Đang tải... (xem toàn văn)
Từ xác suất (probability) bắt nguồn từ chữ probare trong tiếng Latin và có nghĩa là "để chứng minh, để kiểm chứng". Nói một cách đơn giản, probable là một trong nhiều từ dùng để chỉ những sự kiện hoặc kiến thức chưa chắc chắn, và thường đi kèm với các từ như "có vẻ là", "mạo hiểm", "may rủi", "không chắc chắn" hay "nghi ngờ", tùy vào ngữ cảnh. "Cơ hội" (chance), "cá cược" (odds, bet) là những từ cho khái niệm tương tự. Nếu lý thuyết cơ học có định nghĩa chính xác cho "công" và "lực", thì lý thuyết xác suất nhằm mục đích định nghĩa "khả năng".
TỐNG ĐÌNH QUỲ GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Tái bán lần thử năm) NHÀ XUẤT BẢ N BÁCH KHOA - HÀ NỘI CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt LỜI NÚI ĐẨU Lý thuyết xác suất thống kê toán học ngành khoa học giữ vị trí quan trọng lĩnh vực ứng dụng rộng râi phong phú đời sống người Cùng với phát triển mạnh mẽ khoa học công nghệ, nhu cầu hiểu biết sử dụng công cụ ngẫu nhiên phân tích xử lý thơng tin ngày trở nên đặc biệt cần thiết Các kiến thức phương pháp xác suất thống kê đă hỗ trợ hữu hiệu nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khoa học khác vật lý, hóa học, sinh y học, nông học, kinh tế học, xã hội học, ngôn ngữ học Trong chục năm gần đây, giáo trình xác suất thơng kê trở thành sở nhiều ngành học trường đại học cao đẳng, từ xuất nhu cầu học tập nghiên cứu ứng dụng lớn, đôi với sinh viên ngành khoa học không chuyên tốn Để thoả mãn u cầu đó, giáo trình cố gắng đáp ứng địi hỏi đơng đảo sinh viên nhằm hiểu biết sâu sắc khái niệm phương pháp tính xác suất thơng kê để học tập đạt hiệu cao ứng dụng môn học vào ngành học môn học khác Giáo trình xác suất thống kê viết cho thời gian giảng dạy 60 tiết học Do đối tượng sinh viên đa dạng với trình độ tốn khác nhau, chúng tơi cố gắng tìm cách tiếp cận đơn giản hợp lý, buộc phải bớt phần chặt chẽ hình thức (vốn đặc trưng cho tốn học) để giúp bạn đọc tiếp cận dễ dàng chất xác suất vấn đề đặt tăng cường kỹ phân tích, xử lý tình huống, từ hình thành hệ thống khái niệm đầy đủ để sâu giải toán ngày phức tạp Giáo trình chia thành chương gồm chương dành cho phần xác suất chương cho phần phân tích thống kê Nhũmg khái niệm cơng thức trình bày tương đối đơn giản, dễ hiểu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt minh hoạ nhiều thí dụ áp dụng Các chứng minh khó lượt bớt có chọn lọc để giáo trình khơng q cổng kềnh, công thức vấn đề liên quan nhắc đến đầy đủ để tiện không cho học tập sâu hơn, mà cịn có ích cho bạn đọc muốn tra cứu, tìm tịi phục vụ cho ứng dụng tính tốn thống kê Cuối chương có loạt tập dành để bạn đọc tự giải nhằm hiểu biết sâu sắc lý thuyết rèn luyện kỹ thực hành Hy vọng giáo trình có ích cho bạn đọc xa gần, sinh viên, cán giảng dạy trường đại học cao đẳng, cán khoa học kinh tế muốn tự học tự nghiên cứu xác suất thống kê - môn học thường coi khó tiếp thu Tác giả cám ơn ý kiến góp ý để sách ngày hồn thiện để góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn học Trong lần tái Nhà xuất Bách Khoa - Hà Nội, số lỗi chế sửa chữa Tác giả lần tỏ lời cảm ơn đẽn ý kiến góp ý đơng đảo bạn đọc để cải tiến giáo trình lần tái TÁC GIẨ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương I KIỆN NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÂC SUẤT ■ m §1.KHÁI NIỆM Mỏ ĐẦU 1.1 Sự kiện ngẫu nhiên Khái niệm thường gặp lý thuyết xác suất kiện (mà định nghĩa chặt chẽ) Sự kiện đưỢc hiểu \âệc tượng sông tự nhiên xã hội Khi thực tập hợp điều kiện xác định, nói tắt điều kiện, gọi phép thử, có nhiều kễt cục khác Thí dụ 1.1 Gieo xúc sắc đồng chât mặt phẳng (phép thử) Phép thử có kết cục là: xuất mặt , mặt 2, , mặt chấm Mỗi kết cục với kết phức tạp như: xuất mặt có sơ" chấm chẵn, mặt có sơ" chấm bội 3, coi kiện Như kết cục phép thử trưòng hỢp riêng kiện Để cho tiện lợi sau này, ta ký hiệu kiện chữ in hoa A, c , Sự kiện gọi tất yếu, chắn xảy ra, đưỢc gọi bất khả khơng thể xảy thực phép thử Cịn kiện xảy không đưỢc gọi kiện ngẫu nhiên Từ đó, theo nghĩa đó, coi kiện tâ't yếu, ký hiệu ư, bât khả, ký hiệu V, trường hỢp riêng kiện ngẫu nhiên Thí dụ, dưói điều kiện xác định, nưốc đóng báng 0'^C kiện tất yếu; gieo xúc xắc, việc xuât mật bảv chà"m kiện bất khả CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Để mô tả phép thử người ta xác định tập hỢp kết cục có Tập hỢp tất kết cục phép thử (đưỢc gọi kiện sơ cấp, ký hiệu coỊ) tạo thành không gian kiện sơ cấp, ký hiệu Q = {cúịj i e /}, I tập sơ", vô hạn (đếm đưỢc không đếm đưỢc) Dễ thấy thí dụ , ký hiệu Aị — kiện xuất mặt i chấm (i = , 6) Q = A 2, A 3, A 4, A 5, Ag} = {A„ i = , 6} Trong nhiều tưỢng hàng loạt thực nhiều lần phép thử, ta thây tần suất xuất kiện A chênh lệch khơng nhiều so vói sơ' đặc trưng cho khả xuất A Số đưỢc gọi xác suất xuất A ký hiệu P(A) Như viết P(A) - p c6 nghĩa xác suâ^t xảy kiệnA bằngp Một câu hỏi tự nhiên Do đâu có kiện ngẫu nhiên? Và nhận biêt đưỢc chúng không? Thực kiện xảy theo quv luật đó; song điều kiện Lhiêu tri thức, thông tin phương tiện cần thiết (cả kinh phí, thiết bị lẫn thịi gian) nên ta khơng có khả nhận thức dầy dủ kiện Vấn đề trỏ nên khó khàn cần có thay dổi bâ"t ngò dù nhỏ điều kiện dã làm thay đổi kết cục phép thử Cho nên toán xác định chất xác suâ^t kiện phép thử tùy ý khơng thể giải đưỢc 1.2 Phép tốn quan hệ kiện Về mặt toán học, việc nghiên cứu quan hệ phép toán tập kiện cho phép ta xác định chúng thực chất (i) Tổng A B, ký hiệu A + , kiện có xuất hai kiện (ii) Tích A B, ký hiệu AB, kiện có xuâ"t đồng thồi hai kiện CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt (iii) Đối lập A, ký hiệu A, kiện không xuất A Rõ ràng đối lập có tính tương hỗ A = A A + A = u, A Ã = V, ữ = y (iv) Xung khắc: hai kiện A vầ B gọi xung khắc chúng đồng thời xảy ra, tức AB = V (v) Kéo theo, ký hiệu A => B, xuất A xuất B (vi) Tương đương, ký hiệu A = B, việc xuất A xuất B ngưỢc lại (vii) Hiệu A B, ký hiệu A - B (hoặc A\B), kiện xuất A không xuất B, tức A - jB = AB Các khái niệm cho thấy tính đối lập, tổng, tích hiệu hai kiện tương ứng vối bù, hợp, giao hiệu hai tập hỢp Như sử dụng tính chất phép toán tập hỢp cho phép toán kiện, chẳng hạn dùng sơ đồ Ven thí dụ sau Thí dụ 1.2 Ký hiệu u tập vũ trụ, V tập (rỗng) Khi A tập u phép tốn A v B minh họa sơ đồ Ven (xem hình ) Tập vũ trụ Kéo theo A => B Đối lập A Tống A + B khắc (ẬB = ) Tích AB Hình 1.1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Từ đó, dễ dàng cơng thức sau; A + B = B + A, AB = BA (giao hoán); A + (B + Q = {A + B) + C, A(BC) = (AB)C (kết hỢp); A(B + o = AB + AC (phân phối); A + Ư =U ,A + V = A ,A + A = A ; AU = A ,A V = V ,A A = A Thí dụ 1.3 Chọn từ lơ hàng sản phẩm ta quan tâm đến sơ"phế phẩm sản phẩm (phép thử) a) Xác định kiện sơ cấp b) Biểu diễn kiện sau theo kiện sơ cấp: có nhiều phế phẩm; có khơng q phế phẩm, có phế phẩm Giải, a) Ký hiệu Aị - sản phẩm có ỉ phế phẩm Rõ ràn g i = 0,5 Q = {Ao, A „ A 2, A 3, A b) ị, A 5I Gọi A, B c kiện tương ứng Dễ dàng biểu diễn A = Aq + Aị, B —Aq + A| + A + Ag + Aị = A -, c = Aj + Av + A + A + A - Aq Thí dụ 1.4 Cho sơ đồ mạng điện hình 1.2 gồm bóng đèn Việc mạng điện (sự kiện A) xảy cháy bóng đèn Ọíý hiệu Aj, A 2, A 3) Hãy biểu diễn A theo ỉ = 1, 2, 3) Giải A xuất xảy trường hỢp: _^ (i) ba bóng cháy, (ii) cháy hai bóng , (iii) cháy hai bóng Hình 1.2 Từ ta có A = A 1A 2A + AịA^A.j + A, A,Ạ, CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Có thể dùng tính chất mạng song song nốì tiếp để có biểu diễn khác gọn hơn: A =A ,(A + A 3) Trong nhiều tập, việc xác định sô" lượng kiện sơ cấp đưa đến sử dụng kết lý thuyết tổ hỢp 1.3 Giải tích kết hợp Việc đếm sơ" kết cục phép thử dựa vào mô hinh: chọn hú họa k phần tử từ n phần tử cho trưốc Nếu phân biệt thứ tự phần tử chọn ra, ta có khái niệm chỉnh hỢp; thứ tự khơng phân biệt, ta có tổ hợp (i) Chinh hỢp: chỉnh hỢp chập k từ n ỉ nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n cho Đó nhóm gồm k phần tử khác xếp theo thứ tự định Sô" chỉnh hỢp vậy, ký hiệu (k < TÌ) = n{n - l) (n - Ã+ ) = ^ {n-k)\ (1 ) (ii) Chỉnh hỢp lặp: chỉnh hợp lặp chập Ấỉ từ n nhóm có thứ tự gồm k phần tử giống lấy từ n cho Đó nhóm gồpn k phần tử lặp lại xếp theo thứ tự định, s ố chỉnh hỢp lặp vậy, ký hiệu lặ ( 2) Ă Ì = n ' ‘ (iii) Hốn vị: hốn vị n nhóm gồm n phần tử đưỢc xếp theo 'thứ tự Rõ ràng số hốn vị vậy, ký hiệu p„, số chỉnh hỢp A" p„ = n\ (1.3) (iv' Tổ hỢp: tổ hỢp chập ^ từ n nhóm (khơng phân biệt i;!ứ tự) gồm k phần tử khác lấy từn đãcho.Số tổ' hỢp r.hu vậy, ký hiệu (k < n) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt " k\ = k\{n-k)\ ^ (1.4) Thí dụ 1.5 Cho tập hỢp gồm phần tử {a, , c} Có tạo nhóm gồm phần tử chọn từ tập trên? Giải: (i) Nếu ta để ý đến thứ tự phần tử phần tử đưỢc chọn lần, sơ" nhóm thu = 3.2 = 6; {a, 6}; {6, a}; {a, c}; {c, a}; {b, c}, {c, b} (ii) Nếu để ý đến thứ tự, phần tử chọn nhiều lần, số nhóm thu trở thành Ag = 3^ = 9; là: {a, 6}; ịb, a}; {a, c}; {c, a}; {ồ, c), {c, 6}; {a, a)\ {b, 6}; ịc, e} (iii) Nếu không để ý đến thứ tự phần tử chúng chọn lần, sơ" nhóm thu đưỢc trở thành c | = 3; {a, 6}; {a, c}; {ồ, c} Thí dụ 1.6 Một lổp phải học mơn học kỳ, ngày học mơn Hỏi có cách xếp thịi khóa biểu ngày? Giải Sơ" cách xếp cần tìm sơ" cách ghép mơn từ món, cách ghép khác có mơn khác thứ tự mơn khác Từ theo ( ) ta có số cách cần tìm Aị = 6.5.4 = 120 Thí dụ 1.7 Có thể đánh số xe dùng sô"từ đến 5? Giải Mỗi sô"thứ tự xe dễ thấy chỉnh hỢp lặp chập từ Từ theo (1.2) ta có sốlượng xe đánh số Ă \ = 5^ = 125 Thí dụ 1.8 Có cách lập hội đồng gồm người chọn số ngưòi? 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giải Hội đồng nhóm người lấy từ người, theo (1.4) có Cg = 8!/(3!5!) = 56 cách lập Cuối cùng, để ý ta quen thuộc với khái niệm tổ hỢp dùng công thức nhị thức Niu-tơn (x + C>"^'a + + ^ + aỴ ' = c°x’' n n n + + C"a\ n Từ dễ dàng chứng minh (để ý c° = c 'n n ^ c*n = 1) =C n.-l, ^í +c*n -1 §2 CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA XÁC SUẤT 2.1 Định nghĩa cổ điển Trong mục ta làm việc với phép thử có kết cục đồng khả Khái niệm đồng khả đóng vai trị chủ đạo khó định nghĩa cách hình thức Xét thí dụ đơn giản sau đây: Thí dụ 2.1 Trong hộp có n viên bi giơng kích cỡ khác màu sắc, có m bi trắng vầ n m bi đỏ Rút hú họa viên bi (phép thử) Do sô" viên bi n nên tổng số kết cục khác n, tính giơng chúng nên viên bi có khả đưỢc rút Bây giò gọi A kiện rút bi trắng sơ" n kết cục đồng khả có m kết cục thuận lợi cho A Vì trực giác cho thấy nên chọn tỷ sô" mln làm xác suất việc xuâ't A Đ inh n ghĩa Cho phép thử với n kết cục đồng khả năng, có m kết cục thuận lợi cho A, , X m số kết cuc thuân lơi cho A P{A) = — = - , ■,— — n tống sơ kết cục có thê /o \ (2.1) 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khảo sát nhiệt độ phản ứng hóa học (y) vối nồng độ bốn hóa chất khác (Xi, i = 1,4 ) ta có số liệu: ^2 26 X3 60 29 15 52 104,3 11 56 20 87,6 11 31 47 95,9 52 33 109,2 11 55 22 102,7 71 17 72,5 31 22 44 93,1 54 18 22 115,9 21 47 26 40 23 34 y 78,5 X 74,5 83,8 ^ 113,3 11 66 12 109,4 10 68 a) Tính ma trận tương quan mẫu bình luận kết b) Xây dựng mơ hình hồi quy bội (tuyến tính) thực nghiệm so sánh kết phương diện sai số mơ hình hệ số tưdng quan bội riêng c) Mơ hình hồi quy bội có tốt mơ hình bội hay khơng? Tại sao? d) Xây dựng mơ hình hồi quy mẫu bội đánh giá tính phù hợp mơ hình Theo bạn mơ hình bội cấp cao có tốt không? Tại sao? 229 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phụ■ lục m CÂC BẢNG SÔ Bảng hàm Gao-xơ (p(x) = 72 K 0.0 0.3989 3989 3989 3986 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0.1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0.2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0.3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0.4 3683 3668 9653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0.5 3521 3503 3485 3467 3448 3929 3410 3391 3372 3352 0.6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0.7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0.8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0.9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1.0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1.1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1.2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1.3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1.4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1.5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1.6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1.7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1.8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1.9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 230 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt l Bảng hàm Gao-xơ 3,9) coi qịx) = Chú ý (p{.) hàm chẵn (p{-x) - (p{x) Việc tra bảng tính ộ{x) làm giơng Chẳng hạn muốn tính ệ{l,2ị), dóng hàng "1,2" cột "5" ta gặp 39435 nên ệ{l,2ĩ)) = 0,39425 Với X > coi ệ{x) = 0,5 Chú ý 0) P(| z I < Xo) = P(-Xo < X < Xo) = ộ {x q ) , P ( X < Xo) = (p(xq) + 0,5 = Fixo), P ( X < -Xo) = 0,5 P ( X > X q) = 0,5 - ệ{xo), ộ{Xo) Nếu X ~ oV{a, ơ^), nên làm phép biến đổi Y - —— — việc tra bảng đốì với biến X chuyển thành đốì với biến Y ~ l ỉ (0, 1) Nếu biết giá trị ệ(xo), mn tìm lại Xo, q trình tra bảng ngược lại với bên Để tìm giá trị „ cho P{X < a) - oc biết rằn g X ~ t{n) việc tra bảng đơn giản; dóng hàng "n" cột "a" tương ứng (chẳng hạn í(8; 0,95) = 1,860) Việc tìm ớị, > cho P{X > Oị,) = a với X ~ t{n) tương đương với việc tra bảng tìm - K i-n ■Do tính đơi xứng, mn tìm ớ* < cho P{X > Oị,) = a, ta tra bảng tìm , sau = -í„ 1_ a ■ 237 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trong ba tham sô" n, a vầ tna nê\i biết hai ta tìm tham sơ"thứ Ci cùng, n > 30, thay tìm 9b = 1- a ta tìm 6(j ^ cho ^(ớj) = từ bảng Láp-la-xơ Để tìm giá trị xl^ cho P(X