KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT
2. Bài toán 2 (phương sai chưa biết)
K = (2.5)
s
trong đó là phương sai mẫu hiệu chỉnh. Khi Ho đúng, ta đã biết K sẽ có phân phốĩ Stiu-đơn t{n - 1). Mặt khác do tính đốì xứng của phân phối này qua gốc tọa độ, nên cách làm rất giống vối bài toán 1 ở trên.
a) Kiểm định hai phía với Ho', a = ao vằ Hị: a ^ ữo- Đặt
= K^_ ^ ta có miền tói hạn tương ứng
n - 1 . 1 - - 2
(2.6)
b) Kiểm định một phía
+ Nếu H{. 9 < ớo/ tìm z^ = Ka = a và miền tới hạn sẽ là (2.7) + Nếu Hị-. 6 > Ooi tìm Zị, = K-ị^a - 1-a và miền tới hạn sẽ là
K={ K^r , - . K, ^>z , ] . (2.8)
Bạn đọc hãy so sánh (2.5) - (2.8) với (2.1) - (2.4) để thấy rõ sự giông và khác nhau giữa hai bài toán 1 và 2.
Thí dụ 2.3. Một nhà nhân chủng học cho rằng chiều cao trung bình của một bộ tộc người thiểu số là 160 cm. Người ta chọn ngẫu nhiên ra 16 người lốn của bộ tộc người đó thì thấy chiều cao trung bình là 164,25 cm với độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 6,25 cm. Có thể cho rằng bộ tộc người đó có chiều cao trung bình lớn hơn 160 cm hay không (giả sử chiều cao tuân theo luật phân phối chuẩn và a chọn bằng 0,05)?
Giải, ở đây ta chọn Hq-. a = 160 vối H i’. a > 160 cùng với giả thiết chiều cao X tuân theo luật chuẩn. Với a = 0,05, /I = 16 ta có Zị, = ^15- ũ 9 5 = 1,753. M ặ t khác
s 6,25
Do 1,36 < 1,753, ta không có cơ sỏ đế bác bỏ ì Hq, có nghĩa là ý kiến của nhà nhân chủng học là có thể tin được.
Chú ý rằng khi ^ > 30 việc tìm Zb trong các công thức (2.6) - (2.8) sẽ đưa về tra bảng Láp-la-xơ do tính xấp xỉ chuẩn của phân phổi Stiu-đơn. Thậm chí ngưòi ta có thể bỏ qua cả giả thiết chuẩn của biến gốc X. Tuy nhiên các kết quả trong cả hai trường hợp đều chỉ là gần đúng (nhưng đòi hỏi mẫu lớn).
2.2. Kiểm định về tỷ lệ
Giốhg như bài toán 3 ở phần khoảng tin cậy, ta đi giải quyết bài toán kiểm định về tỷ lệ sau;
Bài toán 3, Với mức ý nghĩa a, hãy kiểm định giả thuyết
Hq: p = Pq, biết r ằ n g p là tham sô p h ân phôi p).
ở chương IV ta đã biết nếu dung lượng mẫu n lớn và p không quá gần 0 hoặc 1 (tức là ĩip > 5 hoặc n (ĩ - p) > 5) thì phân phối chuẩn có thể được dùng xâp xỉ phân phôi nhị thức ,ỷỉ[n, pỊ . Nếu gọi m/n = /'là tần suâ^t mẫu - ưốc lượng của xác suâ"t Py thì p sẽ có phân phôi xấp xỉ ch uẩn với kỳ vọng bằng p và phương sai p (l - p)ỉn, Từ đó bài toán kiểm định về tỷ lệ không có khác biệt cán bản so với kiểm định về kỳ vọng.
Bạn đọc hãy tự tìm lấy các quy tắc kiểm định tương ứng (để ý đến mục 4.3 của chương IV). Chẳng hạn nếu chọn đôi thuyết Hỵ: p ^ Po thì tiêu chuẩn kiểm định sẽ là
f - Pữ K =
Vp o(1 - Po)
(2.9) và ta sẽ bác bỏ Hq nếu > Zf, với ậ[zị^) = 0,5 - a
Thí dụ 2.4. Một toà báo thanh niên thông báo có 25% học sinh phổ thông trung học là độc giả thường xuyên. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 200 học sinh đưỢc chọn cho thấy có 45 em đọc báo đó thưòng xuyên. Kiểm định tính chính xác của thông báo trên với mức ý nghĩa 0,05.
Giải. Rõ ràng nên chọn Hq. p = 0,25 với p 0,25. Với a = 0,05 giá trị tra bảng = 1,96. Mặt khác theo (2.9)
' - 0.806
> o ( l - P o ) > 2 5 . ( 1 - 0 , 2 5 )
Từ đó do -0,806 < 1,96 ta không có cơ sở để bác bỏ thông báo của tòa báo đó.
Thí dụ 2.5. Một hiệu làm đầu cho rằng 90% khách hàng của họ hài lòng với chất lượng phục vụ. Nghi ngờ chủ hiệu nói quá lên, một nhà điều tra xã hội học phỏng vấn 150 khách hàng của hiệu .làm đầu thì thấy 132 ngưòi nói hài lòng. Với mức a = 0,05; có thể trả lòi thế nào cho nghi ngờ trên?
Giải, ở đây ta nên chọn HqI p = 0,9 với H^: p < 0.9. Với a - 0,05, giá trị Zịj tìm đưỢc bằng các tra bảng ậ(Zb) = a - 0,5 = -0 ,4 5 , suy ra Zịj = -1,6 4 5 . Mặt khác
^ ~ .- Vn = (^ 32/150)- -0,833.
ỰPo(l - Po) j 0 ,9 .( l- 0 ,9 )
Từ đó do -0 ,8 3 3 > -1,645; ta không có cơ sở bác bỏ ý kiến của hiệu làm đầu.
2.3. Kiểm định vể phương sai
Với giả thuyết chuẩn của biến gốc X và xuất phát từ một
mẫu X i , ^2, ta phải kiểm định giả thuyết sau:
Bài toán 4. Kiểm định Hq. VX = ƠQ (ơođã biết) với mức ý nghĩa a. Để kiểm định giả thuyết trên ta dùng thống kê
(2.10) Nếu giả thuyết Hq đúng thì từ chương IV ta biết K ~ [ n - ì ) (chú ý rằng nếu thay ( n - l ) s ^ = ^ { x - - d o Ỷ , với ao = EX đã
i=l
cho, th ì thông kê trong (2.10) sẽ tu â n theo lu ậ t ỵ^{n) và cách làm sẽ giông như trường hỢp trên vối n - l đưỢc thay bằng n).
Từ đó phụ thuộc vào ta có các miền tới hạn khác nhau:
a) ơ ^ ƠQ Ị
hoặc K, , > } (2.11) b) / / , ; cr^ < CTồ;
, ị (2.12a)
c) : a^> ơổ
(2.12a)
Bạn đọc hãy so sánh (2.11) - (2.12) với các công thức tương ứng của mục 4.4, chương IV.
Thí dụ 2.6. Chủ hãng sản xuất một loại thiết bị đo cho biết độ lệch chuẩn của sai sô'' đo (giả sử nó tuân theo luật chuẩn) là 5 mm. Kiểm tra mẫu gồm 19 thiết bị đo thì thấy s'^ = 33 mni".
Với a = 0,05 có thể kết luận gì về ý kiến của chủ hãng?
Giải. Ta chọn Hq. cr - 25, còn đôi thuyết hoặc cr ^ 25, hoặc cr > 25. Trong cả hai trường hỢp
cr;
18,33
25 23,76.
Mặt khác nếu cho 25 ta phải tra hai lần bảng /Í^18;0,02õ “ /18-0,975 ~ 31,5;
Còn nếu / Íị: > 25 thì = 28,9 . Như vậy trong cả hai trường hỢp ý kiến của chủ hãng đều có thể chấp nhận được (do
8,2 < 23,76 < 31,5 hoặc 23,76 < 28,9).
Thí dụ 2.7. Thử độ chịu lực của 35 chôt khoá thì thấy độ
^ ệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 3,5 pao (1 pao cỡ 450g). Có thể cho rằng bảo đảm của ngưồi sản xuất là độ lệch chuẩn thật bằng 3 pao được không?
Giải. Ta chọn //(): cr= 3 với đôi thuyết ơ-> 3. Tất nhiên có thể đưa về bài toán 4, nhưng ở đây dung lượng mẫu n = 35 nên ta sử dụng sự kiện (xem §2, chương IV) s có phân phôi xấp
_ 2 ^ XỈ c h u ẩ n c4' cr,o;
2n nếu Hq đúng. Từ đó ta đưa về dùng (2.4).
Với a = 0,05, giá trị Zị, - 1,645. Mặt khác Ktn s - ơc
ơf
Do 1,39 < 1,645 nên không có cơ sở để bác bỏ bảo đảm của nhà sản xuâ't.
§3. CÁC KIỂM ĐỊNH DÙNG NHIỂU MẪU 3.1. So sánh hai kỳ vọng
Giả sử ta có hai tập nền với hai biến gôc tương ứng X ~ c4\ai, ơ-|“) và Y ~ ơị'{a.2, ờị). Nếu muốn so sánh a, và Ơ2 người ta đưa ra giả thuyết Hq-. a, = ô2- Thụng tin mẫu gồm hai tập mẫu tương ứnga:„ v à y ,, •••,
Bài toán 1. Với mức a hãy kiểm định Hỏ. Oi = 02-
Ý tưởng lý thuyết là đưa về kiểm định Oi - Ơ2 = 0 = E Ọ í- Y).
1) Nếu biết ơ, và ơ-2 ta sử dụng tiêu chuẩn ( x - ỹ ) - ( a i - a^)
K = ^---( 3 . 1 )
? 2
i
+ ----^2
^2
Dễ kiểm tra từ chương IV, ta thấy thông kê (3.1) có phân phối c4'X0, 1) và nếu Hq đúng thì Oi - Ơ2 = 0. Từ đó giông như bài toán 1 của §2 ta có (trong đó Z a là phân vị chuẩn a).
a) Nếu Hi, Ữ2 , miền tới hạn một phía là (xem (2.2))
B a = liT j > z (3.2)
1 - - 2
b) Nếu Hỵ: ơi < 02, miền tói hạn một phía là (xem (2.3))
B a = { K, „, K, , <Za} (3.3)
c) Nếu Hị: ai > a2, miền tói hạn hai phía là (xem (2.4))
Ba — { Kị^. Ki^ Zi_a) (3*4)
Để ý trong (3.3) và (3.4) Za - —2i_a.
2) Nếu ơ ị và ơ ị chưa biết ta lưu ý hai trưòng hỢp:
+ Nêu và rí2 đủ lốn (>30) ta có thể tính toán xấp xỉ bằng cách dùng thông kê (3.1), nhưng các ơỊ và Ờị thay bằng các ưốc lượng không chệch tương ứng của chúng là $1 và sị. Bạn đọc tự viết các miền tới hạn tương ứng (xem (3.2). (3.4)).
+ Nếu /2] và ỈI2 khá bé, vấn đề sẽ phức tạp hơn một chút.
Ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn sau:
( x - ỹ ) - ( a , - a , ) K = ,
\
________1 ) s ị + ( ^ 2 ^
(3.5) V^I n2 J
+ rÌ2 ~ 2
Nếu thêm giả thiết hai biến gôc có phương sai giông nhau thì nếu Ho đúng, thông kê K ^ t(rii + ri2 — 2). Từ đó cách làm sẽ giông như bài toán 2 của §2.
a) H^: Oị ữ2 thì Ba = ị Kt ^:\ Ki J> t ^ }; (3.6)
) 2 ọ
b) H,: a, < thì (3-7)
c) H^: a, > a., thì (3-8)
Bạn đọc thử so sánh (3.6) - (3.8) với (2.6) - (2.8) và sau đó với (3*2)-(3.4).
Thí dụ 3,1, Nghiên cứu trọng lượng sơ sinh của hai nhóm trẻ có mẹ không hút thuốc và hút thuốc trên 2 mẫu tương ứng, ta có
n, = 15; = 3,5933; = 0,3707;
ri2 = 14; ^2 = 3,2029; = 0,4927;
Giả sử trọng lượng trẻ ỏ các nhóm có phân phôi chuẩn cùng phương sai. Với mức a = 0,05 có thể cho rằng trẻ sơ sinh ở nhóm mẹ hút thuốc nhẹ cân hơn của nhóm mẹ không hút thuôc không?
Giải: Ta chọn iớo: cti = ô2 với đụi thuyết Hị\ Ui > Ơ2. Theo (3.8) giá trị bảng Zị, = ^ = í,^7;0.95 = Mặt khác
3,5933 - 3,2029
2,42.
Ỉ14.0,3707^ - 13.0,4927' 15 + 1 4 - 2
1 1
15 + -14
Theo (3.8) do 2,42 > 1,703, có cơ sở để cho rằng trẻ ỏ nhóm mẹ xhông h ú t thuôc nặng hơn.