Giáo trình xác suất thống kê đại cương

Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1.1 Các quy tắc đếm Quy tắc cộng: Nếu công việc chia làm k trường hợp để thực hiện: trường hợp có n1 cách thực xong công việc; trường hợp có n2 cách thực xong công việc, , trường hợp k có nk cách thực xong công việc cách thực trường hợp lại trùng với cách thực trường hợp khác, có n1 + n2 + + nk cách thực xong công việc Quy tắc nhân: Nếu công việc chia làm k giai đoạn: giai đoạn có n1 cách thực xong công việc; giai đoạn có n2 cách thực xong công việc, , giai đoạn k có nk cách thực xong công việc có n1n2 nk cách thực xong công việc Tích Descartes:  Cho hai tập hợp A B Tích Descartes A B, ký hiệu A  B tập hợp tất cặp (có thứ tự) (a; b) với a  A, b  B, nghĩa là: A  B = {(a, b) / a  A; b  B} Nếu A B hai tập hữu hạn số phần tử tập hợp A  B A  B = A B  Tương tự, tích Descartes k tập hợp A1, A2, , Ak, ký hiệu A1  A2   Ak tập hợp tất có thứ tự (a1, a2, , ak)  Ai, i = 1, 2, , k A1  A2   Ak = {(a1, a2, , ak) /  Ai, i = 1, 2, , k} Nếu A1, A2, , Ak k tập hữu hạn số phần tử tập hợp A1  A2   Ak A1  A2   Ak = A1  A2   Ak Ký hiệu Ak = A  A   A k lần 1.1.2 Chỉnh hợp lặp Cho A tập hợp có n phần tử, nỗi phần tử tập Ak gọi chỉnh hợp lặp n chập k Số chỉnh hợp lặp n chập k Fnk = nk Ví dụ 1.1 a Có cách xếp sách vào ngăn? b Một đề thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu, câu có phương án trả lời Hỏi thi có tất phương án trả lời? Giải: a Mỗi cách xếp sách vào ngăn chỉnh hợp lặp chập (mỗi lần xếp sách vào ngăn xem chọn ngăn ngăn, có sách nên việc chọn ngăn tiến hành lần) Vậy số cách xếp F35 = 35 = 243 b Mỗi phương án trả lời thi chỉnh hợp lặp chập 10, nên số phương án trả lời thi F410 = 410 1.1.3 Chỉnh hợp (không lặp) Mỗi phần tử Ak có thành phần đôi khác gọi chỉnh hợp n chập k (k  n) Số chỉnh hợp (không lặp) n chập k Α kn = n(n - 1) .(n – k + 1) = n! (n  k )! Quy ước: 0! = Ví dụ 1.2 Cho chữ số 2, 3, 4, 5, 6,7 Hỏi a Có số tự nhiên gồm chữ số thành lập từ chữ số này? b Có số tự nhiên gồm chữ số khác thành lập từ chữ số này? c Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho thành lập từ chữ số này? Giải: a Mỗi số gồm chữ số thành lập từ chữ số chỉnh hợp lặp chập Vậy, số số gồm chữ số lập từ chữ số F63 = 63 = 216 b Số số có chữ số khác lập thành từ chữ số số chỉnh hợp chập A 36 = 6! = 4.5.6 = 120 3! c Số chia hết cho thành lập từ chữ số phải có tận chữ số Do đó, cách thành lập số có chữ số khác chia hết cho cách thành lập số có chữ số khác từ chữ số lại 2, 3, 4, 6, Vậy, số số có chữ số khác chia hết cho thành lập từ chữ số A 52 = 5! = 20 3! Ví dụ 1.3 Có từ gồm mẫu tự khác thành lập từ mẫu tự từ “MATRIX” (các từ có nghĩa nghĩa)? Giải: Số từ gồm mẫu tự khác số chỉnh hợp chập 2, A 62 = từ gồm mẫu tự khác số chỉnh hợp chập 3, A 36 = 6! = 5.6 = 30 Số 4! 6! = 4.5.6 = 120 3! Vậy, số từ gồm mẫu tự khác thành lập từ mẫu tự từ “MATRIX” A 62 + A 36 = 30 + 120 = 150 1.1.4 Hoán vị Một chỉnh hợp (không lặp) n chập n gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử  n = A nn = n ! Ví dụ 1.4 Một đoàn khách du lịch dự định tham quan địa điểm khác A, B, C, D, E, G, H thành phố Huế Họ tham quan theo lộ trình đó, chẳng hạn B → A → C → E → D → H → G Như vậy, lộ trình hoán vị tập hợp gồm phần tử {A, B, C, D, E, G, H} nên đoàn khách có tất 7! lộ trình để lựa chọn Ví dụ 1.5 a Một bàn gồm sinh viên Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho sinh viên đó? b Có cách xếp nam nữ thành hàng ngang cho nam nữ đứng xen kẽ nhau? Giải: a Số cách xếp số hoán vị phần tử, 4 = 4! = 24 b Để nam nữ đứng xen kẽ bắt đầu hàng ngang phải nữ có cách xếp vị trí vậy: Nữ Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ Trong đó, số cách xếp vị trí cho nam 3 = 3! số cách xếp vị trí cho nữ  = 4! Vậy, có tất 3!.4! = 144 cách xếp vị trí cho nam nữ 1.1.5 Tổ hợp Mỗi tập gồm k phần tử tập hợp gồm n phần tử gọi tổ hợp n chập k (k  n) Số tổ hợp n chập k, ký hiệu C kn tính công thức C kn = n! A kn = k !(n  k )! k! Các tính chất: a Cnn  k = C kn , k = 0, n b Ckn1 = C kn + C kn 1 , k = 1, n (Hằng đẳng thức Pascal) Nhận xét: Hai tổ hợp khác có phần tử khác Tổ hợp khác chỉnh hợp việc không lưu ý đến thứ tự xếp phần tử Ví dụ 1.6 a Mỗi đề thi gồm câu hỏi lấy 25 câu hỏi cho trước Hỏi lập đề thi khác nhau? b Một đa giác lồi có n cạnh có đường chéo? Giải: a Số đoạn thẳng có đầu mút đỉnh đa giác lồi n đỉnh số tổ hợp n chập 2, tức C 2n Do đó, số đường chéo đa giác C 2n - n b Số đề thi lập nên C325 = 25! 25.24.23 = = 2300 3!22! 1.2.3 Ví dụ 1.7 Một hội đồng gồm nam nữ tuyển vào ban quản trị gồm người a Hỏi có cách tuyển chọn? b Hỏi có cách tuyển chọn có thêm điều kiện ban quản trị phải có nam nữ? Giải: a Số cách tuyển chọn số tổ hợp chập 4, C94 = 9! = 126 4!5! b Số cách chọn ban quản trị số cách chọn tập {x, y, z, t) x người chọn từ nam, y người chọn từ nữ z, t người chọn từ người lại Như vậy, số ban quản trị có 5.4 C 72 = 420 1.1.6 Nhị thức Newton Chúng ta biết số đẳng thức đơn giản a + b = a1 + b1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Newton chứng minh công thức tổng quát sau (nhị thức Newton): (a + b)n = C0n a n + C1n a n 1b + + C kn a n  k b k + + Cnn b n = n k n C a nk bk k 0 1.2 PHÉP THỬ - BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Trong thực tế, gặp nhiều thí nghiệm, phép quan sát mà thực kết không dự đoán trước kiện quan tâm xảy không xảy Lý thuyết xác suất gọi phép thử phép thử ngẫu nhiên kiện xảy hay không xảy biến cố ngẫu nhiên 1.2.1 Các khái niệm Khi tiến hành gieo xúc sắc, gieo đồng xu, gieo thí điểm loại hạt giống, lấy sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra quan sát trạng thái hoạt động máy móc người ta nói làm phép thử  Tiến hành phép thử: thực tập hợp điều kiện xác định Tất nhiên tiến hành phép thử nhằm nghiên cứu kiện tượng Chẳng hạn, “gieo thí điểm loại hạt giống”, quan tâm đến kiện “nảy mầm” hạt giống  Biến cố: kết phép thử, gọi kiện Ví dụ 1.8 Thực phép thử T “gieo xúc sắc cân đối đồng chất” T kết thúc kết cụ thể: ωi = “xuất mặt i chấm”, i = 1, 2, , Khi đó, ωi (i = 1, 2, …, 6) biến cố T Ngoài ra, kết phức hợp : U = “số chấm xuất ≤ 6” V = “số chấm xuất > 6” A = “số chấm xuất chẵn” B = “số chấm xuất lẻ” biến cố T Khi nói đến biến cố phải gắn liền với phép thử Tùy theo tính chất xuất biến cố phép thử, ta phân loại biến cố:  Phân loại: + Biến cố chắn, ký hiệu , biến cố thiết xảy phép thử thực + Biến cố không thể, ký hiệu , biến cố thiết không xảy phép thử thực + Biến cố ngẫu nhiên, ký hiệu A, B, C, hay ω, biến cố xảy không xảy phép thử thực  Biến cố sơ cấp: kết cụ thể phép thử, hiểu biến cố nhỏ phân chia Ví dụ 1.9 Trong ví dụ 1.8, biến cố ω1, , ω6 gọi biến cố sơ cấp U, V, A, B biến cố biến cố sơ cấp  Không gian mẫu hay không gian biến cố sơ cấp phép thử, ký hiệu , tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử Mỗi biến cố A phép thử xem tập  Ví dụ 1.10 Trong phép thử “gieo đồng thời đồng xu cân đối đồng chất”, ta có  = {(SS), (SN), (NN), (NS)} Nếu gọi A biến cố “xuất mặt giống nhau” B biến cố “xuất mặt khác nhau” A B biến cố sơ cấp, biến cố A xảy (SS) hay (NN) xảy biến cố B xảy (SN) hay (NS) xảy 1.2.2 Các phép toán – Quan hệ biến cố Quan hệ “kéo theo”  Biến cố A gọi kéo theo biến cố B, ký hiệu A  B, A xảy kéo theo B xảy Mô tả hình học quan hệ hình dung A tập B B A  Nếu ω biến cố sơ cấp kéo theo biến cố A ω gọi biến cố sơ cấp thuận lợi cho A Tổng biến cố  Tổng biến cố A B, ký hiệu A  B, biến cố xảy hai biến cố A hay B xảy A B n  Ai , biến cố xảy Tổng n biến cố A1, A2, , An (n  2), ký hiệu i 1 n biến cố xảy Tích biến cố  Tích biến cố A B, ký hiệu A  B (hay AB), biến cố xảy hai biến cố xảy A B n  Tích n biến cố A1, A2, , An (n  2), kí hiệu n Ai (hay i 1  A ), biến cố xảy i i 1 n biến cố xảy Ví dụ 1.11 Hai xạ thủ bắn người viên đạn vào bia Gọi A, B tương ứng kiện xạ thủ xạ thủ bắn trúng bia Có thể mô tả biến cố A  B, A ∩ B sau: A  B biến cố “có viên đạn trúng bia” A ∩ B biến cố “có hai viên đạn trúng bia” Biến cố xung khắc  Hai biến cố A B gọi xung khắc A B không đồng thời xảy phép thử, ký hiệu A ∩ B =  A B Lưu ý, trường hợp A B xung khắc tổng hai biến cố A B ký hiệu A + B  Nhóm n biến cố {A1, A2, , An} (n  2) gọi xung khắc đôi hai biến cố nhóm xung khắc với nhau, nghĩa Ai ∩ Aj =  i  j Nhóm đầy đủ biến cố Nhóm n biến cố {A1, A2, , An} (n  2) gọi nhóm đầy đủ biến cố có biến cố n biến cố xảy phép thử thực hiện, nghĩa n Ai ∩ Aj =  (i  j) A  i i 1 Ví dụ 1.12 Một xí nghiệp dược phẩm có sở sản xuất loại thuốc A để điều trị bệnh khớp Lấy ngẫu nhiên sản phẩm xí nghiệp để sử dụng Gọi Ai = “Sản phẩm sở i sản xuất” (i = 1, 2, 3) Khi đó, {A1, A2, A3} có phải nhóm đầy đủ biến cố hay không? Giải: Lấy ngẫu nhiên sản phẩm xí nghiệp xảy trường hợp: sản phẩm sở sản xuất; sản phẩm sở sản xuất sản phẩm sở sản n xuất Nói cách khác, ta có Ai ∩ Aj =  (i  j)  A   , rõ ràng {A1, A2, A3} i i 1 nhóm đầy đủ biến cố Hiệu hai biến cố  Hiệu biến cố, ký hiệu A \ B, biến cố xảy A xảy B không xảy ra, nghĩa A \ B = A ∩ B B A Biến cố đối lập  Biến cố đối lập biến cố A, ký hiệu A , biến cố xảy A không xảy Như vậy, A = Ω\A hay A + A =  A∩A= A 1.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Việc xảy hay không xảy biến cố ngẫu nhiên ta dự đoán trước Tuy nhiên trực quan nhận thấy biến cố ngẫu nhiên khác thường có khả xảy khác nhau, số biến cố thường hay xảy ra, số khác lại thường xảy Từ nảy sinh vấn đề tìm cách “đo lường” khả xuất biến cố khái niệm xác suất đời Xác suất biến cố số không âm, đặc trưng cho khả khách quan xảy biến cố 1.3.1 Định nghĩa xác suất theo quan điểm đồng khả Ta xét ví dụ sau: Thực phép thử “gieo đồng thời đồng xu cân đối đồng chất” Khi đó,  = {SS, NN, SN, NS} Nếu đồng xu chế tạo cân đối mặt đồng xu có khả xuất nên khả xảy kết ngang nhau, ta nói phép thử có biến cố sơ cấp đồng khả Gọi A biến cố “xuất mặt khác nhau”, nghĩa xuất sấp (S) ngửa (N) Khi đó, có trường hợp thuận lợi cho A hay có biến cố sơ cấp thuận lợi cho A Như vậy, khả để biến cố A xảy  Định nghĩa 1.1 (Theo quan điểm đồng khả năng) Nếu phép thử có tất n biến cố sơ cấp đồng khả năng, có m biến cố sơ cấp thuận lợi cho A, xác suất A, ký hiệu P(A) xác định bởi: Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A P(A) = m = n Số biến cố sơ cấp đồng khả Tính chất 1.1 1) ≤ P(A) ≤ 2) P(Ω) = 1, P() = 3) Nếu A B xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) Chứng minh: 1) Với A biến cố  m  n Từ suy  m  hay  P(A)  n 2) Nếu Ω biến cố chắn phép thử số biến cố sơ cấp thuận lợi cho Ω số biến cố sơ cấp đồng khả phép thử Do đó, P(Ω) = 3) Nếu A B hai biến cố xung khắc biến cố sơ cấp thuận lợi cho A B Nói cách khác, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố tổng A + B tổng số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A số biến cố sơ cấp thuận lợi cho B: m = m1 + m2 m1 số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A m2 số biến cố sơ cấp thuận lợi cho B Từ suy P(A + B) = Hệ 1.1 m1  m2 m m = + = P(A) + P(B) n n n P(A) = – P(A) 10 2) Kiểm định giả thiết H0: 1  2 với đối thiết H1: 1   W  (U  ; ) 3) Kiểm định giả thiết H0: 1  2 với đối thiết H1: 1  2 W  (; U  ) 5 Trường hợp chưa biết phương sai  12 ,  22 có sở để giả thiết  12 =  22 Thống kê kiểm định K  (n  1) S12  (n2  1) S 22 ( X  Y )  ( 1  2 ) với S  n1  n2  1 S  n1 n2 Nếu giả thiết H0 K  (X Y) phân phối theo quy luật Student với ( n1  n2  ) 1 S  n1 n2 bậc tự 1) Kiểm định giả thiết H0: 1  2 với đối thiết H1: 1   Miền bác bỏ giả thiết mức : W  (; t ) (t ; ) 2 2) Kiểm định giả thiết H0: 1  2 với đối thiết H1: 1  2 W  (t ; ) 3) Kiểm định giả thiết H0: 1  2 với đối thiết H1: 1   W  (; t ) 5 Trường hợp chưa biết phương sai  12 ,  22 sở để giả thiết  12 =  22 Thống kê kiểm định K  ( X  Y )  ( 1  2 ) Nếu giả thiết H0 K  S12 S 22  n1 n2 (X Y) S12 S 22  n1 n2 phân phối theo quy luật Student với số bậc tự k S12 n1 (n1  1)(n2  1) với c  S1 S 22 (n2  1)c  (1  c ) (n1  1)  n1 n2 Miền bác bỏ mức  xác định sau: 1) H0: 1  2 ; H1: 1  2 W  (; t ) (t ; ) 2 2) H0: 1  2 ; H1: 1  2 W  (t ; ) 3) H0: 1  2 ; H1: 1  2 W  (; t ) Ví dụ 5.5 Người ta cân trẻ sơ sinh khu vực thành thị nông thôn, thu bảng kết sau Khu vực Số trẻ cân Trọng lượng trung bình Phương sai mẫu Nông thôn n1 = 2500 x1 = 3,0 Thành thị n2 = 500 x = 3,1 Với mức ý nghĩa 0,01 coi trọng lượng trung bình trẻ sơ sinh hai khu vực không? Giải: Gọi trọng lượng trẻ sơ sinh nông thôn thành thị tương ứng X1 X2 Lúc đó, trọng lượng trẻ sơ sinh trung bình 1  Đây toán kiểm định giả thiết H0: 1  2 với đối thiết H1: 1  2 , trường hợp chưa biết phương sai  12 ,  22 sở để giả thiết  12 =  22 Thống kê kiểm định K  ( X1  X ) S12 S 22  2500 500 Do n1 > 30, n2 >30 nên giả thiết H0 K có phân phối xấp xỉ N(0; 1) Với   0, 01 , ta có W  (; u0,005 )  (u0,005 ; ) = (  ; -2,576)  (2,576;  ) 10 Giá trị quan sát K0= (3,  3,1)  2500 500  -1,21 Vậy, K0  W nên chưa có sở để bác bỏ giả thiết H0 hay coi trọng lượng trẻ sơ sinh nông thôn thành thị 5.6 SO SÁNH XÁC SUẤT Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật 0_1 với tham số p1, p2 Ta kiểm định giả thiết H0: p1 = p2 dựa mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , X n1 ) lấy từ biến X (Y1, Y2, , Yn2 ) lấy từ biến Y Để kiểm định giả thiết H0, ta dùng thống kê ( f1  f )  ( p1  p2 ) p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 )  n1 n2 K K phân phối xấp xỉ chuẩn N(0; 1) với n1 > 30, n2 > 30 Nếu giả thiết H0 (p1 = p2 = p) thì: ( f1  f ) 1 p (1  p )(  ) n1 n2 K p chưa biết nên p thay f  K n1 f1  n2 f n1  n2 ( f1  f ) phân phối xấp xỉ chuẩn N(0; 1) với n1 > 30, n2 > 30 1 f (1  f )(  ) n1 n2 1) Kiểm định giả thiết H0: p1  p2 với đối thiết H1: p1  p2 Miền bác bỏ giả thiết mức : W  (; U  ) (U  ; ) 2 2) Kiểm định giả thiết H0: p1  p2 với đối thiết H1: p1  p2 W  (U  ; ) 3) Kiểm định giả thiết H0: p1  p2 với đối thiết H1: p1  p2 11 W  (; U  ) Ví dụ 5.6 Có loại thuốc A B điều trị loại bệnh Qua theo dõi số bệnh nhân có dùng loại thuốc thu số liệu sau: Loại thuốc Số bệnh nhân dùng thuốc Số bệnh nhân khỏi bệnh A 160 120 B 56 40 Với mức ý nghĩa  = 0,05, hỏi tác dụng loại thuốc việc chữa bệnh có không? Giải: Gọi p1, p2 tương ứng tỉ lệ khỏi bệnh dùng thuốc A B Đây toán kiểm định giả thiết H0: p1  p2 với đối thiết H1: p1  p2 với n1, n2 lớn Thống kê kiểm định K  ( f1  f ) n f n f với f  1 2 n1  n2 1 f (1  f )(  ) n1 n2 K phân phối xấp xỉ chuẩn N(0; 1) Với  = 0,05, ta có W  (; u0,025 )  (u0,025 ; ) = ( ; 1,96)  (1,96;  ) Với mẫu cụ thể ta có f1 = f  120 = 0,75 160 f2 = 40  0,714 56 n1 f1  n2 f 120  40   0,741 160  56 n1  n2 Tính K0  0,529 Vậy, K0  W nên chưa có sở để bác bỏ giả thiết H0 , ta chấp nhận công dụng loại thuốc A, B việc điều trị bệnh 5.7 SO SÁNH PHƯƠNG SAI Giả sử biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn N(,  12 ) biến ngẫu nhiên Y phân phối chuẩn N(,  22 ) 12 Ta kiểm định giả thiết H0:  12   22 dựa mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , X n1 ) lấy từ biến X (Y1, Y2, , Yn2 ) lấy từ biến Y Thống kê kiểm định K  Nếu H0 K  S12  12 S12  S 22 2 S  S12 ( S12  S 22 ) phân phối theo quy luật Fisher với (n1 - 1) (n2–1) S 22 bậc tự Miền bác bỏ giả thiết mức  xác định sau: 1) H0:  12   22 ; H1:  12   22 W  (0; f 1  ) ( f  ; ) 2) H0:  12   22 ; H1:  12   22 W  ( f ; ) Ví dụ 5.7 Có giống lúa có suất trung bình xấp xỉ song mức độ phân tán suất khác Để kiểm tra điều đó, người ta gặt mẫu vùng trồng giống lúa thu kết sau: Giống lúa Số điểm gặt Phương sai A n1 = 41 s12 = 11,41 B n2 = 30 s22 = 6,52 Với mức ý nghĩa  = 0,05 kết luận vấn đề trên, biết suất lúa biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Giải: Gọi X, Y suất giống lúa A B, X Y có phân phối chuẩn Kiểm định giả thiết H0 :  12   22 với đối thiết H1:  12   22 Nếu H0 thống kê kiểm định có dạng K  luật Fisher với 40 29 bậc tự 13 S12 ( S12  S 22 ) phân phối theo quy S 22 (40,29) Do  = 0,05 nên f (40,29) = f 0,025 = 2,03 f (40,29) =  1 2 (29,40) f = =0,52 1,94 Vậy, miền bác bỏ W = (0; 0,52)  (2,03;  ) Giá trị quan sát Kqs = 11, 41  1,75 6,52 K qs  W nên chưa có sở để bác bỏ giả thiết H0 hay độ phân tán suất hai giống lúa nói 5.8 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Xét giả thiết H0 : biến ngẫu nhiên X có quy luật phân phối xác suất xác định hàm phân phối F(x) Dựa vào mẫu thực nghiệm để xét xem giả thiết H0 không? Nói cách khác, số liệu thực nghiệm (x1, x2, , xn) có phù hợp với giả thiết lý thuyết phân phối xác suất X hàm F(x) hay không? Trường hợp X biến ngãu nhiên rời rạc Giả sử mẫu thực nghiệm (x1, x2, , xn) có bảng phân phối tần số thực nghiệm: xi x1 x2 xk k ; ni n1 n2 nk n i n i 1 Nếu H0 đúng, phân phối xác suất X xác định, ta tính xác suất lý thuyết P(x = xi) = Pi, i  1, k Từ suy tần số lý thuyết giá trị xi npi, i  1, k k Thống kê kiểm định K   i 1 (ni  npi ) có phân phối  với (k – 1) bậc tự npi Miền bác bỏ giả thiết mức : ( 2 , ) Trường hợp X biến ngẫu nhiên liên tục Từ mẫu cụ thể (x1, x2, , xn), ta có bảng phân phối tần số thực nghiệm dạng ghép lớp: xi-1 - xi x0 - x1 x1 - x2 xk-1 - xk ni n1 n2 nk 14 Nếu H0 đúng, ta tính xác suất: P(xi-1 < x < xi) = Pi, i  1, k Khi đó, tần số lý thuyết lớp thứ i npi, i  1, k k Ta kiểm định giả thiết H0 cách thống kê kiểm định K   i 1 Ví dụ 5.8 Khi (ni  npi ) npi Kiểm định giả thiết H0 : X phân phối chuẩn N(,  22 ) P(xi-1 < x < xi) =  ( xi    )  ( xi 1    ) Thông thường ta chưa biết   nên chúng thay ước lượng hợp lý tối đa tương ứng x s Pi   ( xi  x s )  ( xi 1  x s ) Nhận xét: Tiêu chuẩn  sử dụng tốt n đủ lớn (n > 50) ni  5, i  1, k 5.9 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ TÍNH ĐỘC LẬP Xét vectơ ngẫu nhiên chiều (X, Y) Ta kiểm định giả thiết H0: X Y độc lập với dựa vào mẫu ngẫu nhiên gồm n cặp quan sát từ vectơ ngẫu nhiên (X,Y) (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) Phân phối tần số thực nghiệm mẫu trình bày bảng hai chiều sau: 15 Yi y1 y2 yj ys  x1 n11 n12 n1j n1s n1 x2 n21 n22 n2j n2s n2 xi ni1 nij nis ni xr  Xi ni2 nr1 nr2 nrj nrs nr n.1 n.2 n.j n.s n Với X lớn theo định nghĩa thống kê xác suất, ta có: P{ X  xi ; Y  y j }  P( X  xi )  P(Y  y j )  nij n , i  1, r , j  1, s ni n n j n Nếu H0 đúng, nghĩa X, Y độc lập nij n  ni n j n n Thống kê kiểm định chọn là: r s K   i 1 j 1 (nij  ni .n j n ni .n j )2 r s  n( i 1 j 1 nij2 ni .n j  1) n Nếu giả thiết H0 n lớn thống kê K phân phối theo quy luật  với 16 (r –1)(s –1) bậc tự Miền bác bỏ giả thiết mức : W  ( 2 ; ) BÀI TẬP 5.1 Một công ty tuyên bố tuổi thọ trung bình loại sản phẩm công ty sản xuất 160 Biết tuổi thọ loại sản phẩm biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lêch chuẩn  = Kiểm tra ngẫu nhiên 45 sản phẩm công ty, ta tính tuổi thọ trung bình 152 Với mức ý nghĩa  = 0,02, kiểm định tuyên bố công ty có không? Trong năm trước trọng lượng trung bình trước xuất chuồng bò trại chăn nuôi 380 kg Năm nay, người ta áp dụng thử chế độ chăn nuôi với hy vọng bò tăng trọng nhanh Sau thời gian áp dụng thử, người ta lấy ngẫu nhiên 50 bò trước xuất chuồng đem cân tính trọng lượng trung bình chúng 390kg Vậy, với mức ý nghĩa  = 0,01 cho trọng lượng trung bình bò trước xuất chuồng tăng lên hay không? Giả thiết trọng lượng bò biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 35,2 kg Nhịp mạch trung bình nam niên 72 lần /phút Kiểm tra 84 nam niên làm việc hầm lò thấy nhịp mạch trung bình họ 75 lần/ phút với độ lệch mẫu Hãy xét xem làm việc hầm lò có làm tăng nhịp mạch hay không? (  =0,04) Trọng lượng đóng bao bao gạo kho bién ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình theo quy định 50 kg Nghi ngờ bị đóng thiếu, người ta đem cân ngẫu nhiên 25 bao thu số liệu sau: 17 Trọng lượng bao (kg) Số bao tương ứng 48,0 – 48,5 48,5 – 49 49,0 – 49,5 10 49,5 – 50,0 50,0 – 50,5 n = 25 Với mức ý nghĩa  = 0,05 kết luận điều nghi ngờ nói 5.5 Đối với người Việt Nam, lượng huyết sắc tố trung bình 138 g/l Khám cho 120 công nhân nhà máy có tiếp xúc hóa chất thấy huyết sắc tố trung bình 125,8 g/l s=15 g/l Từ kết kết luận lượng sắc tố trung bình công nhân nhà máy thấp mức chung hay không (  = 0,01)? Năng suất trung bình giống lúa 50 tạ / Sau thời gian dài canh tác, người ta nghi ngờ giống lúa bị thoái hóa, suất giảm.Dựa vào mẫu kích thước 25 tìm suất trung bình từ mẫu 48,7 tạ / độ lệch chuẩn mẫu 4,2 tạ / Hãy kết luận điều nghi ngờ nói với ý nghĩa  = 0,05 Cho biết suất giống lúa biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn Một kho hạt giống có tỉ lệ nảy mầm xác định p0 = 0,9 Ngẫu nhiên có thiết bị bị hỏng làm thay đổi điều kiện bên kho Để có thông tin tỉ lệ nảy mầm kho hạt giống, người ta làm thí nghiệm 400 hạt thấy có 290 hạt nảy mầm Hỏi tỉ lệ nảy mầm kho hạt giống có giữ nguyên hay không (  = 0,05)? Trên lý thuyết, hàm lượng dầu loại 0,5 Sau thời gian chăm bón, lấy ngẫu nhiên mẫu gồm 100 cây, thấy có tỉ lệ dầu 0,7 Với mức ý nghĩa 0,01 kết luận tỉ lệ dầu loại tăng lên? 18 Tỉ lệ phế phẩm nhà máy 10% Sau cải tiến kỹ thuật, điều tra 400 sản phẩm thấy có 32 phế phẩm Với  = 0,01 kết luận việc cải tiến kỹ thuật có làm giảm tỉ lệ phế phẩm hay không? 10 Một nhà máy sản xuất thuốc chữa dị ứng thực phẩm tuyên bố 90% người dùng thuốc thấy thuốc có tác dụng vòng 8g Kiểm tra 200 người bị dị ứng thức phẩm thấy vòng 8g thuốc làm giảm bớt dị ứng 160 người Hãy kiểm định xem lời tuyên bố nhà sản xuất có hay không với mức ý nghĩa  = 0,01 11 Chủ hãng sản xuất cho biết độ lệch chuẩn sai số đo thiết bị đơn vị Người ta kiểm tra 19 lần đo đối tượng thấy s2 = 33 Với  = 0,05, có kết luận ý kiến chủ hãng? 5.13 Điều tra mẫu gồm 130 niên lứa tuổi 18 vùng dân cư A ta tính chiều cao trung bình 169 cm; độ lệch chuẩn 8cm Trên mẫu 80 niên lứa tuổi 18 vùng dân cư B chiều cao trung bình 165cm; độ lệch chuẩn 9cm Với mức ý nghĩa  = 0,05, nói chiều cao trung bình niên vùng A cao vùng B hay không? 5.14 Gieo loại hạt giống theo phương pháp khác nhau: Phương pháp I: gieo 100 hạt thấy có 82 hạt nẩy mầm Phương pháp II: gieo 120 hạt thấy có 92 hạt nẩy mầm Với mức ý nghĩa  = 0,01 nói tỉ lệ nẩy mầm phương pháp hay không? 19 CHƯƠNG VI TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY 6.1 Các khái niệm 6.1.1 Hệ số tương quan mẫu - Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên {( X  Y1 )  ( X n  Yn )} quan sát đồng thời hai biến ngẫu nhiên X  Y Hệ số tương quan mẫu X  Y xác định bởi: RX Y  XY  X Y S X SY XY  n  X iYi n i 1 X n  Xi  X n i 1 S X2  n  Xi n i 1 SY2  Y n  Yi n i 1 n  Yi  Y n i 1 Ý nghĩa: Hệ số tương quan dùng để đo mức độ phụ thuộc tuyến tính biến ngẫu nhiên Nếu r lớn (càng gần 1) phụ thuộc tuyến tính rõ (khả xảy phụ thuộc tuyến tính X, Y cao) Nếu r gần phụ thuộc tuyến tính yếu (khả xẩy phụ thuộc tuyến tính X, Y thấp) - Ðối với mẫu cụ thể nhiều số liệu, ta thực bước tính hệ số tương quan mẫu sau: + Gọi r số giá trị khác mẫu ( x1  x2   xn ) với x(1)  x(2)   x( r ) + Gọi s số giá trị khác mẫu ( y1  y2   yn ) với y(1)  y(2)   y( s ) + Gọi nij số quan sát từ mẫu ghép có giá trị ( x( i )  y( j ) ) (i  1r  j  1s ) s r r s + Tính giá trị ni    nij  n j   nij  n    nij j 1 i 1 i 1 j 1 - Khi XY  r s   nij xi yi n i 1 j 1 S X2  X r  ni xi2  X n i 1 r  ni xi n i 1 SY2  Y s  n j y j n j 1 s  n j y 2j  Y n j 1 6.1.2 Kỳ vọng có điều kiện - Giả sử có vectơ ngẫu nhiên chiều ( X  Y ) - Kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên Y với điều kiện X  x , ký hiệu E (Y x ) , xác định bởi: + Nếu Y rời rạc m E (Y x)   y j P ( X  x Y  y j ) i 1 + Nếu Y liên tục  E (Y x)   yf X Y ( x y ) dy  6.1.3 Hàm hồi quy - Hàm hồi quy Y X f ( x)  E (Y x) - Hàm hồi quy X Y g ( y )  E ( X y ) Ý nghĩa: Hàm hồi quy Y X dùng để dự báo kì vọng giá trị Y với giá trị X 6.2 Hồi quy tuyến tính đơn - Hai biến ngẫu nhiên X  Y gọi có hồi quy tuyến tính hàm hồi quy Y X có dạng: y  E (Y x)  ax  b 6.2.1 ước lượng hệ số a,b - Giả sử ta có mẫu cụ thể {( x1  y1 )  ( xn  yn )} quan sát đồng thời biến ngẫu nhiên X, Y Dựa vào phương pháp bình phương bé nhất, tức tìm a, b cho hàm n F (a b)   ( yi  axi  b) i 1 đạt cực tiểu Khi ta có ước lượng sau: S a  RX Y  Y SX b  Y  aX Bài tập chương 6.1.Số vi khuẩn X (triệu) sinh sản sau thời gian Y (giờ) ghi lại bảng sau qua thí nghiệm X Y 30 32 35 40 48 52 58 62 69 a) Xác định hệ số tương quan X Y b) Tìm đường hồi quy tuyến tính X theo Y Dự báo số vi khuẩn có sau 10 6.2 Ðo chiều cao X (cm) trọng lượng Y (kg) 100 học sinh, ta kết sau: Y X 145 - 150 150 - 155 155 - 160 160 - 165 165 - 170 35 - 40 40 - 45 10 45 - 50 14 50 - 55 20 15 12 55 - 60 c) Xác định hệ số tương quan chiều cao cân nặng d) Tìm đường hồi quy tuyến tính chiều cao theo cân nặng 6.3 Theo dõi lượng phân bón X (kg/ha) suất lúa Y (tấn/ha) 100 lúa vùng, ta thu kết sau: Y X 120 2,2 2,6 160 180 3,4 15 17 3,8 10 3,0 4,2 140 200 11 12 e) Xác định hệ số tương quan lượng phân bón suất lúa f) Tìm đường hồi quy tuyến tính suất lúa theo lượng phân bón 6.4 Ðo chiều cao X (m) đường kính Y (cm) loại cây, ta kết sau: Y X 10 12 14 30 17 35 10 17 40 24 16 13 45 24 12 50 11 22 g) Xác định hệ số tương quan chiều cao đường kính h) Tìm đường hồi quy tuyến tính đường kính theo chiều cao [...]... mức xác suất như thế nào để có thể xem là hầu như chắc chắn hay hầu như không chắc chắn tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể Chẳng hạn nếu xác suất máy bay rơi là 0,01 thì xác suất đó chưa thể xem là nhỏ, hầu như không thể xảy ra Nhưng nếu xác suất một chuyến tàu khởi hành chậm là 0,01 thì có thể xem xác suất này là rất nhỏ 1.4 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 1.4.1 Định lý cộng xác suất Từ định nghĩa xác suất, ... cho thấy tần suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu trong n lần tung ổn định dần về giá trị 0,5 2 Định nghĩa xác suất (Theo quan điểm thống kê) Định nghĩa 1.3 Khi số lần thực hiện phép thử n khá lớn, nếu tần suất của biến cố A ổn định dần về một giá trị p nào đó thì ta nói A ổn định ngẫu nhiên và số p được gọi là xác suất của biến cố A, ký hiệu P(A) Từ định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê, ta có thể... đối xứng thường rất hiếm gặp trong thực tế Để khắc phục hạn chế của định nghĩa này, người ta đưa ra định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê 1.3.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Định nghĩa theo thống kê dựa trên tần suất xuất hiện của biến cố trong một lớp các phép thử 1 Tần suất xuất hiện của biến cố Giả sử tiến hành n phép thử cùng loại và trong mỗi phép thử ta quan tâm đến sự xuất... , n (1.8)  ( B | A ).( A ) i i i 1 Công thức này được gọi là công thức xác suất Bayes Các xác suất P(A1), P(A2), , P(An) được xác định trước khi phép thử được tiến hành, được gọi là các xác suất tiên nghiệm Các xác suất ( Ak | B ) được xác định sau khi phép thử được tiến hành và biến cố B đã xảy ra, được gọi là các xác suất hậu nghiệm Ví dụ 1.21 Một trại chăn nuôi nhận 50 con giống từ ba cơ sở,... lấy được bi xanh” Khi đó, xác suất P(B) sẽ phụ thuộc vào việc A xảy ra hay không xảy ra + Nếu A đã xảy ra thì xác suất của B là 5 5 , ký hiệu P ( B | A)  9 9 + Nếu A không xảy ra thì xác suất của B là 6 6 , ký hiệu P ( B | A)  9 9 Như vậy, việc xảy ra hay không xảy ra của A đã ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của B Xác suất của B trong điều kiện A đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của B trong... phân phối xác suất như sau: Bảng 2.1: Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc trong đó  i X x1 x2 xn p p1 p2 pn pi  1 Ví dụ Một chuồng có 10 con thỏ: 7 thỏ trắng, 3 thỏ nâu Bắt ngẫu nhiên từ chuồng ra 3 con thỏ Gọi X là số thỏ trắng bắt ra được Lập bảng phân phối xác suất của X và tính các xác suất P (0  X  2) P ( X  1) 2.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất a)... xác suất của X  Y 3 2.2 Hàm phân phối xác suất 2.2.1 Ðịnh nghĩa a) Định nghĩa: Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X tại x  R xác định như sau: FX ( x)  P ( X  x) b) Ý nghĩa: - FX ( x) là xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị bên trái x - Hàm phân phối phản ánh mức độ tập trung xác suất về bên trái điểm x Khi đó: - Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x1  x2  xn  với xác. .. không thể xác định cụ thể Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng tập các biến cố sơ cấp thuận lợi cho A được biểu diễn bởi miền hình tròn G có bán kính r  a 4 Theo định nghĩa xác suất, ta có xác suất để A xảy ra là P( A)  Diện tích G Diện tích H   r2 a2 a2 P(A) = 16 = a2  hay  16 Những biến cố có xác suất càng gần 1 thì rất dễ xảy ra và được xem là hầu như chắc chắn Ngược lại, những biến cố có xác suất rất... (gen lặn) Bắt ngẫu nhiên từng con một ra 2 thỏ a) Tìm xác suất để 2 thỏ cùng gen b) Giả sử 2 thỏ bắt được có một thỏ đực và một thỏ cái Cặp thỏ này sinh được 4 thỏ xám Tìm xác suất để cặp thỏ bố mẹ cùng gen Xt, cùng gen XX Bài 16 Có 3 người cùng chơi bóng rổ, mỗi người ném một quả Xác suất ném trúng rổ của mỗi người lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7 Tính xác suất để: 26 a) Cả 3 người đều ném trúng rổ b) Có ít... chúng cùng giới hoặc có thể là giả sinh đôi (do hai trứng sinh ra), trong trường hợp này xác suất để chúng cùng giới là 0,5 Ta giả thiết rằng đã biết xác suất của một cặp sịnh đôi là sinh đôi thật trong một họ nào đó là p a) Tìm xác suất để một cặp sinh đôi là sinh đôi thật biết rằng chúng cùng giới b) Tìm xác suất để một cặp sinh đôi là sinh đôi giả biết rằng chúng khác giới Bài 37 Tỉ lệ cha mắt đen