Phân tích tiên nghiệm

4. Cấu trúc luận văn

3.1.2. Phân tích tiên nghiệm

A. Câu 1

 Giới thiệu câu hỏi 1

• Mục đích

Kiểm chứng sự tồn tại của hợp đồng didactic về QT-HS, cụ thể: Đứng trước yêu cầu phân tích đa thức (một biến, hai biến hay ba biến) thành nhân tử, nếu đa thức đã cho có hệ số nguyên thì học sinh có trách nhiệm phải ưu tiên phân tích thành tích các đa thức bất khả quy có các hệ số nguyên.

• Nội dung câu hỏi 1

Câu 1: Khi được yêu cầu “phân tích đa thức 6x2−8xy thành nhân tử”, ba bạn học sinh đưa ra

kết quả phân tích sau:

HS1: 6x2−8xy=2x(3x−4y) HS2: 6x2−8xy=2(3x2−4xy) HS3: y) 3 4 x ( x 6 xy 8 x 6 2− = −

Giả sử em là giáo viên, hãy cho điểm bài làm của ba học sinh trên và giải thích tại sao em cho điểm như vậy.

Câu hỏi đặt HS vào vị thế người giáo viên. HS có trách nhiệm đánh giá ba kết quả phân tích của cùng một ĐT-Z. Từ cách cho điểm và lý giải điểm số, điều này giúp nhận diện kết quả phân tích hiện hữu trong suy nghĩ của HS, quan sát được những quan niệm đã tồn tại của họ về bài toán PTĐTTNT.

Trước khi phân tích ba kết quả giả định của tình huống đầu tiên, để thuận tiện, chúng tôi đề xuất một vài chiến lược, theo chúng tôi chúng có thể hiện diện ở Câu 1 và trong các câu hỏi thực nghiệm đã nêu.

S-bkqZ, chiến lược nhân tử hóa hoàn toàn trên vành ĐT-Z, kết quả phân tích quy về tích các đa thức bất khả qui trên vành ĐT-Z.

S-ntZ, chiến lược nhân tử hóa không hoàn toàn trên vành ĐT-Z, kết quả phân tích có chứa đa thức khả quy trên vành ĐT-Z.

S-bkqQ, chiến lược nhân tử hóa hoàn toàn trên vành ĐT-Q, kết quả phân tích có chứa đa thức bất khả quy trên vành ĐT-Q.

S-ntQ, chiến lược nhân tử hóa không hoàn toàn trên vành ĐT-Q, kết quả phân tích quy về tích các đa thức khả qui trên vành ĐT-Q.

S-bkqR, chiến lược nhân tử hóa hoàn toàn trên vành ĐT-R, kết quả phân tích quy về tích các đa thức bất khả qui trên vành ĐT-R.

S-ntR, chiến lược nhân tử hóa không hoàn toàn trên vành ĐT-R, kết quả phân tích có chứa đa thức khả qui trên vành ĐT-R.

S-thu, chiến lược thử đúng sai, kết quả phép nhân các đa thức nhân tử là đa thức ban đầu hay không?

• Phân tích kết quả giả định của ba HS

Tình huống chúng tôi đề xuất có điểm giống với SGK hiện hành là yêu cầu đề bài không xác định rõ đa thức nhân tử được xét trên vành đa thức nào, nên ba kết quả trên đều được chấp nhận là đúng. Sự khác biệt của chúng được xét trên hệ số của đa thức nhân tử và tính có thể phân tích tiếp (tính khả qui hay bất khả qui) như sau:

HS1: 6x2 −8xy=2x(3x−4y)

Kết quả có được dựa trên chiến lược S-bkqZ. Bước thực hiện trùng với kĩ thuật τNTC được thể chế đưa ra trong phân tích chương 2, dẫn đến kết quả là tích các đa thức nhân tử bất khả qui trên vành ĐT-Z.

HS2: 6x2−8xy=2(3x2 −4xy)

Kết quả có được dựa trên việc rút thừa số chung trên vành ĐT-Z. Thừa số chung được xác định từ ước chung lớn nhất của hệ số ở mỗi hạng tử -ƯCLN(6, 8). Đa thức nhân tử cùng

thuộc vành ĐT-Z nhưng khác với kết quả HS1 đa thức 3x2 −4xy có thể phân tích tiếp-tính khả qui.

Nếu xét về tính khả qui nó tương đồng với kết quả 6x2 −8xy=x(6x−8y). Sở dĩ chúng tôi chọn kết quả HS2 vì việc rút thừa số chung là quen thuộc với HS trong các bài toán lớp dưới. Cách làm như thế là sự hiện diện của S-ntZ.

HS3: y) 3 4 x ( x 6 xy 8 x 6 2− = −

Kết quả có được dựa trên chiến lược S-bkqQ, việc rút NTC tiến hành như sau: hệ số là số nguyên dương nhỏ nhất trong hai hệ số của hai hạng tử và biến chung xác định tương tự HS1.

Trường hợp xác định nhân tử chung với hệ số là hệ số nguyên dương nhỏ nhất trong hai hệ số của hai hạng tử, lũy thừa bằng chữ là tương tự, kết quả nhận được trong trường hợp này

2 3

6x 8xy 8x( x y)

4

− = − . Chúng tôi quy ước chúng là một, với lý do kết quả phân tích xác định trên vành ĐT-Q. Xét theo tiêu chuẩn vành nhân tử hóa, đa thức trong kết quả phân tích là bất khả qui.

Kết quả HS3 không thấy xuất hiện trong thể chế Toán 8 với cách đặt nhân tử chung được nêu. Do vậy, chúng tôi dự đoán chiến lược S-thu có khả năng xuất hiện và ưu tiên hơn hai chiến lược S-bkqQ và S-ntR.

Cơ sở của S-thu dựa trên nhận định trong chương 1: “PTĐTTNT là bài toán ngược của phép nhân đa thức”. Chiến lược này phát huy toàn thể sức mạnh để đưa đến khẳng định bốn kết quả trên là đúng. Tuy nhiên, S-bkqZ dự đoán được sử dụng nhiều nhất.

 Những cái cần quan sát

Vấn đề là ở điểm số cao nhất và lời giải thích về điểm số HS đưa ra. Những cái cần quan sát được trong câu hỏi này:

- HS luôn chấp nhận kết quả HS1 và HS2. Tiếp đến, họ có phân biệt giữa kết quả của HS1 và HS2 hay không, dựa trên việc đánh giá kết quả HS1 nhiều điểm hơn hay bằng HS2.

- Kết quả phân tích của HS3 có được chấp nhận hay không. Nếu được chấp nhận thì

điểm số của chúng bằng với điểm số của hai kết quả đầu hay ít hơn với lý do là gì? Nếu không, có phải lý do một đa thức có hệ số nguyên sẽ không có sự phân tích thành nhân tử là đa thức có hệ số hữu tỉ hay không.

• Biến V11: Kết quả phân tích có mặt đồng thời ĐT-Z và ĐT-Z bất khả qui V11 nhận hai giá trị V11a : có, V11b: không.

Chúng tôi lựa chọn biến có giá trị V11a. Điều này buộc HS cân nhắc hai kết quả cũng như hai chiến lược S-bkqZ và S-nt Zkhi đánh giá và cho điểm .

• Biến V12: Kết quả phân tích có mặt đồng thời nhóm kết quả ĐT-Z và ĐT-Q. V12 nhận hai giá trị V12a : có, V12b: không.

Trong tình huống này chúng tôi lựa chọn V12a: có. Khi đó, mức độ cân nhắc và đánh giá các kết quả khó khăn hơn.

Chiến lược S-thuđược tạo điều kiện xuất hiện và sẽ có hơn một kết quả được cho đủ điểm. Dự đoán khi này có sự so sánh các kết quả, sự đối kháng giữa S-thu, S-bkqZ, S-bkqQ. • Biến V13: Yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử có nêu tường minh hệ số thuộc tập số

nào hay không (nghĩa là có làm rõ vành đa thức hệ số nguyên-hữu tỉ hay thực). Biến V13 nhận hai giá trị V13a: có, V13b: không.

Biến V13 nhận giá trị là V13b: không. Điều này cho phép sự xuất hiện của nhiều đáp số. Tuy nhiên đáp số có được từ chiến lược S-bkqZ có thể chiếm đa số vì đa thức trong yêu cầu phân tích là ĐT-Z.

• Biến V14: Cách đặt câu hỏi

Cách hỏi khác là yêu cầu HS phân tích đa thức được cho thành nhân tử (dạng toán quen thuộc liên quan đến nội dung PTĐTTNT). Với các kết quả HS đề xuất, chiến lược HS huy động gắn với kết quả thường trực trong suy nghĩ của HS, tức kết quả được giới hạn hơn. Khi đó, QT-HS có thể kiểm chứng dễ dàng hơn.

Còn trong tình huống Câu 1, ba lời giải cung cấp sẵn đều đúng, yêu cầu HS cho điểm các kết quả là cách phân biệt kết quả được ưu tiên nhất. Nó có chức năng kép: một mặt khẳng định sự tồn tại hay không của hợp đồng; mặt khác tìm hiểu thêm về quan điểm có được của HS trong bài toán PTĐTTNT: HS chấp nhận hay bác bỏ các kết quả phân tích chứa nhân tử không là ĐT-Z? Sự chấp nhận hay bác bỏ xuất phát từ đâu?

Điều này cho phép xác định chướng ngại tồn tại liên quan đến nội dung PTĐTTNT chẳng hạn ở dạng toán rút gọn biểu thức ở Câu 3.

 Câu trả lời có thể quan sát được

Với yêu cầu HS cho điểm số, buộc HS vừa đánh giá và cân nhắc các kết quả phân tích nên việc dự đoán chiến lược HS huy động là rất khó, vì HS có thể sử dụng nhiều chiến lược cùng một lúc. Do vậy chúng tôi chỉ tập trung dự đoán câu trả lời và những giải thích có thể.

Bảng 3.1: Câu trả lời và giải thích có thể quan sát ở câu 1

Câu trả lời có thể (CTLCT) Lời giải thích có thể A1:HS1 đúng-cao điểm nhất,

hai HS còn lại sai-dưới trung bình.

- Cách đặt nhân tử chung của HS1 giống SGK, kết quả

của HS2 sai vì có thể phân tích tiếp (HS quan tâm đến kết quả phân tích nhân tử triệt để).

- HS3 đặt nhân tử chung chưa đúng.

A12: HS1-HS2 đúng, bằng điểm; HS3 sai.

- HS chấp nhận cả hai kết quả đa thức nhân tử có hệ số nguyên, chỉ cần đặt thừa số nguyên (HS không quan tâm đến kết quả phân tích nhân tử triệt để hay chưa).

A1>2: HS1 và HS2 đúng, HS1 cao điểm hơn HS2, HS3 bị loại trừ.

Gần với A12, nhưng ở đây HS quan tâm đến tính phân tích hết.

A123: Cả ba HS đều đúng, bằng điểm nhau.

- Phép nhân đa thức nhân tử cho kết quả giống đa thức ban đầu. HS không phân biệt tính phân tích tiếp hay không của đa thức nhân tử.

A13: Cả ba HS đều đúng, HS1- HS3 bằng điểm, HS2 nhỏ điểm nhất.

- Cách làm của HS3 sáng tạo (không giống với cách thông thường trong SGK), nhưng HS vẫn ưu tiên kết quả phân tích là ĐT-Z. HS quan tâm tính phân tích tiếp đa thức nhân tử.

A1>3>2: Cả ba HS đều đúng.

Giống với A13, khác biệt ở chỗ

HS1 lớn điểm hơn HS3

- HS ưu tiên kết quả phân tích là đa thức hệ số nguyên triệt để, có sự phân biệt giữa đa thức hệ số nguyên hay không nguyên.

- Kết quả HS3 không giống với cách giải SGK.

A1>2>3: Cả ba HS đều đúng.

Cả ba HS đều được điểm trên trung bình. Nhưng điểm số được sắp theo thứ tự giảm dần

HS1>HS3> HS2.

- HS ưu tiên kết quả phân tích là đa thức hệ số nguyên triệt để.

Với việc phân nhóm các câu trả lời và lý do đề xuất có thể của HS cho phép chúng tôi nhận diện sự tồn tại hay không QT-HS trong quan niệm của HS, cụ thể như sau:

CTLCT Tồn tại QT-HS (có/không)

Dấu hiệu giải thích

A1 Có Đánh giá HS1 cao nhất, đó là sự hiện diện của ĐT-Z bất khả

A12 Không Ưu tiên kết quả là ĐT-Z nhưng HS1-HS2 bằng điểm nhau.

A1>2 Có Ưu tiên kết quả là ĐT-Z, trừ điểm HS2 vì không phân tích triệt để.

A123 Không Điểm số của bốn HS như nhau, chấp nhận kết quả không

nguyên và tính có thể phân tích tiếp của HS2 trong vành ĐT-Z.

A13 Không Sự chú ý kết quả HS3 khác bình thường, sáng tạo. Mức độ

chấp nhận kết quả HS1, HS3 như nhau.

A1>3 Có Là A13, nhưng có sự ưu tiên kết quả phân tích thuộc vành ĐT-Z.

A1>2>3 Có Là A123 nhưng ưu tiên kết quả trên vành ĐT-Z đặc biệt là tính phân tích hết của các đa thức nhân tử.

B. Câu 2

 Giới thiệu câu hỏi 2

• Mục đích

Trong chương 2, việc phân tích thể chế chỉ ra rằng ĐT-Z được biến đổi về tích của hai ĐT- R tồn tại chỉ ở một nhiệm vụ. Đa thức đó là khai triển của HĐT số 3-bình phương một hiệu, trong đó hệ số của hạng tử thứ hai không là số chính phương. Dạng đa thức như vậy xuất hiện trong KNV “Tìm x, biết...” nhưng thay vì phân tích đa thức đó thành nhân tử, thể chế đã lựa chọn việc áp dụng tính chất của căn bậc hai để tìm x.

Hiện tượng đó cũng được Nguyễn Ái Quốc chỉ ra trong nghiên cứu của mình. Vì thế chúng tôi cho rằng ảnh hưởng của nó khá mờ nhạt khi tác động lên quan niệm của HS: ĐT-Z có thể biến đổi về tích của các ĐT-R.

Mục đích của chúng tôi trong câu hỏi này nhằm kiểm chứng QT-HS còn đúng trong trường hợp có sự xuất hiện của kĩ thuật HĐT hay không?

• Nội dung câu hỏi 2

Câu 2: Em hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử

y 6 y x 2 ) a 2 − b)3x3−48x

Trong câu hỏi này, chúng tôi đặt HS vào tình thế phải huy động kiến thức được học để giải và trình bày bài toán PTĐTTNT. Theo đó, các kĩ thuật HS có được: đặt nhân tử chung (NTC), vận dụng HĐT, nhóm hạng tử theo NTC hoặc HĐT, hay phối hợp nhiều phương pháp và một vài phương pháp khác đều phải giới hạn trong chương trình bậc THCS.

Câu 2 gồm hai bài toán PTĐTTNT. Cả hai là tiến triển về mặt kĩ thuật của đa thức trong yêu cầu phân tích nhân tử ở Câu 1-trường hợp nhân tử chung được xác định trên ĐT-Z với kĩ thuật τNTC. Sự tiến triển thể hiện ở chỗ, đa thức nhân tử sau lần phân tích thứ nhất có dạng khai triển của HĐT số 3 có hệ số của hai hạng tử trong trường hợp a) không đồng thời là số chính phương, còn trong trường hợp b) hai hệ số đó đồng thời là số chính phương mong muốn quan sát ứng xử của HS như sau:

- Liệu rằng đối với trường hợp a) HS sẽ dừng ở kết quả phân tích là tích của đa thức bất khả qui trên vành đa thức hệ số nguyên hay phân tích tiếp để có được kết quả phân tích chứa hệ số vô tỉ.

- Trường hợp b) HS sẽ vận dụng HĐT để phân tích tiếp đa thức nhân tử về dạng bất khả qui trên vành đa thức hệ số nguyên không?

 Những cái cần quan sát

Trường hợp a): HS biết huy động kỹ thuật đặt nhân tử chung để biến đổi đa thức 2x2y−6y

về tích của hai đa thức bất khả qui có hệ số nguyên. Dừng ở đó, không áp dụng kỹ thuật hằng đẳng thức (HĐT) để biến đổi tiếp về kết quả chứa hệ số vô tỉ.

Còn trường hợp b) chúng tôi mong đợi HS vận dụng liên tiếp hai kĩ thuật đặt nhân tử chung và HĐT để biến đổi đa thức 3x3−48xvề dạng tích của các đa thức bất khả quy với hệ số nguyên.

 Các biến didactic, sự lựa chọn các biến và ảnh hưởng của chúng lên các chiến lược

• Trong tình huống này có V21 là sự hiện diện của biến V13 ở Câu 1. Tuy nhiên đáp số có được từ chiến lược S-bkqZ hoặc S-bkqR có thể chiếm tỉ lệ bằng nhau ở Câu 2a, ngầm ẩn có sự đối kháng giữa việc lựa chọn vành ĐT-Z và ĐT-R chứa kết quả phân tích. • Biến V22: Sự khả qui của đa thức ban đầu hoặc đa thức nhân tử trên vành đa thức hệ số

nguyên-hữu tỉ-thực (cách cho đa thức có tạo điều kiện cho các kĩ thuật phân tích vận dụng không). Theo đó V22nhận hai giá trị V22a: có và V22b: không, xét trên từng vành đa thức sau:

- Nếu xét trên vành ĐT-Z và ĐT-Q, trong đa thức 2a) biến nhận giá trị V22a, trong khi biến V22trong đa thức nhân tử của nó nhận giá trị V22b. Trường hợp đa thức 2b) và cả đa thức nhân tử của nó, biến nhận giá trị V22a. Cả hai trường hợp điều tạo thuận lợi cho

S-bkqZ và S-bkqQ xuất hiện.

- Nếu xét trên vành ĐT-R, biến trong đa thức a) và b) nhận cùng giá trị với trường hợp đa thức b) xét trên vành ĐT-Z ở trên. Khi này, chiến lược S-bkqZ và S-bkqR được