TỔNG hợp QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Vectơ x thỏa mãn mọi ràng buộc hệ 2, 3 của bài toán thì được gọi là phương án, thỏa mãn chặt là thỏa mãn với dấu “=” còn thỏa mãn lỏng là thỏa mãn với dấu bất đẳng thức.. PACB thỏa mãn

TỔNG HỢP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Phần I: Bài Toán Quy Hoạch Tuyến Tính với Phương Pháp Đơn Hình.

=bi (i Є I1) (2)

≥(≤)bi (i Є I2) (3)

Trong đó: f(x) là hàm mục tiêu, còn hệ (2), (3) là hệ phương trình ràng buộc, mỗi 1 phương trình và bất phương trình được gọi là 1 ràng buộc

- b : vectơ hệ số vế phải của hệ pt ràng buộc

A Các tính chất chung của bài toán quy hoạch tuyến tính

1 Vectơ x thỏa mãn mọi ràng buộc (hệ (2), (3) ) của bài toán thì được gọi là phương án, thỏa mãn chặt là thỏa mãn với dấu “=” còn thỏa mãn lỏng là thỏa mãn với dấu bất đẳng thức

2 Phương Án Cực Biên: là phương án thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính PACB thỏa mãn chặt đúng n(số nghiệm của bài toán) ràng buộc được gọi là PACB không suy biến, còn thỏa mãn chặt hơn n ràng buộc được gọi là PACB suy biến

3 Phương Án Tối Ưu: là phương án mà tại đó hàm mục tiêu f(x) đạt cực tiểu hay cực đại (PATƯ – hay là phương án tốt nhất)

4 Bài toán giải được và không giải được:

(2),(3)

án nhưng hàm mục tiêu không bị chặn (tăng hoặc giảm vô cùng)

5 Sự tồn tại của PACB: 1 PA chỉ là PACB khi và chỉ khi thỏa mãn chặt hệ đk ràng buộc và hạng của ma trận hệ ràng buộc bằng n = số ẩn số  trong bài toán chính tắc, nếu có PA thì sẽ có PACB vì hạng ma trận hệ ràng buộc luôn

= n

6 Số PACB của 1 bài toán luôn là hữu hạn

B Các dạng bài toán quy hoạch tuyến tính

1 Bài toán dạng tổng quát (1), (2) & (3).

C Chú ý đặc biệt đối với bài toán dạng chính tắc:

1 Mọi bài toán đều có thể đưa về dạng chính tắc tương đương bằng các công thức sau:

pt ràng buộc này

ta có thể khẳng định 1 PA sẽ là PACB của bài toán chính tắc nếu hệ vectơ A

nhận 2 giá trị =0 hoặc >0 nên hạng của ma trận ràng buộc trong bài toán chính tắc sẽ bằng m =số thành phần dương trong hệ ẩn của PACB và hệ

buộc tương ứng với m thành phần >0 và chứng minh hạng của ma trận

đó =m

D Các bước cơ bản giải bài toán QHTT bằng phương pháp đơn hình(đi tìm PACB tối ưu)

I Các chú ý cơ bản:

1 Vì chỉ xét bài toán chính tắc nên mọi bài toán QHTT khi bắt đầu giải đều quy về bài toán dạng chính tắc

trùng với ma trận điều kiện và các ẩn cơ sở chính là hệ vectơ vế phải b của

hệ pt ràng buộc nên mọi bài toán chính tắc đều quy về dạng chuẩn có nghĩa là các b đều >0 và vectơ hệ số phân tích của các ẩn cơ sở tạo nên một ma trận đơn vị

• Đặc biệt chú ý các ẩn cô lập, tức là ẩn cấu thành hệ vectơ đơn vị,

có thể là ẩn cũ hoặc ẩn phụ thêm vào hoặc ẩn giả.

3 PATƯ duy nhất và tập PATƯ:

nhất

D={x:x=x0+ zk; ≥0}

j/xjk} với đk: j J0 và xjk>0

zk = -xjk nếu j J0

zk=0 nếu j J0 và j#k

II Các Bước Của PP ĐƠN HÌNH:

1 Tìm PACB nếu có các biến cô lập dựa trên các ẩn phụ và ẩn giả.

các ẩn phụ giá trị = 0.(chú ý biến đổi sao cho hệ ẩn cơ sở có ma trận hệ

số phân tích là vectơ đơn vị)

i => min và giải bình thường theo PP Đơn Hình cho đến khi tìm được PACBTƯ

đều =0)

1.1 Nếu trong quá trình biến đổi ta loại được ẩn giả nào thì bước sau không tính cột ẩn giả đó nữa, và nếu loại hết thì về được bài toán ban

phương án

nếu các ẩn giả đều đã mất (trở thành ẩn phi cơ sở) thì áp dụng như lúc biến đổi mất hết ẩn giả trong bước 1.1

0 theo bước 1.1

2 Lập bảng đơn hình dựa trên PACB đã biết.

3 Kiểm tra dấu hiệu tối ưu:

- Nếu k >(<)0 thì chuyển sang bước 4.

4 Kiểm tra tính không giải được của bài toán:

5 Lựa chọn ẩn đưa ra và đưa vào cơ sở:

trường hợp f(x)  max

6 Biến đổi bảng mới: = cách biến các thành phần trong cột ẩn của phần

khác  lại thực hiện lại từ bước 3 cho đến khi kết thúc: có PACBTƯ hoặc không giải được

Phần II: Bài Toán Đối Ngẫu

A Cách XD bài toán đối ngẫu:

Từ bài toán QHTT tổng quát  XD bài toán đối ngẫu:

=bi (i Є I1) (2)

≥(≤)bi (i Є I2) (3)

 BT Đối Ngẫu;

(Các cặp ràng buộc đối ngẫu là các cặp ràng buộc có dấu bất đẳng thức

ở trên.)

B Các định lý và tính chất đối ngẫu ( chỉ áp dụng với bài toán QHTT dạng chính tắc nhưng luôn đúng cho bài toán tổng quát)

I Các tính chất:

1 Tính chất 1:với (x,y) là phương án của bài toán ban đầu và bài toán đối ngẫu

ta luôn có f(x) ≥ F(y)

II Các định nghĩa:

1 Định nghĩa 1: nếu 1 trong 2 bài toán giải được và có PATƯ (x*,y*) thì ta luôn có: f(x*) = F(y*)

+ 2 bài toán đều không có PA

+ Chỉ 1 trong 2 bài toán có PA: bài toán có PA sẽ có hàm mục tiêu không

bị chặn

buộc đối ngẫu thì ràng buộc nào thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thì ràng buộc

Tổng hợp các dạng bài cơ bản:

1 Cho PACB từ PACB này giải bài toán đơn hình:

hạng ma trận các ràng buộc chặt(bao gồm cả những ràng buộc về dấu của bài toán)

đơn vị để tạo thành ma trận đơn vị, ưu tiên thành phần nào có số 1 cùng với số 0 trước(bao gồm cả ẩn phụ) sau đó biến đổi nốt các cột tương ứng thành ma trận đơn vị

thì sau khi kết thức ở min thì kẻ bảng tiếp tục giải đơn hình theo phương

án max, lưu ý là điều kiện tối ưu đã thay đổi

2 Chưa cho PACB  giải bình thường với ẩn phụ và ẩn giả.

3 Tìm tập PATƯ có x k = a: Nếu tìm phương án tối ưu dựa trên tập phương án tối

xo

buộc trên

4 Tìm PATƯ khi có thêm điều kiện f(x) ≥(≤) a hoặc x k ≤ a: thường sẽ bắt đầu với bài toán không giải được trong phương pháp đơn hình:

k = a = xo

suy ra phương án cưc biên thỏa mãn điều kiện ràng buộc trên

và tính PATƯ tương ứng ( tương tự TH f(x) ≤ a xảy ra khi hàm mục tiêu

 max và tính theo công thức tương tự)

5 Tìm PATƯ có f(x) = a  tương tự trường hợp f(x) ≥(≤) a (như trên)

6 Thay c= c’ hoặc thay b=b’ hoặc thay hàm mục tiêu:

được

hết được ẩn giả ra khỏi bài toán đơn hình hoặc tại bước không giải được của bài toán không có ẩn giả.(tương tự với b)

7 Tìm PATƯ của bài toán đối ngẫu: Khi yêu cầu tìm y* của bài toán đối ngẫu thì

giải, Hệ pt y thường là hệ pt nhiều ẩn bậc nhất nên nghiệm luôn là duy nhất

đó là PATƯ

8 Kết luận về bài toán đối ngẫu: nếu f(x) có PATƯ  BTĐN có PATƯ.

9 Cho bài toán và vectơ  xem tính chất của vectơ đó trong bài toán gôc

và bài toán đối ngẫu:

cm thêm hạng của hệ ma trận ràng buộc đó = n)

kiện yk.