Tính lồi và vấn đề cực trị

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN BÙI NGOC MƯèI TÍNH LOI VÀ VAN ĐE CUC TR± KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Ngành: Tốn Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc: TS TRAN VĂN BANG Hà N®i - 2011 LèI CÃM ƠN Lòi đau tiên cúa khóa lu¾n em xin gúi lòi cám ơn sâu sac tói thay giáo hưóng dan TS.Tran Văn Bang Thay giao đe tài t¾n tình hưóng dan em q trình hồn thành khóa lu¾n Nhân d%p em xin gúi lòi cám ơn cúa tói tồn b® thay giáo khoa Tốn giáng day giúp đõ chúng em suot trình hoc tai khoa H Nđi, ngy 10 thỏng 05 năm 2011 Sinh viên Bùi Ngoc Mưèi LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Khóa lu¾n cơng trình nghiên cúu cúa riêng tơi Trong nghiên cúu khóa lu¾n này, tơi ke thùa thành q cúa nhà khoa hoc cúa thay vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 10 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Bùi Ngoc Mưèi Mnc lnc Chương Giá tr% nhat giá tr% nhó nhat 1.1 Mđt so khỏi niắm mé đau 1.2 Phương pháp phat ràng bu®c 11 1.3 Trên đo th% tính nNa liên tnc 13 1.4 SN ton tai cúa giá tr% nhó nhat 17 1.5 Tính liên tnc, bao đóng đ® tăng 19 1.6 SN phn thu®c tham so 22 1.7 Bao Moreau 27 1.8 Phép c®ng đo th% phép nhân đo th% 31 Chương Tính loi .37 2.1 T¾p loi hàm loi 37 2.2 Các t¾p mNc phan giao 41 2.3 Tiêu chuan kiem tra tính loi bang đao hàm 44 2.4 Tính loi phép tốn 49 2.5 Bao loi 54 2.6 Bao đóng tính liên tnc 57 Me ĐAU Lý chon đe tài Toi ưu theo m®t nghĩa ln xu hưóng tat yeu cúa tn nhiên Vi¾c nghiên cúu q trình toi ưu nhi¾m thưòng trnc cúa ngưòi nham thóa mãn nâng cao hiắu quỏ cỳa hoat đng song Trong toỏn hoc, tốn toi ưu hóa van đe liên quan thu hút đưoc sn quan tâm cúa rat nhieu nhà tốn hoc the giói Giái tích bien phân mơn hoc t¾p chung nghiên cúu van đe liên quan tói "Giá tr% lón nhat giá tr% nhó nhat" cúa hàm, phiem hàm Chúng ta biet, đoi vói hàm vi theo nghĩa co đien, có m®t ket q quan đ%nh lý Weirstrass nói rang: Moi hàm liờn tnc trờn mđt compact eu at giỏ tr% lón nhat giá tr% nhó nhat Van đe đ¾t vói t¾p khơng có tính compact ho¾c hàm khơng nhat thiet liên tnc ? Thnc te có rat nhieu ket sâu sac ve đe M®t tính chat rat quan cúa t¾p hop cúa hàm so liên quan đen hau het ket cúa toi ưu " tính loi" Vì v¾y em chon đe tài " Tính loi van đe cnc tr%" nham tìm hieu sâu ve van đe toi ưu vai trò cúa tính loi đoi vói toỏn toi u Cau trỳc khúa luắn Nđi dung khóa lu¾n bao gom hai chương: Chương 1: Giá tr% lón nhat giá tr% nhó nhat Chương 2: Tính loi Mnc đích nghiên cNu Bưóc đau làm quen vói nghiên cúu khoa hoc tìm hieu sâu ve toán toi ưu van đe liên quan đen tốn toi ưu Các tính chat có liên quan đen tính loi vai trò cúa tính loi tốn toi ưu Các đieu ki¾n e kiem tra tớnh loi cỳa mđt hay mđt hàm so Phương pháp nghiên cNu Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh tong hop Chương Giá tr% nhat giá tr% nhó nhat 1.1 M®t so khái ni¾m mé đau Đ%nh nghĩa 1.1.1 T¾p giỏ tr% thnc mú rđng, kớ hiắu R cho búi cơng thúc R := [−∞, +∞] Đ%nh nghĩa 1.1.2 (C¾n trờn cỳa mđt tắp) A oc goi l cắn trờn cúa t¾p M neu ∀x ∈ M : x ≤ A Đ%nh nghĩa 1.1.3 (C¾n đúng) Ta goi supM c¾n cúa M neu c¾n bé nhat c¾n cúa M Đ%nh ngha 1.1.4 (Cắn dúi cỳa mđt tắp) Ta goi A c¾n dưói cúa t¾p n khơng rong Vói x ∈ intS ta có x = i=0 ∑n λiai vói λi > 0, ∑ λi = ( t h e o ( d ) ) V ó i m o i i i=0 ta có (cl f )(ai ) = −∞ the có m®t dãy nghĩa x1 av → cho f (av) → −∞ Khi đó, vói v đú lón ta có bieu dien x = ∑n ∈ vói λ v >n0, ∑ i f ( x ) ≤ i i=0 i i λvv a i=0 i v v λ f (a ) ≤ max f av , f (av ) , , f (av ) → −∞ ε1B, ε1 > o m®t so τ ∈ (0, ε 1) co đ%nh τ bat kì, ta can chí > rang điem = (1 − τ) x0 + n i=0 i h xτ ∑ c + C 0,vói λ v = (xem 2.5.1(f)) Tù bat thúc Jensen ta có i τx0 ∈ intC i n Do đó, f (x) = −∞ f khơng thưòng Đ%nh lý 2.8 (Ngun lý ve oan thang) Mđt loi C cú intC ƒ= ∅ chí int (clC) ƒ= ∅ Trong trưòng hop đó, vói x0 ∈ intC x1 ∈ clC ta có (1 − τ) x0 + τx1 ∈ intC ∀τ ∈ (0, 1), intC loi Ngoài ra, clC = cl (intC) intC = int (clC) Vói đieu T đú h cúa ta e can chí o ki¾n rang xτ + ετ B ⊂ C c vói ετ > Xét vói ετ n := (1 − τ) g + Chúng minh Ta bat đau vói giá thiet ε0 intC ƒ= ∅ Chon ε0 đú nhó cho hình vói ε1 co t cau B(x0 , ε0) nam intC Ta có đ%nh nh¾n h giá tr% ú dương đú c B(x0 , ε0) = x0 + ε0B vói B = B(0, 1) Chú ý rang vói giá thiet x1 ∈ clC có nhó τε1 xτ + ετ B = (1 − τ) x0 + τx1 + ετ B ⊂ (1 − τ) x0 + τ (C + ε1B) + ετ B = (1 − τ) x0 + (τε1 + ετ ) B + τC = (1 − τ)(x0 + ε0B) + τC ⊂ (1 −τ)C + τC = C Trong tính loi cúa C B đưoc sú dnng M¾nh đe 2.4.3(c) Neu x1 ∈ intC ta có xτ ∈ intC v¾y intC loi Ta có, moi điem cúa clC có the đưoc xap xí doc theo m®t đưòng thang bói điem intC, v¾y clC ⊂ cl (intC) mà ta ln có clC ⊃ cl (intC) nên clC = cl (intC) M¾t khác ta ln có intC ⊂ int (clC), v¾y tính khơng rong cúa intC đong nhat vói tính khơng rong cúa int (clC) Vói moi x¯ ∈ int (clC) ta can chí rang x¯ ∈ intC Theo 2.5.1(e) moi đơn hình S = {a0 , , an} ⊂ clC x¯ ∈ intS có x¯ = ∑n λiai vói ∑ni=0 λi = 1, λi > (theo 2.5.1(d)) Xét C dãy i=0 = iS→ đ¾t S a0 , , an ⊂ C Vói v lón, m®t n-đơn av hình, x¯ = ∑n v v i i v λ v = λ v → λi (theo 2.5.1(d)) λ nv av vói ∑ i=0 x¯ ∈ intC v i=0 i i M¾nh đe 2.6.2 (Phan cúa đo th% t¾p múc) Vói m®t hàm loi f Rn int (epi f ) = {(x, α) ∈ Rn × R|x ∈ int (dom f , f (x) < α)} int (lev≤α f ) = {x ∈ int (dom f ) | f (x) < α} vóiα ∈ (int f , ∞) Chúng minh Rõ ràng, neu (x¯, α¯ ) ∈ int (epi f ) se có m®t hình cau bao quanh (x¯, α¯ ) nam epi f , the x¯ ∈ int (dom f ) f (x¯) < α¯ M¾t khác, neu tính chat sau đưoc đám báo ton tai m®t đơn hình S = {a0 , a1 , , an } vói x¯ ∈ intS ⊂ dom f , xem 2.5.1(e) Moi x ∈ S m®t to hop loi ∑n λiai thóa mãn f (x) ≤ ∑n λi f (ai) Theo bat thúc i=0 i=0 Jensen ta có f (x) ≤ max { f (a0 , , f (an ))} = max { f (a0, , f Vói α˜ (an))} t¾p mó intS × (α˜ , ∞) nam epi f Các đưòng thang qua (x¯, α¯ ) the chúa điem (x¯, α0 ) ∈ int (epi f ) vói α0 > α¯ , chúa điem (x¯, α1 ) ∈ epi f vói α1 < α¯ the f (x¯) < α¯ T¾p epi f loi f loi, theo nguyên lý ve đoan thang 2.8 moi điem nam giua (x¯, α0 ) (x¯, α1 ) thu®c int (epi f ) Đieu đưoc áp dnng vói (x¯, α¯ ) trưòng hop đ¾c bi¾t Bây giò ta xem xét t¾p múc lev≤α¯ f Neu x¯ ∈ int (dom f ) f (x¯) < α¯ moi hình cau bao quanh (x¯, α¯ ) thu®c epi f , f (x) vói moi ≤ α¯ x nam lân c¾n cúa x¯ Khi x¯ ∈ int (lev≤α¯ f ) inf f < α¯ x¯ ∈ int (lev≤α¯ f ) Ngưoc lai, neu < ∞ Ta có x¯ ∈ int (dom f ), có m®t điem x0 ∈ int (dom f ) vói f (x0 ) < α¯ Vói ε > đú nhó, điem x1 = x¯ + ε (x¯ − x0 ) thu®c lev≤α¯ f Khi đó, x¯ = (1 − τ) x0 + τx1 vói τ= 1/ (1 + ε) ta có f (x¯) ≤ (1 − τ) f (x0 ) + τ f (x1 ) < α¯ Ta đưoc đieu phái chúng minh Đ%nh lý 2.9 (Tính liên tnc cúa hàm loi) Hàm loi f : Rn → R liên tnc int (dom f ) cl f liên tnc int (dom f ), t¾p int (dom (cl f )) ( f cl f nh¾n giá tr% ∞ bên ngồi t¾p dom(cl f ) ) chang han ó bên ngồi cúa t¾p cl(dom f ) Ngồi ta có: (cl f )(x) = lim f ((1 − τ) x0 + τx1 ) vói moi x neu x0 ∈ int (dom f ) − τ→1 (2.10) Neu f lsc có thêm tính liên tnc đoi vói bao loi cúa moi t¾p huu han cúa dom f Chang han đoan thang dom f Chúng minh Đau tiên ta chúng minh vói cơng thúc bao đóng Ta có bieu thúc bán cúa cl f 1.7 (cl f )(x) ≤ limτ→1− f ((1 − τ) x0 + τx) Vì v¾y se thóa mãn rang: Neu (cl f )(x) ≤ α ∈ R lim supτ→1+ f ((1 − τ) x0 + τx) ≤ α Các giá thiet α có nghĩa (x, α) ∈ cl (epi f ), xem 1.6 M¾t khác, vói moi so thnc α0 > f (x0) ta có (x0, α0) ∈ int (epi f ) ( theo M¾nh đe 2.6.2) Áp dnng nguyên lý ve đoan thang 2.8 vói t¾p loi epi f , moi điem (1 − τ)(x0 , α0) + τ (x, α) vói τ ∈ (0, 1) thu®c int (epi f ) Đ¾c bi¾t, ta có f ((1 − τ) x0 + τx) < (1 − τ) α0 + τα vói τ ∈ (0, 1) Lay giói han cá hai ve τ → 1− ta có bat thúc can chúng minh Khi áp dnng cơng thúc bao đóng vói x = x0, dan đen trưòng hop mà cl f đong nhat vói f int (dom f ) Do f lsc int (dom f ) Nhưng f lai usc ó theo 1.2(b) ket hop vói đ¾c trưng cúa int(epi f ) 2.6.2, f liên tnc int (dom f ) Ta có int (dom f ) = int (dom (cl f )) theo 2.8 dom f ⊂ dom (cl f ) ⊂ cl (dom f ) Cũng tương tn v¾y ta có cl (dom f)= cl (dom (cl f )) (theo 2.8) Bây giò ta xét mđt huu han C dom f , vúi giá thiet rang f lsc Ta can chí rang f liên tnc đoi vói conC Nhưng conC hop cúa tat cá đơn hình đưoc tao bói điem cúa C Và chí có huu han đơn hình ó Neu m®t hàm liên tnc m®t ho huu han t¾p liên tnc hop cúa chúng Ta can chí rang, liên tnc vói moi đơn hình S = a0 , a1 , , a p ⊂ dom f Đe kí hi¾u đưoc đơn gián ta có the t%nh tien cho ∈ S ta xét tính liên tnc tai Ta có bieu dien nhat dưói dang m®t to hop loi p ∑ λ¯ a i=0 i i Tiep theo ta chúng minh S hop cúa huu han đơn hình khác có m®t đính co đ%nh đính khác Đieu giúp ta chí can xem xét tính liên tnc m®t đơn hình Xét moi điem x¯ ƒ= S bieu dien qua m®t to hop p loi ∑ λ¯ a i=0 i i Các điem xτ = (1 − τ) + τx¯ nam đưòng thang qua x¯ có the khơng nam hồn tồn S compact (theo 2.5.1) Vì the phái có m®t so τ lón nhat vói xτ ∈ S ta có τ ≥ xτ = ∑ p i=0 µiai vói p µi = (1 − τ) i + i vói ∑ i=0 µi = 1, ó µi ≥ ∀i µi = tai τλ˜ ¯ λ nhat m®t i thóa mãn > (ho¾c τ khơng phái lón nhat) Ta có the i λ¯ λ˜ giá i sú µ0 = trưòng hop đ¾c bi¾t > Tù x˜ nam đoan λ¯ thang noi vói xτ , thu®c 0, a1, , ap Nó m®t đơn hình neu p khơng vecto a1, , ap se phn thu®c tuyen tính túc có ∑ ηiai = i=1 p vói h¾ so ηi khơng đong thòi bang Khơng the có ∑ i=0 ηi = a0 , , a p l đc lắp afin, vỡ vắy neu có trưòng hop ta có the sap xep cho ∑ p η = i=0 i Tù cách xác đ%nh η0 = ta có the ket lu¾n tự tớnh đc lắp afin rang i = p i=0 η ∑ p vói i = p = ∑ η λ¯i − vói i − λ¯ = Đieu mâu thuan vói > i i=0 λ¯ i Ta có m®t đơn hình S0 = 0, a1, a p nam dom f ta can chúng i minh rang f khơng lsc đoi vói S0 tai 0, giá thiet, usc Moi điem cúa S0 có m®t bieu dien nhat p λi ≤ i=0 λiai vói λi ≥ ∑ p ∑ i=0 điem ti¾m c¾n ta có h¾ so b% tri¾t tiêu ( xem 2.5.1(c)) Các giá tr% tương úng cúa f b% ch¾n bói λ0 f (0) + ∑ λ f i=1 i p (ai) theo bat thúc Jensen, λ0 = −i=1 λi lay giói han h®i tn ∑ p đen f (0) Vì v¾y, lim supx→0 f (x) ≤ f (0) vói x ∈ S0 H¾ q 2.6.1 (Các hàm loi huu han) M®t hàm loi huu han f trờn mđt mú , loi O = ∅ Rn liên tnc O M®t hàm có mó r®ng nhat đe hàm f thưòng, lsc loi Rn vói dom f ⊂ cl O Chúng minh: Áp dnng đ%nh lý vói hàm loi g giong vói hàm f O nh¾n giá tr% ∞ ó nhung điem khác Khi int (dom g) = O H¾ q 2.6.2 (Hàm loi vói m®t bien thnc) Moi hàm lsc, loi f : R → R liên tnc đoi vói cl (dom f ) Chúng minh Đieu de thay tù 2.10 int (dom f ) ƒ= ∅, neu không trưòng hop tam thưòng Chú ý rang: Tính chat liên tnc cúa hàm loi khơng phái lúc đưoc thóa mãn Ta xét ví dn sau Ví dn 2.6.1 (Tính khơng liên tnc khơng b% ch¾n) Trên R2 xét hàm   x2/(2x2) x2 >  f (x1, x2) =  x1 = x2 =   ∞ lai Ta thay f lsc, thưòng, loi thuan nhat dương Tuy nhiên, f không liên tnc đoi vúi mđt compact, loi C = {(x1, x2) |x1 ≤ x2 ≤ 1} ⊂ dom f , m¾c dù f liên tnc đoi vói moi đoan thang C Đong thòi f khơng b% ch¾n trên C Tài li¾u tham kháo [1] PGS-TS Huỳnh The Phùng , Giái tích loi, Đai hoc Khoa hoc Hue, 2009 [2] Nguyen Xuân Liêm , Giái tích hàm, NXB Giáo Dnc, 1997 [3] D Bertsekas, Convex Analysis and Optimization,Springer 2000 [4] R Roger J-B Wets, Variational analysis, Springer 1997 KET LU¾N Trong khóa lu¾n này, em trình bày m®t so ket q liên quan đen giá tr% lón nhat giá tr% nhó nhat cúa m®t hàm ràng bu®c khác Các tính chat cúa tính loi moi quan h¾ giua tính loi đoi vói tốn toi ưu m®t so khái ni¾m tơpơ Tuy có nhieu co gang thòi gian có han nên van đe khóa lu¾n van chưa đưoc trình bày sâu sac khơng the tránh khói có nhung sai sót Mong đưoc sn góp ý xây dnng cúa thay ban Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay khoa Tốn, thay to Giái tích Tien sĩ Tran Văn Bang Em xin chân thành cám ơn! Hà N®i, ngày 10 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Bùi Ngoc Mưèi ... Chương 2: Tính loi Mnc đích nghiên cNu Bưóc đau làm quen vói nghiên cúu khoa hoc tìm hieu sâu ve tốn toi ưu van đe liên quan đen tốn toi ưu Các tính chat có liên quan đen tính loi vai trò cúa tính. .. phép nhân đo th% 31 Chương Tính loi .37 2.1 T¾p loi hàm loi 37 2.2 Các t¾p mNc phan giao 41 2.3 Tiêu chuan kiem tra tính loi bang đao hàm 44 2.4 Tính loi phép tốn 49... ∞ có tính chat đưòng thang (x.R) := {x}× R khơng giao vói epi f Các điem mà f (x) = −∞ có tính chat đưòng thang nam hồn tồn epi f Vì sn tương úng giua hàm f đo th% cúa m®t-m®t nên moi tính