đồ thị
Cho hàm f1 :Rn →R và f2 :Rn →R. Tổng trên đồ thị của chúng là hàm f1]f2 :Rn→Rxác định bởi:
(f1]f2) (x):=infx1+x2=x{f1(x1+ f2(x2))}
=infw{f1(x−w) + f2(w)}=infw{f1(w) + f2(x−w)}. (1.11) (Ở đây biểu thức tổng bên trong infØivitrnghpkhnghuhnØccoil∞−∞=
∞).
Ví dụ phép cộng trên đồ thị là phép toán trong Ví dụ 1.6.1 và 1.7.1:
dC =δC]|·|, eλ f = f] 1
2λ |·|2 (1.12)
Tính chất 1.8.1(Tính chất của phép cộng trên đồ thị). Cho f1 và f2 là lsc và chính thường trong trongRn, với một tập đóngB⊂Rn vàα ∈Rn. Khi đó tập
{(x1,x2)∈Rn×Rn| f1(x1) + f2(x2) ≤α : x1+x2 ∈B
bị chặn
(Khẳng định vẫn đúng với giả thiết một hàm là bị chặn mức và hàm còn lại bị chặn dưới ), khi đó f1]f2 là lsc và chính thường. Hơn nữa, f1]f2
liên tục tại tất cả các điểmx¯ mà giá trị của nó là hữu hạn và có thể biểu diễn dưới dạng f1(x¯1) + f2(x¯2) vớix¯1+x¯2 =x¯trong đó f1 liên tục tại x¯1 hoặc f2 liên tục tạix¯2.
Chứng minh. Theo Định lý 1.3 trong trường hợp cực tiểu hóa hàm
f(w,x) = f1(x−w) + f2(w) theo ẩnw với x là tham số. Tính đối xứng của f1 và f2 dẫn đến tính đối xứng của tính chất liên tục.
Phép cộng trên đồ thị có tính giao hoán và tính kết hợp. Công thức trong trường hợp có nhiều hơn hai hàm có dạng :
(f1]f2]..]fr) (x):=infx1+x2+..+xr=x{f1(x1) + f2(x2) +..+ fr(xr)} Ta có f]δ{0} = f với mọi f, trong đó δ{0} là chỉ số của tập có một phần tử{0}.
Phép nhân trên đồ thị với vô hướngλ ≥0kí hiệu là λ∗ f được xác định bởi công thức (λ∗ f) (x):=λf λ−1xvới λ >0 (0∗ f) (x):=
0khix=0và f không trùng với∞ ∞ còn lại
(1.13)
Ta định nghĩa: Tịnh tiến của tậpCtheo vectoalàC+a:={x+a|x∈C}. Tích vô hướng và tổng Minkowski của các tập trongRn được cho bởi:
λC :={λx|x∈C}, C
τ =τ−1C,−C= (−1)C,
C1+C2 :={x1+x2|x1 ∈C1,x2 ∈C2},
C1−C2 :={x1−x2|x1 ∈C1,x2 ∈C2}.
Nói chung,C1+C2 được hiểu là hợp của tất cả các tịnh tiếnC1+x2 của tậpC1 theo vectorx2 ∈C2, hay cũng chính là tịnh tiếnC2+x1 của tậpC2 theo vectorx1 ∈C1. Tổng và tính vô hướng Minkowski trong các trường hợp đặc biệt được sử dụng với các lân cận.
B(x,ε) =x+εB vớiB:=B(0,1) (hình cầu đơn vị đóng).
Tương tự với một tậpC ⊂Rn và ε >0. TậpC+εB bao gồm tất cả các điểmxnằm trong một số hình cầu đóng bán kínhε xung quanh các điểm củaC.
Ví dụ 1.8.1(Tổng và tích trên đồ thị).
(a) Cho hàm f1 và f2 trên Rn, tổng trên đồ thị f1]f2 thỏa mãn epi(f1]f2) =epif1+epif2
Khi inf trong định nghĩa của f1]f2 tồn tại và hữu hạn. Khi định nghĩa này tồn tại ta luôn có
{(x,α)|(f1]f2) (x)<α}={(x1,x2)|f1(x1)<α1}+{(x2,α2)|f2(α2)<α2}
(b) Cho hàm f và vô hướng λ >0, tích trên đồ thịλ∗ f thỏa mãn epi(λ∗ f) =λ(epif)
Với λ =0 thìλ(epif) nói chung không là trên đồ thị. 0epif ={(0,0)} khi f 6=∞, và0epif =∅ khi f =∞.
Ngoài ra, ta luôn có
λ ∗(f1]f2) = (λ ∗ f1)](λ ∗ f2)
λ1∗(λ2∗ f) = (λ1λ2)∗ f với λ1 ≥0,λ2 ≥0
Tính chất 1.8.2(Phép tính với các tập chỉ số, khoảng cách và bao).
(a) δC+D =δC+δD, δλC =λ ∗δC(λ >0)
(c) eλ 1+λ2 f =eλ 1 eλ 2 vớiλ1>0,λ2 >0. Ví dụ 1.8.2(vector lớn nhất và hàm logarit). Các hàm
vecmax(x):=max{x1, ..,xn}, logexp(x):=log(ex1+..+exn)
vớix= (x1, ..,n)∈Rn. Ta có ước lượng:
ε∗logexp−εlog n≤vecmax≤ε∗logexp∀ε >0 (1.14) Với mọi hàm trơn f1, .., fmtrênRnlà thành phần của ánh xạF :Rn→Rm. Thông thường, các hàm không trơn
f(x) =vecmax(F(x)) =max{f1(x), .., fm(x)} có thể được xấp xỉ đều bởi một hàm trơn
fε(x) = (ε∗logexp) (F(x)) =εlog e f1(x) ε +..+efmε(x)
Chứng minh. Với µ =vecmax(x), ta cóeµε ≤∑nj=1ex jε ≤neµε. Lấy log- arit và nhân vớiε ta có biểu thức trên. Từ các bất đẳng thức ta có các hàm
ε∗logexphội tụ đến hàm vecmax khi ε →0+.
Một phép toán khác thông qua một hàm mới được xây dựng trong bài toán cực tiểu hóa đó là phép hợp trên đồ thị. Đó là sự kết hợp của một
hàm f :Rn→Rvới một ánh xạF :Rn→Rm để được hàmF f :Rm →R xác định bởi công thức:
(F f) (u):=inf{f(x)|F(x) =u} (1.15)
Bài tập 1.5(Trên đồ thị của hàm hợp). Cho hàm f :Rn →Rvà ánh xạ
epiF f ={(F(x),α)|(x,α)∈epi f}
khi cận dưới đúng trong định nghĩa của F f (u) tồn tại và hữu hạn. Khi cận dưới đúng này tồn tại, ta luôn có
{(u,α)|(F f (u)<α)}={(F(x),α)|f(x) <α}
Hợp trên đồ thị trong công thức 1.15 rõ ràng là một trường hợp đặc biệt của bài toán cực tiểu hóa phụ thuộc tham số trong đó vector tham số
ucho bởi vế phải của biểu thức ràng buộc.
Mệnh đề 1.8.1(Tính chất của hợp trên đồ thị). Cho hàm f :Rn →Rlà chính thường và lsc. Và F :Rn →Rm liên tục. Giả sử với mỗi α ∈R và
u∈ Rm thì tập {x|f (x)≤α,F(x)∈B(u,ε)} là bị chặn với mọi ε >0. Khi đó hàm hợp trên đồ thịF f :Rm →Rlà chính thường và lsc, và định nghĩa cận dưới đúng của(F f) (u) được thỏa mãn tại mọiu mà nó là hữu hạn.
Chứng minh. Đặt f¯(x,u) = f (x) khi u=F(x) và f¯(x,u) = ∞ khi u6= F(x). Khi đó, (F f) (u) = infxf¯(x,u). Áp dụng Định lý 1.3 ta có ngay điều phải chứng minh.
Chương 2
Tính lồi