tính điều khiển được các hệ đa trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Triệu Tất Đạt TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CÁC HỆ ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Triệu Tất Đạt TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CÁC HỆ ĐA TRỊ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRỊNH CÔNG DIỆU Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 MỞ ĐẦU Trong năm gần môn toán ứng dụng ngày thể rõ tầm quan trọng lĩnh vực toán nói chung xã hội nói riêng Trong lý thuyết tối ưu lý thuyết điều khiển phận thiếu hướng nghiên cứu Trước tình hình luận văn tìm hiểu nội dung sau: + Tìm hiểu ánh xạ đa trị, tính chất ánh xạ đa trị + Xem xét mô hình toán học toán điều khiển trừu tượng hóa có dùng ánh xạ đa trị Thông qua đọc tài liệu, giáo trình vấn đề liên quan suy nghĩ mở rộng vấn đề kết Tác giả trình bày nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày định nghĩa tính chất liên quan Chương 2: Trình bày định nghĩa khái niệm liên quan đến ánh xạ đa trị, bao gồm:  Định nghĩa khái niệm ánh xạ đa trị  Các định lí nửa liên tục nửa liên tục  Các trình lồi vecto riêng trình đặc biệt Các kết chương đưa tài liệu [3],[7],[6],[11],[12],[16],[20],[21] Tuy nhiên số tài liệu nêu kết mà chứng minh, Tác giả kiểm tra lại kết cách độc lập thể tính đắn định lí Chương : Dùng định lí ánh xạ đa trị chương để xét tính điều khiển hệ điều khiển sau: Chúng ta nghiên cứu hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính  x ( k  1)  A( k ) x ( k )  B( k )u( k )  u( k )    U  k  0,1,2, Trong trường hợp cụ thể:  Khi A( k )  A, B ( k )  B với ( k  0,1 ) ta có hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính (L ) d  ( A , B , ) d  Khi A( k )  A với ( k  0,1 ) ta có hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính (L ) d  ( A , Bk , ) d  Và trường hợp tổng quát ta có hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính (L ) d  ( A k , Bk , ) d Hệ điều khiển với thời gian liên tục tuyến tính (L )  ( A(t ), B (t ), )  dx   A(t ) x (t )  B (t )u (t ), t   dt   x (t )  X , u (t )    U Tôi xin kính gửi đến Thầy TS Trịnh Công Diệu lời cảm ơn sâu sắc chân thành tận tình giúp đỡ bảo Thầy dành cho suốt thời gian làm luận văn Trong trình làm luận văn này, nghiên cứu, tìm hiểu tham khảo sách vở, báo toán học tác giả luận văn khóa trước, có sử dụng kết chứng minh để hoàn thành luận văn xin cam đoan không chép luận văn có xin hoàn toàn chịu trách nhiệm với lời cam đoan BẢNG TÓM TẮT CÁC KÍ HIỆU • X*: Không gian hàm tuyến tính liên tục từ X vào X ( đối ngẫu X) • B ( X , Y ) tập toán tử bị chặn từ X đến Y • L ( X , Y ) tất trình lồi từ X đến Y • L(Y , Z ) tập hợp toán tử tuyến tính liên tục từ Y đến Z • Cho X không gian Banach cho G ⊂ X tập Chúng ta kí hiệu − G + =: { p ∈ X * : ∀x ∈ G , p, x ≥ 0} G =: { p ∈ X : ∀x ∈ G , p, x ≤ 0} * • I ánh xạ đa trị đồng • BX cầu đơn vị • IntM phần M • riM phần tương đối M • clM bao đóng M • spM bao tuyến tính M • K M  {l x : x  M , l  0} MỤC LỤC MỞ ĐẦU i BẢNG TÓM TẮT CÁC KÍ HIỆU iii MỤC LỤC Chương 1: Chương mở đầu 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm, giải tích lồi 1.2 Một số khái niệm lý thuyết điều khiển Chương 2: Ánh xạ đa trị 2.1 Định nghĩa khái niệm ánh xạ đa trị 2.1.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 2.1.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị 2.2 Các tính chất ánh xạ đa trị 10 2.2.1 Tính chất ánh xạ đa trị F 10 2.2.2 Mối quan hệ nửa liên tục giới hạn 12 2.3 Các trình lồi vecto riêng trình đặc biệt 20 2.3.1 Các trình lồi 20 2.3.2 Vector riêng trình lồi 27 Chương 3: Tính điều khiển hệ đa trị 38 3.1 Hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính 38 3.1.1 Hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính (L ) d  ( A , B, ) d 38 3.1.2 Hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính (L ) d  ( A , Bk , ) d 41 k , Bk , ) d 49 3.1.3 Hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính (L ) d  ( A 3.2 Hệ điều khiển với thời gian liên tục tuyến tính (L )  ( A(t ), B (t ), ) 52 KẾT LUẬN 59 Tài liệu tham khảo 60 Chương 1: Chương mở đầu 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm, giải tích lồi Cho X, Y hai không gian tôpô Định nghĩa 1.1: Ánh xạ liên tục f : X →Y gọi thường (proper) ảnh ngược tập compact compact Định nghĩa 1.2: Cho f hàm thực không gian topo Nếu {x : f ( x) > α } mở với số thực α f gọi nửa liên tục Nếu {x : f ( x) < α } mở với số thực α f gọi nửa liên tục Định nghĩa 1.3: X không gian tôpô compact địa phương với điểm X có lân cận mà bao đóng tập compact Định nghĩa 1.4: Tập M  X gọi tập không đâu trù mật IntM   Tập M  X thuộc phạm trù thứ hai không hợp đếm tập không đâu trù mật Định lí 1.1: ( định lí phạm trù Baire) Mọi không gian metric đầy đủ thuộc phạm trù thứ hai, tức là, X không  gian metric đầy đủ X   M i IntM io   với io  i1 Định lí 1.2: Cho không gian Banach vô hạn chiều X Yi , i  0,1, toán tử bị chặn Ai  B ( X ) Bi  B (Yi , X ) thỏa mãn với x  X tồn số i cho Ai x  Bi (Yi ) , tồn số m mà Am ( X )  Bm (Ym ) Am  Bm C với C  B ( X , Ym ) ( B ( X , Y ) tập toán tử bị chặn từ X đến Y ) Định lí 1.3: ( định lí K – R’s) Cho A : X  X toán tử tuyến tính bị chặn Cho K nón với int K   Nếu A(int K )  int K có hàm khác không f *  K  cho A* f *  l f * , l  Định lí 1.4: [18] Cho A : X  X toán tử tuyến tính bị chặn Cho K nón lồi với int K   K  X Nếu A( K )  K có hàm khác không f *  K  cho A* f *  l f * , l  Tính chất 1.1: [17] Cho M n  X (n  1,2, ) tập lồi với IntM n   M n  M n1 Cho  M  Mn n1 Nếu  IntM , có no  cho  IntM no Chúng ta gọi tập M lẻ M  M Định nghĩa 1.5: Toán tử A : X  X toàn ánh Im A  X 1.2 Một số khái niệm lý thuyết điều khiển Xem xét hệ điều khiển với thời gian rời rạc sau: xk 1  f (k , x(k ), u (k )), k  0,1, 2, (1) Trong đó, x(k )  X , u (k )    U Điểm x gọi điều khiển không ( đạt được, tương ứng) N bước có điều khiển u (0), u (1), , u ( N 1), u (k )   cho nghiệm x(0), x(1), , x( N ) (1) thỏa x(0)  x, x( N )  ( x(0)  0, x( N )  x) Cho  N ,  N tập điểm điều khiển không đạt N bước (1) Chúng ta gọi hệ (1) điều khiển không địa phương ( đạt địa phương, tương ứng) N bước  int  N (0  int  N ) Nếu  N  X ( N  X ) nói hệ (1) điều khiển không toàn cục (đạt toàn cục) N bước   k 1 k 1 Cho     k ,     k Khi  nón lồi Chúng ta nói hệ điều khiển không địa phương ( đạt địa phương, tương ứng)  int  (0  int ) Định nghĩa tương tự có điều khiển toàn cục đạt toàn cục   X   X Cho M tập mục tiêu X Một điểm xo gọi điều khiển đến M N bước tồn điều khiển u (k )   (k  0, , N 1) cho nghiệm x(k ) hệ (1) thỏa x(0)  xo , x( N )  M Cho S MN tập tất điểm hệ (1) điều khiển đến M N bước Cho S M   S MN N 1 Hệ thống điều khiển (1) gọi điều khiển hoàn toàn đến M GCM (điều khiển địa phương đến M LCM tương ứng) S M  X (  IntS M tương ứng) Trong trường hợp S MN  X (  IntS MN tương ứng) nói hệ GCM ( LCM tương ứng) N bước Trong trường hợp đặc biệt M  {0} điều khiển đến M điều khiển không Bây xem xét hệ (1) với trạng thái ràng buộc x(k )  M k k  1, , N 1, N số nguyên dương Cho M k  X , k  1, 2, , N 1 tập không gian trạng thái X AK S '  K S ' nên theo định lí 1.4 có vector riêng khác không f * A* với giá trị riêng β ≥ cho f *  K S' Từ A toàn ánh, ker A* = {0} nên β > Ngoài từ điều kiện (A1) ta có M ⊂ K S ' − Bk Ω ⊂ S ' nên f * ∈ − M + ∩ ( Bk Ω) + ( mâu thuẩn điều kiện ii) Do đó, ∈ int S ' Với k ≥ N , có int S ' ≠ ∅ Sk' ⊆ Sk' +1 Áp dụng tính chất 1.1, tìm N o ≥ N cho ∈ int S N' Nếu N o = N ∈ int S M điều cần chứng minh Nếu N o > N từ định nghĩa có ( AN − N ) − ( S N' ) ⊆ S N o o o o Do A toàn ánh ∈ int S N , suy ∈ int S M ■ o Chúng ta xem xét kết khác thay điều kiện A1 điều kiện (A2) A có nghịch đảo Cho A có toán tử ngược Khi từ (3.2.1) ta có Px ( k + 1)= x ( k ) + B k u( k ) ( k= 0,1, ) (3.2.4) −1 Trong = P A= , B k PBk Cho trạng thái ban đầu xo ∈ X điều khiển u( k ) ∈ Ω , trạng thái x ( k ) (1.4) cho công thức k −1 ) xo + ∑ P i B i u(i ) (3.2.5) P k x ( k= i =0 Tính chất 3.2: Cho hệ (3.2.1) LCM hệ (3.2.4) LCM Định lí 3.6: Giả sử P k M đóng với k ≥ Hệ (3.2.4) LCM (i) Hệ với điều khiển không ràng buộc LCM tồn Vo cho Vo ⊂ sp{B N −1W , , P N −1 B oW } + P N M (3.2.6) (ii) Không có vector riêng f * P* với giá trị riêng dương cho f * ∈ −( PM ) + ∩ ( B k Ω) + ( k = 0,1, ) (3.2.7) Chứng minh ( Điều kiện cần) Chúng ta xét ánh xạ đa trị lồi đóng lẻ Tk : W k → X với k −1 W= spΩ , xác định Tk uk = − Fk uk + P k M với Fk uk = ∑ P i B i u(i ) i =0 Hệ (3.2.4) LCM nên hiển nhiên hệ với điều khiển không ràng buộc LCM Hơn nửa, hệ (3.2.4) với điều khiển không ràng buộc điều khiển toàn cục đến M Chúng ta có ∈ int S M Tk (W k ) ⊃ S Mk =Tk (Ωk ) ∞  T (W k =1 k k ) thuộc phạm trù thứ Tk (W k ) int Tk (W k ) ≠ ∅ với ko ≥ Khi đó, Tk (W k ) thuộc phạm hai Khi đó, int= trù thứ hai Áp dụng bổ đề 2.3 ta có ∈ Tk (W k ) , suy (3.2.6) o o o o o o o o Chứng minh (ii) Ta giả sử ngược lại, có vector riêng khác không f * P* với giá trị riêng dương β thỏa (3.2.7) Từ  int S M , Có lân cận Vo  X chứa cho, với xo  Vo , có điều khiển u( k )   ( k  0, , N 1) với N  1, cho nghiệm x(.) xác định (3.2.5) thỏa x ( N ) ∈ M Chúng ta đạt N 1 f * , P N x ( N )  f * , xo   f * , P i B i u(i ) i 0 N 1 f * , xo  b N 1 f * , Px ( N )   b i f * , B i u(i ) i 0 Trong đó, b  giá trị riêng P* Từ điều kiện (3.2.7) M lẻ, có f * , xo  với xo  Vo Do Vo lân cận nên ta có f * , xo  với xo  Vo Từ ta có f *  (mâu thuẩn), chứng minh ii) (Điều kiện đủ) Từ (i) suy tồn lân cận Vo cho Vo ⊂ T N (W N ) Ta chứng minh T N (Ω N ) ≠ ∅ int S M ≠ ∅ nên int K S ≠ ∅ Ngoài ra, ta dễ dàng chứng minh PS M ⊂ S M PK S ⊂ K S Vì S M lồi nên K S nón lồi M M M M Giả sử ∉ int S M K S ≠ X Theo định lí 1.4 có vector riêng khác không M f P với giá trị riêng β ≥ cho f *  K SM , f *  S M Từ A * * có ánh xạ ngược nên P toàn ánh, ker P* = {0} nên β > Ngoài từ định nghĩa ánh xạ đa trị T= P k M ∈ S Mk nên PM ⊂ S M − B k Ω ⊂ S M (do k (0) − B k Ω = {− B k u ∈ Tk +1 (uk +1 ) : u(i ) = 0, i = 0, , k − 1, u(k ) = u ∈Ω} ⊂ S Mk +1 ) nên f * ∈ −( PM ) + ∩ ( Bk Ω) + (mâu thuẩn điều kiện ii) Do đó, ∈ int S M ■ Kết đạt từ định lí 3.6, tính chất 3.2 bổ đề sau: Bổ đề 3.2: Cho ánh xạ A có ánh xạ ngược ( P  A−1 ) Thì A* vector riêng M + với giá trị riêng dương P* vector riêng ( PM ) + với giá trị riêng dương Định lí 3.7: Cho (A2) thỏa Hệ (3.2.1) LCM điều kiện (i), (ii) đinh lí 3.5 k , Bk , ) d 3.1.3 Hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính (L ) d  ( A Cho A(k ) ∈ L( X , X ), B(k ) ∈ L(U , X ), k = 0,1, Xét hệ điều khiển mô tả phương trình x ( k  1)  A( k ) x ( k )  B( k )u( k )    ( k  0,1 )  u(k )    U   (3.3.1) Chúng ta kí hiệu Pji −1 = A(i − 1) A( j + 1), i > j; Pi i = I Ai = A(i ) A(1) A(0) Khi với điều khiển u(k ) điểm bắt đầu xo , nghiệm x (k ) (3.3.1) N −1 bước thứ N cho x= ( N ) AN xo + ∑ Pi N −1B(i )u(i ) (3.3.2) i =0 Đặt Z = U × × U = U N , ΩN = Ω × × Ω, F =− AN N −1 Chúng ta định nghĩa toán tử T ∈ L( Z , X ) cho T (uN ) = ∑ Pi N −1B(i )u(i ) i =0 Chúng ta cần dùng định lí Farkas’ sau: Định lí 3.8: [13] Cho A ∈ L( X , Y ) , T  L ( Z , Y ) cho K  X , S  Z nón lồi Giả sử T ( S ) đóng Thì với x  K , tồn z  S cho Ax  T ( z ) T * ( y * )  S     A* y *  K  Định lí 3.9: Giả sử Ω ⊂ U tập lồi T (Ω N ) tập đóng Thì hệ điều khiển (3.3.1) điều khiển không toàn cục sau N bước N −1  (P N −1 k k =0 B(k )Ω) + ⊆ ker( − AN )* (3.3.3) Chứng minh Từ (3.3.2) hệ (3.3.1) điều khiển không toàn cục sau N bước với x ∈ X tồn u ∈ Ω N : Fx ∈ T (u ) (3.3.4) Từ T ( N ) tập lồi đóng, áp dụng định lí 3.8 với K  X , S   N (3.3.4) T * ( x * )  S     F * x *  ( K   X   {0}) Ngoài ra, T * : X *  Z * xác định T * ( x * )  [ B* ( N 1), B* ( N  2) A* ( N 1), , B* (0) A* (1) A* ( N 1)]( x * ) Khi đó, điều kiện T * ( x * )  S    trở thành B* ( N 1) x *    , B* ( N  2) A* ( N 1) x *    , B* (0) A* (1) A* ( N 1) x *     Khi đó, từ B* ( N 1) x *     nên B* ( N 1) x * , x  0, x   hay x * , B ( N 1) x  0, x   Vậy x *  ( B ( N 1)) Tương tự ta N 1 có x   [ PkN 1 B ( k )] * k 0 Mặc khác, F * x *  tương đương x *  ker( AN )* Kết hợp lại ta có (3.3.3).■ Chú ý: Nếu ta giả sử A( k ), k  0,1, toàn ánh ker A* ( k )  nên điều N −1 kiện (3.3.3) trở thành  (P k =0 N −1 k {0} (3.3.5) B ( k )Ω ) + = Trong trường hợp đó, Chúng ta dễ dàng thấy (3.3.5) điều kiện rank Kalman trường hợp tổng quát sp{BU , ABU , , AN 1BU }  X   U , A( k )  A, B ( k )  B Nếu rank [ B, AB, , AN 1B ]  n Và   R n A, B ma trận với chiều tương ứng N −1 Xét ánh xạ đa trị T cho T (uN ) = DuN + M − ∑ Pi N −1B(i )u(i ) + M := i =0 Nếu M nón lồi đóng  nón lồi T  L ( Z , X ) Cho F  AN , hệ điều khiển (3.3.1) điều khiển đến M F ( X )  T ( N ) Định lí 3.10: Giả sử M ,  nón lồi đóng cho T ( N ) tập đóng Hệ điều khiển (3.3.1) điều khiển đến M N bước N −1  (− P k =0 N −1 k B(k )Ω) + ∩ M + ⊂ ker( AN )* (3.3.6) Chứng minh Hệ điều khiển (3.3.1) điều khiển đến M F ( X )  T ( N ) Từ T ( N ) tập lồi đóng, áp dụng định lí 3.8 với K  X , S   N F ( X )  T ( N ) T * ( x* )  ( N )    F * x*  Mà  D* x* , x*  M  T ( x )   0, x*  M   * * Khi đó, T * ( x* )  ( N )   tương đương D* x*  ( N ) x *  M  hay x*  ( D N ) x *  M  Mà đương N −1 DuN = − ∑ Pi N −1B (i )u(i ) nên i =0 N −1 x* ∈  ( − PkN −1B(k )Ω) + Vậy x *  ( D N ) tương T * ( x * )  ( N )   tương k =0 N −1 x* ∈  ( − PkN −1B(k )Ω) + ∩ M + k =0 Mặc khác, F * x *  tương đương x *  ker( AN )* Vậy ta có (3.3.6).■ đương 3.2 Hệ điều khiển với thời gian liên tục tuyến tính (L )  ( A(t ), B (t ), ) Xét hệ (L )  ( A(t ), B (t ), ) dx  A(t ) x (t )  B (t )u (t ), t  0, dt x (t )  X , u (t )    U (3.4.1) Trong đó, U , X không gian Banach Với t  A(t ), B (t ) toán tử tuến tính bị chặn  tập khác rỗng chứa U Với T  , tập điều khiển chấp nhận [0, T ] xác định  T  {u(.)  L ([0, T ],U ) : u(t )  }    T x  X , quỹ đạo x (.) hệ (L ) bắt đầu Với u (.)   o xo cho t x (t )  (t ) xo  (t )  1 ( s ) B ( s )u ( s )ds Với  t  T , (t ) có ánh xạ ngược thỏa mãn phương trình d  A(t )(t ), (0)  I dt Trong I toán tử đồng Một điểm xo  X gọi điều khiển không có thời gian  T cho quỹ đạo tương ứng T  T ( xo ) điều khiển chấp nhận u(.)   x (.) hệ (L ) bắt đầu xo thỏa mãn x (T )  Hệ (L ) điều khiển địa phương tập  tất phần tử điều khiển không thỏa  int  Và hệ (L ) điều khiển toàn cục   X Giả sử A(t ) hàm tuần hoàn với chu kì w  A( w  t )  A(t ), t  [0, ) Định nghĩa toán tử :X X (3.4.2) với k  N , toán tử  k : L ([0, T ],U )  X cho x  ( w ) x,  w k u(.)  ( w )  1 ( s ) B(( k 1)w  s )u( s )ds Từ hệ (L ) xác định hệ tuyến tính với thời gian rời rạc w) (L ) d  (  , k ,  d xk 1   xk   k u k (3.4.3)  w  L ([0, w ],U ) k   Trong xk  X , u   w  {u (.)  L ([0, w ],U ) : u(t )  } Khi   Bổ đề 3.3: Cho hệ thời gian biến thiên (L )  ( A(t ), B (t ), ) với A(t ) hàm tuần hoàn với chu kì w  điều khiển không ( toàn cục, tương  w ) điều khiển , k ,  ứng) hệ thời gian rời rạc (L ) d  (  d không ( toàn cục, tương ứng) Chứng minh Giả sử x điều khiển không hệ (L ) , nghĩa , tồn T   T cho u(.)   T x (T )  (T ) xo  (T )  1 ( s ) B( s )u ( s )ds  0 Từ   , không tính tổng quát, giả sử T  nw với n  N Với k  1, , n , định nghĩa hàm [0, w ] , xác định u k (.)  u (( k 1)w  ) Từ (t  w )  (t )( w ) ,khi (w )  1 ( w ) ( nw  ( k 1)w )  ( nw )1 (( k 1)w ) Với k  1, , n viết w  nk 1   k u k  (( n  k ) w )( w )   ( t ) B (( k  1) w  t )u (( k  1) w  t ) dt w   ( nw )  1 (( k 1)w )1 (t ) B(( k 1)w  t )u(( k 1)w  t )dt kw   (T )  1 ( s ) B( s )u( s )ds ( k 1) w  k } từ x ( hệ (L ) ) đến điểm Từ suy dãy điều khiển {u d n  xn  n x + ∑  n −k  = k uk k =1 n = Φ (T ) x + Φ (T )∑ kω ∫ ωΦ −1 ( s ) B( s )u( s )ds k =1 ( k −1) T = Φ (T ) x + Φ (T ) ∫ Φ −1 ( s ) B( s )u( s )ds = x (T ) = 0 Ngược lại, Cho x điều khiển không hệ (L ) d hay tồn n  N  w , k  1, , n cho k   dãy điều khiển u n   n x + ∑  n −k  k uk = k =1  k (t  ( k 1)w ), ( k 1)w  t  k w với k  1, , n Đặt T  nw u (t )  u  T tương tự u (.) từ x Chúng ta đạt u (.)   đến hệ (L ) ■ Định lí 3.11: Cho  tập lồi với phần khác rỗng   Cho A(t ) hàm w - tuần hoàn với w  Hệ (L )  ( A(t ), B (t ), ) điều khiển địa phương (i) Hệ tương ứng với điều khiển không ràng buộc ( A(t ), B (t ),U ) dx  A(t ) x (t )  B (t )u (t ), t  0, dt x (t )  X , u (t )  U Là điều khiển toàn cục (ii) Toán tử đơn đạo đối ngẫu * ( w ) vecto riêng f với giá trị riêng dương cho f , 1 (t ) B (t )u  với u  , t  Chứng minh Từ  tập lồi với phần khác rỗng   ta dễ dàng kiểm tra  w tập lồi với phần khác rỗng L ([0, w ],U )    w Hơn nửa, ( w ) đẳng cấu nên là toàn ánh 0 Từ bổ đề 3.3 định lí 3.4 có hệ tương đương sau: (Hệ (L ) điều khiển địa phương)  w ) điều khiển địa phương) , k ,   (Hệ (L ) d  (  d  Hệ (  ,  k , L ([0, w ],U )) điều khiển toàn cục điều kiện (ii) định lí (3.4) thỏa mãn  Hệ ( A(t ), B (t ),U ) điều khiển toàn cục điều kiện (ii) định lí 3.4 thỏa mãn Do đó, ta cần điều kiện (ii) định lí 3.4 tương đương với điều kiện (ii) định lí 3.11 Từ điều kiện (ii) định lí 3.11 suy điều kiện (ii) định lí 3.4 Ta giả sử tồn l   f o  X * cho * ( w ) f o  l f o  w với k  N f o ,  k u  với u   Nhưng f o , 1 (to ) B (to )uo  với to  uo   Chọn số nguyên ko cho to  [( ko 1)w , ko w ) 1 (t  w )  1 (t )1 (w ) đặt so  to  (ko 1)w Chúng ta Từ có f o , 1 (to ) B(to )uo  f o , 1 ( so ) B((ko 1)w  so )uo  Từ 1 (.) B (.) liên tục nên tồn e  cho so  e  w f o , 1 (t ) B (( ko 1)w  t )uo  với t  [ so , so  e ] Đặt 0,  t  so   u o (t )  uo , so  t  so  e  0, so  e  t  w  w o (.)   Chúng ta có u w f o ,  ko uo  f o , ( w )  1 ( s ) B(( k 1)w  s )uo ( s )ds w  l  f o , 1 ( s ) B (( k 1)w  s )uo ( s ) ds  0 Mâu thuẩn  w với k  N Vậy suy f o ,  k u  với u   điều kiện (ii) định lí 3.4 Từ điều kiện (ii) định lí 3.4 suy điều liện (ii) định lí 3.11 Giả sử tồn l   f o  X * cho * ( w ) f o  l f o f o , 1 (t ) B (t )u  với t  với u   Hiển nhiên với  w với k  N , có u   w f o ,  k u  f o , ( w )  1 ( s ) B (( k 1)w  s )u( s )ds w  l  f o , 1 ( s ) B (( k 1)w  s )u( s ) ds  0 Mâu thuẫn điều kiện (ii) định lí 3.4 nên suy điều kiện (ii) định lí 3.11.■ Bổ đề 3.4: Hệ thời gian liên tục (3.4.1) thỏa mãn (3.4.2) LCM hệ (3.4.3) LCM Chứng minh Cho xo điểm hệ (3.4.1) điều khiển đến M Thì tồn T  điều khiển u (.)  T cho T x (T )  (T ) xo  (T )  1 ( s ) B( s )u( s )ds  M Từ   , Không tính tổng quát, giả sử T  nw với n  Với k  1, , n , Chúng ta xác định hàm u k  L ([0, w ],U ) , xác định u k (.)  u(( k 1)w  ) Từ (t  w )  (t )( w ) ,khi (w )  1 ( w ) ( nw  ( k 1)w )  ( nw )1 (( k 1)w ) Với k  1, , n viết w  nk 1   k u k  (( n  k ) w )( w )   ( t ) B (( k  1) w  t )u (( k  1) w  t ) dt w   ( nw )  1 (( k 1)w )1 (t ) B(( k 1)w  t )u(( k 1)w  t )dt kw   (T )  1 ( s ) B( s )u( s )ds ( k 1) w  k } từ x ( hệ (L ) ) đến điểm Từ suy dãy điều khiển {u d n  xn  n xo + ∑  n −k  = k uk k =1 n = Φ (T ) xo + Φ (T )∑ kω ∫ ωΦ −1 ( s ) B( s )u( s )ds k =1 ( k −1) T = Φ (T ) xo + Φ (T ) ∫ Φ −1 ( s ) B( s )u( s )ds = x (T ) ∈ M Ngược lại, Cho x điều khiển không hệ (L ) d hay tồn n   w , k  1, , n cho k   dãy điều khiển u n  xn =  n x + ∑  n −k  k uk ∈ M k =1  k (t  ( k 1)w ), ( k 1)w  t  k w với k  1, , n Đặt T  nw u (t )  u  T tương tự u (.) từ x Chúng ta đạt u (.)   đến x (T )  M hệ (L ) ■ Chú ý, toán tử A hệ (3.4.1) luôn có ánh xạ ngược Vì áp dụng kết điều khiển từ định lí 3.7 bổ đề 3.4 để có kết sau Định lí 3.12: Cho M tập lồi, lẻ đóng,  tập lồi với ri  ,0   Cho A(t ) hàm w - tuần hoàn với w  Hệ (L )  ( A(t ), B (t ), ) LCM (i) Hệ tương ứng với điều khiển không ràng buộc LCM (ii) Với t  , toán tử đối ngẫu * ( w ) vecto riêng f * với giá trị riêng dương cho f *  M   (1 (t ) B (t )) KẾT LUẬN Luận văn trình bày tính chất ánh xạ đa trị, tính chất nửa liên tục trên, nửa liên tục ánh xạ đa trị Luận văn đề cập đến trình lồi vector riêng trình lồi làm sở để khảo sát tính điều khiển hệ đa trị đề cập chương Trong chương 3, luận văn đưa định lí điều kiện cần đủ để hệ điều khiển không điều khiển đến tập M ( có tính đặc biệt lồi, đóng, lẻ) Tính điều khiển hệ động lực mảng rộng, giới hạn phạm vi đề tài trình độ tác giả có hạn nên chắn nội dung trình bày luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý bảo quý thầy cô bạn bè Tài liệu tham khảo [1] J.P Aubin and I Ekeland, Applied nonlinear analysis, Wiley – Interscience, New York, 1984 [2] J.P Aubin and H Frankowska and C Olech, Controllability of convex processes, SIAM J.Contr.Optim., 24 (1986), 1192 – 1211 [3] Jean-pierre Aubin and Helene Frankowska, Set – valued analysis, Birkhauser Boston – Basel – Berlin (1990) [4] Paul A Fuhrmann, On weak and strong Reachability and controllability of infinite – Dimensional linear systems, J Optim Theory appl, (1972), 77 – 89 [5] M.G Krein and M.A Rutman, Linear operator leaving invariant a cone in Banach space, Uspekhi Mat Nauk, 10 (1962), 199 – 325 [6] Jin-Ching Lee and Shun-Chin Ho, Adjoints of closed convex processes, Journal of Mathematical Sciences, 20(2) (2004), 411 - 421 [7] Ernest Michael, Continuous Selections, Annals of mathematics, 63 (1956), 361 – 382 [8] V.N Phat, Constrained controllability of linear infinite – dimensional systems: A set – valued analysis approach, IMA J of Math Control and Inform (1994) [9] V.N Phat, Some aspects of constrained controllability of dynamical discrete – time systems, Optimization, 33 (1994), 57 – 79 [10] V.N Phat T.C Dieu, Linear control systems with additive disturbances: Constrained controllability to a subset, Optimization, 24 (1992), 319 – 327 [11] V.N Phat T.C Dieu, On the Krein – Rutman’s theorem and its application in controllability, Proceedings of the AMS, 124 (1994), 495 – 501 [12] V.N Phat Jong Yeoul Park, On the convex closed set – valued operator in banach spaces and their applications in control problems, International centre for theoretical physics (1995) [13] V.N Phat Jong Yeoul Park, Further generalizations of Farkas’ theorem and their applications in Optimal control, Journal of Mathematical analysis and applications, 216 (1997), 23 – 39 [14] Walter Rudin, Real and complex analysis, International series in pure and Applied Mathematics, 1986 [15] S.M Robinson, Regularity and stability of convex set – valued mappings, Maths in Ops Res, 11 (1976), 130 – 143 [16] Alberto Seeger, Spectral analysis of set valued mappings, Acta mathematica vietnamica, 23 (1998), 49 – 63 [17] N.K Son, Controllability of linear discrete – time systems with constrained controls in Banach space, Control Cybernet, 10 (1981), – 16 [18] N.K Son, V.I Korobov, Controllability of linear systems with constrained con-trols in Banach space, Differential Equations (USSR), 16 (1980), 1010 – 1022 [19] N.K Son N.V Su, Linear periodic control systems: Controllability with restrained controls, Appl Math Optim., 14 (1986), 173 – 185 [20] Nicholas C.Vannells, Equilibria in noncooperative model of competition Journal of economic theory, 41 (1987), 96 – 111 [21] N.Đ Yên, Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ (2007) [...]... phương ( toàn cục) và đạt được địa phương ( toàn cục) với trạng thái bị ràng buộc Chúng tôi đặt ra vấn đề tìm điều kiện điều khiển được với hệ thời gian rời rạc trong hệ tuyến tính và phi tuyến của hệ (1) Chương 2: Ánh xạ đa trị 2.1 Định nghĩa và các khái niệm về ánh xạ đa trị 2.1.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị Cho X , Y là hai không gian metric Một ánh xạ đa trị F từ X đến Y được xác định bởi chính đồ... đa trị F : X → Y , X và Y là các không gian metric Nếu Graph( F ) là tập đóng trong không gian tôpô tích X × Y , thì F được gọi là ánh xạ đa trị đóng Nếu Graph( F ) là tập lồi trong không gian tôpô tích X × Y , thì F được gọi là ánh xạ đa trị lồi Nếu F ( x) là tập đóng với mọi x ∈ X , thì F được gọi là ánh xạ đa trị có giá trị đóng Nếu F ( x) là tập lồi với mọi x ∈ X , thì F được gọi là ánh xạ đa trị. .. Định nghĩa 2.5: Cho y thuộc F ( x) , F được gọi là pseudo - lipschitz quanh ( x, y ) ∈ GraphF nếu tồn tại hằng số dương l và lân cận U ⊂ DomF của x V của y sao cho ∀x1 , x2 ∈ U , F ( x1 ) ∩ V ⊂ F ( x2 ) + l x1 − x2 BY 2.2 Các tính chất của ánh xạ đa trị Cho F : X → Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không gian tuyến tính tôpô 2.2.1 Tính chất của ánh xạ đa trị F Tính chất 2.1: i ) F ( K1  K 2 ) = F (... ( x) ∩ (U ∩ V ) ≠ ∅} là mở trong X □ Tính chất 2.13:[7] Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính, ánh xạ đa trị T : X → Y , ( DomT = X ) là nửa liên tục dưới thì ánh xạ đa trị H : X → Y xác định bởi H ( x) = conT ( x) là nửa liên tục dưới Tính chất 2.14: Cho X , Y là hai không gian tôpô tuyến tính và ánh xạ đa trị H : X → Y , ( DomH = X ) với GraphH là mở Ánh xạ đa trị T : X → Y xác định bởi T ( x) = conH... trường hợp khi ánh xạ đa trị là xác định dương Cho X là không gian Hilbert trên trường số thực và ánh xạ đa trị A : X  X Định nghĩa 2.10: Ánh xạ đa trị A được gọi là nửa xác định dương nếu y, x  0 với mọi ( x, y )  GraphA Tính chất 2.28:[16] Cho A là nửa xác định dương thì A chỉ có các giá trị riêng không âm Chứng minh Gọi l là giá trị riêng của A thì từ định nghĩa của giá trị riêng tồn tại vector... điểm x  X được gọi là điều khiển được về không ( đạt được, tương ứng) trong N bước nếu có điều khiển u (0), u (1), , u ( N 1), u (k )   sao cho nghiệm x(0), x(1), , x( N ) của (1) thỏa x(0)  x, x(k )  M k , k  1, , N 1, x( N )  0, ( x(0)  0, x(k )  M k , k  1, , N 1, x( N )  x, tương ứng) Bằng cách lập luận tương tự như trên, chúng ta định nghĩa tương tự khái niệm điều khiển được về không... Vậy U ⊂ W hay W là tập mở trong X □ 2.3 Các quá trình lồi và vecto riêng của các quá trình đặc biệt 2.3.1 Các quá trình lồi Định nghĩa 2.6: Cho X , Y là 2 không gian Banach Ánh xạ đa trị T : X → Y được gọi là quá trình nếu GraphF là một nón trong X ×Y Ánh xạ đa trị T : X → Y được gọi là quá trình lồi nếu GraphF là một nón lồi X ×Y Đặt L ( X , Y ) là tất cả các quá trình lồi từ X đến Y Cho X * là... x  l x nên l  0 2 □ Tính chất 2.29:[16] Cho ánh xạ đa trị A : X  X là xác định dương theo nghĩa ( x, y )  GraphA, x  0  y, x  0 Thì, A chỉ có các giá trị riêng dương Chứng minh Gọi l là giá trị riêng của A thì từ định nghĩa của giá trị riêng tồn tại vector x  0 sao cho l x  A( x) Khi đó 0  l x, x  l x, x  l x nên l  0 2 □ Định nghĩa 2.11: Ánh xạ đa trị A : X  X được gọi là monotone nếu... ( K1 )  F ( K 2 ) ( iii ) F X Im ( F ) ⊃ ) K F (K ) iv) K1 ⊂ K 2 ⇒ F ( K1 ) ⊂ F ( K 2 ) Tính chất 2.2: Cho F : X → Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không gian tuyến tính tôpô Khi đó và 1 Nếu F là ánh xạ đóng, thì F là ánh xạ có giá trị đóng 2 Nếu F là ánh xạ lồi, thì F là ánh xạ có giá trị lồi 3 F là ánh xạ đa trị lồi khi và chỉ khi (1 − t ) F ( x) + tF ( x ') ⊂ F ((1 − t ) x + tx '), ∀x, x ' ∈ X... đóng.□ Tính chất 2.7: Cho X , Y là các không gian tôpô với Y là compact Ánh xạ đa trị T : X → Y với DomT = X có GraphT đóng thì T là nửa liên tục trên Cho M là không gian tuyến tính trên K = R hoặc K = C với nửa chuẩn p Cho ánh xạ đa trị T : M → K Với f ∈ M và δ > 0 chúng ta định nghĩa U δ ( f ) p -lân cận {g ∈ M : p ( g − f ) < δ } của f Tính chất 2.8: Cho ( M , p ) là không gian tuyến tính nửa ... 3: Tính điều khiển hệ đa trị 38 3.1 Hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính 38 3.1.1 Hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính (L ) d  ( A , B, ) d 38 3.1.2 Hệ điều khiển. .. □ Chương 3: Tính điều khiển hệ đa trị 3.1 Hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính 3.1.1 Hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính (L ) d  ( A , B , ) d Chúng ta xét hệ với thời... lại kết cách độc lập thể tính đắn định lí Chương : Dùng định lí ánh xạ đa trị chương để xét tính điều khiển hệ điều khiển sau: Chúng ta nghiên cứu hệ điều khiển với thời gian rời rạc tuyến tính