Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong quá trình ôn tập đầu lớp 9, chúng tôi bắt gặp một hiện tượng liên quan đến nội dung phân tích đa thức thành nhân tử PTĐTTNT như sau: “
Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong quá trình ôn tập đầu lớp 9, chúng tôi bắt gặp một hiện tượng liên quan đến nội dung phân tích đa thức thành nhân tử (PTĐTTNT) như sau: “Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức 6 x 2 − 8 xy thành nhân tử, hầu hết học sinh đều đưa ra kết quả 6 x 2 − 8 xy = 2 x ( 3 x − 4 y ) , đa thức ban đầu được tách thành tích của hai đa thức nhân tử hệ số nguyên là 2 x và y
Chúng tôi tiến hành một cuộc khảo sát trên một nhóm học sinh lớp 9 khác, hầu hết học sinh đều ghi nhận kết quả trên, bài làm điển hình của một học sinh như sau:
Với yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử tổng quát như trên, nghĩa là không chỉ định rõ đa thức nhân tử xác định trên vành đa thức nào, vành đa thức hệ số nguyên-hữu tỉ hay thực, dẫn đến một số kết quả phân tích khác như )
6 x 2 − xy = x x − y vẫn đúng nhưng không có cơ hội xuất hiện hoặc bị loại trừ
Bên cgạnh đó, trong “Những yếu tố cơ bản của Didactic toán”, hiện tượng dạy học phân tích đa thức thành nhân tử bậc THCS (học sinh từ 11 đến 16 tuổi) ở Pháp, chúng tôi nhận thấy có điểm tương đồng với hiện tượng ghi nhận trên:
Giáo viên yêu c ầu một học sinh THCS: “Em hãy phân tích thành nhân tử biểu thức 16x 2 –
4” và ch ờ đợi học sinh đó thấy được dịp vận dụng quy tắc phân tích thành nhân tử a 2 - b 2 =(a - b)(a + b) và sẽ trả lời 16x 2 - 4= (4x-2)(4x+2) Cũng như vậy, đối với câu “Phân tích thành nhân t ử 4x 2 - 36x “, giáo viên ch ờ đợi học sinh trả lời đơn giản là 4x 2 - 36x= 4x(x-9)
Có những cách giải khác vẫn đúng, nhưng đều bị loại trừ, hoặc không có cơ hội xuất hiện, không phải vì chúng không đáp ứng được điều kiện toán học đặt ra trước, mà vì chúng không phù h ợp với quy tắc ứng xử Đó là:
[Những yếu tố cơ bản của Didactic toán, tr.353]
Tình huống này, cũng không xác định rõ việc phân tích đa thức thành nhân tử được tiến hành trên vành đa thức nào Các kết quả phân tích được giáo viên hợp thức là kết quả được chấp nhận Theo đó, các kết quả còn lại có thể bị loại trừ hoặc không có cơ hội xuất hiện
Câu hỏi đặt ra là: việc dạy học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử được diễn ra như thế nào trong chương trình toán Việt Nam? Tại sao kết quả phân tích này được đa số chấp nhận mà không là kết quả phân tích khác?
Câu hỏi đặt ra nảy sinh trong chúng tôi nhu cầu cần thiết, nghiên cứu việc dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở Trung học cơ sở Việt Nam, với những quan tâm sau:
- Thể chế mong đợi những gì đối với kết quả trong yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử
- Có hay không những tiêu chí rõ ràng để xác định tính hợp thức của các kết quả phân tích đa thức thành nhân tử.
Khung lý thuy ết tham chiếu
Mục đích của luận văn là tìm lời giải thích đối với hiện tượng quan sát được Đồng nghĩa với việc tìm hiểu mối quan hệ giữa tri thức- bài toán PTĐTTNT với giáo viên và học sinh xét trong thể chế dạy học toán THCS được diễn ra như thế nào? Để làm được điều đó chúng tôi sử dụng các công cụ sau: lí thuyết nhân chủng học (quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học), lý thuyết tình huống, hợp đồng didactic
Chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q 1 : Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử xuất hiện và tiến triển như thế nào trong chương trình toán Việt Nam?
Q 2 : Xét ở góc độ tri thức cần giảng dạy trong nội tại chương trình toán trung học cơ sở Việt Nam hiện hành, kiểu nhiệm vụ phân tích đa thức thành nhân tử có những đặc trưng gì?
Thể chế đề cập đến những kỹ thuật nào giải quyết kiểu nhiệm vụ này? Những ràng buộc nào của thể chế dạy học trên tổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ phân tích đa thức thành nhân tử?
Q 3 : Các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ phân tích đa thức thành nhân tử từ chương trình dạy học có là tiêu chí đánh giá tính hợp thức của kết quả phân tích nhân tử được mong đợi hay không?
Q 4 : Những quy tắc hợp đồng nào được hình thành trong quá trình dạy học phân tích thành nhân tử?
Phương pháp nghiên cứu
Đầu tiên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu tri thức khoa học về vành đa thức và vành nhân tử hóa ở bậc đại học Đồng thời tham khảo và tổng hợp các kết quả của các hai nghiên cứu liên quan nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1
Dựa trên kết quả đó, chúng tôi tiến hành phân tích những tri thức về PTĐTTNT được đưa vào chương trình, SGK Toán phổ thông hiện hành trả lời câu hỏi Q2, Q 3
Những kết quả nghiên cứu trên cho phép chúng tôi đặt ra giả thuyết nghiên cứu dưới dạng quy tắc hợp đồng didactic Tính thích đáng của hợp đồng được kiểm chứng trong phần thực nghiệm Đồng thời qua thực nghiệm làm sáng tỏ quan hệ cá nhân của học sinh với tri thức PTĐTTNT Từ đó cho phép chúng tôi khẳng định sự tồn tại của câu hỏi Q4.
C ấu trúc luận văn
Luận văn gồm 5 phần: Mở đầu, 3 chương và Kết luận chung.
Trong phần Mở đầu, chúng tôi trình bày ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát; lý thuyết tham chiếu; phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn.
Chương 1 Một số yếu tố của trường sinh thái xoay quanh bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
Chương 2 Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử - một phân tích thể chế
Chương 3 Nghiên cứu thực nghiệm
Trong phần Kết luận chung, chúng tôi tóm tắt các kết quả ở chương 1, 2, 3 và nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn
Ngoài ra, chúng tôi còn giới thiệu Tài liệu tham khảo và Phụ lục.
MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TRƯỜNG SINH THÁI XOAY QUANH BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Chuy ển đổi didactic liên quan đến đối tượng đa thức
Chúng tôi sẽ phân tích đối tượng đa thức, chủ yếu tập trung vào đa thức một biến trong thể chế được tạo thành bởi các giáo trình đại học và thể chế THCS và cố gắng làm rõ sự chênh lệch liên quan đến đối tượng này
1.1.1 Khái niệm đa thức ở tri thức khoa học
• Khái ni ệm đa thức ở tri thức phổ thông Để thuận tiện, chúng tôi ký hiệu cuốn “Từ điển toán học thông dụng, Ngô Thúc Lanh-Đoàn
Quỳnh-Nguyễn Đình Trí, 2001” là [TĐ] Chúng tôi tìm thấy một nhận xét trong [TĐ]:
Trong toán h ọc sơ cấp, từ “đa thức” được dùng đồng nghĩa với “hàm đa thức”
Một đa thức (hay hàm đa thức) là một biểu thức tạo thành từ các đối số chỉ bằng một số hữu hạn các phép toán cộng và nhân (phép nâng lũy thừa là một trường hợp đặc biệt của phép nhân: x n = x x x ( n > 1 ), x 1 = x , x 0 = 1 Phép chia cho một số khác 0 có thể xem là phép nhân với số nghịch đảo của số chia Đa thức một ẩn trên vành giao hoán có đơn vị A Đó chính là một dãy (a i ) i€N những phần tử c ủa A trong đó tập hợp các phần tử khác 0 là hữu hạn Phép cộng và phép nhân hai đa thức P=(a i ) i€N và Q=(b i ) i€N được định nghĩa như sau:
= n q p q p n a b c Nếu ta đặt 1=(1,0,0, …) và x= (0,1,0, …) thì x 2 =(0,0,1,0, …), x 3 =(0,0,0,1,0 …) v.v, và một đa thức P=(a 0 , a 1 , …,a n , 0, 0, …) sẽ được viết một cách duy nhất dạng:
P = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n Được trang bị phép cộng và phép nhân trên đây, tập hợp các đa thức là một vành giao hoán có đơn vị, kí hiệu là A[x] Nếu thay A bởi một trường K thì A[x] là một vành chính
• Vành đa thức ở chương trình đại học Ở bậc đại học đa thức được hiểu theo cấu trúc đại số-vành đa thức Một trong những giáo trình đề cập đến vành đa thức chúng tôi chọn lựa: Đại số đại cương của Hoàng Xuân Sính, xuất bản năm 2006, chúng tôi ký hiệu là [S] Theo tác giả: Ở đây ta định nghĩa đa thức một cách tổng quát hơn và chính xác hơn Giả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị kí hiệu là 1 Gọi P là tập hợp các dãy
Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân trong P như sau
= + k b a k j i j i Định nghĩa 1 Vành P gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A, hay vắn tắt vành đa thức c ủa ẩn x trên A, và kí hiệu là A[x] Các phần tử của vành đó gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A Trong một đa thức f(x)= a 0 x 0 + a 1 x + … + a n x n các a i , i=0, 1, … , n gọi là hệ tử của vành đa thức Các a i x i gọi là hạng tử của đa thức, đặc biệt a 0 x 0 =a 0 g ọi là hạng tử tự do
Trong quá trình đề cập vành đa thức, tác giả cũng chỉ rõ việc kế thừa cách xây dựng vành đa thức một ẩn hoàn toàn có thể xây dựng vành đa thức nhiều ẩn Tìm hiểu thêm về cách xây dựng này có thể tham khảo ở [S, tr.110-113]
1.1.2 Khái niệm đa thức ở chương trình Toán THCS
Nội dung “Đa thức” được trình bày trong chương IV- Biểu thức đại số, bài 5 ĐA THỨC,
Các biểu thức trên là những ví dụ về đa thức Đa thức là tổng của những đơn thức Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức thức đó
Tiếp đến, đa thức một biến được GK7.2 đề cập ở nội dung bài học 7: Đa thức một biến là tổng của những đơn thức một biến
A = 2 − + là đa thức của biến y ;
GK7.2 đưa ra sự định nghĩa “đa thức” dựa trên khái niệm “đơn thức”, như một dây chuyền đơn thức lại là một biểu thức đại số Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến
1.1.3 Sự chênh lệch về đối tượng đa thức từ cấp độ Đại học đến cấp độ phổ thông
[S] đã xây dựng một cách rõ ràng về vành đa thức một ẩn (biến) Với cách xây dựng của mình, [S] chỉ rõ tập các đa thức là vành giao hoán có đơn vị, xác định hai phép toán cộng và nhân Trong đó phép cộng có tính chất giao hoán, phép nhân có tính chất kết hợp, phân phối đối với phép cộng
[TĐ] và [S] có cùng quan điểm về đa thức “đa thức được đồng nhất với hàm đa thức” Theo đó, các hàm đa thức được phân biệt dựa trên vành hệ tử của nó
Vành hệ tử được đề cập trong [S] là Z-vành số nguyên, Q-trường số hữu tỉ, R-trường số thực, C-trường số phức
Một sự khác biệt được tìm thấy khi so sánh với GK7.2-định nghĩa đa thức dựa trên biểu thức đại số, các đơn vị trong nó là đơn thức Ở đây, tác giả không đưa ra bất kỳ ràng buộc nào về các hệ số của đơn thức Theo như [TĐ] và [S] cách xây dựng vành đa thức thì hệ số phải được lấy trên vành giao hoán có đơn vị Tuy nhiên, một chú ý đặc biệt, các đa thức trong ví dụ GK7.2 đưa ra đều thuộc tập đa thức với hệ số hữu tỉ Tức là hệ số của chúng được lấy trong trường số hữu tỉ Q
Phải chăng, để tránh cách định nghĩa phức tạp, mang nặng lý thuyết, GK7.2 đã chọn cách định nghĩa nhẹ nhàng, dựa trên các yếu tố gần gũi với HS vì “biểu thức đại số” HS đã từng bước làm quen ở cấp tiểu học với biểu thức số và biểu thức chứa chữ Cụ thể, bài toán
PTĐTTNT đã xuất hiện ở lớp 4 dưới hình thức áp dụng ngược lại tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng-bài toán đặt thừa số chung:
2) bước đầu biết sử dụng tính chất giáo hoán, tính kết hợp của phép nhân và tính chất nhân của m ột tổng với một số trong thực hành tính
Ví dụ Tính bằng cách thuận tiện nhất: a) 36x25x4 b) 215x86+215x14
[Chương trình giáo dục phổ thông, tr.60]
Câu hỏi đặt ra: Có một quy định rõ ràng hay ngầm ẩn nào về vành hệ số của các đa thức được nghiên cứu trong chương trình THCS hay không?
• Vành h ệ số của các đa thức trong chương trình toán THCS
Chúng tôi dự đoán câu trả lời trong việc tìm hiểu đặc trưng về hệ số, phép toán cộng và nhân trên tập các đa thức trong những nội dung bài học sau định nghĩa đa thức
Theo cấu trúc chương trình Toán THCS, những nội dung này tập trung chủ yếu ở học kỳ hai lớp 7 và học kỳ một lớp 8 Tính đến thời điểm định nghĩa đa thức xuất hiện trong GK7.2, các tập hợp số nguyên Z-hữu tỉ Q-số thực R cùng với hai phép toán cộng và nhân thỏa yêu cầu-vành giao hoán có đơn vị đã được xây dựng hoàn chỉnh trong chương trình toán THCS
Bảng 1.1: Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, trang 8.
Mạch nội dung Chủ đề Lớp
Số học 1.1 Số tự nhiên * * * * * *
Ghi chú +: Các y ếu tố, kiến thức chuẩn bị
Bài toán “phân tích đa thức thành nhân tử” (PTĐTTNT) trong kết cấu chương trình toán trung h ọc cơ sở (THCS)
Trong nghiên cứu của mình-Nguyễn Ái Quốc (2006) khẳng định: “Việc sử dụng các kỹ thuật nhân tử hóa (của một đa thức) chỉ được học ở lớp 8 phổ thông cơ sở Ở lớp 9, việc sử dụng này chỉ được lập lại như một kỹ thuật cần thiết cho việc chuyển sang kỹ thuật dùng biệt số.”
Nhận định trên dẫn chúng tôi đến việc tập trung vào phân tích chương trình toán 8, trọng tâm ở nội dung liên quan đến kĩ thuật giải bài toán PTĐTTNT, tức bài toán PTĐTTNT được xem như một đối tượng toán học Và một phần của chương trình toán 9, nơi mà phân tích đa thức thành nhân tử đã trở thành công cụ toán học
Phạm vi phân tích này giúp chúng tôi xem xét kỹ hơn trong từng giai đoạn bài toán PTĐTTNT có những đặc trưng gì nổi bật
• Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò đối tượng
Theo chương trình Toán 8, nội dung “Phân tích đa thức thành nhân tử” (PTĐTTNT) được trình bày ở phần đầu GK8.1-chương I Phép nhân và phép chia các đa thức, sau nội dung
“Phép nhân đa thức” và “Hằng đẳng thức đáng nhớ” Với thời lượng năm tiết, dàn trải trong bốn bài học:
6 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
7 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
8 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
9 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
Dựa vào cấu trúc bài học, có thể thấy rằng bài toán PTĐTTNT không được đề cập một cách độc lập, tương ứng với một bài học là một phương pháp phân tích Vậy cái nhìn ban đầu về
“phân tích đa thức thành nhân tử”là như thế nào? Ở nội dung bài học đầu tiên, chúng tôi tìm thấy định nghĩa sau:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức thành một tích của những đa thức
[GK8.1, tr.18] Định nghĩa này có thể được hiểu là thao tác biến đổi đa thức ở dạng tổng về tích các đa thức Từ định nghĩa dẫn đến thắc mắc sau: Có tồn tại hay không mối quan hệ của nó với hai nội dung trước đó “Phép nhân đa thức” và “Hằng đẳng thức đáng nhớ”? Đặc trưng của mối quan hệ này là gì?
Qua tìm hiểu chương I Phép nhân và phép chia đa thức trong GK8.1, chúng tôi thấy rằng
“Hằng đẳng thức đáng nhớ” chính là một kênh dinh dưỡng cho bài toán PTĐTTNT
Và nội dung “phép nhân đa thức”, với mức độ cần đạt:
Vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
A(B + C)= AB + AC (A + B)(C+D) + AD + BC + BD Trong đó A, B, C, D là các số hoặc các biểu thức đại số
[Chương trình giáo dục phổ thông, tr.106] cho thấy bài toán PTĐTTNT có thể hiểu là bài toán ngược của phép nhân đa thức
Khi đó, các kỹ thuật đưa đa thức ở dạng tổng về tích của những đa thức được vận hành như thế nào? Chúng có còn tuân thủ tính chất này nữa hay không, hay nó có thêm đặc trưng nào khác nữa?
Trở lại mục 1.1, kết quả thống kê các đa thức trong chương trình toán 7-8 tập trung chủ yếu ở vành đa thức hệ số nguyên và hữu tỉ
Vậy liệu rằng, kết quả phân tích các đa thức thành nhân tử có tập trung vào hai vành đa thức này hay không? Hay nói cách khác, các đa thức nhân tử có được trong kết quả phân tích có phải chỉ rơi vào hai trường hợp hoặc ĐT-Z hoặc ĐT-Q?
Chúng tôi sẽ làm rõ các câu hỏi này trong chương 2
• Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò công cụ
Qua tìm hiểu chương trình toán 8, bài toán PTĐTTNT không chỉ giữ vai trò đối tượng, nó còn là công cụ trong bài toán giải phương trình (phương trình tích)
Từ Chương trình giáo dục phổ thông môn toán (gọi tắt là CT), vai trò công cụ bài toán PTĐTTNT đảm nhận như sau:
- Trong phần “1 Định nghĩa Tính chất cơ bản của phân thức Rút gọn phân thức
Quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức” thể chế đã có một vài ghi chú sau:
Rút g ọn các phân thức mà tử và mẫu có dạng tích chứa nhân tử chung Nếu phải biến đổi thì việc biến đổi thành nhân tử không mấy khó khăn
Ví d ụ Rút gọn các phân thức sau:
[chương II Phân thức đại số, CT, tr.109]
- Trong “3 Nhân và chia các phân thức đại số Biến đổi biểu thức hữu tỉ”, bài toán PTĐTTNT xuất hiện ở mức độ:
Không đưa ra các bài tập mà trong đó phần biến đổi thành nhân tử (để rút gọn) quá khó khăn Nên ch ủ yếu là hằng đẳng thức đáng nhớ
[chương II Phân thức đại số, CT, tr.111]
Như vậy, sau khi được tiếp cận như một đối tượng của toán học, bài toán PTĐTTNT đã phát huy vai trò công cụ trong một số phép biến đổi đại số liên quan đến phân thức đại số, giải phương trình trong chương trình đại số 8
1.2.2 Chương trình toán 9 Ở nội dung này, chúng tôi có ý định mượn lại các kết quả nghiên cứu của Nguyễn Ái
Quốc(2006) được Nguyễn Thị Thanh Thanh (2009) tổng hợp và tóm tắt trong luận văn thạc sĩ “Nghiên c ứu thực hành của giáo viên trong dạy học giải phương trình bậc hai 1 ẩn” của mình, với hy vọng tìm hiểu về sự tiến triển của bài toán PTĐTTNT trong chương trình toán phổ thông Việt Nam thông qua việc giải phương trình bậc hai một ẩn:
Việc giải phương trình bậc hai được đưa vào từ lớp 7 và được học chủ yếu ở hai lớp 8 và 9 Ở lớp 10 xuất hi ện dưới dạng các phương trình có chứa tham số
V ề kỹ thuật, việc giải phương trình bậc hai bằng kỹ thuật phân tích thành nhân tử CarN và ProdN được bắt đầu ở lớp 7 với một số lượng rất ít các bài tập (xuất hiện trong SBT)
Sau đó, nó được học và giải quyết ở lớp 8 chủ yếu bằng cách sử dụng các kỹ thuật CarN, ProdN, Fact_ProdN, IdR_ProdN, EgaCar dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức
Các k ỹ thuật khác như Dec_Fact_ProdN, Aj_IdR_ EgaCar và Aj_IdR_ProdN được giới thiệu ở cả lớp 8 và
Vành nhân t ử hóa là “mặt bằng” so sánh kết quả của bài toán phân tích đa thức thành nhân t ử ở THCS?
th ức thành nhân tử ở THCS?
Bài toán PTĐTTNT ở một số giáo trình đại học có tên gọi tổng quát là “nhân tử hóa” Liệu rằng xem xét sự nhân tử hóa của đa thức trên vành ở cấp độ tri thức khoa học dự đoán có thể xác định “mặt bằng” trong việc đánh giá tính hợp thức các kết quả phân tích thành nhân tử được thể chế chọn lựa không
Câu hỏi đặt ra: việc nhân tử hóa được trình bày như thế nào ở cấp độ đại học?
• Vành nhân tử hóa ở chương trình đại học
Tìm hiểu ở [S], chúng tôi ghi nhận một số kết quả sau: Định lí 1 Giả sử x là một phần tử khác không và không khả nghịch Thế thì x có thể viết dưới dạng
Với các p i , i=1, … , n, là những phần tử bất khả quy Định lí 2 Giả sử x=p 1 p 2 … p n = q 1 q 2 … q n v ới p 1, p 2 … p n , q 1, q 2 … q n là nh ững phần tử bất khả quy Thế thì m=n, và với một sự đánh số thích hợp q i =u i p i , i=1, … , m
[S, tr.136] Định lí 1-2 được phát biểu trên vành chính K[x], với K là trường Trong đó phần tử bất khả quy được định nghĩa trước đó liên quan đến một số khái niệm khác Chúng tôi trích dẫn những khái niệm liên quan trong mối quan hệ này để làm rõ nghĩa thế nào là đa thức bất khả quy trong vành đa thức hệ số nguyên-hữu tỉ-thực
(v) Quan hệ S xác định như sau: xSx’ khi x’=ux với u khả nghịch, là một quan hệ tương đương; x và x’ g ọi là liên kết
2) Trong vành các s ố nguyên Z hai số nguyên a và –a là liên kết
3) Trong vành đa thức K[x] với K là một trường, hai đa thức f(x) và af(x), a 𝜖 K và a≠0, là liên kết Định nghĩa 1 Các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch là các ước không thực sự của x, còn các ước khác là ước thực sự của x Định nghĩa 2 Giả sử x là phân tử khác không và không khả nghịch của A; x gọi là phần tử bất kh ả quy của A nếu x không có x ước thực sự
1) Các s ố nguyên tố và các số đối của chúng là các phần tử bất khả quy trong vành Z
2) Đa thức x 2 + 1 là đa thức bất khả quy trong vành R[x], R là trường số thực Nhưng trong vành C[x] với C là trường số phức thì x 2 + 1 không phải là bất khả quy vì nó có ước thật sự ch ẳng hạn x + i và x − i
Từ những mối quan hệ của các định nghĩa được nêu ở trên, chúng tôi xây dựng định nghĩa về đa thức bất khả quy một cách cụ thể trên vành đa thức Z[x]như sau: Đa thức p(x) khác đa thức không và thuộc vào Z[x], p(x) bất khả quy nếu:
- Nếu q(x) là ước của p(x) thì q(x) = ±1
Cách xây dựng này dự đoán là cơ sở so sánh các kết quả phân tích về tích ĐT-Z trong chương trình vì nhân tử hóa chỉ được phát biểu trên vành đa thức K[x] với K là một trường số
Các kết quả ghi nhận sự nhân tử hóa trên vành đa thức phát biểu ở định lí 1-2 cho thấy rằng sự phân tích có thể không là duy nhất, tuy nhiên số lượng các phần tử bất khả quy là tương thích
Xét trên mối quan hệ tương ứng, phần tử bất khả quy trong những phân tích là liên kết với nhau Một điều quan trọng là tính bất khả quy của một phần tử được quyết định bởi vành đa thức chứa nó như [S] đã nói trong ví dụ
Với sự trình bày của vành nhân tử hóa, [S] đã chỉ ra tiêu chuẩn rõ ràng để xét tính bất khả quy của đa thức và việc nhân tử hóa đa thức được chỉ định rõ trên vành đa thức nào (vành ĐT-Z, vành ĐT-Q, vành ĐT-R hay vành ĐT-C) Điều này khiến chúng tôi tò mò: Liệu rằng việc phân tích thành nhân tử các đa thức trong chương trình THCS có đưa về tính bất khả quy của các đa thức hay không?
Câu trả lời này, dự định sẽ được tìm thấy trong phần phân tích thể chế ở chương 2.
K ết luận
Nghiên cứu trên đã làm rõ một số đặc trưng về môi trường sinh thái xoay quanh bài toán PTĐTTNT Từ đó giúp trả lời câu hỏi Q1:“Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử xuất hiện và tiến triển như thế nào trong chương trình toán Việt Nam?”
Câu trả lời có được là: Bài toán PTĐTTNT đã được đặt nền tảng ở cấp tiểu học, nhen nhóm ở lớp 7, được đề cập chính thức trong chương trình đại số 8 Ở đây, ban đầu nó được xét trên cương vị đối tượng toán học, nhưng về sau nhanh chóng trở thành công cụ đắc lực trong thực hành giải toán liên quan đến biến đổi biểu thức hữu tỉ và giải phương trình quy về phương trình tích
Có thể thấy đại số 8 là mảnh đất màu mỡ của bài toán PTĐTTNT Nhưng sang chương trình đại số 9, bài toán này phân bố rải rác với mật độ thấp Đặc biệt, trong lĩnh vực giải phương trình, nó từng có tầm ảnh hưởng mạnh, thì đến đây nó chỉ đóng vai trò là bước đệm cho kỹ thuật mới thống lĩnh Và trở nên mờ nhạt hẳn ở chương trình đại số ở cấp THPT, cụ thể ở lớp 10, với sự lựa chọn thể chế trong việc tập trung vào giải phương trình chứa tham số với sự hiện diện của công cụ biệt số delta
Kết quả này một lần nữa khẳng định nhận định của Nguyễn Ái Quốc: các kỹ thuật PTĐTTNT tập trung chủ yếu ở chương trình đại số 8 Vì thế hướng phân tích của chúng tôi sẽ được “chuyên canh” ở mảnh đất đại số 8 Trong đó, tính hợp thức của bài toán PTĐTTNT như dự đoán ban đầu được xét trên các kĩ thuật từ chương trình, với “mặt bằng” đánh giá dựa trên cơ sở của việc nhân tử hóa trên vành đa thức ở cấp độ tri thức khoa học Phân tích chương 1 cho thấy môi trường sinh thái của đa thức trong chương trình toán THCS đã xác định phần lớn môi trường sinh thái của đa thức trong bài toán PTĐTTNT Tuy thể chế đã không chỉ rõ vành đa thức xác định tập các đa thức, nhưng với sự lựa chọn về nội dung đa thức được trình bày trong chương trình, một cách ngầm ẩn môi trường sinh thái của đa thức là vành ĐT-Z, ĐT-Q, ĐT-R mà vùng sống chủ yếu tập trung ở tập các ĐT-Z và ĐT-Q
Theo đó chúng tôi muốn tìm hiểu xem các kết quả phân tích thành nhân tử có còn tập trung vào hai vành đa thức này không? Và với lựa chọn ngầm ẩn như vậy có hình thành lên HS những quan niệm nào trong thực hành giải toán PTĐTTNT hay không?
BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ - MỘT PHÂN TÍCH TH Ể CHẾ
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung
Trong mục tiêu bài học, GV8.1 mong muốn:
- HS hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử
- Bi ết cách tìm nhân tử chung và đặt nhân tử chung
Nội dung trước, với nhận xét bài toán PTĐTTNT không được trình bày một cách độc lập, nó được lồng ghép vào bài học đầu tiên với nội dung liên quan trong GK8.1 Dự kiến phần này chúng tôi đi sâu làm rõ thuật ngữ “PTĐTTNT”, tác giả SGK này đã có hướng tiếp cận ra sao để đạt được mục tiêu mong đợi của thể chế
Bài toán PTĐTTNT được tiếp cận như sau:
Ví dụ 1 Hãy viết 2x 2 -4x thành một tích của những đa thức
Việc biến đổi 2x 2 -4x thành tích 2x(x-2) được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức Cách làm như ví dụ trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân t ử chung (một số phương pháp khác để phân tích thành nhân tử chúng ta sẽ nghiên cứu sau)
GK8.1 tiếp cận bài toán PTĐTTNT theo trình tự: đưa ra ví dụ, trình bày cách làm, định nghĩa Như vậy, thể chế đã đưa ra định nghĩa chính thức cho thuật ngữ “phân tích đa thức thành nhân tử”, theo đó “Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức”
Dựa trên định nghĩa, tác giả không nói rõ đặc trưng của các đa thức nhân tử được xác định trên vành đa thức nào? Dẫn đến việc xuất hiện nhiều kết quả thoả mãn nó, chẳng hạn:
So với lời giải của GK8.1, tác giả chỉ đưa ra kết quả 2 x 2 − 4 x = 2 x ( x − 2 ) Cách làm này được gọi tên là: “Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung” (chúng tôi gọi tắt là PTĐTTNT-NTC)
Phải chăng đây được xem là kết quả mong đợi của thể chế Điều này khiến chúng tôi đặt ra câu hỏi: khi yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, thể chế mong đợi điều gì?
Với cách giải của mình, GK8.1 đã chỉ ra được phần chung của cả hai hạng tử là 2x Bằng việc viết đa thức ban đầu dưới dạng tích của phần chung với đa thức mới x - 2 là hợp thành từ phần còn lại của hai hạng tử sau khi lấy phần chung, yêu cầu bài toán được giải quyết
2, x hoặc 2x đều được xem là phần chung của hai hạng tử Nếu lấy phần chung là 2 thì dẫn đến kết quả B, lấy phần chung là x thì dẫn đến kết quả C, 2x- hợp thành của 2 và x, được xem là phần chung lớn nhất Theo cách làm trên, GK8.1 đã chọn phần chung lớn đặt ra ngoài dấu ngoặc Điều này tạo ra một nghi vấn: “Với cách tìm phần chung như trong ví dụ, phải chăng đây là sự nâng cấp việc tìm ước chung lớn nhất của tập hợp số tự nhiên, mở rộng hơn là tập hợp số nguyên trước đó?”
Nghi vấn này nhanh chóng được GV8.1 làm sáng tỏ thông qua phần B Những điều cần lưu ý, tr.25:
Cách tìm nhân t ử chung với các đa thức có hệ số nguyên
- Hệ số là ƯCLN của các hệ số dương của các hạng tử
- Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó
[GV8.1, tr.25] Đến đây kĩ thuật đầu tiên giải quyết KNV “phân tích đa thức thành nhân tử” (T- nhantu) xuất hiện và được mô hình hóa với bốn thành phần trong OM-1
[ T − nhantu , τ NTC , θ NTC , Θ ].Trong đó,τ NTC là kỹ thuật giải quyết T-nhantu với hai bước:
Bước 1: Tìm nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức với các nguyên tắc sau:
Hệ số là ước chung lớn nhất của các hệ số nguyên dương của các hạng tử
Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy thừa là số mũ nhỏ nhất của nó
Biểu diễn hạng tử trong đa thức dưới dạng tích chứa nhân tử chung vừa tìm được
Chẳng hạn: A=F.A1; B=F.B 1 ; trong đó F là nhân tử chung
Bước 2: Đặt nhân tử chung, viết đa thức ban đầu dưới dạng tích của đa thức nhân tử chung và đa thức mới là phần còn lại của các hạng tử sau khi lấy đi nhân tử chung, có thể là A+B=F.(A1+B 1 )
Công nghệ θ NTC dùng giải thích kỹ thuật trên là phép nhân hai đa thức; lý thuyết Θ NTC : tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
Với cách xác định nhân tử chung của GV8.1 cho thấy τ NTC được chỉ định đối với các đa thức có hệ số nguyên Do vậy, nhân tử chung tìm được trong quá trình biến đổi là một đa thức với hệ số nguyên, kéo theo đa thức nhân tử còn lại phải là đa thức có hệ số nguyên
Thêm vào nữa, các hạng tử trong mỗi một đa thức nhân tử không tồn tại phần chung Điều này có nghĩa là: nếu mỗi hạng tử trong đa thức nhân tử có nhân tử chung thì quá trình phân tích phải được tiếp tục.
Tuy nhiên, hiện tượng này là khó có thể xảy ra Bởi lẽ, việc xác định nhân tử dựa trên quy tắc tìm ước chung lớn nhất (UCLN) đã vét cạn phần chung trong các hạng tử Như vậy bằng phương pháp đặt nhân tử chung, quá trình phân tích sẽ kết thúc sau hữu hạn lần đặt nhân tử chung
Vì thế, A là kết quả hợp lý nhất, các kết quả còn lại ngầm ẩn bị bỏ qua, đặc biệt là kết quả phân tích có chứa hệ số hữu tỉ hoặc hệ số thực không thể xuất hiện, mặc dù xét về bản chất chúng hoàn toàn không vi phạm định nghĩa về thuật ngữ PTĐTTNT
Tiếp theo, GK8.1 đưa thêm ví dụ 2, trang 18:
Ví d ụ 2 Phân tích đa thức 15x 3 – 5x 2 + 10x thành nhân t ử Giải 15x 3 – 5x 2 + 10x = 5x.3x 2 -5x.x +5x.2 = 5x(3x 2 –x +2)
Nhận thấy với kỹ thuật được cung cấp, kết quả trong ví dụ 2 đi chung trên “một con đường” với ví dụ 1 Dẫn đến duy nhất một đáp số được chấp nhận 5x(3x 2 –x +2) trong khi các đáp số hợp lý )
10 x x 2 − x + …đã không được chỉ ra
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
2.2.1 Sự tiến triển của quy tắc hợp đồng didactic QT-HS 1
Xem xét bài toán PTĐTTNT trong nội dung bài học này, chúng tôi sẽ xem xét sự tồn tại của
QT-HS1 đã phát biểu trong phần trước có tiến triển gì hay không Đặc biệt với sự xuất hiện của một kĩ thuật mới, kĩ thuật dùng hằng đẳng thức
Ngoài ra, câu hỏi nghiên cứu CH-GV1 cũng được xem xét xem có hay không các yếu tố để trả lời cho nó Để thuận tiện cho việc theo dõi, chúng tôi xin nhắc lại:
QT-HS 1: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh có trách nhiệm phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có các hệ số nguyên
Tuy nhiên, đối với đa thức có hệ số hữu tỉ, khi phân tích thành tích các đa thức có hệ số hữu tỉ ta có thể có nhiều đáp số Vậy câu hỏi nghiên cứu có thể đặt ra :
CH-GV 1: Giáo viên mong đợi học sinh trả lời thế nào trong trường hợp phân tích đa thức có hệ số hữu tỉ thành nhân tử?
Sau bài học : “Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung”, KNV PTĐTTNT một lần nữa được GK8.1 đề cập với ba nhiệm vụ như sau:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
Cách làm như các ví dụ trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Bài học này có cấu trúc tương tự với bài học trước đó, theo trình tự: ví dụ, cách làm, gọi tên cách làm Theo đó, GK8.1 gọi tên: “Cách làm như ví dụ trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức”, chúng tôi gọi tắt là PTĐTTNT-HĐT
Ví dụ trích dẫn cho thấy QT-HS 1 được phát biểu trong bài học trước có sự tiến triển Trường hợp a) và c), đáp số vẫn tôn trọng quy tắc của hợp đồng Nhưng trường hợp b) thì đáp số có hệ số trong R
Mục tiêu bài học này trong GV8.1 là:
- HS hiểu được cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
- HS bi ết vận dụng các hằng đẳng thức đã học vào việc phân tích đa thức thành nhân tử
Vậy đâu là tập hợp các hằng đẳng thức cần nhớ được GV8.1 nhấn mạnh trong A Mục tiêu? Cũng ở GV8.1, chúng tôi tìm thấy trong phần gợi ý dạy học:
Hoạt động 1 GV cho HS viết các hằng đẳng thức dưới dạng:
Sau đó cho HS giải các ví dụ như SGK hoặc các ví dụ tương tự
Như vậy, thể chế yêu cầu vận dụng bảy HĐT đáng nhớ đã học trước đó:
Các nhiệm vụ thuộc T-nhantu trong nội dung bài học “Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức”:
Bảng 2.3 :Liệt kê nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T-nhantu trong bài học 7
Ví dụ và bài tập Đáp số
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
?1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
43 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
44 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
26 Phân tích thành nhân tử :
27 Phân tích thành nhân tử : xy 4 y 4 x ) c
28 Phân tích thành nhân tử : xyz 3 z y x
) c có nhiều cách giải Có thể sử dụng bài 31
(SGK) Ta có : x 3 + y 3 = ( x + y ) 3 − 3 xy ( x + y ),do đó x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz
7.1 Phân tích đa thức 4 x 2 − 9 y 2 thành nhân tử
Từ Bảng 2.3, chúng tôi tiến hành quy đổi về phần trăm tỷ lệ xuất hiện của đa thức trong “bài toán PTĐTTNT-HĐT” dựa trên đặc trưng hệ số của chúng
Bảng 2.4: Bảng quy đổi tỉ lệ phần trăm các đa thức trong bài toán PTĐTTNT-HĐT.
Vành đa thức Số NV Tỉ lệ (%) Số NV Tỉ lệ(%) ĐT-Z 11 78,57 10 100 ĐT-Q 3 21,43 0 0 ĐT-R
Kết quả phân tích ĐT-Z 10 71,43 (10/14) 10 100 ĐT-Q 3 21,43 0 0 ĐT-R 1 7,14 0 0
Trong KNV T-nhantu, sự xuất hiện ĐT-Q ngày càng tăng, nhưng ĐT-Z vẫn giữ vai trò thường trực, cụ thể ở GK8.1 chiếm 78,57% và BT8.1 chiếm 100%, ĐT-R không hiện diện nhưng nó lại có mặt trong kết quả phân tích ĐT-Z thành nhân tử Và kể từ sau ví dụ, các nhiệm vụ thuộc KNV T-nhantu đã không tạo cơ hội cho nó xuất hiện Điểm chú ý khi quay trở nhiệm vụ T-tìm x trong Bảng 2.2, cụ thể:
Quan sát lời giải của thể chế:
Rõ ràng, việc tìm x ở đa thức nhân tử x 2 − 13 được thực hiện dựa trên tính chất căn bậc hai, nó cũng có thể giải quyết theo hướng đặt nhân tử chung bằng kĩ thuật HĐT Chúng tôi thắc mắc: Tại sao thể chế không đặt loại nhiệm vụ này ngay sau bài học 7 nhằm tạo cơ hội cho việc áp dụng kĩ thuật HĐT vừa nêu Phải chăng việc đặt nhân tử chung bằng kĩ thuật HĐT không là lựa chọn của thể chế đối với đa thức có dạng ax 2 -b, trong đó a và b không đồng thời là số chính phương
Thay vào đó là việc vận dụng kĩ thuật Rac - dùng tính chất căn bậc hai như trong hai luận văn liên quan đến việc dạy học phương trình bậc hai một ẩn của hai tác giả (Nguyễn Ái
Quốc,2006) và (Nguyễn Thị Thanh Thanh, 2009) đề cập Điều này cho phép củng cố giả thuyết của chúng tôi về sự tồn tại của hợp đồng didactic QT-
HS 1 đến thời điểm này mặc dù có biến động khi xuất hiện kĩ thuật mới, nhưng với nhiệm vụ liên quan đến nó rất ít (1 nhiệm vụ) Chúng tôi cho rằng ảnh hưởng của nó lên QT-HS1 là khá mờ nhạt QT-HS1 dự đoán vẫn không thay đổi trong bài học này
QT-HS 1: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh có trách nhiệm phải ưu tiên phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có các hệ số nguyên
Câu hỏi nghiên cứu CH-GV 1 :
Giáo viên mong đợi học sinh trả lời thế nào trong trường hợp phân tích đa thức có hệ số hữu tỉ thành nhân tử ? Vẫn chưa được thể chế trả lời Chẳng hạn, đáp số
8 3 − = − 2 + + có được giáo viên chấp nhận không?
2.2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử với vai trò công cụ trong kiểu nhiệm vụ T- tìm x
KNV T-tìm x vẫn ở hai dạng cơ bản: “Tìm x để P(x)=0” và “Tìm x để P(x)=Q(x)”, có thể thấy rõ trong bảng tổng hợp sau:
Bảng 2.5 : Liệt kê nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ T-tìm x trong bài học 7
Ví dụ và bài tập Đáp số
Bài tập bổ sung, BT8.1, tr.9
Số lượng các nhiệm vụ có đa thức tập trung trong vành đa thức hệ số nguyên và hữu tỉ với tỉ lệ phần trăm quy đổi sau:
Bảng 2.6 : Bảng quy đổi tỉ lệ phần trăm các đa thức trong nhiệm vụ ở Bảng 2.5.
Dạng P(x) hoặc P(x)-Q(x) Số NV Tỉ lệ Số NV Tỉ lệ ĐT-Z 1 50% (1/2) 3 75% (3/4) ĐT-Q 1 50% 1 25% ĐT-R
Kết quả phân tích ĐT-Z 2 50% ĐT-Q 1 25% ĐT-R
Phần trăm quy đổi cho thấy ĐT-Z và ĐT-Q vẫn giữ vị trí thường trực trong các nhiệm vụ liên quan đến T-nhantu T-tìm x trong Bảng 2.5 có 2 nhiệm vụ, trong đó một nhiệm vụ [45a, GK8.1, tr.20] tương đồng với đa thức ở ví dụ b) ban đầu-đa thức b) được phân tích nhân tử chứa hệ số vô tỉ, đa thức còn lại thuộc ĐT-Q Nhưng ở đây thể chế đã không thể hiện rõ quan điểm lựa chọn PTĐTTNT đối với 45a Điều này giúp chúng tôi củng cố giả thuyết về sự tồn tại của QT-HS1 và tính hợp lí của câu hỏi nghiên cứu CH-GV 1
2.3 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
2.3.1 Sự tiến triển quy tắc hợp đồng didactic QT- HS 1
Mở đầu KNV PTĐTTNT trong bài học này, GK8.1 trình bày hai ví dụ, sau đó hình thành định nghĩa về cách làm:
Ví d ụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 2 − 3 x + xy − 3 y
- Các hạng tử có nhân tử chung hay không ?
- Làm th ế nào để xuất hiện nhân tử chung ?
Ví d ụ 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : xz y z xy + 3 + 6 +
Giải Ta có thể nhóm các hạng tử một cách thích hợp như sau :
Cách làm như ví dụ trên được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
Như vậy các đa thức được xét có thể là các đa thức đa biến
K ết luận
Chúng tôi đã thực hiện một phân tích thể chế dạy học Toán 8 xoay quanh kiểu nhiệm vụ T- nhantu: Phân tích đa thức thành nhân tử
Kết quả phân tích chương 1 cho thấy, vành đa thức ngầm ẩn xác định tập các đa thức trong KNV T-nhantu tập trung chủ yếu ở vành ĐT-Z và vành ĐT-Q, trong đó vành ĐT-Q có tính chất bao quát hơn Kết quả phân tích chương 2 cho phép trả lời câu hỏi Q2, Q 3 đồng thời làm sáng tỏ phần nào các câu hỏi đặt ra ở cuối chương 1:
- Các kết quả phân tích đa thức thành nhân tử còn tập trung vào hai vành này không (vành đa thức hệ số nguyên-hữu tỉ)?
- Với những lựa chọn ngầm ẩn của thể chế có hình thành lên HS những quan niệm nào trong thực hành giải toán liên quan đến KNV T-nhantu?
Bằng những kết quả có được trong chương này, cho phép trả lời các câu hỏi trên một cách tóm tắt như sau : Đặc trưng KNV T-nhantu trong chương trình là không chỉ định rõ các đa thức nhân tử được xác định trên vành nào Tuy nhiên, kết quả phân tích nhân tử nhận được phụ thuộc chủ yếu vào vành đa thức xác định đa thức ban đầu trong yêu cầu phân tích Vì thế vành đa thức xác định đa thức nhân tử là vành ĐT-Z và vành ĐT-Q, trong đó vành ĐT-Z được thể chế quan tâm nhiều hơn
Phân tích mà chúng tôi thực hiện theo tuần tự từng bài học thể hiện sự tiến triển về mặt kĩ thuật giải quyết KNV này Kĩ thuật đã xuất hiện theo thứ tự: τ NTC -đặt nhân tử chung; τ HDT - áp dụng hằng đẳng thức; τ NHT -nhóm hạng tử; τ-phối hợp nhiều phương pháp Đa thức trong các nhiệm vụ liên quan đến KVN T-nhantu được đề xuất phải phân tích được bằng một trong các kĩ thuật trên (trong đó τ NTC - đặt nhân tử chung và τ HDT - áp dụng hằng đẳng thức được xem là hai kĩ thuật cơ sở) được xem là ràng buộc của thể chế
Từ đó suy ra, các kĩ thuật giải quyết KNV T-nhantu từ chương trình gắn liền với tiêu chí đánh giá tính hợp thức của kết quả phân tích thành nhân tử
Chúng tôi cũng đã làm rõ giả thuyết về sự tồn tại của quy tắc hợp đồng didactic về phía học sinh và một câu hỏi nghiên cứu về phía giáo viên Quy tắc hợp đồng được chúng tôi phát biểu lại theo sự tiến triển của các kĩ thuật
Cuối cùng, chúng tôi kí hiệu lại quy tắc hợp đồng và nhắc lại nó cùng với câu hỏi nghiên cứu:
QT-HS: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức (một biến, hai biến hay ba biến) thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh có trách nhiệm phải ưu tiên phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có các hệ số nguyên
CH-GV: Giáo viên mong đợi học sinh trả lời thế nào trong trường hợp phân tích đa thức có hệ số hữu tỉ thành nhân tử?
Trong chương 3, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu thực nghiệm để xem xét tính hợp thức của QT-HS và trả lời cho câu hỏi nghiên cứu CH-GV.
NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
Th ực nghiệm
Mục đích thực nghiệm Để đạt được mục đích trên, chúng tôi tiến hành một thực nghiệm đối với HS Thực nghiệm nhằm tìm hiểu mối quan hệ của HS với bài toán PTĐTTNT Qua đó cho phép nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên quan hệ của học sinh, tính thỏa đáng của QT-HS là điều chúng tôi mong muốn kiểm chứng
Thực nghiệm được tổ chức dưới dạng bộ câu hỏi điều tra, gồm ba câu HS được phát phiếu thực nghiệm, giấy nháp và yêu cầu làm việc độc lập trả lời ba câu hỏi được nêu Phiếu thực nghiệm và giấy nháp được thu lại để phân tích
Tổng thời gian làm bài khoảng 30-35 phút đảm bảo cho HS đủ giờ để trả lời hết các câu hỏi
Thời điểm chúng tôi tiến hành thực nghiệm vào đầu học kì I, dự kiến tiến hành trên HS lớp
8 đã học qua phần nội dung “biến đổi các biểu thức hữu tỉ”, đặc biệt là bài toán rút gọn phân thức
Chúng tôi chọn 116 HS ở ba trường trên địa bàn TP Hồ Chí Minh để tiến hành thực nghiệm thuộc lớp cơ bản và lớp có học lực khá trong trường THCS Nguyễn Du-Quận 1, trường THCS Bình An-Quận 8, trường THCS Tân Thới Hòa-Quận Bình Tân
Giới thiệu bộ câu hỏi thực nghiệm
Bộ câu hỏi thực nghiệm học sinh gồm ba câu:
Câu 1: Cho ba lời giải giả định của ba HS khi đứng trước yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử Yêu cầu HS cho điểm và giải thích số điểm mà họ đề xuất trong ba kết quả đó
Câu 2: Đề xuất hai đa thức, yêu cầu HS phân tích đa thức thành nhân tử
Câu 3: Cho biểu thức ở dạng phân thức, tử thức là đa thức hệ số nguyên, mẫu thức là đa thức có chứa hệ số hữu tỉ (số thập phân) Yêu cầu HS nhận định biểu thức có rút gọn được nữa hay không, giải thích nhận định đó
Kiểm chứng sự tồn tại của hợp đồng didactic về QT-HS, cụ thể: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức (một biến, hai biến hay ba biến) thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh có trách nhiệm phải ưu tiên phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có các hệ số nguyên
Câu 1: Khi được yêu cầu “phân tích đa thức 6 x 2 − 8 xy thành nhân t ử”, ba bạn học sinh đưa ra k ết quả phân tích sau:
Giả sử em là giáo viên, hãy cho điểm bài làm của ba học sinh trên và giải thích tại sao em cho điểm như vậy
Câu hỏi đặt HS vào vị thế người giáo viên HS có trách nhiệm đánh giá ba kết quả phân tích của cùng một ĐT-Z Từ cách cho điểm và lý giải điểm số, điều này giúp nhận diện kết quả phân tích hiện hữu trong suy nghĩ của HS, quan sát được những quan niệm đã tồn tại của họ về bài toán PTĐTTNT
Trước khi phân tích ba kết quả giả định của tình huống đầu tiên, để thuận tiện, chúng tôi đề xuất một vài chiến lược, theo chúng tôi chúng có thể hiện diện ở Câu 1 và trong các câu hỏi thực nghiệm đã nêu
S-bkqZ, chiến lược nhân tử hóa hoàn toàn trên vành ĐT-Z, kết quả phân tích quy về tích các đa thức bất khả qui trên vành ĐT-Z
S-ntZ, chiến lược nhân tử hóa không hoàn toàn trên vành ĐT-Z, kết quả phân tích có chứa đa thức khả quy trên vành ĐT-Z
S-bkqQ, chiến lược nhân tử hóa hoàn toàn trên vành ĐT-Q, kết quả phân tích có chứa đa thức bất khả quy trên vành ĐT-Q
S-ntQ, chiến lược nhân tử hóa không hoàn toàn trên vành ĐT-Q, kết quả phân tích quy về tích các đa thức khả qui trên vành ĐT-Q
S-bkqR, chiến lược nhân tử hóa hoàn toàn trên vành ĐT-R, kết quả phân tích quy về tích các đa thức bất khả qui trên vành ĐT-R
S-ntR, chiến lược nhân tử hóa không hoàn toàn trên vành ĐT-R, kết quả phân tích có chứa đa thức khả qui trên vành ĐT-R
S-thu, chiến lược thử đúng sai, kết quả phép nhân các đa thức nhân tử là đa thức ban đầu hay không?
• Phân tích kết quả giả định của ba HS
Tình huống chúng tôi đề xuất có điểm giống với SGK hiện hành là yêu cầu đề bài không xác định rõ đa thức nhân tử được xét trên vành đa thức nào, nên ba kết quả trên đều được chấp nhận là đúng Sự khác biệt của chúng được xét trên hệ số của đa thức nhân tử và tính có thể phân tích tiếp (tính khả qui hay bất khả qui) như sau:
Kết quả có được dựa trên chiến lược S-bkqZ Bước thực hiện trùng với kĩ thuật τ NTC được thể chế đưa ra trong phân tích chương 2, dẫn đến kết quả là tích các đa thức nhân tử bất khả qui trên vành ĐT-Z
Kết quả có được dựa trên việc rút thừa số chung trên vành ĐT-Z Thừa số chung được xác định từ ước chung lớn nhất của hệ số ở mỗi hạng tử -ƯCLN(6, 8) Đa thức nhân tử cùng thuộc vành ĐT-Z nhưng khác với kết quả HS1 đa thức 3 x 2 − 4 xy có thể phân tích tiếp-tính khả qui
Nếu xét về tính khả qui nó tương đồng với kết quả 6 x 2 − 8 xy = x ( 6 x − 8 y ) Sở dĩ chúng tôi chọn kết quả HS2 vì việc rút thừa số chung là quen thuộc với HS trong các bài toán lớp dưới Cách làm như thế là sự hiện diện của S-ntZ
Kết quả có được dựa trên chiến lược S-bkqQ, việc rút NTC tiến hành như sau: hệ số là số nguyên dương nhỏ nhất trong hai hệ số của hai hạng tử và biến chung xác định tương tự HS1
Trường hợp xác định nhân tử chung với hệ số là hệ số nguyên dương nhỏ nhất trong hai hệ số của hai hạng tử, lũy thừa bằng chữ là tương tự, kết quả nhận được trong trường hợp này
− = 4 − Chúng tôi quy ước chúng là một, với lý do kết quả phân tích xác định trên vành ĐT-Q Xét theo tiêu chuẩn vành nhân tử hóa, đa thức trong kết quả phân tích là bất khả qui
K ết luận thực nghiệm
Những kết quả thu được trong thực nghiệm đã giúp chúng tôi phần nào làm rõ được quan hệ cá nhân của học sinh với bài toán PTĐTTNT Đồng thời qua đó có thể khẳng định sự tồn tại của Q 4 , với việc kiểm tra tính hợp thức của hợp đồng didactique về phía HS: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức có hệ số nguyên thành nhân tử, HS có trách nhiệm ưu tiên phân tích về tích các đa thức bất khả qui có hệ số nguyên
Thực nghiệm cũng cho thấy sự tồn tại quan niệm về tập hợp số và việc phân tích thành nhân tử trong HS như sau:
• Trong tập hợp số, số nguyên là số đẹp, gọn gàng còn phân số (thuộc tập số hữu tỉ) và số vô tỉ (số chứa căn) là những số không đẹp, không gọn, trong việc tính toán hạn chế kết quả chứa phân số và số vô tỉ
• Mối tương quan giữa các tập số chưa được hình thành rõ nét ở HS Cụ thể trong tình huống Câu 3, đa phần HS không nhận thấy mối quan hệ giữa 1,75 và
7 là như nhau Điều đó gây nên một số khó khăn trong các bài toán liên quan đến biến đổi biểu thức, đặc biệt là những dạng bài toán rút gọn như Câu 3
• HS luôn quan niệm kết quả phân tích phải triệt để, nghĩa là được rút hết nhân tử chung khi phân tích bằng kĩ thuật τ NTC Trong trường hợp, đa thức đã được biến đổi về dạng tích các đa thức, tùy vào đa thức nhân tử có tạo thuận lợi cho việc phân tích nhân tử của nó là hệ số nguyên hay không, nếu có HS ưu tiên phân tích tiếp
• Trong HS không có khái niệm về vành đa thức, tức là HS không chú tâm đến vành hệ tử đặc trưng của tập các đa thức Đối với HS, đa thức là biểu thức đại số có cả phần số và phần biến, phần số nguyên của các hạng tử được họ ưu ái
• Trong định nghĩa “phân tích đa thức thành nhân tử”, thể chế đã không nói rõ các đa thức nhân tử được xác định trong vành đa thức nào, vành đa thức hệ số nguyên-hữu tỉ hay thực
HS giải quyết nhiệm vụ liên quan đến KNV PTĐTTNT dựa trên các kĩ thuật được cung cấp trong những bài toán mẫu, đáp án của thể chế Do vậy, ngoài việc tạo nên sức ảnh hưởng của QT-HS, thể chế đã hình thành quan điểm trong cách đánh giá tính hợp thức của bài toán PTĐTTNT Theo đó, tính hợp thức của bài toán PTĐTTNT tùy thuộc vào kĩ thuật phân tích
HS được học, những cách làm khác hay kết quả khác được cho là không hợp thức
Nghiên cứu chương 1, 2, 3 của luận văn cho phép chúng tôi trả lời các câu hỏi liên quan đến bài toán phân tích đa thức thành nhân tử (PTĐTTNT) được nêu trong phần Mở đầu Các kết quả chính thu được là:
Sự chuyển đổi didactique về đối tượng đa thức từ cấp độ tri thức khoa học đến tri thức phổ thông, cho phép xác định môi trường sinh thái liên quan đến bài toán PTĐTTNT
Kết quả chương 1 ngoài việc dự đoán tập đa thức ngầm ẩn xác định các đa thức nhân tử trong chương trình, còn làm rõ sự xuất hiện và tiến triển của bài toán PTĐTTNT
Theo đó, bài toán PTĐTTNT đã được đặt nền tảng ở tiểu học; đề cập chính thức ở chương trình Toán 8 Tại đây, ban đầu nó giữ vai trò là đối tượng toán học, về sau nó nhanh chóng phát huy vai trò công cụ trong những dạng toán liên quan đến phép biến đổi biểu thức, giải phương trình đặc biệt là phương trình tích
Xét trên phương diện giải phương trình, yếu tố công cụ của bài toán PTĐTTNT mờ nhạt dần khi có sự xuất hiện của biệt số delta và công thức nghiệm
Bên cạnh đó, việc tiếp cận vành nhân tử hóa ở cấp độ đại học cho phép xác định “mặt bằng” so sánh các kết quả phân tích nhân tử nhận được từ chương trình toán THCS
Nghiên cứu chương 2 cho phép làm rõ những đặc trưng cơ bản của kiểu nhiệm vụ PTĐTTNT trong mối quan hệ thể chế dạy học toán THCS Việt Nam Với nghiên cứu này, chúng tôi đã trả lời câu hỏi Q2, Q 3 Tức là làm rõ tổ chức toán học xoay quanh kiểu nhiệm vụ PTĐTTNT Đặc biệt, phân tích thể chế cho thấy sự tiến triển về mặt kĩ thuật giải quyết bài toán PTĐTTNT