Giáo trình xác suất thống kê tống đình quỳ

TỐNG ĐÌNH QUỲ GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Tái bán lần thử năm) NHÀ XUẤT BẢ N BÁCH KHOA - HÀ NỘI LỜI NÚI ĐẨU Lý thuyết xác suất thống kê toán học ngành khoa học giữ vị trí quan trọng lĩnh vực ứng dụng rộng râi phong phú đời sống người Cùng với phát triển mạnh mẽ khoa học công nghệ, nhu cầu hiểu biết sử dụng công cụ ngẫu nhiên phân tích xử lý thông tin ngày trở nên đặc biệt cần thiết Các kiến thức phương pháp xác suất thống kê đă hỗ trợ hữu hiệu nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khoa học khác vật lý, hóa học, sinh y học, nông học, kinh tế học, xã hội học, ngôn ngữ học Trong chục năm gần đây, giáo trình xác suất thông kê trở thành sở nhiều ngành học trường đại học cao đẳng, từ xuất nhu cầu học tập nghiên cứu ứng dụng lớn, đôi với sinh viên ngành khoa học không chuyên toán Để thoả mãn yêu cầu đó, giáo trình cố gắng đáp ứng đòi hỏi đông đảo sinh viên nhằm hiểu biết sâu sắc khái niệm phương pháp tính xác suất thông kê để học tập đạt hiệu cao ứng dụng môn học vào ngành học môn học khác Giáo trình xác suất thống kê viết cho thời gian giảng dạy 60 tiết học Do đối tượng sinh viên đa dạng với trình độ toán khác nhau, cố gắng tìm cách tiếp cận đơn giản hợp lý, buộc phải bớt phần chặt chẽ hình thức (vốn đặc trưng cho toán học) để giúp bạn đọc tiếp cận dễ dàng chất xác suất vấn đề đặt tăng cường kỹ phân tích, xử lý tình huống, từ hình thành hệ thống khái niệm đầy đủ để sâu giải toán ngày phức tạp Giáo trình chia thành chương gồm chương dành cho phần xác suất chương cho phần phân tích thống kê Nhũmg khái niệm công thức trình bày tương đối đơn giản, dễ hiểu minh hoạ nhiều thí dụ áp dụng Các chứng minh khó lượt bớt có chọn lọc để giáo trình không cổng kềnh, công thức vấn đề liên quan nhắc đến đầy đủ để tiện không cho học tập sâu hơn, mà có ích cho bạn đọc muốn tra cứu, tìm tòi phục vụ cho ứng dụng tính toán thống kê Cuối chương có loạt tập dành để bạn đọc tự giải nhằm hiểu biết sâu sắc lý thuyết rèn luyện kỹ thực hành Hy vọng giáo trình có ích cho bạn đọc xa gần, sinh viên, cán giảng dạy trường đại học cao đẳng, cán khoa học kinh tế muốn tự học tự nghiên cứu xác suất thống kê - môn học thường coi khó tiếp thu Tác giả cám ơn ý kiến góp ý để sách ngày hoàn thiện để góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn học Trong lần tái Nhà xuất Bách Khoa - Hà Nội, số lỗi chế sửa chữa Tác giả lần tỏ lời cảm ơn đẽn ý kiến góp ý đông đảo bạn đọc để cải tiến giáo trình lần tái TÁC GIẨ Chương I KIỆN NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÂC SUẤT ■ m §1.KHÁI NIỆM Mỏ ĐẦU 1.1 Sự kiện ngẫu nhiên Khái niệm thường gặp lý thuyết xác suất kiện (mà định nghĩa chặt chẽ) Sự kiện đưỢc hiểu \âệc tượng sông tự nhiên xã hội Khi thực tập hợp điều kiện xác định, nói tắt điều kiện, gọi phép thử, có nhiều kễt cục khác Thí dụ 1.1 Gieo xúc sắc đồng chât mặt phẳng (phép thử) Phép thử có kết cục là: xuất mặt , mặt 2, , mặt chấm Mỗi kết cục với kết phức tạp như: xuất mặt có sô" chấm chẵn, mặt có sô" chấm bội 3, coi kiện Như kết cục phép thử trưòng hỢp riêng kiện Để cho tiện lợi sau này, ta ký hiệu kiện chữ in hoa A, c , Sự kiện gọi tất yếu, chắn xảy ra, đưỢc gọi bất khả xảy thực phép thử Còn kiện xảy không đưỢc gọi kiện ngẫu nhiên Từ đó, theo nghĩa đó, coi kiện tâ't yếu, ký hiệu ư, bât khả, ký hiệu V, trường hỢp riêng kiện ngẫu nhiên Thí dụ, dưói điều kiện xác định, nưốc đóng báng 0'^C kiện tất yếu; gieo xúc xắc, việc xuât mật bảv chà"m kiện bất khả Để mô tả phép thử người ta xác định tập hỢp kết cục có Tập hỢp tất kết cục phép thử (đưỢc gọi kiện sơ cấp, ký hiệu coỊ) tạo thành không gian kiện sơ cấp, ký hiệu Q = {cúịj i e /}, I tập sô", vô hạn (đếm đưỢc không đếm đưỢc) Dễ thấy thí dụ , ký hiệu Aị — kiện xuất mặt i chấm (i = , 6) Q = A 2, A 3, A 4, A 5, Ag} = {A„ i = , 6} Trong nhiều tưỢng hàng loạt thực nhiều lần phép thử, ta thây tần suất xuất kiện A chênh lệch không nhiều so vói sô' đặc trưng cho khả xuất A Số đưỢc gọi xác suất xuất A ký hiệu P(A) Như viết P(A) - p c6 nghĩa xác suâ^t xảy kiệnA bằngp Một câu hỏi tự nhiên Do đâu có kiện ngẫu nhiên? Và nhận biêt đưỢc chúng không? Thực kiện xảy theo quv luật đó; song điều kiện Lhiêu tri thức, thông tin phương tiện cần thiết (cả kinh phí, thiết bị lẫn thòi gian) nên ta khả nhận thức dầy dủ kiện Vấn đề trỏ nên khó khàn cần có thay dổi bâ"t ngò dù nhỏ điều kiện dã làm thay đổi kết cục phép thử Cho nên toán xác định chất xác suâ^t kiện phép thử tùy ý giải đưỢc 1.2 Phép toán quan hệ kiện Về mặt toán học, việc nghiên cứu quan hệ phép toán tập kiện cho phép ta xác định chúng thực chất (i) Tổng A B, ký hiệu A + , kiện có xuất hai kiện (ii) Tích A B, ký hiệu AB, kiện có xuâ"t đồng thồi hai kiện (iii) Đối lập A, ký hiệu A, kiện không xuất A Rõ ràng đối lập có tính tương hỗ A = A A + A = u, A Ã = V, ữ = y (iv) Xung khắc: hai kiện A vầ B gọi xung khắc chúng đồng thời xảy ra, tức AB = V (v) Kéo theo, ký hiệu A => B, xuất A xuất B (vi) Tương đương, ký hiệu A = B, việc xuất A xuất B ngưỢc lại (vii) Hiệu A B, ký hiệu A - B (hoặc A\B), kiện xuất A không xuất B, tức A - jB = AB Các khái niệm cho thấy tính đối lập, tổng, tích hiệu hai kiện tương ứng vối bù, hợp, giao hiệu hai tập hỢp Như sử dụng tính chất phép toán tập hỢp cho phép toán kiện, chẳng hạn dùng sơ đồ Ven thí dụ sau Thí dụ 1.2 Ký hiệu u tập vũ trụ, V tập (rỗng) Khi A tập u phép toán A v B minh họa sơ đồ Ven (xem hình ) Tập vũ trụ Kéo theo A => B Đối lập A Tống A + B Hình 1.1 khắc (ẬB = ) Tích AB Từ đó, dễ dàng công thức sau; A + B = B + A, AB = BA (giao hoán); A + (B + Q = {A + B) + C, A(BC) = (AB)C (kết hỢp); A(B + o = AB + AC (phân phối); A + Ư =U ,A + V = A ,A + A = A ; AU = A ,A V = V ,A A = A Thí dụ 1.3 Chọn từ lô hàng sản phẩm ta quan tâm đến sô"phế phẩm sản phẩm (phép thử) a) Xác định kiện sơ cấp b) Biểu diễn kiện sau theo kiện sơ cấp: có nhiều phế phẩm; có không phế phẩm, có phế phẩm Giải, a) Ký hiệu Aị - sản phẩm có ỉ phế phẩm Rõ ràn g i = 0,5 Q = {Ao, A „ A 2, A 3, A b) ị, A 5I Gọi A, B c kiện tương ứng Dễ dàng biểu diễn A = Aq + Aị, B —Aq + A| + A + Ag + Aị = A -, c = Aj + Av + A + A + A - Aq Thí dụ 1.4 Cho sơ đồ mạng điện hình 1.2 gồm bóng đèn Việc mạng điện (sự kiện A) xảy cháy bóng đèn Ọíý hiệu Aj, A 2, A 3) Hãy biểu diễn A theo ỉ = 1, 2, 3) Giải A xuất xảy trường hỢp: _^ (i) ba bóng cháy, (ii) cháy hai bóng , (iii) cháy hai bóng Hình 1.2 Từ ta có A = A 1A 2A + AịA^A.j + A, A,Ạ, Có thể dùng tính chất mạng song song nốì tiếp để có biểu diễn khác gọn hơn: A =A ,(A + A 3) Trong nhiều tập, việc xác định sô" lượng kiện sơ cấp đưa đến sử dụng kết lý thuyết tổ hỢp 1.3 Giải tích kết hợp Việc đếm sô" kết cục phép thử dựa vào mô hinh: chọn hú họa k phần tử từ n phần tử cho trưốc Nếu phân biệt thứ tự phần tử chọn ra, ta có khái niệm chỉnh hỢp; thứ tự không phân biệt, ta có tổ hợp (i) Chinh hỢp: chỉnh hỢp chập k từ n ỉ nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n cho Đó nhóm gồm k phần tử khác xếp theo thứ tự định Sô" chỉnh hỢp vậy, ký hiệu (k < TÌ) = n{n - l) (n - Ã+ ) = ^ {n-k)\ (1 ) (ii) Chỉnh hỢp lặp: chỉnh hợp lặp chập Ấỉ từ n nhóm có thứ tự gồm k phần tử giống lấy từ n cho Đó nhóm gồpn k phần tử lặp lại xếp theo thứ tự định, s ố chỉnh hỢp lặp vậy, ký hiệu lặ Ă Ì = n ' ‘ ( 2) (iii) Hoán vị: hoán vị n nhóm gồm n phần tử đưỢc xếp theo 'thứ tự Rõ ràng số hoán vị vậy, ký hiệu p„, số chỉnh hỢp A" p„ = n\ (1.3) (iv' Tổ hỢp: tổ hỢp chập ^ từ n nhóm (không phân biệt i;!ứ tự) gồm k phần tử khác lấy từn đãcho.Số tổ' hỢp r.hu vậy, ký hiệu (k < n) " k\ = k\{n-k)\ ^ (1.4) Thí dụ 1.5 Cho tập hỢp gồm phần tử {a, , c} Có tạo nhóm gồm phần tử chọn từ tập trên? Giải: (i) Nếu ta để ý đến thứ tự phần tử phần tử đưỢc chọn lần, sô" nhóm thu = 3.2 = 6; {a, 6}; {6, a}; {a, c}; {c, a}; {b, c}, {c, b} (ii) Nếu để ý đến thứ tự, phần tử chọn nhiều lần, số nhóm thu trở thành Ag = 3^ = 9; là: {a, 6}; ịb, a}; {a, c}; {c, a}; {ồ, c), {c, 6}; {a, a)\ {b, 6}; ịc, e} (iii) Nếu không để ý đến thứ tự phần tử chúng chọn lần, sô" nhóm thu đưỢc trở thành c | = 3; {a, 6}; {a, c}; {ồ, c} Thí dụ 1.6 Một lổp phải học môn học kỳ, ngày học môn Hỏi có cách xếp thòi khóa biểu ngày? Giải Sô" cách xếp cần tìm sô" cách ghép môn từ món, cách ghép khác có môn khác thứ tự môn khác Từ theo ( ) ta có số cách cần tìm Aị = 6.5.4 = 120 Thí dụ 1.7 Có thể đánh số xe dùng sô"từ đến 5? Giải Mỗi sô"thứ tự xe dễ thấy chỉnh hỢp lặp chập từ Từ theo (1.2) ta có sốlượng xe đánh số Ă \ = 5^ = 125 Thí dụ 1.8 Có cách lập hội đồng gồm người chọn số ngưòi? 10 Giải Hội đồng nhóm người lấy từ người, theo (1.4) có Cg = 8!/(3!5!) = 56 cách lập Cuối cùng, để ý ta quen thuộc với khái niệm tổ hỢp dùng công thức nhị thức Niu-tơn (x + C>"^'a + + ^ + aỴ ' = c°x’' n n n + + C"a\ n Từ dễ dàng chứng minh (để ý c° = c 'n n ^ c*n = 1) =C n.-l, ^í +c*n -1 §2 CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA XÁC SUẤT 2.1 Định nghĩa cổ điển Trong mục ta làm việc với phép thử có kết cục đồng khả Khái niệm đồng khả đóng vai trò chủ đạo khó định nghĩa cách hình thức Xét thí dụ đơn giản sau đây: Thí dụ 2.1 Trong hộp có n viên bi giông kích cỡ khác màu sắc, có m bi trắng vầ n m bi đỏ Rút hú họa viên bi (phép thử) Do sô" viên bi n nên tổng số kết cục khác n, tính giông chúng nên viên bi có khả đưỢc rút Bây giò gọi A kiện rút bi trắng sô" n kết cục đồng khả có m kết cục thuận lợi cho A Vì trực giác cho thấy nên chọn tỷ sô" mln làm xác suất việc xuâ't A Đ inh n ghĩa Cho phép thử với n kết cục đồng khả năng, có m kết cục thuận lợi cho A, , X m số kết cuc thuân lơi cho A P{A) = — = - , ■,— — n tống sô kết cục có thê /o \ (2.1) 11 Khảo sát nhiệt độ phản ứng hóa học (y) vối nồng độ bốn hóa chất khác (Xi, i = 1,4 ) ta có số liệu: ^2 26 X3 60 29 15 52 104,3 11 56 20 87,6 11 31 47 95,9 52 33 109,2 11 55 22 102,7 71 17 72,5 31 22 44 93,1 54 18 22 115,9 21 47 26 40 23 34 y 78,5 X 74,5 83,8 ^ 113,3 11 66 12 109,4 10 68 a) Tính ma trận tương quan mẫu bình luận kết b) Xây dựng mô hình hồi quy bội (tuyến tính) thực nghiệm so sánh kết phương diện sai số mô hình hệ số tưdng quan bội riêng c) Mô hình hồi quy bội có tốt mô hình bội hay không? Tại sao? d) Xây dựng mô hình hồi quy mẫu bội đánh giá tính phù hợp mô hình Theo bạn mô hình bội cấp cao có tốt không? Tại sao? 229 Phụ■ lục m CÂC BẢNG SÔ Bảng hàm Gao-xơ (p(x) = 72 K 0.0 0.3989 3989 3989 3986 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0.1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0.2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0.3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0.4 3683 3668 9653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0.5 3521 3503 3485 3467 3448 3929 3410 3391 3372 3352 0.6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0.7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0.8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0.9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1.0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1.1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1.2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1.3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1.4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1.5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1.6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1.7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1.8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1.9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 230 l Bảng hàm Gao-xơ 3,9) coi qịx) = Chú ý (p{.) hàm chẵn (p{-x) - (p{x) Việc tra bảng tính ộ{x) làm giông Chẳng hạn muốn tính ệ{l,2ò), dóng hàng "1,2" cột "5" ta gặp 39435 nên ệ{l,2ĩ)) = 0,39425 Với X > coi ệ{x) = 0,5 Chú ý 0) P(| z I < Xo) = P(-Xo < X < Xo) = ộ {x q ) , P ( X < Xo) = (p(xq) + 0,5 = Fixo), P ( X < -Xo) = 0,5 P ( X > X q) = 0,5 - ệ{xo), ộ{Xo) Nếu X ~ oV{a, ơ^), nên làm phép biến đổi Y - —— — việc tra bảng đốì với biến X chuyển thành đốì với biến Y ~ l ỉ (0, 1) Nếu biết giá trị ệ(xo), muôn tìm lại Xo, trình tra bảng ngược lại với bên Để tìm giá trị „ cho P{X < a) - oc biết rằn g X ~ t{n) việc tra bảng đơn giản; dóng hàng "n" cột "a" tương ứng (chẳng hạn í(8; 0,95) = 1,860) Việc tìm ớị, > cho P{X > Oị,) = a với X ~ t{n) tương đương với việc tra bảng tìm - K i-n ■Do tính đôi xứng, muôn tìm ớ* < cho P{X > Oị,) = a, ta tra bảng tìm , sau = -í„ 1_ a ■ 237 Trong ba tham sô" n, a vầ tna nê\i biết hai ta tìm tham sô"thứ Cuôi cùng, n > 30, thay tìm 9b = 1- a ta tìm 6(j ^ cho ^(ớj) = từ bảng Láp-la-xơ Để tìm giá trị xl^ cho P(X [...]... người ta lấy ngay tần suất khi sô" phép thử đủ lớn làm xác suất của sự kiện Cách hiểu như vậy đưỢc gọi là định nghĩa thống kê của xác suất Như vậy xác suất ở đây là mộr giá trị gần đúng và nhiều ngưòi cho rằng đó không phải là một định nghĩa thật sự Tuy nhiên, trong nhiều ngành khoa học thực nghiệm xác suất đưỢc xác định theo cách này đạt độ chính xác khá lớn và rất phù hỢp với thực tế cũng như với tính... để xây dựng lý thuyết xác suất như là một khoa học cũng chính là việc quan sát tính ổn định thông kê của các tẩn suất của vô vàn các hiện tượng thực tế Từ đó dễ hiểu vì sao có thể định nghĩa lỵ thuyết xác suất như là một khoa học nghiên cứu các mô hình toán học của các hiện tưđng ngẫu nhiên có tầii suất ổn định 2.3 Định nghĩa tiên để Các định nghĩa cổ điển và thống kê của xác suất có nhiều hạn chế... tiễn Cách tiếp cận này liên hệ chặt chẽ lý thuyết xác suất với lý thuyết hàrn sô’ và tập hỢp Cách xác định xác suất theo tiên đề sẽ chứa 16 trong nó các định nghĩa cổ điển và thống kê của xác suất như là các trường hỢp riêng Ta quay trở lại không gian các sự kiện sđ cấp Q (xem § 1 ), còn bản thân các phần tử là gì không quan trọng Tiếp theo xác định hệ thống (Ả các tập hỢp con của Q, các phần tử của... thức (4.3) có tên gọi là công thức Bay-ét Các xác suất P(Ai), i — 1, n, đã được xác định từ trước, thường đưỢc gọi là xác suâ^t tiên nghiệm; còn các xác suất P(A( H), i - 1 n, được xác định sau khi đã có kết quả thí nghiệm nào đó thế hiện qua sự xuâ’t hiện của H, thường đưỢc gọi là xác suất hậu nghiệm Như vậy công thức Bay-ét cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các A, sau khi đã có thêm thông tin... nghiệm rất lớn (cỡ 10 ^®- 10 ^'*) Có thể kiểm tra được rằng xác suất định nghĩa theo thống kê thỏa mãn các tính chất trình hày ở mục trước Chú ý ỉà trong định nghĩa phải có điều kiện các phép thử lặp ỉại nhu nhau, điều này trên thực tế không dễ bảo đảm nên tần suất có thể phụ thuộc vào thời gian Mặc dù vậy phương pháp xác định xác suất theo tần suất có phạm vi ứng dụng rất lớn trong nhiều ngành khoa học... rút hú họa ra một bao Tìm xác suất sao cho người đó lần đầu rút phải bao rỗng thì trong bao kia còn đúng k que (k = 1 , 2 , , n) 36 2 1 Xác suất trúng đích của một lần bắn là 0,4 cần phải bắn bao nhiêu phát để xác suất có ít nhất một viên trúng sẽ ìôn hơn 0,95? 22 Một xí nghiệp có 3 xe tải với xác suất hỏng trong ngày của mỗi xe tương ứng là 0,01; 0,005 và 0,002 Tìm xác suất để trong ngày: a) có 2... đọc hãy tự giải theo cách này Thí dụ 3.7 Một gia đình có 6 coh Tìm xác suất đế gia đình đó có số con trai nhiều hơn sô" con gái Giải Ta chấp nhận xác suất sinh con trai bằng xác suất sinh con gái và bằng 0,5, ngoài ra kết quả mỗi lần sinh được coi là độc lập với nhau Gọi A là sự kiện sô" con trai nhiều hơn con gái, khi đó việc tính trực tiếp P(A) đưa về xác định các trường hỢp; hoặc 6 trai, hoặc 5 trai... hằng sô" xác định Sự khác biệt đó càng ít khi sô' phép thử tăng nhiều lên Hơn nữa đối với các phép thử xét ở mục 2.1 hằng sô" xác định đó trùng vối xác suất theo định nghĩa cổ điển Đặc tính ổn định của tần suất khi sô”phép thử tăng lên khá lớn cho phép ta định nghía xác suất của sự kiện là trị sô" ổn định đó của tần suất xuâ^t hiện sự kiện Nhưng do hằng sô^ đó chưa biết, nên người ta lấy ngay tần suất. .. Ngoài ra nếu (4.1) cho ta xác suất không có điều kiện, thì (4.3) cho phép tính xác suất có điều kiện, trong đó sự kiện A, cần tính xác suất phải là một thành viên của nhóm đầy đủ đang xét Từ đó thấy rằng việc dùng công thức Bay-ét để tính xác suất có điều kiện đã gỢi ý cho ta cách chọn nhóm đầy đủ sao cho sự kiện quan tâm phải là thành viên Trong trường hỢp không có (hoặc rất khó xác định) nhóm đầy đủ,... xác suất ở đây nhìn từ quan điểm của lý thuyết tập hỢp chính là sự đưa vào cùng với Q một độ đo không âm, trực chuẩn, cộng tính, xác định cho mọi phần tử của tập ... kiện Nhưng sô^ chưa biết, nên người ta lấy tần suất sô" phép thử đủ lớn làm xác suất kiện Cách hiểu đưỢc gọi định nghĩa thống kê xác suất Như xác suất mộr giá trị gần nhiều ngưòi cho định nghĩa... Cách tiếp cận liên hệ chặt chẽ lý thuyết xác suất với lý thuyết hàrn sô’ tập hỢp Cách xác định xác suất theo tiên đề chứa 16 định nghĩa cổ điển thống kê xác suất trường hỢp riêng Ta quay trở lại... Bay-ét Các xác suất P(Ai), i — 1, n, xác định từ trước, thường đưỢc gọi xác suâ^t tiên nghiệm; xác suất P(A( H), i - n, xác định sau có kết thí nghiệm qua xuâ’t H, thường đưỢc gọi xác suất hậu