Tính lồi và vấn đề cực trị

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN BÙI NGỌC MƯỜI TÍNH LỒI VÀ VẤN ĐỀ CỰC TRỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Trần Văn Bằng Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thầy cô giáo khoa Toán giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Bùi Ngọc Mười LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Khóa luận công trình nghiên cứu riêng Trong nghiên cứu khóa luận này, kế thừa thành nhà khoa học thầy cô với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Bùi Ngọc Mười Mục lục Chương Giá trị lớn giá trị nhỏ 1.1 Một số khái niệm mở đầu 1.2 Phương pháp phạt ràng buộc 11 1.3 Trên đồ thị tính nửa liên tục 13 1.4 Sự tồn giá trị nhỏ 17 1.5 Tính liên tục, bao đóng độ tăng 19 1.6 Sự phụ thuộc tham số 22 1.7 Bao Moreau 27 1.8 Phép cộng đồ thị phép nhân đồ thị 31 Chương Tính lồi 37 2.1 Tập lồi hàm lồi 37 2.2 Các tập mức phần giao 41 2.3 Tiêu chuẩn kiểm tra tính lồi đạo hàm 44 2.4 Tính lồi phép toán 49 2.5 Bao lồi 54 2.6 Bao đóng tính liên tục 57 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tối ưu theo nghĩa xu hướng tất yếu tự nhiên Việc nghiên cứu trình tối ưu nhiệm vụ thường trực người nhằm thỏa mãn nâng cao hiệu hoạt động sống Trong toán học, toán tối ưu hóa vấn đề liên quan thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Giải tích biến phân môn học tập chung nghiên cứu vấn đề liên quan tới "Giá trị lớn giá trị nhỏ nhất" hàm, phiếm hàm Chúng ta biết, hàm khả vi theo nghĩa cổ điển, có kết quan trọng định lý Weirstrass nói rằng: Mọi hàm liên tục tập compact đạt giá trị lớn giá trị nhỏ Vấn đề đặt với tập tính compact hàm không thiết liên tục ? Thực tế có nhiều kết sâu sắc chủ đề Một tính chất quan trọng tập hợp hàm số liên quan đến hầu hết kết tối ưu " tính lồi" Vì em chọn đề tài " Tính lồi vấn đề cực trị" nhằm tìm hiểu sâu vấn đề tối ưu vai trò tính lồi toán tối ưu Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận bao gồm hai chương: Chương 1: Giá trị lớn giá trị nhỏ Chương 2: Tính lồi Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu toán tối ưu vấn đề liên quan đến toán tối ưu Các tính chất có liên quan đến tính lồi vai trò tính lồi toán tối ưu Các điều kiện để kiểm tra tính lồi tập hay hàm số Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp Chương Giá trị lớn giá trị nhỏ 1.1 Một số khái niệm mở đầu Định nghĩa 1.1.1 Tập giá trị thực mở rộng, kí hiệu R cho công thức R := [−∞, +∞] Định nghĩa 1.1.2 (Cận tập) A gọi cận tập M ∀x ∈ M : x ≤ A Định nghĩa 1.1.3 (Cận đúng) Ta gọi supM cận M cận bé cận M Định nghĩa 1.1.4 (Cận tập) Ta gọi A cận tập M ∀x ∈ M : x ≥ A Định nghĩa 1.1.5 (Cận đúng) Ta kí hiệu infM cận tập M cận lớn cận M Định nghĩa 1.1.6 (Cận cận hàm) Cận cận hàm C kí hiệu infC f supC f cho bởi: infC f := infx∈C f (x) := inf { f (x) |x ∈ C} supC f := supx∈C f (x) := sup { f (x) |x ∈ C} Khi cận đúng( cận đúng) tập M thuộc M ta gọi chúng giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) tập M Kí hiệu: maxM minM Ta kí hiệu : Tập tất giá trị x cho hàm số đạt giá trị nhỏ giá trị lớn argmin f argmax f argminC f :=argminx∈C    {x ∈ C| f (x) = infC f } infC f = ∞ :=   ∅ infC f = ∞ argmaxC f :=argmaxx∈C f (x)    {x ∈ C| f (x) = sup f } sup f = −∞ C C :=   ∅ sup f = −∞ C Định nghĩa 1.1.7 (Miền hữu hiệu hàm) Kí hiệu dom f miền hữu hiệu hàm f : Rn → R tập hợp xác định dom f := {x ∈ Rn | f (x) < ∞} Định nghĩa 1.1.8 (Hàm thường) Hàm f gọi thường f (x) < ∞ điểm f (x) > −∞, ∀x ∈ Rn Nói cách khác f có dom f tập không rỗng dom f f hữu hạn 10 Chứng minh Trong (a), tập D = {(u, α) |p (u) < α < ∞} ảnh tập E = {(x, u, α) | f (x, u) < α < ∞} qua ánh xạ tuyến tính (x, u, α) → (u, α) Tính lồi E 2.1.1 đồng với tính lồi D 2.4.1, điều dẫn đến p hàm lồi Tính lồi P (u) có từ 2.2 Trong (b), tập D = {(u, α) | (A f ) (u) < α < ∞} ảnh E = {(x, u, α) | f (x, u) < α < ∞} qua biến đổi tuyến tính (x, α) → (Ax, α) Từ ta có (A f ) (u) lồi theo 2.1.1 2.2.2 Mệnh đề 2.4.3 (Tính lồi đại số tập hợp) (a) C1 +C2 lồi C1 C2 lồi (b) λC lồi với λ ∈ R C lồi (c) Khi C lồi, ta có (λ1 + λ2 )C = λ1C + λ2C với λ1 , λ2 ≥ Chứng minh Tính chất (a) (b) có từ định nghĩa tính lồi tâp Trong (c) ta đưa trường hợp có λ1 + λ2 = cách chia hai vế cho λ1 + λ2 Phương trình sau có từ định nghĩa tính lồi tập C Áp dụng 2.4.3 ta có: tập C + εB lồi C tập lồi, B hình cầu đơn vị đóng Euclidean Định lý 2.5 (Ánh xạ xấp xỉ bao lồi) Cho hàm f : Rn → R lsc, thường lồi Khi f xấp xỉ bị chặn với mức ∞, khẳng định với λ > (a) Ánh xạ xấp xỉ Pλ f đơn trị liên tục Pλ f (x) → Pλ¯ f (x) ¯ (λ , x) → λ¯ , x¯ λ¯ > 52 (b) Hàm bao eλ f lồi khả vi liên tục với công thức đạo hàm là: eλ f (x) = λ [x − Pλ f (x)] Chứng minh Từ Định nghĩa 1.7.1 ta có eλ f (x) := infw gλ (x, w) Pλ f (x) := argminw gλ (x, w) với hàm gλ (x, w) := f (w)+(1/2λ ) |w − x|2 mà theo giả thiết lsc, thường lồi với (w, x), lồi nghiêm ngặt theo w Nếu mức f ∞ eλ f Pλ f có tất cá tính chất Định lý 1.4 phép cộng eλ f lồi theo 2.4.2(a), Pλ f đơn trị theo tính chất 2.6 Điều chứng minh khẳng định định lý trừ tính khả vi (b) Ở đây, cần trường hợp mức f ∞, với mức λ > tùy ý mà eλ f (0) > −∞ Định lý 1.2 cách chứng minh gλ (0, ·) có tập mức bị chặn Nếu không ta có: tồn α ∈ R điểm xv cho f (xv ) + (1/2λ ) |xv |2 ≤ α với < |xv | → ∞.Với x0 cố định mà f (x0 ) < ∞ Khi với τ v = 1/ |xv | ∈ (0, 1) x¯v := (1 − τ v ) x0 + τ v xv ta có τ v → f (x¯v ) ≤ (1 − τ v ) f (x0 ) + τ v f (xv ) ≤ (1 − τ v ) f (x0 ) + τ v α − (1/2λ ) |xv | → −∞ Do dãy điểm x¯v bị chặn f thường lsc Xem 1.4.1 Mâu thuẫn dẫn đến điều phải chứng minh Ta có tính khả vi liên tục (b) từ công thức ánh xạ gradian(đạo ánh) Với điểm x¯ đặt w¯ = Pλ f (x) ¯ v¯ = (x¯ − w) ¯ /λ Ta cần eλ f khả vi x¯ với eλ f (x) ¯ = v¯ tương đương với hàm h (u) := eλ f (x¯ + u) − eλ f (x) ¯ − v, ¯ u khả vi với eλ f (x) ¯ = f (w) ¯ + (1/2λ ) |w¯ − x| ¯ Trong eλ f (x¯ + u) ≤ f (w) ¯ + (1/2λ ) |w¯ − (x¯ + u)|2 Vì 53 h (0) = Ta có h (u) ≤ (1/2λ ) |w¯ − (x¯ + u)|2 −(1/2λ ) |w¯ − x| ¯ −(1/λ ) x¯ − w, ¯ u = (1/2λ ) |u|2 Do epi f lồi nên h lồi, ta có 1 1 h (u) + h (−u) ≥ h u − u = h (0) = 0, 1 |−u|2 = − 2λ |u|2 h (u) ≥ −h (−u) ≥ − 2λ suy Do ta có |h (u)| ≤ (1/2λ ) |u| với u nên h khả vi Suy điều phải chứng minh Từ định lý ta thấy rằng: Với hàm không trơn f , xấp xỉ bao epi f trơn 2.5 Bao lồi Định nghĩa 2.5.1 (Bao lồi tập) Cho tập C ⊂ Rn , bao lồi C kí hiệu conC, tập lồi nhỏ chứa C Vì thế, conC giao tất tập lồi D ⊃ C Phần giao tập lồi theo 2.2.2(a) (ít có tập D thỏa mãn toàn không gian) Định lý 2.6 (Bao lồi từ tổ hợp lồi) Với tập C ⊂ Rn , conC bao gồm tất tổ hợp lồi phần tử C p conC = p ∑ λi xi |xi ∈ C, λi ≥ 0, ∑ λi = 1, p ≥ i=0 i=0 Chứng minh Gọi D tập tất tổ hợp lồi phần tử C Vì conC tập lồi chứa C mà tập lồi chứa tổ hợp lồi phần tử lên D ⊂ conC Mặt khác ta có , D tập lồi chứa C Theo định nghĩa conC ta có conC ⊂ D Như ta có D = conC 54 Trong trường hợp đặc biệt C = a0 , a1 , , a p ta có conC bao gồm tất tổ hợp lồi λ0 a0 + λ1 a + + λ p a p Khi điểm a0 , a1 , , a p độc lập afin với tập a0 , a1 , , a p gọi p-đơn hình với điểm đỉnh Điều kiện độc lập afin có nghĩa tồn hệ số λi ∈ (−∞, ∞) thỏa mãn λ0 a0 + λ1 a + + λ p a p = λ0 + + λ p = λi = 0, ∀i = p Điều xảy vector − a0 , ∀i = 1, , p phụ thuộc tuyến tính Ta có, 0-đơn hình điểm, 1-đơn hình đoạn thẳng đóng, 2- đơn hình tam giác 3- đơn hình đa diện Mệnh đề 2.5.1 (Các kết đơn hình) (a) Mọi đơn hình S = a0 , , a p tập đa diện lồi đóng (b) Khi a0 , , an độc lập afin Rn với x ∈ Rn có biểu diễn nhất: x = ∑ni=0 λi xi với ∑ni=0 λi = (c) Biểu diễn điểm p-đơn hình S = a0 , a1 , , a p p dạng tổ hợp lồi ∑i=0 λi Tức có tương ứng liên tục một-một theo tất chiều điểm S p vector (λ0 , , λ p ) ∈ R p+1 cho λi ≥ 0, ∑i=0 λi = (d) Mọi n-đơn hình S = {a0 , , an } Rn có phần không rỗng x ∈ intS x = ∑ni=0 λi với λi > ∑ni=0 λi = (e) Đơn hình giống sở lân cận tức là: Với điểm x¯ ∈ Rn lân cận V ∈ N (x) ¯ có n-đơn hình S ⊂ V với x¯ ∈ intS 55 (f) Với n-đơn hình S = {a0 , a1 , , an } Rn dãy avi → Tập Sv = av0 , av1 , , avn n-đơn hình v đủ lớn Hơn nữa, xv → x với xv = ∑ni=0 λiv avi x = ∑ni=0 λi , ∑ni=0 λiv = ∑ni=0 λi = λiv → λi Chứng minh Trong (a) (d), để đơn giản ta tịnh tiến điểm để a0 = 0: Trong (a) (c), p < n ta thêm vào hệ a1 , , a p vecto khác để sở Rn Ta xem xét biến đổi tuyến tính mà ánh xạ vào ei = (0, , 1, 0, 0) (1 nằm vị trí thứ i) Trong (e), ta cần xem xét trường hợp mà x¯ = lân cận lồi V = B (0, ε) đủ Với n-đơn hình S mà ∈ intS, ta thấy có δ > cho δ S ⊂ B (0, ε) Trong (f), đặt A ma trận có vecto cột − a0 , tương tự với ma trận Av Ta đồng giả thiết đơn hình S với tính không kì dị A tương tự Av không kì dị Với phần sau, ý x = Az + a0 với z = (λ1 , , λn ) tương tự xv = Av zv + a0 với v đủ lớn Sự hội tụ Av đến A dẫn đến hội tụ ma trận nghịch đảo Định lý 2.7 (Bao lồi từ đơn hình) Cho tập C = ∅ Rn Mọi điểm conC thuộc đơn hình với đỉnh C biểu diễn dạng tổ hợp lồi n + điểm C (không thiết phải khác nhau) Hệ 2.5.1 (Tính compac bao lồi) Với tập compac C ⊂ Rn conC compac Đặc biệt, bao lồi tập gồm hữu hạn điểm compac Vì vậy, đơn hình compac 56 2.6 Bao đóng tính liên tục Trong phần ta xem xét mối quan hệ tính lồi với số khái niệm tôpô bao đóng phần tập hợp, tính nửa liên tục hàm Mệnh đề 2.6.1 (Tính lồi thường bao đóng) Với tập lồi C ⊂ Rn , clC tập lồi Tương tự, với hàm lồi f : Rn → R , cl f lồi Hơn nữa, cl f thường f thường Chứng minh Đầu tiên, với dãy điểm x0v x1v C hội tụ đến x0 x1 clC, τ ∈ (0, 1) Các điểm xτv = (1 − τ) x0v + τx1v ∈ C hội tụ đến điểm xτ = (1 − τ) x0 + τx1 nằm clC Điều chứng tỏ clC tập lồi Với trường hợp hàm f , đồ thị hàm cl f ( tính lsc f có từ công thức 1.6 1.7 bao đóng đồ thị f lồi cl f lồi Nếu f không thường cl f không thường Ngược lại, cl f không thường −∞ tập lồi D = dom(cl f ) = cl(dom f ) Ta xem xét đơn hình S = a0 , , a p với số chiều tối đa D Bằng phép tịnh tiến ta giả sử a0 = vector a1 , , a p độc lập tuyến tính Không gian p-chiều M tạo từ vector phải thuộc phần D, không ta vector tổng a p+1 ∈ D khác độc lập tuyến tính với p vecto Điều mâu thuẫn với giả thiết lớn p Giải thích thu gọn M, mà theo thay đổi tọa độ ta đồng với R p Để kí hiệu đơn giản ta giả sử M = Rn , p = n Khi S có phần 57 không rỗng Với x ∈ intS ta có x = ∑ni=0 λi với λi > 0, ∑ni=0 λi = (theo 2.5.1(d)) Với i ta có (cl f ) (ai ) = −∞ có dãy avi → cho f (avi ) → −∞ Khi đó, với v đủ lớn ta có biểu diễn x = ∑ni=0 λiv avi với λiv > 0, ∑ni=0 λiv = (xem 2.5.1(f)) Từ bất đẳng thức Jensen ta có f (x) ≤ ∑ni=0 λiv f (avi ) ≤ max f av0 , f (av1 ) , , f (avn ) → −∞ Do đó, f (x) = −∞ f không thường Định lý 2.8 (Nguyên lý đoạn thẳng) Một tập lồi C có intC = ∅ int (clC) = ∅ Trong trường hợp đó, với x0 ∈ intC x1 ∈ clC ta có (1 − τ) x0 + τx1 ∈ intC ∀τ ∈ (0, 1), intC lồi Ngoài ra, clC = cl (intC) intC = int (clC) Chứng minh Ta bắt đầu với giả thiết intC = ∅ Chọn ε0 đủ nhỏ cho hình cầu B (x0 , ε0 ) nằm intC Ta có B (x0 , ε0 ) = x0 + ε0 B với B = B (0, 1) Chú ý với giả thiết x1 ∈ clC có nghĩa x1 ∈ C + ε1 B, ε1 > 0,với số τ ∈ (0, 1) cố định bất kì, ta cần điểm xτ = (1 − τ) x0 + τx0 ∈ intC Với điều kiện đủ ta cần xτ + ετ B ⊂ C với ετ > Xét với ετ := (1 − τ) ε0 + τε1 với ε1 cố định nhận giá trị dương đủ nhỏ cho ετ > Theo công thức xτ + ετ B = (1 − τ) x0 + τx1 + ετ B ⊂ (1 − τ) x0 + τ (C + ε1 B) + ετ B = (1 − τ) x0 + (τε1 + ετ ) B + τC = (1 − τ) (x0 + ε0 B) + τC ⊂ (1 − τ)C + τC = C Trong tính lồi C B sử dụng Mệnh đề 2.4.3(c) Nếu x1 ∈ intC ta có xτ ∈ intC intC lồi Ta có, điểm clC xấp xỉ dọc theo đường thẳng điểm intC, 58 clC ⊂ cl (intC) mà ta có clC ⊃ cl (intC) nên clC = cl (intC) Mặt khác ta có intC ⊂ int (clC), tính không rỗng intC đồng với tính không rỗng int (clC) Với x¯ ∈ int (clC) ta cần x¯ ∈ intC Theo 2.5.1(e) đơn hình S = {a0 , , an } ⊂ clC có x¯ ∈ intS x¯ = ∑ni=0 λi với ∑ni=0 λi = 1, λi > (theo 2.5.1(d)) Xét C dãy avi → đặt Sv = av0 , , avn ⊂ C Với v lớn, Sv n-đơn hình, x¯ = ∑ni=0 λiv avi với ∑ni=0 λiv = λiv → λi (theo 2.5.1(d)) x¯ ∈ intC Mệnh đề 2.6.2 (Phần đồ thị tập mức) Với hàm lồi f Rn int (epi f ) = {(x, α) ∈ Rn × R|x ∈ int (dom f , f (x) < α)} int (lev≤α f ) = {x ∈ int (dom f ) | f (x) < α} vớiα ∈ (int f , ∞) ¯ ∈ int (epi f ) có hình cầu bao Chứng minh Rõ ràng, (x, ¯ α) ¯ nằm epi f , x¯ ∈ int (dom f ) f (x) ¯ quanh (x, ¯ α) ¯ < α Mặt khác, tính chất sau đảm bảo tồn đơn hình S = {a0 , a1 , , an } với x¯ ∈ intS ⊂ dom f , xem 2.5.1(e) Mỗi x ∈ S tổ hợp lồi ∑ni=0 λi thỏa mãn f (x) ≤ ∑ni=0 λi f (ai ) Theo bất đẳng thức Jensen ta có f (x) ≤ max { f (a0 , , f (an ))} Với α˜ = max { f (a0 , , f (an ))} ˜ ∞) nằm epi f Các đường thẳng đứng qua (x, ¯ tập mở intS × (α, ¯ α) ¯ chứa chứa điểm (x, ¯ α0 ) ∈ int (epi f ) với α0 > α, ¯ Tập epi f lồi f điểm (x, ¯ α1 ) ∈ epi f với α1 < α¯ f (x) ¯ < α lồi, theo nguyên lý đoạn thẳng 2.8 điểm nằm (x, ¯ α0 ) ¯ (x, ¯ α1 ) thuộc int (epi f ) Điều áp dụng với (x, ¯ α) trường hợp đặc biệt 59 Bây ta xem xét tập mức lev≤α¯ f Nếu x¯ ∈ int (dom f ) f (x) ¯ < α¯ ¯ thuộc epi f , f (x) ≤ α¯ với hình cầu bao quanh (x, ¯ α) x nằm lân cận x ¯ Khi x¯ ∈ int (lev≤α¯ f ) Ngược lại, x¯ ∈ int (lev≤α¯ f ) inf f < α¯ < ∞ Ta có x¯ ∈ int (dom f ), ¯ Với ε > đủ nhỏ, điểm có điểm x0 ∈ int (dom f ) với f (x0 ) < α x1 = x¯ + ε (x¯ − x0 ) thuộc lev≤α¯ f Khi đó, x¯ = (1 − τ) x0 + τx1 với τ = ¯ Ta điều 1/ (1 + ε) ta có f (x) ¯ ≤ (1 − τ) f (x0 ) + τ f (x1 ) < α phải chứng minh Định lý 2.9 (Tính liên tục hàm lồi) Hàm lồi f : Rn → R liên tục int (dom f ) cl f liên tục int (dom f ), tập int (dom (cl f )) ( f cl f nhận giá trị ∞ bên tập dom(cl f ) ) chẳng hạn bên tập cl(dom f ) Ngoài ta có: (cl f ) (x) = lim f ((1 − τ) x0 + τx1 ) với x x0 ∈ int (dom f ) τ→1− (2.10) Nếu f lsc có thêm tính liên tục bao lồi tập hữu hạn dom f Chẳng hạn đoạn thẳng dom f Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh với công thức bao đóng Ta có biểu thức cl f 1.7 (cl f ) (x) ≤ limτ→1− f ((1 − τ) x0 + τx) Vì thỏa mãn rằng: Nếu (cl f ) (x) ≤ α ∈ R lim supτ→1+ f ((1 − τ) x0 + τx) ≤ α Các giả thiết α có nghĩa (x, α) ∈ cl (epi f ), xem 1.6 Mặt khác, với số thực α0 > f (x0 ) ta có (x0 , α0 ) ∈ int (epi f ) ( theo Mệnh đề 2.6.2) Áp dụng nguyên lý đoạn thẳng 2.8 với tập lồi epi f , điểm (1 − τ) (x0 , α0 ) + τ (x, α) với τ ∈ (0, 1) thuộc int (epi f ) Đặc biệt, ta có f ((1 − τ) x0 + τx) < (1 − τ) α0 + τα với τ ∈ (0, 1) Lấy giới hạn hai vế τ → 1− ta có bất đẳng 60 thức cần chứng minh Khi áp dụng công thức bao đóng với x = x0 , dẫn đến trường hợp mà cl f đồng với f int (dom f ) Do f lsc int (dom f ) Nhưng f lại usc theo 1.2(b) kết hợp với đặc trưng int(epi f ) 2.6.2, f liên tục int (dom f ) Ta có int (dom f ) = int (dom (cl f )) theo 2.8 dom f ⊂ dom (cl f ) ⊂ cl (dom f ) Cũng tương tự ta có cl (dom f ) = cl (dom (cl f )) (theo 2.8) Bây ta xét tập hữu hạn C ⊂ dom f , với giả thiết f lsc Ta cần f liên tục conC Nhưng conC hợp tất đơn hình tạo điểm C Và có hữu hạn đơn hình Nếu hàm liên tục họ hữu hạn tập liên tục hợp chúng Ta cần rằng, liên tục với đơn hình S = a0 , a1 , , a p ⊂ dom f Để kí hiệu đơn giản ta tịnh tiến cho ∈ S ta xét tính liên tục Ta có biểu diễn p dạng tổ hợp lồi ∑i=0 λ¯i Tiếp theo ta chứng minh S hợp hữu hạn đơn hình khác có đỉnh cố định đỉnh khác Điều giúp ta cần xem xét tính liên tục đơn hình p Xét điểm x¯ = S biểu diễn qua tổ hợp lồi ∑i=0 λ¯i Các điểm xτ = (1 − τ) + τ x¯ nằm đường thẳng qua x¯ không nằm hoàn toàn S compact (theo 2.5.1) Vì phải có p số τ lớn với xτ ∈ S Ở ta có τ ≥ xτ = ∑i=0 µi với p µi = (1 − τ) λ¯i + τ λ˜i với ∑i=0 µi = 1, µi ≥ ∀i µi = i thỏa mãn λ¯i > λ˜i (hoặc τ lớn nhất) Ta giả sử µ0 = trường hợp đặc biệt λ¯0 > Từ x˜ nằm đoạn 61 thẳng nối với xτ , thuộc 0, a1 , , a p Nó đơn hình p ηi = không vecto a1 , , a p phụ thuộc tuyến tính tức có ∑i=1 p với hệ số ηi không đồng thời Không thể có ∑i=0 ηi = a0 , , a p độc lập afin, có trường hợp ta p xếp cho ∑i=0 ηi = Từ cách xác định η0 = ta kết luận từ p ηi − λ¯i với tính độc lập afin ηi = λ¯i với i = p = ∑i=0 p ∑i=0 ηi − λ¯i = Điều mâu thuẫn với λ¯0 > Ta có đơn hình S0 = 0, a1 , a p nằm dom f ta cần chứng minh f không lsc S0 0, giả thiết, usc Mọi p p λi với λi ≥ ∑i=0 λi ≤ điểm S0 có biểu diễn ∑i=0 điểm tiệm cận ta có hệ số bị triệt tiêu ( xem 2.5.1(c)) Các p giá trị tương ứng f bị chặn λ0 f (0) + ∑i=1 λi f (ai ) theo bất p đẳng thức Jensen, λ0 = − ∑i=1 λi lấy giới hạn hội tụ đến f (0) Vì vậy, lim supx→0 f (x) ≤ f (0) với x ∈ S0 Hệ 2.6.1 (Các hàm lồi hữu hạn) Một hàm lồi hữu hạn f tập mở , lồi O = ∅ Rn liên tục O Một hàm có mở rộng để hàm f thường, lsc lồi Rn với dom f ⊂ cl O Chứng minh: Áp dụng định lý với hàm lồi g giống với hàm f O nhận giá trị ∞ điểm khác Khi int (dom g) = O Hệ 2.6.2 (Hàm lồi với biến thực) Mọi hàm lsc, lồi f : R → R liên tục cl (dom f ) Chứng minh Điều dễ thấy từ 2.10 int (dom f ) = ∅, không trường hợp tầm thường 62 Chú ý rằng: Tính chất liên tục hàm lồi lúc thỏa mãn Ta xét ví dụ sau Ví dụ 2.6.1 (Tính không liên tục không bị chặn) Trên R2 xét hàm    x12 /(2x2 ) x2 >    f (x1 , x2 ) = x1 = x2 =      ∞ lại Ta thấy f lsc, thường, lồi dương Tuy nhiên, f không liên tục tập compact, lồi C = {(x1 , x2 ) |x1 ≤ x2 ≤ 1} ⊂ dom f , f liên tục đoạn thẳng C Đồng thời f không bị chặn trên C 63 64 Tài liệu tham khảo [1] PGS-TS Huỳnh Thế Phùng , Giải tích lồi, Đại học Khoa học Huế, 2009 [2] Nguyễn Xuân Liêm , Giải tích hàm, NXB Giáo Dục, 1997 [3] D Bertsekas, Convex Analysis and Optimization,Springer 2000 [4] R Roger J-B Wets, Variational analysis, Springer 1997 65 KẾT LUẬN Trong khóa luận này, em trình bày số kết liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ hàm ràng buộc khác Các tính chất tính lồi mối quan hệ tính lồi toán tối ưu số khái niệm tôpô Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô khoa Toán, thầy cô tổ Giải tích Tiến sĩ - Trần Văn Bằng Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Bùi Ngọc Mười 66 [...]... mà giá trị của nó là hữu hạn và có thể biểu diễn dưới dạng f1 (x¯1 ) + f2 (x¯2 ) với x¯1 + x¯2 = x¯ trong đó f1 liên tục tại x¯1 hoặc f2 liên tục tại x¯2 31 Chứng minh Theo Định lý 1.3 trong trường hợp cực tiểu hóa hàm f (w, x) = f1 (x − w) + f2 (w) theo ẩn w với x là tham số Tính đối xứng của f1 và f2 dẫn đến tính đối xứng của tính chất liên tục Phép cộng trên đồ thị có tính giao hoán và tính kết... họ, cho bởi (infi∈I fi ) (x) := infi∈I fi (x) (1.10) Mệnh đề 1.7.1 (Tính nửa liên tục dưới cực đại và cực tiểu theo từng thành phần) (a) supi∈I fi là lsc nếu mỗi fi là lsc (b) infi∈I fi là lsc nếu mỗi fi là lsc và tập chỉ số I là hữu hạn (c) supi∈I fi và infi∈I fi cùng liên tục khi mỗi fi liên tục và tập chỉ số I hữu hạn Chứng minh Trong (a) và (b) ta sử dụng Định lý 1.1: giao của các tập đóng là tập... chủ đề về biểu diễn các giá trị thực mở rộng , tính nửa liên tục và bị chặn mức xuất hiện rất nhiều khi nghiên cứu các bài toán cực tiểu hóa phụ thuộc tham số Từ bài toán cực tiểu hóa với n biến có thể được đưa về xét cực tiểu của một hàm duy nhất trên Rn miễn là giá trị vô hạn được thừa nhận Vì vậy một bài toán với n biến mà phụ thuộc vào m tham số cũng có thể được đưa về cực tiểu của một hàm duy nhất... tập tất cả các cặp (x, u) ∈ X ×U thỏa mãn |u − u| ¯ ≤ ε và f0 (x, u) ≤ α, và thỏa mãn tất cả các ràng buộc về chỉ số I1 và I2 , là tập bị chặn trong Rn × Rm Khi đó p là lsc trên U và với mỗi u ∈ U thỏa mãn p (u) < ∞, tập P (u) không rỗng và compact Nếu chỉ f0 phụ thuộc vào u, và các ràng buộc được thỏa mãn tại ít nhất một điểm x thì domp = U và p liên tục đối với U Trong trường hợp này , nếu xv ∈... tại của giá trị nhỏ nhất Ta đã biết rằng: Một hàm liên tục trên tập compact thì đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đó Bây giờ với các tập không có tính compac ta đi tìm điều kiện để một hàm đạt giá trị nhỏ nhất trên đó 17 Định nghĩa 1.4.1 (Tính bị chặn mức) Hàm f : Rn → R là bị chặn mức ( dưới) nếu với mọi α ∈ R tập lev≤α f là bị chặn( có thể rỗng) Định lý 1.2 (Sự tồn tại của giá trị nhỏ nhất)... dụ 1.6.1 và 1.7.1: dC = δC |·| , eλ f = f 1 2 |·| 2λ (1.12) Tính chất 1.8.1 (Tính chất của phép cộng trên đồ thị) Cho f1 và f2 là lsc và chính thường trong trong Rn , với một tập đóng B ⊂ Rn và α ∈ Rn Khi đó tập {(x1 , x2 ) ∈ Rn × Rn | f1 (x1 ) + f2 (x2 ) ≤ α : x1 + x2 ∈ B bị chặn (Khẳng định vẫn đúng với giả thiết một hàm là bị chặn mức và hàm còn lại bị chặn dưới ), khi đó f1 f2 là lsc và chính... lý 1.3 (Cực tiểu hóa phụ thuộc tham số) Xét: p (u) := infx f (x, u) , P (u) := argminx f (x, u) trong đó, f : Rn × Rm → R là một hàm chính thường, lsc sao cho f (x, u) là bị chặn mức theo x đều địa phương theo u (a) Hàm p là chính thường và lsc trên Rm ,và với mỗi u ∈ domp tập P (u) không rỗng và compact, và P (u) = ∅ khi u ∈ / domp (b) Giả sử xv ∈ P (uv ) là dãy có tính chất uv → u¯ ∈ domp và p (uv... Mệnh đề 1.8.1 (Tính chất của hợp trên đồ thị) Cho hàm f : Rn → R là chính thường và lsc Và F : Rn → Rm liên tục Giả sử với mỗi α ∈ R và u ∈ Rm thì tập {x| f (x) ≤ α, F (x) ∈ B (u, ε)} là bị chặn với mọi ε > 0 Khi đó hàm hợp trên đồ thị F f : Rm → R là chính thường và lsc, và định nghĩa cận dưới đúng của (F f ) (u) được thỏa mãn tại mọi u mà nó là hữu hạn Chứng minh Đặt f¯ (x, u) = f (x) khi u = F (x) và. .. chặn mức và chính thường Khi đó giá trị inf f là hữu hạn và tập argmin f không rỗng và compact Chứng minh Đặt α¯ = inf f Vì f chính thường nên α¯ < ∞ Với α ∈ ¯ ∞) tập lev≤α f không rỗng , nó đóng vì f là lsc (xem 1.1) và bị chặn (α, ¯ ∞) cũng là tập compact và có vì f là mức bị chặn Tập lev≤α f với α ∈ (α, lev≤α f ⊂ lev≤β f khi α < β Giao của họ các tập mà lev≤α¯ f = argmin f là không rỗng và compact... toán cực tiểu hóa hàm f (x, u) theo x = (x1 , , xn ) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử miền biến thiên của u là toàn bộ Rm , vì nếu u chỉ thuộc một tập con U của Rm thì ta có thể coi f (x, u) = ∞ với u ∈ / U Định nghĩa 1.6.1 (Bị chặn mức đều) Hàm f : Rn × Rm → R với các 22 giá trị f (x, u) gọi là bị chặn theo x đều địa phương theo u nếu với mỗi u¯ ∈ Rm và α ∈ R có một lân cận V ⊂ N (u) ¯ và một ... tính lồi" Vì em chọn đề tài " Tính lồi vấn đề cực trị" nhằm tìm hiểu sâu vấn đề tối ưu vai trò tính lồi toán tối ưu Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận bao gồm hai chương: Chương 1: Giá trị. .. đó, f lồi Một ví dụ tính lồi 2.4.3(a) f (x) = Ax − b với ma trận A, vector b dạng chuẩn · Một vài ví dụ tính lồi lồi nghiêm ngặt hàm 2.4.3(b) là: • f (x) = eg(x) lồi g lồi, lồi nghiêm ngặt g lồi. .. lồi hàm fi lồi Mệnh đề 2.4.1 (Ảnh ánh xạ tuyến tính) Nếu L : Rn → Rm tuyến tính L(C) lồi Rm với tập lồi C ⊂ Rn L−1 (D) lồi Rn với tập lồi D ⊂ Rm Chứng minh Khẳng định có từ định nghĩa tính lồi