Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường khóa luận tốt nghiệp

Trang 1

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG

PHANI: PHAN MO DAU 1 Lido chon dé tai

Vật lí học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những

quy luật đơn giản nhất và tống quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên

cứu tính chất và cấu trúc của vật chất và những quy luật của sự vận động của vật chất

Cùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật các giai đoạn phát triển của

vật lí học được chia làm hai giai đoạn: giai đoạn vật lí cổ điển và giai đoạn vật lí hiện đại

Vật lí học cổ điển là một khoa học xây dựng trên việc đúc kết các kết quả

thực nghiệm khi nghiên cứu các hiện tượng vật lí xảy ra đối với các hệ chứa một số rất lớn các nguyên tử, tức là nghiên cứu tính chất, sự tương tác và dịch

chuyển của các hệ vĩ mô trong không gian Về cơ bản vật lí học cơ điển hồn

thành vào đầu thế ki XIX, nó bao gồm cơ học Newton, điện động lực học,

nhiệt động lực học nội dung chủ yếu của nó là giải thích các tính chất và các hiện tượng vật lí xảy ra trong thế giới vĩ mơ

Nhờ sự hồn thiện và ứng dụng các phương tiện kĩ thuật vào việc nghiên

cứu các vấn đề vật lí mà cuối thế kỉ XIX người ta đã khám phá ra các

electron, tia Roentgen và tính phóng xạ Điều đó mở ra khả năng nghiên cứu

từng nguyên tử và phân tử riêng biệt Đến lúc đó người ta nhận thấy rằng, vật lý cô điển không thể giải thích được tính chất của các nguyên tử và sự tương

tác của chúng với các bức xạ điện từ Đây chính là tiền đề đầu tiên cho sự xuất hiện nền vật lí hiện đại, chuyên đi sâu nghiên cứu thé giới vi mô, một

Trang 2

cứu và giải thích các tính chất, hiện tượng xảy ra trong không gian có kích thước dài cỡ 105 em đến 10 em

Không gian có kích thước dài như thế gọi là không gian vi mô và đối

tượng chủ yếu của cơ học lượng tử là các nguyên tử, phân tử và các hạt cơ bản

Như chúng ta đã biết chuyển động của hạt theo quan điểm của vật lý học

cỗ điển được mô tả bằng các đại lượng tọa độ và xung lượng Còn theo quan điểm của cơ học lượng tử thì chuyên động của một hạt sẽ được mô tả

bằng hàm sóng v=v[) và hàm sóng này sẽ tìm được bằng cách giải phương trình Schrodinger in =Hy

Nhưng dù xét theo quan điểm nào thì chuyển động của hạt cũng phụ thuộc rất nhiều vào môi trường hạt chuyển động cũng như các điều kiện ban đầu Đối với hạt mang điện là hạt vi mô thì môi trường gây ảnh hưởng rõ rệt nhất tới chuyển động của hạt đó là trường điện từ Vậy trong môi trường điện từ chuyên động của hạt mang điện ra sao, chúng ta cùng nhau đi nghiên cứu đề tài: “chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường”

2 Đối tượng nghiên cứu

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường 3 Nội dung nghiên cứu

- Chuyén động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của cơ học cổ điền

+ Chuyên động của hạt mang điện trong điện từ trường dựa trên cơ sở

các định luật Newton

Trang 3

- Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm

của cơ học lượng tử

+ Các đại lượng động học và các toán tử +Toán tử Hamilton

+Toán tử Hamilton trong điện từ trường

+Chuyền động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm

của cơ học lượng tử

+Một số bài tập áp dụng lí thuyết lượng tử vào tìm hàm sóng, năng lượng và tính chất hạt mang điện chuyên động trong điện từ trường

4 Phương pháp nghiên cứu

Trang 4

PHAN 2: NOI DUNG

Chương 1: Chuyến động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của vật lý học cố dién

1.1 Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường trên cơ sở cơ học Newton

Khi một hạt mang điện, có điện tích e, chuyên động trong không gian, ở đó có cả điện trường và từ trường, thì nó chịu tác dụng của cả lực điện

(F=eE) và lực từ (f =e[ vB) Theo định luật hai Newton, phương trình chuyền động của hạt có dạng:

mo =cE +e[ vB | (1.1)

Trong đó m là khối lượng của hạt, v la vận tốc của hạt

Dựa vào phương trình (1.1) để xét chuyển động của những hạt mang

điện trong một số trường hợp đơn giản

Đầu tiên ta xét trường hợp đơn giản nhất đó là chuyên động của hạt mang điện trong từ trường đều

s* Giả sử vận tốc ban đầu của hạt là V, đi vào từ trường đều có cảm ứng

từ B Để đơn giản ta xét trường hợp v vuông góc với cảm ứng từ B Trước

hết ta nhận thấy rằng lực Lorenxơ luôn luôn vuông góc với v điều đó có

nghĩa là công của lực này luôn bằng không Vì thế độ lớn của vận tốc v la

không đổi trong quá trình chuyển động Lực Lorenxơ cũng không đổi và có

Trang 5

Lực này luôn vuông góc với phương chuyển động nên _—_—y đóng vai trò của lực hướng tâm Dưới tác dụng của lực đó

hạt chuyên động theo một đường tròn Bán kính R của quỹ đạo tròn này được xác định từ điều kiện: evB= a Do đó

mv

R=—

eB (1.2)

Bán kính R của quỹ đạo tròn phụ thuộc vào vận tốc v của hạt mang điện và độ lớn của cảm ứng từ B và tỉ số e/m gọi là điện tích riêng của hạt

mang điện

Một đặc điểm của chuyên động này là chu kỳ chuyển động của hạt

(thời gian chuyên động một vòng) không phụ thuộc vào vận tốc của hạt Chu

kỳ chuyên động T có giá trị là T= 2TR, Thay giá trị ở các biểu thức trên ta V 2 có:T=^ (1.3) eB Tần số góc œ của hạt (góc quay được trong 1s) có giá trị: 2n e @=—=—B Tm (1.4) 1.4

va duoc goi la tan số xyclotron

Ta thấy chu kỳ chuyển động T và tần số góc œ chỉ phụ thuộc vào điện tích riêng e/m và cảm ứng từ B

, V

Hình vẽ bên cho ta quỹ đạo của hai hạt giỗng nhau có Vo '

vận tốc V;V, khác nhau Nếu hai hạt cùng xuất phát từ

Trang 6

% Trên đây ta giả sử vận tốc v vuông góc với B Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát khi vận tốc v hợp với cảm ứng từ B một góc nào đó khác

Tr/2

Ta sẽ phân tích » thành hai thành phần Vị vuông góc với B và vụ Song song

với B, ta cd: v, =vsina; v, =vcosa Luc Lorenxo tac dụng lên hạt có giá

tri:f =evBsina =ev,B

Lực này xác định bởi thành phần Vị „ khiến cho hạt chuyên động theo

đường tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc với B Lực gây nên bởi thành phần Vụ bằng không Do đó chuyển động của hạt là tổng hợp của hai chuyên động:

e_ Chuyển động tròn đều trong mặt phẳng vuông góc với B, với vận tốc

dai bang v,, với bán kính quỹ đạo, chu kỳ, tần số được xác định theo

Trang 7

1.2 Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo cơ học lí thuyết

1.2.1 Mô tả chuyển động của hạt dựa vào phương trình Lagrange

Trong cơ học Newton chuyên động của một hạt được mô tả bằng

phương trình của định luật II Newton còn trong cơ học lý thuyết thì chuyển động của hạt được mô tả bằng phương trình Lagrange loại II (hay phương trình Lagrange trong tọa độ suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng qy)

—=—-—=Q, (1.5)

(k = 1, 2, ,8 ) voi s là số bậc tự do của hệ, Q, là lực suy rộng và T là động

năng của hệ

Dé tìm định luật chuyển động của cơ hệ chỉ cần giải hệ thống s phương

trình Lagrange loại II Đại lượng q, = “i gọi là vận tốc suy rộng, : “ đ?q, sy os gk ~ đại lượng q, = de goi la gia toc suy rong te: oT ñ và đại lượng p, =—— gọi là xung lượng suy rộng di

Xét trường hợp liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng

Nếu các lực tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì khi đó biểu thức của lực

suy rộng có dạng:

N= 6, Sd,

>> ` - i=l 9q, isl or, oq, ôq,

Và phương trình Lagrange loại II lúc đó sẽ có dạng:

diệt ôL_

Trang 8

Trong đó L=T - U goi la ham Lagrange

Nếu vị trí của cơ hệ tự do được xác định bởi những tọa độ Đecac xị, y¡,

zZ (1= 1, 2, , N) thi ham Lagrange có dạng: lẻ v2 222 x2 L=>>m, (x +y, +Z]~ U(X,,V,›Z,s- Xy›Yw›Z\ ) k=l Những phương trình mô tả chuyển động của hạt sẽ là: gã L_„ di Ox,” aa ay dt dy, , hôn (i=1,2, N) để a dt, oz” Hay viết đưới dạng vectơ: db @L =0 (i=1,2, ,N) dt or,

Xét trường hợp hạt chuyên động trong điện từ trường:

Hạt có khối lượng m, điện tích e chuyên động dưới tác dụng của lực

điện từF =eE+ e|v.B| Trong đó E,B,v lần lượt là cường độ điện trường,

cảm ứng từ của trường lực mà hạt chuyên động và vận tốc của hạt

Như đã biết hạt chuyền động trongg điện từ trường có động năng và thế

năng được xác định như sau:

Động năng: T = sm"

Thế năng: V=eqp— evA

yA 5 3 x 1 2 TA

Vi vay ham Lagrange cua hat la: L = 5m —ept+evA

Trang 9

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG Với các thành phần của B(0,0,B), có thể chọn A={-B,,0,0} That vay: ô,.ô, @,.8, @ oy ôz * dz ` 6x “ax Ì dy — A,;—A,-—A,

Thanh phan B, = 0, dé đơn giản ta đặt A, =A,=0 Thanh phan thứ hai: B, =0 viA, =0nén A, =A, (x,y) Thành phần thứ ba: B, B:A, =0 nên B=— SỐ) và có thể đặt , y A, =—B,nhu vay thoa man ca thanh phan thir hai x Ta có e=—|Fdr=—e[Edx =-eEx

Trang 10

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG C=y, C=v, c„mÈ my, _9 7 (= mE _ my, eB’ eB eB’ eB C, eB C, e xX =-——sin—t+ cos—t eB m e m $4; =0 c HỖ; —0—.C, =0 Thay vào (1.6) ta có: eB m(E eB y=-——|—+v, || 1-cos—t |+v, m eB\B m lš eB E =| —+Vv, |cos—t-— B m B mv, Em) eB E y=| —*+—, |sin—t-—t+C, eB eB m B Tu y, =O>C,=0 = y-(™ tôm sin BE eB eB m

Từ (1.8) và các điều kiện ban đầu ta có D=0=>#=0=z=D,=0

Trang 11

1.2.2 Mô tả chuyển động của hạt dựa vào hệ phương trình Hamilton

Ta biết rằng các phương trình chuyển động Lagrange là các phương trình vi phân hạng hai Hàm Lagrange là hàm của q,.d, và t Giải hệ s phương trình Lagrange với điều kiện ban dau q!va đ‡ta hoàn toàn xác định

đượcg, (t) và á, (t)ở thời điểm t bất kì Trạng thái cơ học của cơ hệ khi đó

được xác định bởi q, và đ, (k = l1, 2, 3 s) Việc mô ta trang thai cua cơ hệ

bằng cách cho q, va d,như vậy không phải là cách duy nhất Trong nhiều

trường hợp, khi nghiên cứu các vấn để khác của cơ học, ta xác định trạng thái của cơ hệ bằng s tọa độ suy rộng q¡, q›, q›, , q¿ và s xung lượng suy rộng py:

"-._ (k= 1, 2, 3, , 8) (1.9)

6đ O4y

Chuyển từ một tập hợp những biến số độc lậpq, và d,sang một tập hợp những biến số khác q,, p, dùng để mô tả trạng thái của cơ hệ cần phải thực hiện các phép biến đổi sau đây

Trang 12

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG ye, ôL Hay dH=Ð {b.dp, — dp, j dt (1.11) k=l Trong đó H = H(q,,p,,t)= ®`p,ủ, —L (1.12) k=1

La ham cua qx, px, t va goi la ham Hamilton Trong biểu thức của hàm

Hamilton H, các vận tốc suy rộng đ, được biểu diễn qua qx, p„ và t nhờ các hệ thức (1.5) Biểu thức vi phân toàn phần của hàm Hamilton cũng có thể viết dưới dạng: dH=>, OF Lạ, + “Hy (1.13) i | Op, ồq, ot Tw (1.7) va (1.9) dé dang ta thay rang: a= p= (k=1243, 5) ep, eq, (1.14) dH _ eH eb (1.15) dt ot ot

Các phương trình vi phân hạng nhất (1.15) gọi là các phương trình Hamilton Đó là một hệ 2s phương trình chuyên động trong các biến số q, và py Giải hệ 2s phương trình vi phân hạng nhất này, ta tìm được:

(* =a, (t,œ,0;,0;, 02, ›

D =D¿ (t,œ,,0,,0;, 02, ; (k=l,2, 8)

Trong đó ơ,,œ,,œ, œ, là những tích phân của chuyển động được

xác định từ điều kiện ban daug’, p’ (k = 1, 2, , 8)

Như vậy, mô tả những định luật chuyển động của cơ hệ ta có dùng s phương trình Lagrange loại hai hay 2s phương trình Hamilton Nếu định luật chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng những phương trình Lagrange thì

Trang 13

gọi là những biến số Lagrange Nếu định luật chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng những phương trình Hamilton thì trạng thái của hệ được xác định bởi dx và py Những biến số qụ, pụ và t gọi là những biến Hamilton

Giải hệ 2s phương trình Hamilton dẫn tới cần thiết nghiên cứu dạng của Hamilton Người ta đã chứng minh được rằng khi liên kết đặt lên cơ hệ là dừng thì hàm Hamilton trùng với cơ năng của cơ hệ: H = T + U

Áp dụng đối với trường hợp hạt mang điện chuyên động trong điện từ

trường dưới tác dụng của lực điện từF=eE+ e| v5]

Ta có hàm Lagrange và xung lượng suy rộng P có dạng L=1mv° -e@+evA;P =k nv ted, 2 Ov Ham Hamilton cua chat diém bang: => —\2 ôL mv’ (P -eA) H=v—=-L=——+eọ= +e Ov 2 2m °

Trang 15

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG C, y, =0>—+C, =05C, =eBC, eB Từ (1.14) ta có P, =eEt+C, Thay P, , y vao (1.16) ta co:

k= CHÍ = sine C, eB eBC, x =—+]| v, +— |sin—t-——cos—t+ - m m m m m x, =0>C,-C,+eBC, SC, =0 m E eB mC, eB C, =>x=-—]| v, +— |cos—t—-—-~—sin— t+ +C eB m eBm m m x, =0>C, na) 5 eB B Chọn C¿ = 0 khi đó ta có phương trình chuyên động của hạt là: mE vạm eB x= ++ 1—cos—t eB’ eB m

Chương 2: Chuyén déng cia hat mang dién trong dién tir trường theo quan điểm của cơ học lượng tử

Đối với các hiện tượng vật lý mà người ta đã biết đến khoảng cuối thế

kỉ XIX trở về trước thì vật học cỗ điển cho các kết quả phù hợp với thực nghiệm và là một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh và chặt trẽ trong phạm vi ứng dụng của nó Từ cuối thế kỉ XIX trở về sau người ta thấy có những hiện tượng không thể giải thích được bằng các lí thuyết cỗ điển, thí dụ như: tính bền vững của nguyên tử, qui luật bức xạ của vật đen, Từ đó dẫn tới việc xây

Trang 16

Trong co hoc cô điển để đặc trưng cho chuyên động của một hạt ta dùng những đại lượng như: tọa độ, xung lượng, mômen động lượng của

hạt Các đại lượng đó gọi là các biến số động lực.Hạt chuyên động theo một quỹ đạo và ở thời điểm đã cho thì tất cá các biến số động lực đều có giá

trị xác định

Trong cơ học lượng tử vấn đề lại khác Hạt không được hình dung như

một chất điểm chuyên động theo quỹ đạo mà là một bó sóng định sứ trong một miền của không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theo thời gian Tại một thời điểm ta chỉ có thể nói về sác xuất tìm thấy hạt trong một phan tử thể tích của không gian

Vì có sự khác biệt nói trên mà trong cơ học lượng tử biến số động lực

không phải được mô tả bằng một số như trong cơ học cô điển Chúng ta phải tìm một cách mô tả khác thê hiện được những tính chất đã nêu ở trên của biến

sỐ động lực, thể hiện được những đặc tính của các qui luật lượng tử Những

nghiên cứu về toán tử cho thấy có thể đùng cơng cụ tốn học này để mô tả các biến số động lực trong cơ học lượng tử Chúng ta thừa nhận một số giả thuyết về nội dung cách mô tả như những tiên đề

2.1 Các đại lượng động lực và các toán tử

Trong các quá trình xây dựng cơ học lượng tử người ta thừa nhận tiên dé sau:

“ Mỗi đại lượng vật lí F trong cơ học lượng tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tinh, Hermite F

Trang 17

Giá trị riêng ƒ, là số đo ƒ„ của phép đo đại lượng F”

Từ tiên đề trên chúng ta thấy rằng cần phải đối ứng đại lượng vật lí F

với toán tử Ê nào đó

Việc xây dựng dạng của toán tử phải dựa trên các cơ sở:

e Cơ học lượng tử xây dựng dựa trên cơ sở của cơ học cô điền, bởi vậy những đại lượng vật lí của cơ học lượng tử phải trùng với các đại lượng vật lí

cô điển trong những điều kiện mà hệ lượng tử được coi như hệ cô điền

e Các phương trình toán tử chính là các phương trình chuyển động của cơ học lượng tử Các kết quả rút ra từ các phương trình này phải được thực tế

kiểm nghiệm

e Phương trình toán tử: in T= Hụự mô tả chuyển động tự do của hạt

với năng lượng E là phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử

H= Fy

Để thỏa mãn các yêu cầu trên người ta đưa ra các tiên đề sau:

e Các hệ thức liên hệ giữa các toán tử giống như các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng vật lí tương ứng trong cơ học cổ điển

Nếu trạng thái của hệ lượng tử được biểu diễn bởi hàm tọa độ q và thời

Trang 18

Như vậy, theo quan điển của cơ học lượng tử thì chuyên động của một hạt

sẽ được mô tả bằng hàm sóng ự = (r0) và hàm sóng này tìm được bằng cách giải phương trình Schrodinger ince =Hự

Với H là toán tử Hamilton Tùy thuộc vào trường lực hạt chuyển động trong đó mà toàn tử H có dạng khác nhau

2.2 Toán tử Hamilton

Dựa vào các tiên đề của cơ học lượng tử, trong cơ học cổ điển có hàm

Hamilton nó trùng với năng lượng của hệ ứng với chuyên động của cơ hệ khi cơ hệ chịu liên kết dừng Thì trong cơ học lượng tử tương ứng có toán tử

Hamilton tương ứng với năng lượng toàn phần của hệ Tức trị riêng của toán

tử Hamilton chính là năng lượng toàn phần của hệ

Trong hệ tọa độ đề các, toán tửH của một hạt gồm toán tử động năng cộng toán tử hàm lực: H=T+U

)n -

Ở đây toán tử động năng T=-P— =—-—V”, còn hàm lực U= U(r.t)

2m 2m

phụ thuộc vào tọa độ, thời gian t

Trang 19

Trong đó W'là thành phần viết cho trường lực tong quát mô tả tương tác của

các hạt trong hệ và là hàm của vận tốc các hạt và thời gian

Trang 20

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG e Trong hé toa d6 tru : 2 2 2 He lể po +t an = +U(r,t) 2m\ror\ Or) r 0g Oz 2 2 H=-ˆ te pe 4 sin0-Ê- +5 1 ; o +U(r,t)

2m|r Or\ Or) Ø9 98} rsinˆ9 6g ˆ

2.2.2 Toán tử Hamilton của hạt mang điện chuyển động trong điện từ trường

Ta xét chuyên động phi tương đối tính của hạt mang điện tích e chuyển động trong điện từ trường E,B tùy ý Điện từ trường này có thể biểu điễn qua

thế vectơ A và thế vô hướng ọ của điện từ trường

= oA

E=-gradp——— giad@ at

B=rot A,

Với điều kiện định cỡ Lorenxơ: divA =0

Hàm Lagrange của hạt mang điện trong điện từ trường:

Xung lượng suy rộng P =< mv+eA =p+eA

V

Như vậy xung lượng của hạt: Pp =P-eA (2.1)

Néu ngoài lực điện từ ra còn có những lực khác diễn tả bởi hàm lực

U(r,t) thì biểu thức tổng quát của hàm Hamilton sẽ là:

_~ ——~ —~2 = —2

H=pv~eÄv+eo+U~ my =| (Pea) +e@+U (2.2)

Trang 21

Chúng ta sẽ lượng tử hóa hàm Hamilton (2.2) và xung lượng (2.1) theo

tiên đề hai của cơ học lượng tử: “mỗi đại lượng vật lý F trong cơ học lượng

tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyển tính Hermite F” P—>P=inV (2.3) 1 /^ 2 ^ H>H=~—(P-ea) +e@+U (2.4) 2 ^ 2 2 2 2 Ởđây:(Ê~eA) =(P,=eA,} +(P,=eA,} +(P,=eA, Tính riêng từng số hạng 2 (P.—eA.)} =(P,-eA,}(P, -eA, )=P eA, P,-eP, A FAD 2 ô 2 2 =P, —2eA,P +ieh—A,+e°A, ơx Khi tính tốn các phép nhân toán tử ta đã tính đến tích ¬- ¬- ơ

eP A AW y=-iei—(A,y)=-ieh| —A a (AW) Ế w —1€?A — al

= [-ien Ea, +eA, P } Ox

Vì ự tùy ý cho nên: eP, A, +eA, P| x

Hoan toan tuong tu:

Trang 22

Kết quả (2.6) đã tính tới diều kiện định cỡ Lorenxơ đivA= 0 Thành thử dạng của toán tử Hamilton: hr ieh 2 2 Vˆ+!°“AV+-—A +eøo+U (2.6) 2m m 2m H=-

Thành phần thứ nhất tương ứng với chuyên động tự đo của hạt, thành phần thứ hai và thứ ba tương ứng với chuyển động của hạt trong từ trường, thành phần thứ tư mô tả chuyền động trong điện trường, còn thành phần cuối cùng mô tả chuyên động của hạt trong trường lực U(r.t) nao do

Dé biét duoc chuyén động của hat mang điện trong điện từ trường như

thé nào thì ta phải giải phương trình Schrodingder ince =Hy

2 : 2

voi H=—y? Ky 4 2K se 4U

2m m 2m

2.3 Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của cơ học lượng tử

Ta xét hạt có khối lượng m, điện tích e chuyên động trong một điện từ

trường tùy ý Giả thiết bỏ qua spin của hạt điện tích Toán tử Hamilton có

i lñe— e

dạng: H=-_——V”+——AV+ A +e@+U

2m m 2m

Như vậy phương trình Schrodinger đừng cho hạt mang điện chuyên động trong điện từ trường H v(t) = Ey(r) Với dạng của toán tử H như trên và năng lượng E ta có thé biến đổi về dạng:

VỀ + (E-eo-U)y + Agrady—< Ay =0 (2.7)

i

Trang 23

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG 2m in Vˆụ+ (E-ep-U)y+ 2A gradw =0 (2.8)

Sau đây chúng ta hãy thiết lập và giải phương trinh Schrodinger cho

chuyển động tự do của hạt trong một từ trường đềuB, tức là B là hằng SỐ;

=U=0;spin =0

Trong cơ học cổ điển, điện tích e chuyên động tự do có xung lượng là

p xác định nào do khi rơi vào trong từ trường đều sẽ tham gia đồng thời hai chuyển động; chuyển động tự do theo phương của từ trường và chuyển động tròn đều trong mặt phẳng vuông góc với phương của từ trường Trong cơ học lượng tử ta thu được kết quả tương tự

Chọn trục Oz trùng với hướng của từ trường B, nghĩa là B, =B, =0

và B, =B Với các thành phần B(0,0,B), có thể chọn A ={—B,.0,0} Thật

vậy:

B=rotA= on 2a CỔ A CA CA 24 oy ôz * Oz ôx “ôx * ôy Thanh phan B, =0, dé đơn giản ta dat A, = A, =0 Thành phần thứ hai: B,=0 vì A, =0 nên A,=A, (x,y)

Thanh phan tht ba: B, = B;A, =0 nén B=— ¬ và có thể đặt A, =—B như › y ý

vậy thỏa mãn cả thành phần thứ hai

Thay A(-B,.0.0) và =U=0 vào phương trình (2.7) ta thu được phương trình Schrodinger cho điện tích e chuyển động tự do trong từ trường đều

B(0,0,B)

Trang 24

Phương trình (2.9) là phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai,

phương trình này có thé phan li các biến số một cách thích hợp dé chuyên về

phương trình vi phân cấp hai thường để giải

Về trái của (2.9) có thê viết dưới dạng Fự, trong đó:

Dễ dàng thử lại rằng các toán tử giao hoán với nhau từng đôi Bởi vậy các toán tử này chung nhau hàm riêng Điều đó gợi ý cho việc đặt: Ìp.x jpz w(xy,z)=e" ` e o@(y) (2.10) Thay (2.10) vào (2.9) ta thu được phương trình vi phân cấp hai thường cho hàm ø(y) 2eB 2B 2mE 2 2

DU NG tin: y-[2RE BeBe |la(y)=0 (2.11)

Bién déi (2.11) ta co:

, 2eB "Be | (2mE p? p?

o)-[ PRPs hr Poy +5 y-(-Re Pr Behe) ih?

oy 2m p, (eB, eBp, | py’

Trang 25

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG 2 e=E-z- 2m _ eB m @ (2.13) Px =y+ S=yt oS Thì phương trình (2.12) sẽ được viết dưới dạng: ø(9)+ 2 [s=2 mo" ]s(s)=0 (2.14)

Phương trình này chính là phương trình Schrodinger cho dao động tử

điều hòa Năng lượng bị lượng tử hóa:

2

ek 2 ho[n+2) (n=1,2,3 ) ma (2.15)

Số hạng cuối cùng của (2.15) không là gì khác mà chính là năng lượng chuyền động dọc theo trường, còn số hạng đầu của nó:

E,(0)=ŠE [n+ 2] (2.16)

m 2

Trang 26

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG 2 i eB p eB p =B — ——— ax H — ax (x,y,z) J jlo 15] { Bos) 1 B, = Đi (n =1,2,3 ) 42"n!\ xử 2.4 Xét một số trường hợp cụ thể của hạt chuyển động trong điện từ trường

2.4.1 Bài toán 1: Tính chất hạt chuyển động trong từ trường đẳng tinh: Giả sử hàm sóng của electron ở thời điểm ban đầu có dạng:

w(x,y,z.0) = w(x, y,0)y(z,0)

Khi đó trong từ trường đồng tính H hướng đọc theo trục z, hàm sóng ở

thời điểm t cũng có dạng tích w(x,y,z,t) = w(x,y.t)W(z.t) Vì trong phương

trình Schrodinger có thê phân li biến số z Chứng minh rằng hàm w(x,y,T)

nhận giá trị ban đầu chỉ sai khác một thừa số pha, nếu T là chu kì của chuyên

động cô điển của hạt trong từ trường

Bài giải:

Trong từ trường đồng tính, chuyên động của electron được xét theo cơ

học cô điền, chuyên động theo một đường định ốc mà trục của nó hướng dọc

theo từ trường Chuyên động trong mặt phẳng thẳng góc với từ trường, diễn ra với tần số bằng hai lần tần số Larmor (s = 2) Ta sẽ xét chuyên động của bó sóng trên cơ sở của cơ học lượng tử

Phương trình Schrodinger đối với hạt chuyên động trong từ trường có dạng:

OW

Tu: ia—=H

Trang 27

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG 2 voi: Hoy? + hay 4 A” +eo+U 2n ụ 2n Do hạt chuyên động trong từ trường đều không có điện trường và các 2 lực khác nên: H=-~v?+“av+—a iv teh x aa 2u ụ 2n Do vậy phương trình Schrodinger có dạng: 2 2 ow = Fie, iehag + cà ot 2u ụ 2u Mặt khác ta có:

B=rotA = CA TA CA fa, SA —-CA,

ơy Ơz * 0z ôx “ôx ` ôy B, =B, =0 Do B, =B=2H2 e A =-BY |A =-9Y 2 ì e ak ax Bx H@x Ta có thê đặt: 4A, = ©S4A = 2 ; e A, =0 A, =0 Phuong trinh Schrodinger sé tro thanh:

in ~_—# gry 1M g OV gy OW ot 2u HÀ `Èôx Ọ'ôy “ôz “2u OV), S“(A+A?+A?)y

Trang 28

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG x=x'cosot’-y'sinot’ y =x’sinot'+ y'cosat' , Z=Z t=t (2.17) w(x y,z,t) = w'(x yz’) Khi do:

Phuong trinh Schrodinger trong các tọa độ mới có dạng sau:

ine —-—A'w'+=po’ (x +y" aah Wt gH (x? he 1 2 2 +y")y 2 Jy’

Có thể tìm được nghiệm của phương trình này bằng phép phân li biến số

Xx',y',z phương trình đối với hàm p(z')miéu tả chuyên động tự do dọc theo

trục z Nghiệm của phương trình xác định hàm w(x,y,t)có dạng;

visa) = SA,» xi la vi n Jenene

ở đây x và y là các hàm của tọa độ x„y và thời gian được xác định từ (2.17),

yx, la hàm riêng của dao động tử điều hòa, Anm là các hệ số được chọn sao

cho điều kiện ban đầu được thỏa mãn Biểu thức này đối với w(x,y,t) chỉ biến đổi dấu, nếu t tăng lên một chu kỳ chuyên động cô điển T ==, Thực

@œ

vậy, x và y khi đo đổi dấu và nếu kế đến tính chất của hàm riêng của dao

động tử x„(—§)=(—1)`x„(&)

Trang 29

oO

-iot(n+m+l) -in(nt+mt+l)

e e ==W(x,y,t)

Như vậy trong mặt phẳng thẳng góc với từ trường, bó sóng sẽ biến đối tuần hoàn đạng của nó với chu kỳ bằng chu kỳ của chuyển động cô điển của hạt trong từ trường Bó sóng sẽ chảy loang theo phương của từ trường đúng

như đối với chuyển động tự do Có thể tìm được hàm sóng w(x,y,t) dưới

dạng tường minh nếu như hàm sóng ban đầu được cho đưới đạng:

"a5 2i Xo) HY Yo) ty lưng

w(x,y,0)=e

Khi giả thiết tất cá các A„„ nm =0 trừ A,; =1, ta thấy rằng bó sóng như thế

không chảy loang trong mặt phẳng xy, còn trọng tâm của nó mô tả quỹ đạo cổ điển

2.4.2 Tỉnh chất hạt chuyển động trong từ Irường:

Trang 30

Ma H= ¬ -eA) + U(r) +eo=5 (pea)

Trang 31

Oi TH, HO UG RIA CHUYEH MUG Cit WaT MANG EFA FROUG AKU Fie Theo UG,

=-ihA| w+ roy +ihAr- Cự =-ihAw ~inarloy +inar lay or or or or =-ihAw => I5 =-ihA v= = (- 2inp+2eihA]= Ị —(p-ea) Còn các hình chiêu của nó trên các trục tọa độ:

Bây giờ ta tính các giao hoán tử:

[vor fle ea o.-ea) =p -eafni-ed-(p.-ea ines =-—(pA, +A,p,-A\p,-p,A\) pA wane (A, y)=-iha, Sy -iny Sa, Apw=-iha, <u Ap, =-inA, Sy a a a

A =-in2(A)=-inA, 2y-iny Za,

Trang 32

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG ieh V.V.—V,V.=—B,; m ieh v,V,—V,V, =—z B,; (dpcm) ieh V.V.—V.V=—,-B ZX XZ 2 y m 2.4.3 Xác định năng lượng của hạt chuyển động trong từ trường không đổi Bài giải: Ta hướng trục z theo phương của từ trường và kí hiệu cường độ của nó là H Theo bài trước ta có: ieh , _ieh V.Vy—V,V.=——B, 7H H ụh ieh V.V ¬ B, =0 H H Toán tử năng lượng bằng: 2 2 2 H=Y: ,#Ỳ, BY, 2 2 2 Ta sẽ biểu diễn H đưới dạng tổng hai toán tử giao hoán: 2 2 2 Vy H,=t#*~ 4PM Be 2 2 2

Trang 33

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG ehB 2 HW aQ; a A Q trong do ; P= 15 aP Vy (" Xuñœ Theo các biến số P; Q quy tic giao hoan cé dang: PQ- QP =-i Còn toán tử H, = „ŠB (p + ợ) 2u Tìm giá trị riêng của H, :

Ta có phương trình Schrodinger của đao động tử viết theo các biến số P:Q có dang: Hy=5(P + )y=ew Trị riêng của H là s=n+2 (n=0, 1, 2 ) — Tri riéng cua H, la: (n+;)8 (n=0,1,2 ) ụ

Các giá trị riêng của H, tạo thành phổ liên tục như vậy năng lượng của chuyền động trong từ trường bằng:

E,, = n2(n +3] BM

; H 2 2

Phổ năng lượng của hạt là liên tục giống như phổ năng lượng của hạt khi xét theo quan điểm cô điển

2.4.4 Phổ năng lượng của hạt mạng điện chuyển động trong điện từ trường déu

Trang 34

Xác định phố năng lượng của hạt tích điện chuyển động trong điện trường và từ trường đồng tính mà phương các cường độ của chúng vuông góc với nhau

Đài giải:

Ta hướng trục z theo phương của từ trường, còn trục x hướng dọc theo phương điện trường Ta lấy thế vectơ của từ trường dưới dạng A,=Bx;

A,=A, =0 ( thỏa mãn điều kiện B=rotA) Trong trường hợp này, toán tử

1 /^ 2

Trang 36

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG Vì các toán tử p,và p,có mặt ở các sô hạng cuôi của toán tử p, DyE HE Hamilton giao hoán vớiH,, toán tử: H,=‡—-~*—“———_ có thể đưa 2u B 2B

chéo đồng thời với H,

Như vậy phô năng lượng của hạt

B 1 mm pe’

E, =n nat) Be Be - , 5

PyPy uụ 2) 2u B 2B

So sánh với kết quả của bai tập trước ta thấy rằng điện trường lam mat suy biến Sự suy biến này xảy ra trong trường hợp chỉ có từ trường Các mức năng lượng khi có điện trường phụ thuộc vào ba số lượng tử (n.p,.p, ):

2.4.5 Xác định các nức năng lượng và hàm sóng của hạt chuyển động trong

từ trường nhưng xét trong hệ tọa độ trụ

Bài toán:

Trang 38

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG 1 2mE eB’ ieBm m R" +R -k?_— 2_—_ _™ ir =0 Rp) +" (| nọ KP TT = (p) Đặuy—Š7:B=^ b7 = kệ Ta được: R”(p)+ LR'(p)+ la- pˆ-2ym - PP |R(ø =0 p p Ta đưa vào biến số độc lập mới š = ypˆ khi đó: (5) dR _ dR dễ _„đR _ R()= a dE dp 21P a 2yp R'(E) @R d(dR) d dR d (dR R"(p)= (p) dp’ ni.) mỊ ee) yR'(&)+2yp ( =] SA =F} 2 =2yR'(E)+2yp—| =2yR'(E)+ 47° p?R"(§) =>4+” p.R (6)+2yR(6)+12ipR'(2)+B+vip -2m/~Ð ]R(6)=0 4 4 2 4p =+p't'(4)+ R(6)+| B eB ]R()=0 merer's(-S42- ]R=0 4 4 (2.20) Trong đó: Bm 4y 2 2 ~ -Š ImÍ

Hàm phải tìm khi š — œ biêu diễn như e ?, còn khi š nhỏ thì tỉ lệ với €? Ta tìm nghiệm của phương trình dưới dạng:

š |m R=e?š? @(&) «(&) tìm được từ phương trình:

Trang 39

Oi TH 0/10 42/-£ CHUYEH M3 HG Qi FaT MAUG €FH FROUG AHH Rt FRaMCUG Thật vậy ta có: = ial Im| -š bl, š l R”=e°§? ø(É)—Te°§? œ(§)—=e? §? œ(§) mpl) oo | š g5" (3 2 je & ol)Ze's* ol) |m| 6 el bl _š Jm eG @(j+e€? ø(§)— 7e 'É? ø($) § Im, lle g œ(§) lL

Thay vào (2.20) và chia cả hai về của phương trình thu được cho e ? É? "ta

được phương trình: š*ø" + (I+|m|)š— § Jo’ + c - Ine) Eœ=0

Chia ca hai về cho š ta được phương trình:

Eo" + (1 +|m|- Eo + ( - nt, =0 (dpcm)

Nghiệm của nó là hàm siêu bội suy biến:

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	4,29 MB