Mệnh đề 2.2.1 (Tính lồi của các tập mức). Cho hàm f :Rn →R, mọi tập mức có dạng lev≤α f và lev<α f là lồi.
Nếu các tập mức có dạng lev≥α f và lev>α f lồi thì f là lõm. Các tập có dạng lev=αf lồi khi hàm f đồng thời vừa lồi vừa lõm.
Ta kí hiệuhx,yilà các chuẩn trongRn
hx,yi=x1y1+...+xnyn vớix= (x1, ..,xn),y= (y1, ..,yn).
Định nghĩa 2.2.1 (Hàm afin, nửa mặt phẳng và nửa không gian). Một hàm f trên Rn được gọi là afin nếu nó sai khác hàm tuyến tính chỉ một hằng số.
f (x) =ha,xi+β vớia∈Rn vàβ ∈R.
Mọi hàm afin vừa lồi vừa lõm. Giống như các tập mức của các hàm afin, mọi tập có dạng{x| hx,ai ≤α}và{x| hx,ai ≥α}cũng như các tập {x| hx,ai <α} và {x| hx,ai>α} là lồi trong Rn và điều đó cũng đúng với tất cả các tập có dạng {x| hx,ai=α}. Với a6=0 và α hữu hạn, các tập này là các nửa không gian trongRn gồm các nửa không gian đóng và các nửa không gian mở liên hợp với chúng.
Mệnh đề 2.2.2(Phần giao, cực đại theo từng thành phần và giới hạn theo từng thành phần).
(a) T
i∈ICi lồi nếu mỗi tậpCi lồi
(b) supi∈Ifi lồi nếu mỗi hàm fi lồi
(c) supi∈I fi lồi nghiêm ngặt nếu mỗi hàm fi lồi nghiêm ngặt
(c) f lồi nếu f(x) =limsupvfv(x) với mọixvà mỗi fv là lồi
Chứng minh. Các khẳng định này suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 2.1.1. Chú ý rằng (b) là trên đồ thị của (a), vì thế cực đại theo từng điểm của hệ các hàm tương ứng với việc lấy giao của các trên đồ thị của chúng.
Với một tập bất kìC⊂Rn. Tập hợp các điểm thỏa mãn hệ ràng buộc x∈Xvà fi(x)≤0∀i∈ I1 fi(x) =0∀i∈ I2
Là lồi nếu tập X ⊂Rn lồi và các hàm fi là lồi với i ∈I1 nhưng afin với
i∈I2 .
Ví dụ 2.2.1(Các tập đa diện và các tập afin). Một tậpC⊂Rn được gọi làtập đa diệnnếu chúng biểu diễn được dưới dạng giao của họ hữu hạn các nửa không gian đóng hoặc các nửa mặt phẳng. Nói cách khác, nó thỏa mãn các ràng buộc tuyến tính như fi(x)≤0hoặc fi(x) =0với fi là các hàm afin.
C được gọi là tập afin nếu nó chỉ biểu diễn được dưới dạng giao của các nửa mặt phẳng. Tức là nó chỉ biểu diễn dưới các ràng buộc có dạng
fi(x) =0 với fi afin.
Các tập afin là một trường hợp của các đa diện , trong khi các tập đa diện là các tập đóng, lồi đặc biệt. Tập rỗng và toàn bộ không gian là các tập afin .
Ví dụ 2.2.2 (Đặc trưng của các tập afin). Với một tập không rỗngC ⊂ Rn, các tính chất sau tương đương.
(a) C là tập afin
(b) C là tập tịnh tiến M+p của không gian con tuyến tính M trong Rn bởi vector p.
(d) C chứa mọi cặp điểm nằm trên đường thẳng qua chúng: Nếux0 ∈C
vàx1∈C thì(1−τ)x0+τx1∈C, ∀τ ∈(−∞,∞).