Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Vật lí học cổ điển là một khoa học xây dựng trên việc đúc kết các kết quả thực nghiệm khi nghiên cứu các hiện tượng vật lí xảy ra đối với các hệ chứa một số rất lớn các nguyên tử, tức là

PHẦN1: PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Vật lí học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những quy luật đơn giản nhất và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất và cấu trúc của vật chất và những quy luật của sự vận động của vật chất

Cùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật các giai đoạn phát triển của vật lí học được chia làm hai giai đoạn: giai đoạn vật lí cổ điển và giai đoạn vật

lí hiện đại

Vật lí học cổ điển là một khoa học xây dựng trên việc đúc kết các kết quả thực nghiệm khi nghiên cứu các hiện tượng vật lí xảy ra đối với các hệ chứa một số rất lớn các nguyên tử, tức là nghiên cứu tính chất, sự tương tác và dịch chuyển của các hệ vĩ mô trong không gian Về cơ bản vật lí học cổ điển hoàn thành vào đầu thế kỉ XIX, nó bao gồm cơ học Newton, điện động lực học, nhiệt động lực học… nội dung chủ yếu của nó là giải thích các tính chất và các hiện tượng vật lí xảy ra trong thế giới vĩ mô

Nhờ sự hoàn thiện và ứng dụng các phương tiện kĩ thuật vào việc nghiên cứu các vấn đề vật lí mà cuối thế kỉ XIX người ta đã khám phá ra các electron, tia Roentgen và tính phóng xạ Điều đó mở ra khả năng nghiên cứu từng nguyên tử và phân tử riêng biệt Đến lúc đó người ta nhận thấy rằng, vật

lý cổ điển không thể giải thích được tính chất của các nguyên tử và sự tương tác của chúng với các bức xạ điện từ Đây chính là tiền đề đầu tiên cho sự xuất hiện nền vật lí hiện đại, chuyên đi sâu nghiên cứu thế giới vi mô, một trong những môn khoa học quan trọng của nền vật lí này là môn cơ học lượng tử: đó là môn khoa học dựa trên tính chất sóng - hạt của vật chất để nghiên

cứu và giải thích các tính chất, hiện tượng xảy ra trong không gian có kích thước dài cỡ 10-6 cm đến 10-13 cm

Không gian có kích thước dài như thế gọi là không gian vi mô và đối tượng chủ yếu của cơ học lượng tử là các nguyên tử, phân tử và các hạt cơ bản

Như chúng ta đã biết chuyển động của hạt theo quan điểm của vật lý học

cổ điển được mô tả bằng các đại lượng tọa độ và xung lượng… Còn theo quan điểm của cơ học lượng tử thì chuyển động của một hạt sẽ được mô tả bằng hàm sóng    r t ;

và hàm sóng này sẽ tìm được bằng cách giải

từ chuyển động của hạt mang điện ra sao, chúng ta cùng nhau đi nghiên cứu

đề tài: “chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường”

2 Đối tượng nghiên cứu

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

3 Nội dung nghiên cứu

- Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của cơ học cổ điển

+ Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường dựa trên cơ sở các định luật Newton

+ Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường dựa trên cơ học lí thuyết

- Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của cơ học lượng tử

+ Các đại lượng động học và các toán tử

+Toán tử Hamilton

+Toán tử Hamilton trong điện từ trường

+Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của cơ học lượng tử

+Một số bài tập áp dụng lí thuyết lượng tử vào tìm hàm sóng, năng lượng

và tính chất hạt mang điện chuyển động trong điện từ trường

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp vật lí toán, phương pháp cơ học lượng tử

PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1: Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ

trường theo quan điểm của vật lý học cổ điển

1.1 Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường trên cơ sở cơ học Newton

Khi một hạt mang điện, có điện tích e, chuyển động trong không gian, ở đó có cả điện trường và từ trường, thì nó chịu tác dụng của cả lực điện ( F eE

điều đó có nghĩa là công của lực này luôn bằng không Vì thế độ lớn của vận tốc v

là không đổi trong quá trình chuyển động Lực Lorenxơ cũng không đổi và có giá trị f e v B

Lực này luôn vuông góc với phương chuyển động nên

đóng vai trò của lực hướng tâm Dưới tác dụng của lực đó

hạt chuyển động theo một đường tròn Bán kính R của quỹ

đạo tròn này được xác định từ điều kiện:

Một đặc điểm của chuyển động này là chu kỳ chuyển động của hạt (thời gian chuyển động một vòng) không phụ thuộc vào vận tốc của hạt Chu

2 e B



   (1.4)

và được gọi là tần số xyclotron

Ta thấy chu kỳ chuyển động T và tần số góc  chỉ phụ thuộc vào điện tích riêng e / m và cảm ứng từ B

Hình vẽ bên cho ta quỹ đạo của hai hạt giống nhau có

 Trên đây ta giả sử vận tốc v vuông góc với B

Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát khi vận tốc v

hợp với cảm ứng từ B

một góc nào đó khác / 2

, ta có: vvsin ; v // v cos Lực Lorenxơ tác dụng lên hạt có giá trị: f e v Bsin e v B

 Chuyển động đều theo quán tính với vận tốc v// v cos , dọc theo phương của B

1.2 Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo cơ học lí thuyết

1.2.1 Mô tả chuyển động của hạt dựa vào phương trình Lagrange

Trong cơ học Newton chuyển động của một hạt được mô tả bằng phương trình của định luật II Newton còn trong cơ học lý thuyết thì chuyển động của hạt được mô tả bằng phương trình Lagrange loại II (hay phương trình Lagrange trong tọa độ suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng qk)

Để tìm định luật chuyển động của cơ hệ chỉ cần giải hệ thống s phương trình Lagrange loại II

Đại lượng k

k

dqqdt



 gọi là vận tốc suy rộng, đại lượng

2 k

d qq

q





 gọi là xung lượng suy rộng

Xét trường hợp liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng

Nếu các lực tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì khi đó biểu thức của lực suy rộng có dạng:

Trong đó L = T - U gọi là hàm Lagrange

Nếu vị trí của cơ hệ tự do được xác định bởi những tọa độ Đecac xi, yi,

Xét trường hợp hạt chuyển động trong điện từ trường:

Hạt có khối lượng m, điện tích e chuyển động dưới tác dụng của lực điện từ F eEe v.B 

Vì vậy hàm Lagrange của hạt là:L 1mv2 e e v A

Với các thành phần của B 0,0, B 

, có thể chọn A   B ,0,0y 

Thật vậy:

Từ (1.8) và các điều kiện ban đầu ta có D    0 z 0 z D1 0

Vậy chuyển động của hạt được mô tả bằng các phương trình:

0 2

1.2.2 Mô tả chuyển động của hạt dựa vào hệ phương trình Hamilton

Ta biết rằng các phương trình chuyển động Lagrange là các phương trình vi phân hạng hai Hàm Lagrange là hàm của q ,q và t Giải hệ s phương k ktrình Lagrange với điều kiện ban đầu q và 0k q ta hoàn toàn xác định 0kđượcqk t và qk t ở thời điểm t bất kì Trạng thái cơ học của cơ hệ khi đó được xác định bởi q và k q (k = 1, 2, 3…s) Việc mô tả trạng thái của cơ hệ kbằng cách cho q và k q như vậy không phải là cách duy nhất Trong nhiều ktrường hợp, khi nghiên cứu các vấn đề khác của cơ học, ta xác định trạng thái của cơ hệ bằng s tọa độ suy rộng q1, q2, q3,…, qs và s xung lượng suy rộng pk:

Vi phân toàn phần hàm lagrange cho ta:

Biểu thức vi phân toàn phần của hàm Hamilton cũng có thể viết dưới dạng:

pk Giải hệ 2s phương trình vi phân hạng nhất này, ta tìm được:

gọi là những biến số Lagrange Nếu định luật chuyển động của cơ hệ được mô

tả bằng những phương trình Hamilton thì trạng thái của hệ được xác định bởi

qk và pk Những biến số qk, pk và t gọi là những biến Hamilton

Giải hệ 2s phương trình Hamilton dẫn tới cần thiết nghiên cứu dạng của Hamilton Người ta đã chứng minh được rằng khi liên kết đặt lên cơ hệ là dừng thì hàm Hamilton trùng với cơ năng của cơ hệ: H = T + U

Áp dụng đối với trường hợp hạt mang điện chuyển động trong điện từ trường dưới tác dụng của lực điện từ FeEe v.B 

2 2 x

Đối với các hiện tượng vật lý mà người ta đã biết đến khoảng cuối thế

kỉ XIX trở về trước thì vật học cổ điển cho các kết quả phù hợp với thực nghiệm và là một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh và chặt trẽ trong phạm vi ứng dụng của nó Từ cuối thế kỉ XIX trở về sau người ta thấy có những hiện tượng không thể giải thích được bằng các lí thuyết cổ điển, thí dụ như: tính bền vững của nguyên tử, qui luật bức xạ của vật đen,… Từ đó dẫn tới việc xây dựng một khái niệm mới về lượng tử, đó là bức đầu của việc hình thành nền

Trong cơ học cổ điển để đặc trưng cho chuyển động của một hạt ta dùng những đại lượng như: tọa độ, xung lượng, mômen động lượng của hạt… Các đại lượng đó gọi là các biến số động lực.Hạt chuyển động theo một quỹ đạo và ở thời điểm đã cho thì tất cả các biến số động lực đều có giá trị xác định

Trong cơ học lượng tử vấn đề lại khác Hạt không được hình dung như một chất điểm chuyển động theo quỹ đạo mà là một bó sóng định sứ trong một miền của không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theo thời gian Tại một thời điểm ta chỉ có thể nói về sác xuất tìm thấy hạt trong một phần tử thể tích của không gian

Vì có sự khác biệt nói trên mà trong cơ học lượng tử biến số động lực không phải được mô tả bằng một số như trong cơ học cổ điển Chúng ta phải tìm một cách mô tả khác thể hiện được những tính chất đã nêu ở trên của biến

số động lực, thể hiện được những đặc tính của các qui luật lượng tử Những nghiên cứu về toán tử cho thấy có thể dùng công cụ toán học này để mô tả các biến số động lực trong cơ học lượng tử Chúng ta thừa nhận một số giả thuyết

về nội dung cách mô tả như những tiên đề

2.1 Các đại lượng động lực và các toán tử

Trong các quá trình xây dựng cơ học lượng tử người ta thừa nhận tiên

đề sau:

“ Mỗi đại lượng vật lí F trong cơ học lượng tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính, Hermite F

Trong phép đo đại lượng F hệ lượng tử q t,  ở thời điểm t để được

số đo nào đó, hệ lượng tử sẽ chuyển về trạng thái liên kết máy đo – hệ lượng

tử Trạng thái liên kết này được mô tả bởi hàm riêng nq t, của toán tử F tương ứng với trị riêng f n

Giá trị riêng f n là số đo f n của phép đo đại lượng F”

Từ tiên đề trên chúng ta thấy rằng cần phải đối ứng đại lượng vật lí F với toán tử F nào đó

Việc xây dựng dạng của toán tử phải dựa trên các cơ sở:

 Cơ học lượng tử xây dựng dựa trên cơ sở của cơ học cổ điển, bởi vậy những đại lượng vật lí của cơ học lượng tử phải trùng với các đại lượng vật lí

cổ điển trong những điều kiện mà hệ lượng tử được coi như hệ cổ điển

 Các phương trình toán tử chính là các phương trình chuyển động của cơ học lượng tử Các kết quả rút ra từ các phương trình này phải được thực tế kiểm nghiệm

Để thỏa mãn các yêu cầu trên người ta đưa ra các tiên đề sau:

 Các hệ thức liên hệ giữa các toán tử giống như các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng vật lí tương ứng trong cơ học cổ điển

Nếu trạng thái của hệ lượng tử được biểu diễn bởi hàm tọa độ q và thời gian t và nếu L(p,q,t), pk và qk (k≥1) là hàm Lagrange, xung lượng suy rộng

Như vậy, theo quan điển của cơ học lượng tử thì chuyển động của một hạt

tử Hamilton chính là năng lượng toàn phần của hệ

Trong hệ tọa độ đề các, toán tử H của một hạt gồm toán tử động năng cộng toán tử hàm lực: HTU

Ở đây toán tử động năng

2

2 2

pT

, còn hàm lực UU r, t phụ thuộc vào tọa độ, thời gian t

Trong trường hợp tổng quát, nếu hạt chuyển động trong trường lực phụ thuộc vào vận tốc, gia tốc, thì :

2 2

Trong đó Wlà thành phần viết cho trường lực tổng quát mô tả tương tác của các hạt trong hệ và là hàm của vận tốc các hạt và thời gian

2.2.1 Dạng của toán tử Hamilton và một số toán tử khác trong các hệ tọa

(2.1) Nếu ngoài lực điện từ ra còn có những lực khác diễn tả bởi hàm lực

Chúng ta sẽ lượng tử hóa hàm Hamilton (2.2) và xung lượng (2.1) theo

tiên đề hai của cơ học lượng tử: “mỗi đại lượng vật lý F trong cơ học lượng

tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính Hermite  F ”

Kết quả (2.6) đã tính tới diều kiện định cỡ Lorenxơ div A

= 0 Thành thử dạng của toán tử Hamilton:

nào đó

Để biết được chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường như

thế nào thì ta phải giải phương trình Schrodingder i H

Ta xét hạt có khối lượng m, điện tích e chuyển động trong một điện từ trường tùy ý Giả thiết bỏ qua spin của hạt điện tích Toán tử Hamilton có dạng:

Với dạng của toán tử H như trên

và năng lượng E ta có thể biến đổi về dạng:

2 2 2

Chọn trục Oz trùng với hướng của từ trường B

, nghĩa là Bx By  0

và Bz B Với các thành phần B 0,0, B 

, có thể chọn A  B ,0,0y 

Thật vậy:

Phương trình (2.9) là phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai, phương trình này có thể phân li các biến số một cách thích hợp để chuyển về phương trình vi phân cấp hai thường để giải

Vế trái của (2.9) có thể viết dưới dạng F , trong đó:

i

ip x p z

     (2.10) Thay (2.10) vào (2.9) ta thu được phương trình vi phân cấp hai thường cho hàm  y

2 z

x

pE

2 m

e Bmpy

Thì phương trình (2.12) sẽ được viết dưới dạng:

2 z

2.4.1 Bài toán 1: Tính chất hạt chuyển động trong từ trường đồng tính:

Giả sử hàm sóng của electron ở thời điểm ban đầu có dạng:

x, y, z,0 x, y,0 z,0

Khi đó trong từ trường đồng tính H hướng dọc theo trục z, hàm sóng ở thời điểm t cũng có dạng tích x, y, z, t x, y, t  z, t Vì trong phương trình Schrodinger có thể phân li biến số z Chứng minh rằng hàm x, y,T

nhận giá trị ban đầu chỉ sai khác một thừa số pha, nếu T là chu kì của chuyển động cổ điển của hạt trong từ trường

Bài giải:

Trong từ trường đồng tính, chuyển động của electron được xét theo cơ học cổ điển, chuyển động theo một đường đinh ốc mà trục của nó hướng dọc theo từ trường Chuyển động trong mặt phẳng thẳng góc với từ trường, diễn ra

với tần số bằng hai lần tần số Larmor eB

bó sóng trên cơ sở của cơ học lượng tử

Phương trình Schrodinger đối với hạt chuyển động trong từ trường có dạng:

e2

Có thể tìm được nghiệm của phương trình này bằng phép phân li biến số

x , y , z   phương trình đối với hàm  z miêu tả chuyển động tự do dọc theo trục z Nghiệm của phương trình xác định hàm x, y, tcó dạng;

ta được

2.4.2 Tính chất hạt chuyển động trong từ trường:

Bài toán: Chứng minh rằng khi có từ trường các toán tử thành phần tốc độ

thỏa mãn các quy tắc giao hoán sau đây:

mie

m1

me

p A A p A p p Am

Tìm giá trị riêng của  : 1

Ta có phương trình Schrodinger của dao động tử viết theo các biến số

Các giá trị riêng của 2tạo thành phổ liên tục như vậy năng lượng của chuyển động trong từ trường bằng:

z

2 z

2.4.4 Phổ năng lượng của hạt mang điện chuyển động trong điện từ trường đều

Xác định phổ năng lượng của hạt tích điện chuyển động trong điện trường và từ trường đồng tính mà phương các cường độ của chúng vuông góc với nhau

Bài giải:

Ta hướng trục z theo phương của từ trường, còn trục x hướng dọc theo phương điện trường Ta lấy thế vectơ của từ trường dưới dạng Ay B x;

x z

A A 0 ( thỏa mãn điều kiện Brot A

) Trong trường hợp này, toán tử

Hamilton được viết như sau:H 1 p eA2 e

2

Trong đó: e  Fdr  e E dx  e E x