Quy hoạch tuyến tính

BỐ CỤC BÀI GIẢNG 1.Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến tính: 1.1 Lââp kế hoạch sản xuất: 1.2 Phân bổ vốn đầu tư: Định nghĩa: Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến tính (QHTT): 1.1 Lââp kế hoạch sản xuất: sản phẩm Chi phí Nguyên liêâu (N1) Nguyên liêâu (N2) Nguyên liêâu (N3) Lao đôâng (phút) L1 L2 L3 Số lượng nguyên liêâu hiêân có (kg) 10 3 15.000 12.000 10.000 500.000 Giả sử rằng sản phẩm sản xuất đều có thể tiêu thụ được hết với lợi nhuâ n â bán môât đơn vị sản phẩm L1, L2, L3 tương ứng là 5000:10000:7000 (đồng) Yêu cầu lâ p â kế hoạch sản xuất tối ưu Gọi xj là số sản phẩm của Lj (j = 1,2, 3) cần sản xuất (xj ≥ 0, j = 1, 2, 3.) Theo kế hoạch sản xuất phải tìm lượng nguyên liê âu tiêu hao là: N1: x1 + x2 + x3 ≤ 15000 N2: x1 + x2 + x3 ≤ 12000 N3: x1 + x2 + x3 ≤ 10000 Số phút cần sử dụng: 10 x1 + x2 + x3 ≤ 500.000 Tổng lợi nhuâân theo kế hoạch sản xuất là: 5000 x1 + 10000 x2 + 7000 x3 Yêu cầu tối ưu là: 5000 x + 10000 x + 7000 x → max Mô hình bài toán: Tìm x = (x1, x2, x3) cho: f ( x ) = 5000 x + 10000 x + 7000 x → max 4 x + x + 3x ≤ 15000  2 x + x + 3x ≤ 12000   3x1 + x2 + x3 ≤ 10000  10 x1 + x2 + x3 ≤ 500000   x j ≥ 0, j = 1, 2,3 Tổng quát: ta có bài toán lââp kế hoạch sản xuất dưới dạng bảng số liêâu sau đây: Yếu tố Số lượng sản xuất hiêân có S1 Sản phẩm S2 … Sn Y1 b1 a11 a12 … a1n Y2 b2 a21 a22 … a2n … … Ym … … bm … … am1 … … am2 … … … … … amn c1 c2 … cn Lợi nhuâân đơn vị Mô hình: Tìm x = (x1, x2,…, xn) cho: n f = ∑ c j x j → max j =1 n ∑ aij x j ≤ bi , i = 1, , m j =1 x j ≥ 0, j = 1, , n 2.2 Phân bổ vốn đầu tư: Môât nhà đầu tư có tỉ đồng muốn đầu tư vào lĩnh vực Lĩnh vực đầu tư Cổ phiếu Công trái Gửi tiết kiêâm Bất đôâng sản Lãi suất/năm 20% 12% 15% 18% Ngoài ra, để giảm thiểu rủi ro, nhà đầu tư cho rằng không nên đầu tư vào cổ phiếu vượt quá 30% tổng số vốn đầu tư; đầu tư vào công trái và gửi tiết kiê âm ít nhất 25% tổng vốn đầu tư; gửi tiết kiêâm ít nhất 300 triêâu đồng Hãy xác định kế hoạch phân bổ vốn đầu tư cho tổng lợi nhuận hàng năm là lớn nhất Gọi x1, x2, x3, x4 tương ứng là số tiền (triêâu đồng) đầu tư vào chứng khoán, công trái, gửi tiết kiê âm, bất đôâng sản ( x j ≥ 0, j = 1, , ) • Do tổng số tiền đầu tư không được vượt quá số tiền hiêân có nên: x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 4000 (triêâu đồng) •Điều kiêân về số tiền đầu tư vào chứng khoán: x ≤ 0,3( x + x + x + x ) ⇔ −0,7 x + 0,3x + 0,3x + 0,3x ≥ 1 4 •Điều kiêân về số tiền đầu tư vào công trái và gửi tiết kiê âm: x2 + x3 ≥ 0, 25 ( x1 + x2 + x3 + x4 ) ⇔ −0, 25 x1 + 0, 75 x2 + 0, 75 x3 − 0, 25 x4 ≥ Và x3 ≥ 300 •Lãi suất của năm là: •Yêu cầu tối ưu: 0, x1 + 0,12 x2 + 0,15 x3 + 0,18 x4 0, x1 + 0,12 x2 + 0,15 x3 + 0,18 x4 → max Mô hình: Tìm x = ( x1, x2, x3, x4) cho: f ( x) = 0, x1 + 0,12 x2 + 0,15 x3 + 0,18 x4 → max x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 4000 −0,7 x + 0,3x + 0,3x + 0,3x ≥ −0, 25 x1 + 0, 75 x2 + 0, 75 x3 − 0, 25 x4 ≥ x3 ≥ 300 x j ≥ 0, j = 1, ,  Môât số khái niêâm:  Vectơ x=( x1, x2,…, xn) được gọi là phương án (PA) của bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn â ràng buôâc của bài toán  Phương án x*=( x1*, x2*, …, xn*) được gọi là phương án tối ưu (PATƯ) của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đó là tốt nhất  Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó (nếu có)  Môât số khái niêâm: Bài toán giải được là bài toán có PATƯ Bài toán không giải được là bài toán không có PATƯ Khi đó hoăâc là bài toán không có phương án hoă âc có phương án hàm mục tiêu không bị chă ân ( f ( x ) → +∞ ( −∞ ) đối với bài toán max (min))  Nếu phương án x thỏa mãn ràng buôâc nào đó với dấu “=” thì ta nói x thỏa mãn chă ăt ràng buôâc đó Ngược lại nếu thỏa dấu “>” hoăâc “[...]... bài toán thực tế, ta phân tích bài toán đó theo 3 bước sau: Bước 1: Đăât ẩn và điều kiêân cho ẩn Bước 2: Lââp hêâ ràng buôâc chính Bước 3: Lââp hàm mục tiêu 2 Định nghĩa: Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát có dạng: Tìm x = (x1, x2, …,xn) sao cho: n f ( x) = ∑ c j x j → min ( max ) j =1 hàm mục tiêu Với hêâ ràng buôâc: ≤   n   aij x j  =  bi , i = 1, ... ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến tính: 1.1 Lââp kế hoạch sản xuất: 1.2 Phân bổ vốn đầu tư: Định nghĩa: Các ví dụ dẫn đến bài toán Quy hoạch tuyến tính (QHTT):... ẩn Bước 2: Lââp hêâ ràng buôâc chính Bước 3: Lââp hàm mục tiêu Định nghĩa: Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát có dạng: Tìm x = (x1, x2, …,xn) cho: n f ( x) = ∑ c