆe´p ? ’ Giai ’ ho.’p l˘ ’ (Mˆo˜i lˆa`n Mˆo˜i c´ach xˆe´p cuˆo´n s´ach v`ao ng˘ an l`a mˆo.t chinh a.p chˆa.p cua xˆe´p cuˆo´n s´ach v`ao ng˘ an xem nhu’ cho.n ng˘ an ng˘ an Do c´o cuˆo´n s´ach nˆen ´ ` viˆe.c cho.n ng˘ an d¯u’o.’c tiˆen h`anh lˆan) Vˆa.y sˆo´ c´ach xˆe´p l`a B35 = 35 = 243 1.4 Ho´ an vi ’ m phˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a Ho´an vi cua a`n tu’’ l`a mˆo.t nh´om c´o thu´’ tu.’ gˆ o`m d¯u’ m˘ a.t m phˆ a`n ’ tu’ d¯a˜ cho ’ m phˆa`n tu’’ d¯u’o.’c k´ı hiˆe.u l` Sˆ o´ ho´an vi cua a Pm ´’ t´ınh Cˆ ong thuc Pm = m! ’ c´ • V´ı du Mˆo.t b`an c´o ho.c sinh Hoi o mˆ a´y c´ach xˆe´p chˆ o˜ ngˆ o`i ? ’ Giai ’’ Do d¯´o sˆo´ ’ ho.c sinh o’’ mˆo.t b`an l`a mˆo.t ho´an vi cua ’ phˆa`n tu Mˆo˜i c´ach xˆe´p chˆo˜ cua c´ach xˆe´p l`a P4 = 4! = 24 ’ t´ıch tˆ Bˆ o’ t´ uc vˆ e` giai o’ hop ’ 1.5 Tˆ o’ ho.’p ’ n phˆ ✷ ¯Di.nh nghi˜a Tˆo’ ho.’p chˆa.p k cua a`n tu’’ (k ≤ n) l` a mˆo.t nh´om khˆong phˆan biˆe.t ´ ’ ’ ` ` ` ` thu’ tu.’, gˆom k phˆan tu’ kh´ac cho.n tu’ n phˆ an tu’ d¯a˜ cho ’ ´ ’ ` ’ n phˆan tu’ k´ı hiˆe.u l`a Cnk Sˆ o tˆo ho.’p chˆa.p k cua ´’ t´ınh Cˆ ong thuc Cnk = n! n(n − 1) (n − k + 1) = k!(n − k)! k! Ch´ uy ´ ´’ 0! = i) Qui u’oc k ii) Cn = Cnn−k k−1 k iii) Cnk = Cn−1 + Cn−1 ´’ Hoi ’ lˆ ’ cho tru’oc ’ c´o thˆe’ lˆa.p • V´ı du Mˆo˜i d¯ˆe` thi gˆo`m cˆau hoi a´y 25 cˆau hoi nˆen bao nhiˆeu d¯ˆe` thi kh´ac ? Sˆo´ d¯ˆe`thi c´o thˆe’ lˆa.p nˆen l`a C25 ’ Giai 25! 25.24.23 = = = 2.300 3!.(22)! 1.2.3 `’ d¯iˆe’m bˆ • V´ı du Mˆo.t m´ay t´ınh c´o 16 cˆ o’ng Gia’ su’’ ta.i mˆ o˜i thoi a´t k`y mˆ o˜i cˆ o’ng ho˘ a.c su’’ du.ng ho˘ a.c khˆong su’’ du.ng nhung o.ng ho˘ a.c khˆong thˆe’ hoa.t ’ c´o thˆe’ hoa.t d¯ˆ ’ ´ ’ c´o bao nhiˆeu cˆau h`ınh (c´ach cho.n) d¯´ d¯ˆ o.ng Hoi o 10 cˆ ong su’’ du.ng, khˆong su’’ du.ng nhung o.ng v` a khˆ ong hoa.t d¯ˆ o.ng? ’ c´o thˆe’ hoa.t d¯ˆ ’ Giai ’ ´’ ¯Dˆe x´ac d¯.inh sˆo´ c´ach cho.n ta qua bu’oc: 10 ´’ 1: Cho.n 10 cˆo’ng su’’ du.ng: c´o C16 Bu’ oc = 8008 c´ach ´’ 2: Cho.n cˆo’ng khˆong su’’ du.ng nhung Bu’ oc ’ c´o thˆe’ hoa.t d¯oˆ ng cˆo’ng c`on la.i: c´o C64 = 15 c´ach ´’ 3: Cho.n cˆo’ng khˆong thˆe’ hoa.t d¯ˆo.ng: c´o C22 = c´ach Bu’ oc 10 C64 C22 = (8008).(15).(1) = 120.120 c´ach Theo qui ta˘´c nhˆan, ta c´o C16 1.6 ´’ Newton Nhi thuc ´’ d¯´ang nho´’ O’’ phˆo’ thˆong ta d¯a˜ biˆe´t c´ac ha˘`ng d¯a˘’ ng thuc a + b = a + b1 (a + b)2 = a2 + 2a1 b1 + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + b3 ´’ trˆen c´o thˆe’ x´ac d¯.inh tu `’ tam gi´ac Pascal C´ac hˆe sˆo´ c´ac ha˘`ng d¯a˘’ ng thuc ˜’ ’ vˆ Chu’ong ’ Nhung kh´ niˆ e.m co’ ban e` x´ ac suˆ a´t 1 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 Cnn−1 Cnn ´’ minh d¯u’o.’c cˆong thuc ´’ tˆo’ng qu´at sau (Nhi thuc ´’ Newton): Newton d¯a˜ chung n Cnk an−k bk (a + b)n = k=o = Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + + Cnk an−k bk + + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn (a,b l`a c´ac sˆo´ thu.’c; n l`a sˆo´ tu.’ nhiˆen) ˆ´ CO ˆ´ VA ` QUAN HE ˆ GIUA ´ BIEN ˆ´ CO ˆ´ ˜’ CAC BIEN 2.1 ’’ v` Ph´ ep thu a biˆ e´n cˆ o´ ’ d¯ˆe’ quan s´at mˆo.t hiˆe.n tu’o.’ng n`ao d¯o´ Viˆe.c thu.’c hiˆe.n mˆo.t nh´om c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n co’ ban ’’ C´ac kˆe´t qua’ c´o thˆe’ xay ’ cua ’ ph´ep thu’’ d¯u’o.’c go.i l`a biˆe´n cˆo´ (su.’ d¯u’o.’c go.i mˆo.t ph´ep thu kiˆe.n) • V´ı du ’’ ¯Dˆ ’’ l`a mˆo.t i) Tung d¯ˆo`ng tiˆe`n lˆen l`a mˆo.t ph´ep thu o`ng tiˆe`n lˆa.t m˘ a.t n`ao d¯´ o (xˆ a´p, ngua) biˆe´n cˆ o´ ’’ Viˆe.c viˆen d¯a.n tr´ ii) Ba˘´n mˆo.t ph´at s´ ung v`ao mˆo.t c´ai bia l`a mˆo.t ph´ep thu ung (trˆa.t) ´ ´ bia l` a mˆ o.t biˆen cˆo 2.2 ˜’ c´ C´ ac biˆ e´n cˆ o´ v` a quan hˆ e giua ac biˆ e´n cˆ o´ i) Quan hˆ e k´ eo theo ’ th`ı B xay ’ Biˆe´n cˆo´ A d¯u’o.’c go.i l`a k´eo theo biˆe´n cˆo´ B, k´ı hiˆe.u A ⊂ B, nˆe´u A xay ii) Quan hˆ e tu’ ong d ¯u’ ong ’ ’ ´’ nˆe´u A ⊂ B v`a B ⊂ A, k´ı hiˆe.u Hai biˆe´n cˆo´ A v`a B d¯u’o.’c go.i l`a tu’ong ’ d¯u’ong ’ voi A = B iii) Biˆ e´n cˆ o´ so’ cˆ a´p ˜’ d¯u’o.’c nua Biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p l`a biˆe´n cˆo´ khˆong thˆe’ phˆan t´ıch d¯u’o.’c nua ’ ˘´c cha ˘´n iv) Biˆ e´n cˆ o´ cha ’’ K´ı hiˆe.u Ω ’ thu.’c hiˆe.n ph´ep thu L`a biˆe´n cˆo´ nhˆa´t d¯.inh s˜ e xay ˜’ c´ Biˆ e´n cˆ o´ v` a quan hˆ e giua ac biˆ e´n cˆ o´ • V´ı du Tung mˆo.t x´ uc xa˘´c Biˆe´n cˆ o´ m˘ a.t x´ uc xa˘´c c´o sˆ o´ chˆ a´m b´e hon ’ l`a ´ ´ ´ ´ biˆen coˆ cha˘c cha˘n v) Biˆ e´n cˆ o´ khˆ ong thˆ e’ ’’ K´ı hiˆe.u ∅ ’ thu.’c hiˆe.n ph´ep thu L`a biˆe´n cˆo´ nhˆa´t d¯.inh khˆong xay ⊕ Nhˆ a.n x´ et Biˆe´n cˆo´ khˆong thˆe’ ∅ khˆong bao h`am mˆo.t biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p n`ao, nghi˜a l`a khˆong c´o biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p n`ao thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆo´ khˆong thˆe’ vi) Biˆ e´n cˆ o´ ngˆ a˜u nhiˆ en ’’ Ph´ep thu’’ m`a ’ ho˘ ’ thu.’c hiˆe.n ph´ep thu L`a biˆe´n cˆo´ c´o thˆe’ xay a.c khˆong xay ’ n´o l`a c´ac biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen d¯u’o.’c go.i l`a ph´ep thu’’ ngˆa˜u nhiˆen c´ac kˆe´t qua’ cua vii) Biˆ e´n cˆ o´ tˆ o’ng ’ hai biˆe´n cˆo´ A v`a B, k´ı hiˆe.u C = A + B, nˆe´u C xay ’ Biˆe´n cˆo´ C d¯u’o.’c go.i l`a tˆo’ng cua ’ ra v`a chi’ ´ıt nhˆa´t mˆo.t hai biˆe´n cˆo´ A v`a B xay `’ tho.’ s˘ `’ • V´ı du 10 Hai ngu’oi an c` ung ba˘´n v`ao mˆo.t th´ u Nˆe´u go.i A l`a biˆe´n cˆ o´ ngu’oi ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ `’ thu’ hai ba˘n tr´ ung th´ u th`ı C = A+B ung th´ u v`a B l`a biˆen cˆ o ngu’oi thu’ nhaˆt ba˘n tr´ ´ ´ ´ ˘ l` a biˆen cˆo th´ u bi ban tr´ ung Ch´ uy ´ ´’ da.ng tˆo’ng cua ’ mˆo.t sˆo´ biˆe´n cˆo´ i) Mo.i biˆe´n cˆo´ ngˆa˜u nhiˆen A d¯ˆe`u biˆe’u diˆe˜n d¯u’o.’c du’oi so’ cˆa´p n`ao d¯o´ C´ac biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p tˆo’ng n`ay d¯u’o.’c go.i l`a c´ ac biˆe´n cˆ o´ thuˆa.n lo.’i cho biˆe´n cˆo´ A ’ mo.i biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p c´o thˆe’, nghi˜a l`a mo.i biˆe´n cˆo´ ii) Biˆe´n cˆo´ cha˘´c cha˘´n Ω l`a tˆo’ng cua so’ cˆa´p d¯ˆe`u thuˆa.n lo.’i cho Ω Do d¯o´ Ω c`on d¯u’o.’c go.i l`a khˆ ong gian c´ ac biˆe´n cˆ o´ so’ cˆa´p • V´ı du 11 Tung mˆo.t x´ uc xa˘´c Ta c´o biˆe´n cˆ o´ so’ cˆ a´p A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , ´ ´ ´ a.t j chˆ am j = 1, 2, , d¯´ o Aj l`a biˆen cˆo xu´at hiˆe.n m˘ ´’ sˆ Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘ a.t voi o´ chˆ a´m cha˘˜n th`ı A c´o biˆe´n cˆ o´ thuˆa.n lo.’i l`a A2 , A , A Ta c´o A = A2 + A4 + A6 ´’ sˆ Go.i B l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘ a.t voi o´ chˆ a´m chia hˆe´t cho th`ı B c´o biˆe´n cˆ o´ thuˆa.n lo.’i l` a A3 , A6 Ta c´o B = A3 + A6 viii) Biˆ e´n cˆ o´ t´ıch ’ hai biˆe´n cˆo´ A v`a B, k´ı hiˆe.u AB, nˆe´u C xay ’ v`a Biˆe´n cˆo´ C d¯u’o.’c go.i l`a t´ıch cua ’ chi’ ca’ A lˆa˜n B c` ung xay ˜’ ’ vˆ Chu’ong ’ Nhung kh´ niˆ e.m co’ ban e` x´ ac suˆ a´t `’ c` • V´ı du 12 Hai ngu’oi ung ba˘´n v`ao mˆ o.t th´ u `’ thu´’ hai ba˘´n tru’o.’t th`ı `’ thu´’ nhˆa´t ba˘´n tru’o.’t, B l`a biˆe´n cˆ o´ ngu’oi Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ngu’oi C = AB l` a biˆe´n cˆo´ th´ u khˆong bi ba˘´n tr´ ung ix) Biˆ e´n cˆ o´ hiˆ e.u ’ biˆe´n cˆo´ A v`a biˆe´n cˆo´ B, k´ı hiˆe.u A \ B l`a biˆe´n cˆo´ xay ’ v`a chi’ A Hiˆe.u cua ’ nhung ’ xay ’ B khˆong xay ˘´c x) Biˆ e´n cˆ o´ xung kha `’ Hai biˆe´n cˆo´ A v`a B d¯u’o.’c go.i l`a hai biˆe´n cˆo´ xung kha˘´c nˆe´u ch´ ung khˆong d¯ˆo`ng thoi ’ ’ mˆo.t ph´ep thu xay ’ • V´ı du 13 Tung mˆo.t d¯ˆo`ng tiˆe`n ’’ th`ı AB = ∅ Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘ a.t xˆa´p, B l` a biˆe´n cˆ o´ xuˆ a´t hiˆe.n m˘ a.t ngua xi) Biˆ e´n cˆ o´ d ¯ˆ o´i lˆ a.p ´’ biˆe´n cˆo´ A K´ı hiˆe.u A ’ biˆe´n cˆo´ A d¯u’o.’c go.i l`a biˆe´n cˆo´ d¯ˆo´i lˆa.p voi Biˆe´n cˆo´ khˆong xay Ta c´o A + A = Ω, AA = ∅ ⊕ Nhˆ a.n x´ et ´’ ´’ voi Qua c´ac kh´ai niˆe.m trˆen ta thˆa´y c´ac biˆe´n cˆo´ tˆo’ng, t´ıch, hiˆe.u, d¯ˆo´i lˆa.p tu’ong ’ ung ’ l´ tˆa.p ho.’p, giao, hiˆe.u, phˆa`n b` u cua y thuyˆe´t tˆa.p ho.’p Do d¯´o ta c´o thˆe’ su’’ du.ng c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac tˆa.p ho.’p cho c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac biˆe´n cˆo´ Ta c´o thˆe’ d` ung biˆe’u d¯ˆo` Venn d¯ˆe’ miˆeu ta’ c´ac biˆe´n cˆo´ Ω Ω Bc cha˘´c cha˘´n Ω Ω Ω Ω A B A=⇒B AB A+B A B A,B xung kha˘´c A A ¯Dˆo´i lˆa.p A X´ ac suˆ a´t ´ SUAT ˆ´ XAC 3.1 ac suˆ a´t theo lˆ o´i cˆ o’ d ¯iˆ e’n ¯Di.nh nghi˜a x´ ’ ra, d¯´ ✷ ¯Di.nh nghi˜a Gia’ su’’ ph´ep thu’’ c´o n biˆe´n cˆ o´ d¯ˆ o`ng kha’ n˘ ang c´o thˆe’ xay o ’ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ` ’ m biˆen cˆ c´ o m biˆen cˆo d¯ˆong kha’ n˘ ang thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆ o A (A l`a tˆ ong cua o so’ cˆ ap ´’ sau: ’ biˆe´n cˆ n` ay) Khi d¯´o x´ac suˆa´t cua o´ A, k´ı hiˆe.u P (A) d¯u’o.’c d¯.inh nghi˜a ba˘`ng cˆong thuc P (A) = `’ ho.’p thuˆ m Sˆ o´ tru’ong a.n lo.’i cho A = n `’ ho.’p c´ ’ Sˆ o´ tru’ong o thˆe’ xay • V´ı du 14 Gieo mˆo.t x´ uc xa˘´c cˆan d¯ˆ o´i, d¯ˆ o`ng chˆ a´t T´ınh x´ac suˆ a´t xuˆ a´t hiˆe.n m˘ a.t cha˘˜n ’ Giai Go.i Ai l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘ a.t i chˆa´m v`a A l`a biˆe´n cˆo´ xuˆa´t hiˆe.n m˘ a.t cha˘˜n th`ı A = A2 + A4 + A6 ’ d¯´o c´o Ta thˆa´y ph´ep thu’’ c´o biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p d¯ˆo`ng kha’ n˘ ang c´o thˆe’ xay biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A P (A) = = `’ go.i d¯iˆe.n thoa.i nhung ’ sˆ • V´ı du 15 Mˆo.t ngu’oi o´ cuˆ o´i cua o´ d¯iˆe.n thoa.i cˆ a`n ’ la.i quˆen sˆ ’ `’ d¯´ go.i m`a chi’ nho´’ l`a sˆo´ d¯´o kh´ac T`ım x´ac suˆ a´t d¯ˆe ngu’oi o quay ngˆ a˜u nhiˆen mˆo.t ´ ` ` lˆ an tr´ ung sˆo cˆan go.i ’ Giai `’ d¯´o quay ngˆa˜u nhiˆen mˆo.t lˆa`n tr´ Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ ngu’oi ung sˆo´ cˆa`n go.i ’ (sˆo´ c´ach go.i sˆo´ cuˆo´i) l`a n = A210 = 90 Sˆo´ biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p d¯ˆo`ng kha’ n˘ ang c´o thˆe’ xay Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A l`a m = Vˆa.y P (A) = 90 • V´ı du 16 Trong hˆo.p c´o bi tra˘´ng, bi d¯en T`ım x´ac suˆ a´t d¯ˆe’ lˆ a´y tu`’ hˆ o.p d¯u’o.’c i) viˆen bi d¯en ii) viˆen bi tra˘´ng ’ Giai `’ hˆo.p d¯u’o.’c viˆen bi d¯en v`a B l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y tu `’ hˆo.p Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ lˆa´y tu ´ viˆen bi tra˘ng Ta c´o ˜’ ’ vˆ Chu’ong ’ Nhung kh´ niˆ e.m co’ ban e` x´ ac suˆ a´t i) P (A) = C41 = C10 C62 ii) P (B) = = C10 • V´ı du 17 R´ ut ngˆa˜u nhiˆen tu`’ mˆo.t cˆ o˜ b`ai t´ u lo’ kho’ 52 l´a l´a T`ım x´ac suˆ a´t cho l´a r´ ut c´o a) l´a d¯o’ v`a l´a d¯en b) co, ’ rˆo, chuˆo`n ’ Giai Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ r´ ut d¯u’o.’c l´a d¯o’ v`a l´a d¯en ´ ´ B l`a biˆen cˆo r´ ut d¯u’o.’c co,’ rˆo, chuˆo`n ’ r´ Sˆo´ biˆe´n cˆo´ c´o thˆe’ xay ut l´a b`ai l`a C52 a) Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho A l`a C26 C26 P (A) = 845000 C26 C26 = = 0, 3251 C52 2598960 2 b) Sˆo´ biˆe´n cˆo´ thuˆa.n lo.’i cho B l`a C13 C13 C13 P (B) = 2 79092 C13 C13 C13 = = 0, 30432 C52 2598960 `’ T`ım x´ac suˆ • V´ı du 18 (B` to´ an ng` ay sinh) Mˆ o.t nh´om gˆ o`n n ngu’oi a´t d¯ˆe’ c´o ´ıt `’ c´o c` nhˆ a´t hai ngu’oi ung ng`ay sinh (c` ung ng` ay v` a c` ung th´ ang) ’ Giai `’ v`a E l`a biˆe´n cˆo´ c´o ´ıt ’ n ngu’oi Go.i S l`a tˆa.p ho.’p c´ac danh s´ach ng`ay sinh c´o thˆe’ cua `’ nh´om c´o c` nhˆa´t hai ngu’oi ung ng`ay sinh n˘ am `’ bˆa´t k` Ta c´o E l`a biˆe´n cˆo´ khˆong c´o hai ngu’oi y nh´om c´o c` ung ng`ay sinh `’ ho.’p cua ’ S l`a Sˆo´ c´ac tru’ong n(S) = 365.365 365 = 365n n `’ ho.’p thuˆa.n lo.’i cho E l`a Sˆo´ tru’ong n(E) = = = 365.364.363 [365 − (n − 1)] [365.364.363 (366 − n)](365 − n)! (365 − n)! 365! (365−n)! X´ ac suˆ a´t V`ı c´ac biˆen cˆo´ d¯ˆo`ng kha’ n˘ ang nˆen 365! n(E) 365! (365−n)! P (E) = = = n n n(S) 365 365 (365 − n)! `’ c´o c` Do d¯´o x´ac suˆa´t d¯ˆe’ ´ıt nhˆa´t c´o hai ngu’oi ung ng`ay sinh l`a P (E) = − P (E) = − `’ nh´ Sˆ o´ ngu’oi om n 10 15 20 23 30 40 50 60 70 365! (365−n)! 365n = 365! 365n (365 − n)! `’ c´ X´ ac suˆ a´t c´ o ´ıt nhˆ a´t ngu’oi o c` ung ng` ay sinh P (E) 0,027 0,117 0,253 0,411 0,507 0,706 0,891 0,970 0,994 0,999 ’ b` Bang to´ an ng` ay sinh Ch´ uy ´ ¯Di.nh nghi˜a x´ac suˆa´t theo lˆo´i cˆo’ d¯iˆe’n c´o mˆo.t sˆo´ ha.n chˆe´: ˜’ ha.n c´ac biˆe´n cˆo´ so’ cˆa´p i) N´o chi’ x´et cho hˆe huu ’ l´ ’ ii) Khˆong phai uc n`ao viˆe.c ”¯ dˆo`ng kha’ n˘ ang” c˜ ung xay 3.2 ac suˆ a´t theo lˆ o´i thˆ o´ng kˆ e ¯Di.nh nghi˜a x´ ✷ ¯Di.nh nghi˜a Thu.’c hiˆe.n ph´ep thu’’ n lˆ a`n Gia’ su’’ biˆe´n cˆ o´ A xuˆ a´t hiˆe.n m lˆ a`n Khi m ’ biˆe´n cˆ d¯´ o m d¯u’o.’c go.i l`a tˆa`n sˆo´ cua o´ A v`a ty’ sˆ o´ n d¯u’o.’c go.i l`a tˆ a`n suˆ a´t xuˆ a´t hiˆe.n biˆe´n ’’ cˆ o´ A loa.t ph´ep thu Cho sˆo´ ph´ep thu’’ t˘ ang lˆen vˆo ha.n, tˆ a`n suˆ a´t xuˆ a´t hiˆe.n biˆe´n cˆ o´ A dˆ a`n vˆe` mˆo.t sˆ o´ x´ac ’ biˆe´n cˆ d¯.inh go.i l`a x´ac suˆa´t cua o´ A P (A) = n→∞ lim m n • V´ı du 19 Mˆo.t xa thu’ ba˘´n 1000 viˆen d¯a.n v`ao bia C´o xˆ a´p xi’ 50 viˆen tr´ ung bia Khi 50 ’ ´ ´ ’ d¯´ o x´ac suˆat d¯ˆe xa thu ba˘n tr´ ung bia l`a 1000 = 5% ´’ kha’ n˘ `’ • V´ı du 20 ¯Dˆe’ nghiˆen cuu ang xuˆ a´t hiˆe.n m˘ a.t sˆ a´p tung mˆo.t d¯ˆ o`ng tiˆe`n, ngu’oi ´’ d¯ˆ ’ du’oi ta tiˆe´n h`anh tung d¯ˆo`ng tiˆe`n nhiˆe`u lˆ a`n v`a thu d¯u’o.’c kˆe´t qua’ cho o’’ bang ay: ˜’ ’ vˆ Chu’ong ’ Nhung kh´ niˆ e.m co’ ban e` x´ ac suˆ a´t 10 `’ l`am Sˆo´ lˆa`n Sˆo´ lˆa`n d¯u’o.’c Tˆa`n suˆa´t Ngu’oi th´ı nghiˆe.m tung m˘ a.t sˆa´p f (A) Buyffon 4040 2.048 0,5069 Pearson 12.000 6.019 0,5016 Pearson 24.000 12.012 0,5005 3.3 ac suˆ a´t theo quan d ¯iˆ e’m h`ınh ho.c ¯Di.nh nghi˜a x´ ✷ ¯Di.nh nghi˜a X´et mˆo.t ph´ep thu’’ c´o khˆong gian c´ac biˆe´n cˆ o´ so’ cˆ a´p Ω d¯u’o.’c biˆe’u diˆe˜n ’’ miˆe`n h`ınh ho.c Ω c´o d¯ˆo d¯o (¯ ˜’ ha.n kh´ac 0, biˆe´n cˆ boi dˆo d`ai, diˆe.n t´ıch, thˆe’ t´ıch) huu o´ A ’’ miˆe`n h`ınh ho.c A Khi d¯o´ x´ ’’ ’ biˆe´n cˆ d¯u’o.’c biˆe’u diˆe˜n boi ac suˆa´t cua o´ A d¯u’o.’c x´ ac d¯.inh boi: ’ miˆe`n A Dˆo d¯o cua P (A) = ¯ ’ miˆe`n Ω ¯Dˆo d¯o cua • V´ı du 21 Trˆen d¯oa.n tha˘’ ng OA ta gieo ngˆ a˜u nhiˆen hai d¯iˆe’m B v` a C c´ o to.a d¯ˆ o tu’ong ’ ´ ´ ’ ung at cho d¯ˆ o d` cua d¯oa.n BC b´e hon o ’ d¯ˆ ’ OB = x, OC = y (y ≥ x) T`ım x´ac suˆ ’ d¯oa.n OB d` cua ’ Giai ’ Gia’ su’’ OA = l C´ac to.a d¯ˆo x v`a y phai ’ m˜ thoa an c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n: ≤ x ≤ l, ≤ y ≤ l, y≥x y I Q (*) Biˆe’u diˆe˜n x v`a y lˆen hˆe tru.c to.a d¯oˆ vuˆong ’ m˜ g´oc C´ac d¯iˆe’m c´o to.a d¯oˆ thoa an (*) thuˆo.c ’ tam gi´ac OM Q (c´o thˆe xem nhu’ biˆe´n cˆo´ cha˘´c cha˘´n) M y=2x O x ˜’ d¯iˆe’m ’ c´o y − x < x hay y < 2x (**) Nhung M˘ a.t kh´ac, theo yˆeu cˆa`u b`ai to´an ta phai ´ ´ ’ m˜ c´o to.a d¯oˆ thoa an (*) v`a (**) thuˆo.c miˆe`n c´o ga.ch Miˆe`n thuˆa.n lo.’i cho biˆen cˆo cˆa`n t`ım l`a tam gi´ac OM I Vˆa.y x´ac suˆa´t cˆa`n t´ınh p= diˆe.n t´ıch OM I = diˆe.n t´ıch OM Q `’ g˘ • V´ı du 22 (B` to´ an hai ngu’oi a p nhau) `’ he.n g˘ `’ ’ tu`’ 19 gio`’ d¯ˆe´n 20 gio Hai ngu’oi a.p o’’ mˆo.t d¯.ia d¯ıˆe’m x´ac d¯.inh v`ao khoang `’ d¯ˆe´n (cha˘´c cha˘´n s˜ `’ gian trˆen mˆo.t c´ach d¯ˆ ’ thoi Mˆ o˜i ngu’oi e d¯ˆe´n) d¯iˆe’m he.n khoang o.c ´ ´ ´ ´ `’ d¯ˆen s˜ lˆ a.p voi ut, nˆeu khˆong thˆ ay ngu’oi e bo’ d¯i T`ım x´ac suˆ a´t ’ nhau, cho`’ 20 ph´ `’ g˘ d¯ˆe’ hai ngu’oi a.p 112 Chu’ong ’ ´ thu ˆ e´t tu’ong quan v` a h` am hˆ o`i qui ’ `’ k´ınh (cm) v`a Trong d¯o´ X l`a d¯u’ong l`a chiˆe`u cao (m) a) X´ac d¯.inh hˆe sˆo´ tu’ong ’ quan tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u b) T`ım c´ac phu’ong ’ tr`ınh hˆo`i qui tuyˆe´n t´ınh mˆa˜u c) C´ac phu’ong e thay d¯ˆo’i nhu’ thˆe´ n`ao nˆe´u X d¯u’o.’c t´ınh theo d¯on ’ tr`ınh trˆen s˜ ’ vi l`a m´et (m) `’ BAI ` TA ˆ P • TRA’ LOI ✷ x = 14, y = 39, y = 83 x + 53 = −0, 3096 y = 0, 67x + 7, 18, σ = 1, 126, (0, 6280 ; 0, 7176) a) y = 0, 7018x − 61, 5537, b) x = 0, 91y + 112, 96 = 0, 8165; y = 0, 017x + 0, 5622 a) = 0, 69, b) y = 0, 218x + 2, 434, x = 2, 18y + 15, 87 c) y = 21, 8x + 2, 434, x = 0, 0218y + 0, 1587 Chu’ ong ’ ’ ˆ’ T A CHAT ˆ´ U’ONG ˆ’ ’ KIEM SAN HAM `’ c´o su.’ thay d¯ˆo’i giua ˜’ c´ac san ’ xuˆa´t thu’ong ’ phˆa’m gˆay t´ac Trong mˆo˜i qu´a tr`ınh san ’’ su.’ su’ ’ san ’ phˆa’m Su.’ thay d¯ˆo’i n`ay c´o thˆe’ d¯u’o.’c gˆay nˆen boi d¯oˆ ng xˆa´u lˆen chˆa´t lu’o.’ng cua ’ cua ’ m´ay m´oc, chˆa´t lu’o.’ng xˆa´u cua ’ nguyˆen liˆe.u thˆo cung cˆa´p cho san ’ xuˆa´t, phˆa`n hu’ hong `’ d¯iˆe`u khiˆe’n qu´a tr`ınh ’ l´ ’ ngu’oi mˆe`m quan y khˆong ch´ınh x´ac ho˘ a.c sai lˆa`m cua ’’ Viˆe.c nhˆa.n biˆe´t n`ao th`ı qu´a tr`ınh d¯i ngo`ai su.’ kiˆe’m so´at d¯u’o.’c x´ac d¯.inh boi ´’ ha.n kiˆe’m so´at du’oi ´’ ’’ hai gi´a tri.: gioi biˆe’u d¯ˆo` kiˆe’m so´at Biˆe’u d¯ˆo` n`ay d¯u’o.’c x´ac d¯.inh boi ´’ ha.n kiˆe’m so´at trˆen CL (upper control limit) Du˜’ liˆe.u LCL (lower control limit) v`a gioi ˜’ nh´om v`a thˆo´ng kˆe cua ’ xuˆa´t d¯u’o.’c chia th`anh nhung ’ nh´om con, nhu’ trung b`ınh san ’ ˜’ nh´om v`a d¯ˆo lˆe.ch tiˆeu chuˆan nh´om Khi thˆo´ng kˆe nh´om khˆong roi’ v`ao giua ’ ’ ´ ´ ´ ´ gioi’ ha.n kiˆem so´at du’oi’ v`a gioi’ ha.n kiˆem so´at trˆen th`ı ta kˆet luˆa.n qu´ a tr`ınh d¯i ngo`ai kiˆe’m so´at ˆ’ DO ˆ` BIEU 1.1 ˆ’ SOAT ´ CHO GIA ´ TRI TRUNG B`INH IEM `’ Tru’ ong ho.’p biˆ e´t v` aσ ’ phˆa’m liˆen tiˆe´p d¯u’o.’c san ’ xuˆa´t c´o Gia’ su’’ qu´a tr`ınh su.’ kiˆe’m so´at c´ac san ´’ trung b`ınh v`a c´ac d¯a˘ c trung ’ sˆo´ d¯o d¯u’o.’c l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen chuˆa’n, d¯ˆo.c lˆa.p voi phu’ong ’ sai σ Tuy nhiˆen, v`ı mˆo.t t`ınh huˆo´ng d¯a˘ c biˆe.t n`ao d¯o´ qu´a tr`ınh d¯i ngo`ai su.’ ’ ’ xuˆa´t san ’ phˆa’m c´o phˆan phˆo´i kh´ac Ta cˆa`n nhˆa.n biˆe´t kiˆem so´at v`a ba˘´t d¯ˆa`u san `’ qu´a tr`ınh, t`ım su.’ cˆo´ v`a kha˘´c phu.c n´o ’ d¯ˆe’ ngung n`ao th`ı d¯iˆe`u n`ay xay ’ c´ac san ’ phˆa’m liˆen tiˆe´p Ta chia du˜’ Gia’ su’’ , , l`a c´ac d¯a˘ c trung ’ d¯o d¯u’o.’c cua ´’ n x´ac d¯.inh Gi´a tri n d¯u’o.’c cho.n cho liˆe.u th`anh c´ac nh´om c´o k´ıch thu’oc ’ phˆa’m c´ot´ınh chˆa´t nhu’ Cha˘’ ng ha.n, n c´o thˆe’ d¯u’o.’c cho.n cho mˆo˜i nh´om san ’ phˆa’m bˆen mˆo.t nh´om d¯u’o.’c san ’ xuˆa´t c` tˆa´t ca’ san ung mˆo.t ng`ay, ho˘ a.c ’ ´ ’ n l`a 4, ho˘ c` ung mˆo.t ca, ho˘ a.c c` ung mˆo.t c´ach sa˘p d¯a˘ t, C´ac gi´a tri tiˆeu biˆeu cua a.c Go.i i, ´’ l`a ’ nh´om thu´’ i Tuc i = 1, 2, l`a gi´a tri trung b`ınh cua = + + n 113 n 114 ’ phˆ iˆ e’m t a chˆ a´t u’ong san a’m ’ Chu’ong ’ = n+1 = 2n+1 V`ı su.’ kiˆe’m so´at, mˆo˜i E( Do d¯´o i − i + + n 2n + + n 3n v`a phu’ong ’ sai σ nˆen c´o trung b`ınh i) = , Va ( i) = σ2 n c´o phˆan phˆo´i chuˆa’n h´oa n Ta biˆe´t mˆo.t d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen c´o phˆan phˆo´i chuˆa’n h´oa hˆa`u nhu’ nhˆa.n gi´a tri ˜’ v`a (v`ı P (−3 < < 3) = 0, 9973) giua Do d¯´o −3 < i n − σ Phai ´’ biˆe’u d¯ˆo` nhˆa.n thˆa´y qu´a `’ toi ’ san ’ phˆam tu ’ mˆa´t bao lˆau toi cua tr`ınh d¯i ngo`ai kiˆe’m so´at ´’ ha.n kiˆe’m so´at nˆe´u ’ nh´om o’’ gioi Ta thˆa´y trung b`ınh cua −3 < ⇒ −3 − − σ n a n < σ