BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XẮC SUẤT
2.2. Hàm phân phối xác suâ't
Bảng phân phôi xác suất có một hạn chế cơ bản là chưa đủ tổng q u á t để đặc trư n g cho một biến ngẫu nhiên tùy ý, nhấ^t là ti^ưòng hỢp biến liên tục. Vì vậy ngưòi ta đưa ra khái niệm sau:
Đ ịn h n g h ĩa 2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là F{x), được xác định như sau:
F(x) = P{X < x), X e R (2.1)
Từ định nghĩa trên, F{x) phản ánh độ tập trung xác suất ở bên phải của sô' thực X . Trong trưòng hỢp biến ngẫu nhiên ròi
rạc, (2.1) cho ta một hàm còn được gọi là hàm phân phôi tích lũy (hay xác suất tích lũy).
Thí dụ 2.5. Từ bảng phân phôi của thí dụ 2.2 và dùng (2.1) ta sẽ có F{x) = 2^ p{Xị)vằ
X. < x
F{x) =
0, X < 1, 0,6, 1 < X < 2 ,
0,84, 2 < X < 3, 1, X ^ 3.
Đồ thị của hàm phân phôi xác su ấ t này là hàm bậc thang;
Để ý là X có bao nhiêu giá trị thì F(x) có bằng ấy điểm gián đoạn loại 1 (xí-m hình 2.1).
1 0,84 0,6
0 2
Hình 2.1
3 X
Hàm phân phôi xác suất có F{x) vai trò quan trọng khi nghiên
cứu các biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu ta biết được hàm phân phối xác suất có nghĩa là xác định hoàn toàn biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên trong thực tế cũng phải thấy rằng việc tìm được F{x) là rất khó, nếu không nói là hầu như không thể làm đưỢc.
Có thể nêu ra một văi tính chất của hàm F{x)\
(i) 1 > F{x) > 0.
(ii) F{x) là một hàm không giảm, tức là nếu thì F{xỉ) > F{x[).
ặ n ) P { a < X < fĩ)^F{JỈ}-F{a). (2.2) Hệ quả hiển nhiên: nếu X liên tục và F{x) liên tục tại a thì P{X = a) = 0.
(iv) F{+<x>) = 1; F{-<ò) = 0.
Việc chứng minh các tính chất trên có thể dựa vào định nghĩa- (2.1). Cũng từ định nghĩa ấy ta thấy F{x) ít nhất phải là hàm liên tục trái (xem ví dụ 2.5 ở trên), còn trong trường hỢp X liên tục thì F{x) nói chung là một hàm liên tục. Trong tính chất (iv) F{+ oc) ký hiệu lim F{x), tương tự đôi với F{-<ò), Cuôi cùng để ý là (2-.2) luôn đúng vối mọi biến X liên tục hay ròi rạc, trong trường hỢp F{x) liên tục có hệ quả hiển nhiên:
P{a <x< p) - P{a <x< P) = P{a <x< p) - P{a <x <P),
T h í dụ 2.6. Cho hàm p hân phôi xác su ấ t của một biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng:
F ( x ) = i
0, X < 2, a(x - 2)^, 2 < X < 4,
], X > 4.
Xác định hằng số a và tính P( 2 < X < 3).
Giải. Do F(x) liên tục, nên tại = 4 ta phải có a(4 từ đó a = —. Dùng (2.2) ta có:
4 ■
P ( 2 < x < 3 ) = F (3 )- F( 2 ) = - (3 - 2)2 - 0 4
1
4 2.3. Hàm mật độ xác suất ■ •
Hàm phân phôi F{x) còn một hạn chê (mà bảng phân phối không có) là không cho biết rõ phân phối xác suất ở lân cận một điểm nào đó trên trục sô". Vì vậy đổì với các biến ngẫu-nhiên liên tục, có F(x) khả vi, người ta đưa ra khái niệm sau đây.
Đ ịn h n g h ĩa 3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là fix), có hàm phân phối F{x) khả vi (trừ ở một sô'
hữu hạn điểm gián đoạn bị chặn), được xác định bằng
f{x) = F\x). (2.3a)
Từ công thức định nghĩa (2.3a) và các khái niệm đạo hàm và tích phân, ta có ngay do tích phân là phép toán ngưỢc của đạo hàm
X
F{ x) = \ fi t )dt .
4
—00
Từ đó công thức (2.2) sẽ tương đưdng vối;
p
p [ a < x < p ) = f/'(x)dx.
(2.3b)
(2.4)
a
Về mặt hình học (2.3b) và (2.4) cho ta diện tích phần mặt phẳng chắn bởi đường cong y = f{x), trục Ox và các đưòng thẳng tương ứng (xem hình 2.2 và 2.3).
Hàm mật độ xác suất của một biến liên tục có hai tính chất cơ bản giống như hàm xác suất ỏ mục 2.1 là
(i)f(x) > 0 \/x;
+00
(ii) Jf(x)dx - 1.
—00
Từ định nghĩa (2.1) và khái niệm đạo hàm, ta có thể thấy ở nơi nào giá trị của f(x) lân thì tại lân cận điểm đó có độ tập trung xác suất cao, điều đó giải thích tên gọi mật độ xác suất.
Thí dụ 2.7. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng ;
f(x) =
•
acosx, X G
<
K n . 2 ’ 2 0, X€ K n
. 2 ’ 2 _
a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F{x) của X.
b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng Giải, a) Dùng tính chất (ii) của hàm mật độ:
,ĩĩ
+ 0 0
n
' 2
f { x ) d x = a cosxdx = 2a = 1, K
từ đó rút ra a - —. Việc tìm Fiy) dựa vào công thức (2.3b). Ta có:
2
Với X < n thì
2 f{x)dx = 0;
X
Vối ~ ~ < x < — thì [f {x) dx =
2 2 -ocJ
— cosxcỉx = -rísina: + l ) ;1
{ 2 2 ^ ’
- 0 0 /T
9
n ""r 1
Với X > ^ thì f ị x ) d x = -^cosxdx = 1.
2 - y , ^ ^ ^ J ĩĩ 2
2
Từ đỏ F(x)
0, X < - 71
2
;r
1, .r > 71 b) Theo (2.2):
p n
< x < n = p - 1
;r
) 1 r , n .
sm — + 1 1 V2
2 4
Thí dụ 2.8. Cho xác su ất phân rã của một nguyên tử chất phóng xạ trong khoảng thòi gian dt khá bé là Ădt (giả sử sự p hân rã đó không phụ thuộc vào quá khứ). Hãy xác định:
a) Xác suâ^t để nguyên tử đó phân rã trong khoảng thòi gian t\
b) Hàm m ật độ xác su ấ t của thòi điếm phâm rã của nguyên tử.
Giải.
a) Dễ thấy xác suất không phân rã của nguyên tử trong khoảng thòi gian d í là 1 - Ầdt. Chia khoảng thời gian t thành t l d t các khoảng con có độ dài dt\ từ đó xác suất để nguyên tử không phân rã trong khoảng thời gian đó xấp xỉ là (do có giả thuyết độc lập) (1 - Ẳdty''^\ Lấy giối hạn khi dt ->■ 0, ta có xác suất cần tìm ỉà 1 - (bằng 1 - xác suất nguyên tử không phân rã trong khoảng thời gian t).
b) Gọi T là thòi điểm phân rã của nguyên tử và f{t) là hàm mật độ của T. Rõ ràng xác suất để nguyên tử phân rã ở thòi điểm trong khoảng thồi gian từ t đến í + dí sẽ bằng xác suất không phân rã trong khoảng thời gian t trưốc đó n h ân vối xác suất phân rã trong khoảng thời gian dt, từ đó;
P{t < T < t + dt) = f{t)dt - e^^‘Ẵdt.
0 , t < 0 ,
t > 0. Vậy ta có f { t ) =
Đây chính là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối mũ, ký hiệu ở đây T ~ £{Ằ).
§3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
Dâu biết rằng hàm phân phổi xác suất cho ta thông tin đầy đủ nhất vể biến ngẫu nhiên, nhưng trong thực tế ta không thể xác định được nó; từ đó dẫn đến việc tìm jnột vài đặc trưng quan trọng, thông thường là đặc trưng về vị trí và về độ phân tán. Trong 3 sô" đặc trưng về vị trí, đầu tiên ta xét về kỳ vọng, hai sô'khác là mốt và trung vị sẽ xét ỏ mục 3.3.