4. Cấu trúc luận văn
3.1.3. Phân tích hậu nghiệm
A. Câu 1
• Nội dung câu hỏi 1
Câu 1: Khi được yêu cầu “phân tích đa thức 6x2−8xy thành nhân tử”, bốn bạn học sinh đưa ra kết quả phân tích sau:
HS1: 6x2−8xy=2x(3x−4y) HS2: 6x2−8xy=2(3x2−4xy) HS3: y) 3 4 x ( x 6 xy 8 x 6 2 − = −
Giả sử em là giáo viên, hãy cho điểm bài làm của bốn học sinh trên và giải thích tại sao em cho điểm như vậy.
• Thống kế câu trả lời của HS
Bảng 3.5: Bảng thống kê câu trả lời của HS trong Câu 1
CTLCT Tồn tại QT-HS (có/không) Số lượng Phần trăm (%) A1 Có 8 6,90 A12 Không 4 3,44 A1>2 Có 23 19,83 A123 Không 0 0 A13 Không 31 26,73 A1>3 Có 18 15,52 A1>2>3 Có 29 25
Câu trả lời ngoài dự kiến
L3 Có 1 0,86
Tổng 116 100
Nhận xét:
• Kết quả đánh giá HS1:
Tất cả học sinh được hỏi đều đồng ý rằng câu trả lời của HS1 đúng và cho điểm 10 (trừ 2 học sinh cho 9 điểm). Tỉ lệ học sinh ưu tiên chọn những câu trả lời cho thấy sự ưu tiên trên các kết quả phân tích triệt để trên vành ĐT-Z gần 70% (theo A1,A1>2, A1>3, A1>2>3, L2, L3) là khá cao. Đó cũng chính là tỉ lệ hợp thức QT-HS.
Chúng tôi lựa chọn một vài đánh giá nổi bật để hiểu rõ hơn những nhận xét trên:
HS002: HS1 đã tách hết cả phần số lẫn phần biến; HS029-HS030: Trình bày đúng, số không bị
lẻ; HS044: Bài làm đúng, đặt nhân tử chung đúng 2x; HS048: Làm đúng theo công thức, dễ hiểu. HS050: Vì đa thức trên đã rút nhân tử chung tuyệt đối, không còn gì để rút; HS 064: 6 và
8 chia hết cho 2 câu trả lời này đúng.
Các đánh giá trên có sự hiện diện của chiến lược S-bkqZ với kỹ thuật τNTC, HS quan tâm kết quả phân tích đa thức nhân tử với hệ số nguyên, triệt để-không phân tích được nữa. Điều này chứng tỏ sự tồn tại mạnh mẽ của QT-HS xoay quanh KNV T-nhantu: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Trong khi câu trả lời của HS1 luôn được chấp nhận thì hai câu trả lời còn lại đều có tỉ lệ bị loại trừ, được học sinh thực nghiệm đánh giá như sau:
• Kết quả đánh giá HS2:
Phần trăm loại trừ là 8,62% (A1 và L2) với lý do được đề cập nhiều nhất “đặt nhân tử chưa hết”, “vẫn còn có thể phân tích tiếp” hoặc “sai, tách chưa hết”:
HS033-HS035: Sai, tách chưa hết; HS051: kết quả đáng lẽ ra đúng nhưng còn thiếu, làm sai,
đặt nhân tử chung là 2x mới đúng.
Phần trăm chấp nhận là 91,38%. 96,23% trong đó khi giải thích về điểm số dành cho HS2 đều nhận định HS2 phân tích chưa hết. Điều đó thể hiện quan điểm của HS trong phân tích ĐT-Z thành nhân tử họ ưu tiên kết quả phân tích triệt để với kỹ thuật τNTC.
• Kết quả đánh giá HS3:
Phần trăm loại trừ là 31,03% (tính theo A1, A1>2, A12 và L3) với lý do được đề cập nhiều nhất “đặt nhân tử chung chưa hợp lý”, hoặc “cách rút (đặt nhân) tử chung sai”:
HS050: Vì đa thức trên rút x mà rút thêm 6 thì 8 không thể chia được; HS072: Vì bạn này phân tích không đúng, lấy nhân tử không chia cho nhau, đề cho số nguyên là lại ra phân số; HS105:
Theo lời nhận xét được ghi nhận thì rõ ràng HS đã áp dụng chiến lược S-bkqZđể đối chiếu với cách làm HS3.
Suy ra, phần trăm chấp nhận là 68,97% với ý kiến nhận xét cách làm hay, đặt thừa số chung đúng…nhưng đa phần mức độ chấp nhận vẫn miễn cưỡng. Chẳng hạn như đúng nhưng khó hiểu, phức tạp vì có phân số...
HS001: 8, số không đẹp; HS005: 10, Đúng, làm cách khó hiểu; HS007: 9,5 không nên sử dụng
phân số nếu có thể; HS026: 8, cần đặt nhân tử chung chia hết cho 6 và 8; HS027: 9, đúng
) y 4 x 3 ( x 2 xy 8 x 6 2 − = − còn y) 3 4 x ( x 6 xy 8 x 6 2− = − hơi dài dòng; HS042: 10, đúng cách tách
hay; HS080: 7, nó không giống với HS1.
Nhận xét kết quả đánh giá chung:
Qua phân tích trường hợp loại trừ-chấp nhận, điều khá thú vị là những gì chúng tôi muốn quan sát ngày càng thể hiện rõ hơn.
Trong trường hợp sử dụng kĩ thuật PTĐTTNT, với số liệu trích dẫn, kết quả HS1-HS2 luôn được chấp nhận, kế đến HS có sự phân biệt rõ rệt kết quả phân tích triệt để (không thể phân tích tiếp) hoặc không, nghĩa là phân biệt kết quả HS1 và HS2. HS2 bị loại trừ ngay vì kết quả phân tích chưa triệt để.
Trong trường hợp nó được chấp nhận thì lý do ưu tiên nhiều nhất nó gần giống với kết quả HS1, có thể phân tích tiếp để đưa về kết quả HS1.
Bài làm của HS093
Trường hợp kết quả HS3 bị loại trừ vì không đúng với cách HS1 đã làm, không chấp nhận
kết quả chứa phân số.
Trường hợp HS3 được chấp nhận và bằng điểm HS1, HS cho rằng kết quả đúng và sáng tạo với việc huy động S-thuhơn là S-bkqQ, chiếm tỉ lệ cao 26,73%:
Bài làm của HS042
Nhưng rõ ràng qua lời nhận xét, HS không hài lòng lắm với kết quả HS3 “cách làm dài dòng, kết quả không gọn”. Theo họ số nguyên là số đẹp:
Bài làm của HS048
Điểm nổi bật từ kết quả thực nghiệm Câu 1 cho thấy việc PTĐTTNT ở HS không liên quan đến quan niệm vành đa thức, đặc biệt là vành hệ tử của các đa thức. Đó chính là hệ quả việc đề cập đa thức không xuất phát từ “khái niệm hàm” mà xuất phát từ biểu thức đại số của thể chế Toán THCS Việt Nam.
Từ thể chế, KNV PTĐTTNT trong các bài tập và lời giải đều tập trung vào ĐT-Z, được giải quyết dựa trên hai phương pháp nền tảng là đặt nhân tử chung và vận dụng hằng đẳng thức.
Vì thế, chúng đã trở thành cơ sở để đánh giá tính hợp thức của kết quả phân tích.
Theo đó, HS tự hình thành quan niệm thông qua bài tập có lời giải của thể chế: phân tích đúng phương pháp, kết quả ngắn gọn ưu tiên kết quả phân tích là ĐT-Z bất khả qui. Rõ ràng, tính hợp thức của QT-HS được khẳng định.
B. Câu 2
• Nội dung câu hỏi 2
Câu 2: Em hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử
y 6 y x 2 ) a 2 − b)3x3−48x
• Thống kê câu trả lời của HS trong câu 2a
Bảng 3.6: Thống kê các chiến lược và câu trả lời của HS trong câu 2a
Kết quả phân tích đúng
Chiến lược Kết quả phân tích Số lượng Phần trăm (%)
Hợp thức QT_HS S-bkqZ 2x2y−6y=2y(x2 −3) 97 83,62% Không Hợp thức QT_HS S-ntZ ) y 3 y x ( 2 y 6 y x 2 2 − = 2 − 0 7,75% ) 6 x 2 ( y y 6 y x 2 2 − = 2 − 2 S-bkqQ ) 1 x 3 1 ( y 6 y 6 y x 2 2 − = 2 − 0 S-bkqR 2x2y−6y=2y(x− 3)(x+ 3) 7
Kết quả phân tích không đúng
Sai kiến thức 1 8,63%
Nhầm lẫn 7
Bỏ trống 2
Tổng 116 100%
Nhận xét
Kết quả thống kê cho thấy 83,62% câu trả lời khẳng định tính hợp thức QT-HS.
Ở Câu 1, câu trả lời có thể của HS là đa dạng, HS có thể chọn nhiều hơn một kết quả được cho là đúng. Một sự biến đổi lớn sang Câu 2, 100% HS chỉ ra duy nhất một kết quả phân tích mặc dù yêu cầu PTĐTTNT giống với Câu 1: không xác định rõ vành đa thức chứa kết quả phân tích.
Từ Bảng 3.6, chiến lược S-bkqZ đưa kết quả phân tích ĐT-Z bất khả qui được 97 HS trên 116 HS sử dụng, chiếm tỉ lệ 83,62%.
Kết quả phân tích chứa đa thức nhân tử bất khả qui với hệ số vô tỉ chỉ chiếm tỉ lệ thấp 6,03%, thấp nhất là kết quả phân tích nhân tử chưa triệt để với chiến lược S-ntZ 1,72%. Kết quả phân tích ĐT-Q hoàn toàn vắng mặt.
Trong 7 trường hợp nhầm lẫn đưa đến kết quả sai, tồn tại 5 HS sử dụng chiến S-bkqZ
và 2 HS sử dụng chiến lược S-bkqR.
Việc huy động chiến lược S-bkqR đã tồn tại trong một bộ phận nhỏ HS (9 trong 116 HS). Cho thấy việc đưa kết quả phân tích nhân tử có thể tiến xa hơn trong vành ĐT-R, nhưng đại đa số HS đã ưu tiên đưa về tích các đa thức bất khả qui trên vành ĐT-Z.
Điều thú vị khi trở lại thống kê Câu 1: 8 HS đánh giá HS3 (kết quả phân tích chứa hệ số không nguyên) được điểm tuyệt đối. Đến Câu 2a, 7 HS (chiếm 87,5%) trong số đó dừng lại ở kết quả nhân tử bất khả qui hệ số nguyên không phân tích tiếp, HS115 là một trong những trường hợp tiêu biểu trong hiện tượng quan sát được:
Bài làm của HS115 trong câu 2
Bài làm của HS115 trong câu 1
duy nhất HS0039đưa kết quả phân tích trên ĐT-R nhưng lại là kết quả sai.
Tỉ lệ phần trăm khẳng định sự tồn tại QT-HS tăng lên đáng kể từ 69,82% lên 83,62%, là cơ sở để hợp thức hóa hợp đồng didactic QT-HS thêm một lần nữa: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức (một biến, hai biến hay ba biến) thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh có trách nhiệm phải ưu tiên phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có các hệ số nguyên.
• Thống kê câu trả lời của HS trong Câu 2b
Bảng 3.7: Thống kê các chiến lược và câu trả lời của HS ở Câu 2b.
Kết quả phân tích đúng
Chiến lược Kết quả phân tích Số lượng Phần trăm
(%) Hợp thức QT-HS S-bkqZ 3x3−48x=3x(x−4)(x+4) 95 82 Không hợp thức QT-HS S-ntZ 3x3−48x=3x(x2−16) 6 6,91 ) 48 x 3 ( x x 48 x 3 3− = 2− 2 ) x 16 x ( 3 x 48 x 3 3− = 3− 0 S-bkqQ ) 1 x 4 1 )( 1 x 4 1 ( x 48 x 48 x 3 3− = − + 0 0 S-ntR 3x3−48x=x( 3x− 48)( 3x+ 48) 0 0
Kết quả phân tích không đúng
Sai kiến thức 4 3,34
Nhầm lẫn 7 6,03
Bỏ trống 2 1,72
Tổng 116 100%
Nhận xét
Ở Câu 2a, chúng tôi đề xuất một đa thức, sau lần phân tích thứ nhất, đa thức nhân tử có dạng HĐT số 3-hiệu hai bình phương. Nhưng một trong hai hệ số không là số chính phương đã đặt HS trước ranh giới rất mong manh giữa hai chiến lược S-bkqZ, S-bkqR. Việc chọn lựa một trong hai dẫn đến sự khác biệt lớn trong kết quả phân tích.
Thông qua Bảng 3.6, HS ưu tiên đối với kết quả phân tích chứa hệ số nguyên ở chỗ: tỉ lệ huy động chiến lược S-bkqR rất thấp (6,03%). Trong khi có đến 87,93% (102 trên 116 HS) huy động chiến lược S-bkqZ với tỉ lệ thành công là 95,1% (97/102).
Câu 2b thuận lợi cho việc ưu tiên kết quả phân tích về tích ĐT-Z bất khả qui, với chiến lược S-bkqZ. Từ Bảng 3.7, có đến 101 HS trên 116 HS (chiếm 87,01%) huy động S-bkqZ
với tỉ lệ thành công 94,06% (95/101).
Bài làm điểm hình củaHS043:
Đáng tiếc ở 6 trong 7 trường hợp nhầm lẫn dẫn đến kết quả sai khi sử dụng S-bkqZ, điển hình có 4 HS như HS002 có phân tích sau:
7 trường hợp dừng lại ở kết quả phân tích không bất khả qui với chiến lược S-ntZ. Nổi bật, 5 HS (chiếm 71,43%) trong số đó tôn trọng quy tắc “đặt nhân tử chung phải hết” với kĩ thuật τNTC, đúng theo quan điểm họ đánh giá HS2 trong Câu 1 “rút hết phần biến và phần số chung”:
Bài làm của HS061:
Như vậy, kết quả có được ở Câu 2b cho thấy đến 82% câu trả lời khẳng định tính hợp thức của QT-HS trong trường hợp có mặt của cả hai kĩ thuật đặt nhân tử chung và áp dụng hằng đẳng thức.
C. Câu 3
• Nội dung câu hỏi 3
Câu 3: Biểu thức y 75 , 1 x xy 7 x 4 2 − −
có thể rút gọn được nữa không (giả sử biểu thức luôn có nghĩa với mọi giá trị x, y)?
Có hay Không: ...
Tại sao?
• Thống kê câu trả lời của HS trong Câu 3
Chiến lược CTLCT Lựa chọn Phần trăm (%) Không hợp thứcQT-HS Stu-bkqQ CtuQ 6 7,76 S-chiaĐT CchiaĐT 3 S-bđ-Z CbđZ 0 S-khu-hs Ckhu 0 Hợp thứcQT-HS Stu-bkqZ KNTC 49 49,14 S-NX-heso Khstg 7 KhsZ 1
Câu trả ngoài dự kiến
Ngẫu nhiên không giải thích Có 3 2,59
Không 18 15,52
Ngẫu nhiên có giải thích Có 11 9,48
Không 1 0,86
Bỏ trống 17 14,65
Tổng 116 100%
Nhận xét
Đúng như dự đoán, HS gặp trở ngại trong tình huống Câu 3, sự trở ngại đó thể hiện chi tiết ở Bảng 3.8như sau:
• Tồn tại 23 HS (chiếm 19,83%) đưa ra kết luận đúng “Có”, chỉ có 9 HS huy động chiến lược giải (S-bkqQ: 6 và S-chia ĐT: 3) để có kết quả chắc chắn CtuQ, CchiaĐT.
Bài làm của HS110
14 HS còn lại trả lời “Có” là do ngẫu nhiên. Ngẫu nhiên không giải thích: 3 HS, ngẫu nhiên có giải thích là: 11 HS. Qua lời giải thích, 11 câu trả lời không hợp thức về mặt toán học. HS thực hiện phép chia tương ứng các số hạng của tử thức và mẫu thức, hay khử hệ số 1,75 bằng cách chia 7xy cho 1,75y như sau:
Bài làm của HS082:
Khi chúng tôi phỏng vấn: tại sao em không áp dụng phương pháp phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử. HS trả lời: “Em thấy tử thức và mẫu thức không có nhân tử chung nhưng hệ số của tử thức và mẫu thức chia hết cho nhau”.
Hiện tượng quan sát có thể được giải thích: 11 HS trên nhận thấy hệ số của tử thức và mẫu thức có thể rút gọn cho nhau. Nhưng bằng việc đặt nhân tử chung lại dẫn đến thất bại. Vì vậy họ cố gắng tìm ra một ứng xử đúng, nhưng ứng xử này lại không hợp thức về mặt toán học.
• Trường hợp huy động chiến lược S-bđ-Z hoặc S-khu với câu trả lời mong đợi CbđZ hay
Ckhu có tỉ lệ bằng 0. Cho thấy khả năng tương quan giữa các tập hợp số trong HS là khá yếu hoặc do sự tập trung các bài toán rút gọn trong thể thể ảnh hưởng mạnh mẽ bởi việc phân tích ĐT-Z thành nhân tử.
• Chúng tôi đã không dự đoán trường hợp HS bỏ trống. Qua thống kê, HS bỏ trống câu trả lời tăng vượt bậc 17 HS (chiếm 14,66%) so với hai câu hỏi trước (2 HS).
Quan sát những trường hợp bỏ trống, có đến 12 HS trong số này đã lựa chọn câu trả lời A1, A1>2>3 (đánh giá HS1 cao điểm nhất), 5 trong số đó loại trừ kết quảHS3ở Câu 1.
Có thể giải thích rằng quan niệm đã hình thành trước đó khiến họ không biết ứng xử ra sao đối với việc rút gọn ĐT-Z cho ĐT-Q.
• Trường hợp được chúng tôi mong đợi nhất xuất hiện ở 57 HS (chiếm 49,14%) , trong đó có 49 HS sử dụng chiến lược S-bkqZ và 8 HS sử dụng chiến lược S-NX-hesođể đưa đến câu trả lời KNTC và Khstg, KhsZ.
Lý do họ đưa ra chủ yếu “tử thức và mẫu thức không tồn tại nhân tử chung” hoặc “mẫu thức có chứa số thập là tối giản” hoặc “hệ số không chia hết cho nhau”.
Những lời giải thích đó được chúng tôi quan tâm. Chúng cho thấy HS đã tuân thủ QT-HS một cách trực tiếp “việc phân tích đa thức hệ số nguyên thành nhân tử không thể xuất hiện kết quả phân tích chứa hệ số thập phân (hữu tỉ)” hoặc gián tiếp “tử thức với hệ số nguyên thì không chứa nhân tử là hệ số thập phân (hữu tỉ)”, việc tuân thủ này dẫn đến câu trả không chính xác.
Bài làm của HS001:
Hoặc bài làm của HS052:
Hay bài làm của HS072:
• So sánh tỉ lệ huy động chiến lược S-bkqZ trong Bảng 3.6, Bảng 3.7, Bảng 3.8, chúng tôi