TỔNG HỢP QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Phần I: Bài Toán Quy Hoạch Tuyến Tính với Phương Pháp Đơn Hình f(x) = => (max) (1) =bi (i Є I1) (2) ≥(≤)bi (i Є I2) (3) Trong đó: f(x) hàm mục tiêu, hệ (2), (3) hệ phương trình ràng buộc, phương trình bất phương trình gọi ràng buộc - A = |aij|mxn ma trận hệ ràng buộc(ma trận hệ số phân tích) - Aj: vectơ cột j ma trận A – vectơ điều kiện - b : vectơ hệ số vế phải hệ pt ràng buộc A Các tính chất chung toán quy hoạch tuyến tính Vectơ x thỏa mãn ràng buộc (hệ (2), (3) ) toán gọi phương án, thỏa mãn chặt thỏa mãn với dấu “=” thỏa mãn lỏng thỏa mãn với dấu bất đẳng thức Phương Án Cực Biên: phương án thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính PACB thỏa mãn chặt n(số nghiệm toán) ràng buộc gọi PACB không suy biến, thỏa mãn chặt n ràng buộc gọi PACB suy biến Phương Án Tối Ưu: phương án mà hàm mục tiêu f(x) đạt cực tiểu hay cực đại (PATƯ – phương án tốt nhất) Bài toán giải không giải được: Bài toán giải toán có PATƯ, tức có vectơ x thỏa mãn (1), (2),(3) Bài toán không giải toán phương án có phương án hàm mục tiêu không bị chặn (tăng giảm vô cùng) Sự tồn PACB: PA PACB thỏa mãn chặt hệ đk ràng buộc hạng ma trận hệ ràng buộc n = số ẩn số toán tắc, có PA có PACB hạng ma trận hệ ràng buộc = n Số PACB toán hữu hạn B Các dạng toán quy hoạch tuyến tính Bài toán dạng tổng quát (1), (2) & (3) Bài toán dạng tắc (1) & (2) kèm điều kiện xj≥0 j Bài toán dạng chuẩn = toán tắc kèm thêm điều kiện b i≥0 i C Chú ý đặc biệt toán dạng tắc: Mọi toán đưa dạng tắc tương đương công thức sau: ≥(≤)bi ta trừ cộng thêm ẩn phụ vào vế bất - pt ràng buộc Nếu xj ≤0 đặt ẩn thêm ẩn t=- xj Đặc điểm PACB toán tắc: với điều kiện x j ≥0 toán này, ta khẳng định PA PACB toán tắc hệ vectơ A ={ Aj : xj >0} hệ độc lập tuyến tính, thành phần PACB nhận giá trị =0 >0 nên hạng ma trận ràng buộc toán tắc m =số thành phần dương hệ ẩn PACB hệ vectơ A ={ Aj : xj >0} sở PACB Chú ý: với toán tắc, tìm PACB cần xét hệ ma trận ràng • buộc tương ứng với m thành phần >0 chứng minh hạng ma trận =m D Các bước giải toán QHTT phương pháp đơn hình(đi tìm PACB tối ưu) I Các ý bản: Vì xét toán tắc nên toán QHTT bắt đầu giải quy toán dạng tắc Khi có phương án cực biên x sở J0=E ma trận hệ số phân tích trùng với ma trận điều kiện ẩn sở hệ vectơ vế phải b hệ pt ràng buộc nên toán tắc quy dạng chuẩn có nghĩa b >0 vectơ hệ số phân tích ẩn sở tạo nên ma trận đơn vị Đặc biệt ý ẩn cô lập, tức ẩn cấu thành hệ vectơ đơn vị, • ẩn cũ ẩn phụ thêm vào ẩn giả PATƯ tập PATƯ: - Một PATƯ tồn k )0, =0, k J0: k J0 PATƯ - Sẽ có tập PATƯ khác tồn + TH1: k =0, k J0 & xjk≤0 k j J0 tập PATƯ không bị chặn: D={x:x=x0+ zk; ≥0} + TH2: k =0, k J0 & tồn xjk>0 tập PATƯ bị chặn: D={x:x=x0+ zk;0≤ ≤ } với 0 = min{x0j/xjk} với đk: j J0 xjk>0 zk = -xjk j J0 zk=0 j J0 j#k zk=1 j=k + Ta có PACB tối ưu với dấu “=” điều kiện =0 = II Các Bước Của PP ĐƠN HÌNH: Tìm PACB có biến cô lập dựa ẩn phụ ẩn giả Nếu cần ẩn phụ tiến hành theo bước bình thường kết luận với ẩn phụ giá trị = 0.(chú ý biến đổi cho hệ ẩn sở có ma trận hệ số phân tích vectơ đơn vị) - Nếu có ẩn giả lập toán phụ với hàm mục tiêu P(x,x g)= g i => giải bình thường theo PP Đơn Hình tìm PACBTƯ (x0,xg0).(chú ý hệ số C tính bảng đơn hình có ẩn giả =0) 1.1 Nếu trình biến đổi ta loại ẩn giả bước sau không tính cột ẩn giả nữa, loại hết toán ban đầu tính lại k (với hệ số C đầu bài) giải bình thường từ bước 1.2 Nếu có PACBTƯ (tmãn 3) có P min>0 toán cho phương án 1.3 Nếu có PACBTƯ(tmãn 3) có Pmin=0 x0 PACB toán gốc tiến hành tính lại k (với hệ số C đầu bài) tiến hành sau: ẩn giả (trở thành ẩn phi sở) áp dụng lúc biến đổi hết ẩn giả bước 1.1 hệ cở sở tồn ẩn giả bỏ cột có tính lại k Lập bảng đơn hình dựa PACB biết Kiểm tra dấu hiệu tối ưu: Nếu k (((0 chuyển sang bước 5 Lựa chọn ẩn đưa đưa vào sở: - Chọn Max k (Min )= k s với điều kiện sở – trường hợp Min k k >( (max) (1) =bi (i Є I1) (2) ≥(≤)bi (i Є I2) (3) BT Đối Ngẫu; F(y) = => max(min) = cj - phụ thuộc vào không ràng buộc dấu xj ≥ cj - phụ thuộc vào ràng buộc dấu xj ≥ cj - phụ thuộc vào ràng buộc dấu xj yi không ràng buộc dấu “=” điều kiện ràng buộc xj yi ≥(≤)0 – phụ thuộc vào dấu bất đẳng thức điều kiện ràng buộc xj (Các cặp ràng buộc đối ngẫu cặp ràng buộc có dấu bất đẳng thức trên.) B Các định lý tính chất đối ngẫu ( áp dụng với toán QHTT dạng tắc cho toán tổng quát) I Các tính chất: Tính chất 1:với (x,y) phương án toán ban đầu toán đối ngẫu ta có f(x) ≥ F(y) Tính chất 2: với (x0,y0) phương án toán ban đầu toán đối ngẫu tồn f(x0)=F(y0) (x0,y0) PATƯ toán II Các định nghĩa: Định nghĩa 1: toán giải có PATƯ (x *,y*) ta có: f(x*) = F(y*) Hệ quả: cặp toán đối ngẫu có 3TH sau đây: • + toán có PAcó PATƯ tương ứng : f(x*) = F(y*) + toán PA + Chỉ toán có PA: toán có PA có hàm mục tiêu không bị chặn Định nghĩa 2: Đk để cặp PA (x 0,y0) PATƯ tất cặp ràng buộc đối ngẫu ràng buộc thỏa mãn với dấu bất đẳng thức ràng buộc lại thỏa mãn với dấu “=” – Lưu ý sử dụng ĐN linh hoạt với x để tìm y0 tương ứng Tổng hợp dạng bản: Cho PACB từ PACB giải toán đơn hình: - - - • CM phương án CB cách thay vào hệ pt ràng buộc, sau tính hạng ma trận ràng buộc chặt(bao gồm ràng buộc dấu toán) Đưa toán dạng tắc, lưu ý biến đổi cột ẩn sở thành cột đơn vị để tạo thành ma trận đơn vị, ưu tiên thành phần có số với số trước(bao gồm ẩn phụ) sau biến đổi nốt cột tương ứng thành ma trận đơn vị Giải toán đơn hình Trường hợp yêu cầu tính f(x) sau yêu cầu tính theo f(x) max sau kết thức kẻ bảng tiếp tục giải đơn hình theo phương án max, lưu ý điều kiện tối ưu thay đổi Chưa cho PACB giải bình thường với ẩn phụ ẩn giả Tìm tập PATƯ có xk = a: Nếu tìm phương án tối ưu dựa tập phương án tối ưu có tính theo bước tìm PATƯ.( PATƯ phương án có x *k = a = xok + zk từ tính suy phương án cưc biên thỏa mãn điều kiện ràng buộc Tìm PATƯ có thêm điều kiện f(x) ≥(≤) a xk ≤ a: thường bắt đầu với toán không giải phương pháp đơn hình: - xk ≤ a : PATƯ phương án có x *k = a = xok + zk từ tính suy phương án cưc biên thỏa mãn điều kiện ràng buộc - f(x) ≥ a : áp dụng công thức tìm PATƯ tốt hơn: f(x *) = f(xo) - o k o tính PATƯ tương ứng ( tương tự TH f(x) ≤ a xảy hàm mục tiêu max tính theo công thức tương tự) Tìm PATƯ có f(x) = a tương tự trường hợp f(x) ≥(≤) a (như trên) Thay c= c’ thay b=b’ thay hàm mục tiêu: - - Nếu có thay đổi hàm mục tiêu tính lại từ bước cuối không giải Lưu ý có thay đổi trị số C hàm mục tiêu thay vào bước loại hết ẩn giả khỏi toán đơn hình bước không giải toán ẩn giả.(tương tự với b) Tìm PATƯ toán đối ngẫu: Khi yêu cầu tìm y* toán đối ngẫu suy từ điều kiện bất đẳng thức x * để xuất hệ phương trình với y giải, Hệ pt y thường hệ pt nhiều ẩn bậc nên nghiệm PATƯ Kết luận toán đối ngẫu: f(x) có PATƯ BTĐN có PATƯ Cho toán vectơ xem tính chất vectơ toán gôc toán đối ngẫu: - - - • Viết toán đối ngẫu Thay xo vào hệ pt ràng buộc xem có đủ đk cực biên hay ko ( có cm thêm hạng hệ ma trận ràng buộc = n) Giả sử phương án xo phương án tối ưu để dựa vào tìm y, hệ pt y có nghiệm (xo,yo) PATƯ, không ko phải PATƯ Lưu ý đặc biệt giải dạng đưa dạng vô định phụ thuộc vào biến yk (thường quy y k≥0) lúc xét điều kiện y k nhớ lưu ý phương trình ràng buộc mà y k chưa thỏa mãn chặt điều kiện yj lại biểu diễn qua yk để xác định điều kiện yk Các PATƯ phương án thỏa mãn dấu “=” hệ điều kiện yk ... Các định lý tính chất đối ngẫu ( áp dụng với toán QHTT dạng tắc cho toán tổng quát) I Các tính chất: Tính chất 1:với (x,y) phương án toán ban đầu toán đối ngẫu ta có f(x) ≥ F(y) Tính chất 2:... sở: - Chọn Max k (Min )= k s với điều kiện sở – trường hợp Min k k >(