Tâm tỉ cự

Một số ứng dụng của tâm tỉ cự trong hình học không gian ..... Trong chương trình hình học ở phổ thông học sinh được biết đến các khái niệm tâm tỉ cự không tường minh dưới dạng đặc biệt:

Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 1

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa toán, đặc biệt các thầy cô trong tổ hình học trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khoá luận của mình

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Đinh Văn Thủy,

người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài khoá luận này

Do bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khóa luận của

em không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được sự chỉ bảo đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Đỗ Thị Ngân

Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 2

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan rằng khóa luận tốt nghiệp này là do bản thân em tự nghiên cứu, tìm tòi, tổng hợp và trích dẫn trung thực từ các tài liệu tham khảo

cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Đinh Văn Thuỷ, không trùng

với kết quả báo cáo của các tác giả khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Đỗ Thị Ngân

Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 3

MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu 4

Chương 1: Các kiến thức liên quan 5

§1 Không gian afin 5

§2 Tọa độ afin 6

§3 Phẳng trong không gian afin 7

§4 Hệ điểm độc lập 7

§5 Tâm tỉ cự 8

Chương 2: Các bài tập về tâm tỉ cự ………10

§1 Một số tính chất của tâm tỉ cự 10

§2 Ứng dụng của tâm tỉ cự để giải toán trong hình học phẳng 15

2.2.1 Bài toán tính toán 15

2.2.2 Bài toán chứng minh 18

2.2.3 Bài toán quỹ tích 30

2.2.4 Bài toán dựng hình 34

§3 Một số ứng dụng của tâm tỉ cự trong hình học không gian 44

Kết luận 53

Tài liêu tham khảo 54

MỞ ĐẦU

Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 4

1 Lí do chọn đề tài:

Tâm tỉ cự là một khái niệm hình học được trình bày ở bậc cao đẳng,

đại học, khi chúng ta làm quen với môn hình học afin Từ tiếng anh của tâm tỉ

cự là Barycenter (trung tâm của trọng lực hay trọng tâm) Lịch sử của trang

web Toán tại Đại học St Andrews ở Scotland đã tín dụng Mobius (1790-1868) khi ông nghiên cứu về tâm tỉ cự Năm 1827 ông xuất bản „Calcul barycentrische Mobius Der‟ một cuốn sách nghiên cứu biến đổi hình học về đường thẳng và đường cônic Các tính năng mới của tác phẩm này là sự ra đời của toạ độ trọng tâm

Trong chương trình hình học ở phổ thông học sinh được biết đến các khái niệm tâm tỉ cự không tường minh dưới dạng đặc biệt: trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, và trọng tâm của tứ diện Để góp phần phần làm rõ khái niệm tâm tỉ cự, tính thống nhất giữa khái niệm này với các khái niệm mà học sinh đã biết ở phổ thông nêu trên, em đi sâu nghiên cứu về

lí thuyết tâm tỉ cự, một số tính chất và ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán hình học

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản, một số tính chất và ứng dụng của tâm tỉ cự trong việc giải các bài toán hình học

- Xây dựng hệ thống bài tập mẫu và bài tập tự luyện

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu : tâm tỉ cự

- Phạm vi nghiên cứu: một số tính chất và ứng dụng của tâm tỉ cự trong việc giải một số bài toán hình học phẳng, hình học không gian

4 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan

(1) Với mọi M A, với mọi xr V, ! N A: MNuuuur=xr

(2) Với mọi M,N,P A : MNuuuur+ NPuuur=MPuuur

Thì (A,V, ) được gọi là không gian afin

Trong đó: V: là nền của không gian afin

: là ánh xạ liên kết, ánh xạ gắn

Mỗi phần tử của A gọi là điểm (afin)

Nếu dimV=n thì không gian afin đó gọi là không gian afin n chiều

Tương tự có không gian 2

A là tập các điểm của mặt phẳng hình học Cho V là không gian véctơ n chiều, xétA =V

Cho An là không gian afin n chiều có nền V, với O An và {eur1,euur2, ,euurn}

là cơ sở của V, ta gọi {O; eur1,euur2, ,euurn} là mục tiêu afin hay hệ toạ độ afin của

n

A O gọi là gốc của mục tiêu , euri là véctơ cơ sở thứ i của mục tiêu

1.2.2 Định nghĩa toạ độ của điểm

Trong không gian afin n chiều An cho mục tiêu afin ta gọi

{O; eur1,euur2, ,euurn}

+ Với mỗi M n

A , khi đó có thể biểu thị một cách duy nhất:

OMuuuur=x e1 1ur x e2 2uur x enuurn

Bộ số (x , x , , x ) gọi là toạ độ afin của điểm M đối với mục tiêu đã cho, kí 1 2 nhiệu M=(x ,x , ,x ) hay M(1 2 n x , x , , x ) 1 2 n

+Với véctơ vr bất kì của V cũng biểu thị được duy nhất dưới dạng:

Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 7

Trong An=( A, ,V ) cho điểm I n An, không gian véctơ con m chiều

W V Tập hợp n {M A | IMn uuur W}, kí hiệu là =(I,W)

Gọi là phẳng m chiều (hay m-phẳng) xuất phát từ I, có phương W Kí hiệu ur

Hệ m+1 điểm A ,A , ,A (m 1) của không gian afin 0 1 m An gọi là độc lập nếu m véctơ A A , A A , , A Auuuuur uuuuur0 1 0 2 uuuuuur0 m của urA là hệ véctơ độc lập tuyến tính

Hệ gồm một điểm A bất kì (tức trường hợp m=0) luôn được xem là độc lập 0

Ta chú ý rằng trong định nghĩa này A không đóng vai trò gì đặc biệt so với 0các điểm A khác i

Hệ không độc lập còn gọi là hệ phụ thuộc

1.4.2 Tính chất

Trong An:

+ Có tối đa n+1 điểm độc lập

+Mọi hệ m điểm (m>n+1) là hệ phụ thuộc

Vậy là cái phẳng qua m+1 điểm đã cho

Mặt khác: do là phẳng qua A và có phương 0 ur nên là phẳng duy nhất qua A ,A , ,A 0 1 m

Hệ quả:

m+1 điểm của không gian An là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng nằm trên một (m-1)-phẳng (m 1)

§5 TÂM TỈ CỰ 1.5.1 Định nghĩa tâm tỉ cự

An là không gian afin trên trường K Cho họ m điểm {P ,P , ,P } gắn 1 2 m

với các hệ số { 1, 2, , m}, i K, thoả mãn điều kiện := m i

i 1 i

i 1

1

OPuuur do

m i

i 1

0 (1)

Đẳng thức (1) chứng tỏ điểm G xác định và duy nhất

1.5.3 Trọng tâm của hệ điểm

Tâm tỉ cự G của hệ {P ,P , ,P } gắn với {1 2 m 1, 2, , m} trong trường hợp các i bằng nhau, gọi là trọng tâm của hệ điểm {P ,P , ,P } Khi đó G xác 1 2 m

định bởi m i

i 1

GPuuur 0r hay

m i

- Khi m=2 thì trọng tâm G của hệ 2 điểm {p ,p } còn được gọi là trung 1 2điểm của đoạn [p ,p ] 1 2

- Nếu thay các hệ số i,( i 1, m,

m i

i 1

0 ) bởi các hệ số k i, k K\{0} thì tâm tỉ cự G không thay đổi

Chương 2: CÁC BÀI TẬP VỀ TÂM TỈ CỰ

§1 Một số tính chất của tâm tỉ cự

j k 1

'' nên ' '' 0 (6)

Từ (5),(6) suy ra: G là tâm tỉ cự của họ 2 điểm G‟,G” gắn với họ hệ số ', ''

Bài 2

Cho p điểm M ,M , ,M của không gian afin 1 2 p An có G là tâm tỉ cự ứng

m ,m , ,m với m1 m2 mk 0 Chứng minh rằng tâm tỉ cự G nói

m GCuuur m CHuuur m HMuuuur m CMuuuuuuur 0r (1)

Vì H là tâm tỉ cự của hệ điểm M ,M , ,M với các hệ số 1 2 k m ,m , ,m nên 1 2 k

Bài giải Gọi G là trọng tâm của hệ điểm P ,P , ,P thì: 1 2 m

Với mọi O n

A :

m i

Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 13

Gọi G‟ là trọng tâm của hệ con k+1 điểm P ,P , ,P thì: 1 2 k

k i

m i

Cho 4 điểm phân biệt P ,P ,P ,P Xét các đường thẳng đi qua một trong 1 2 3 4

4 điểm đó và đi qua trọng tâm của 3 điểm còn lại (có 4 đường thẳng như vậy) Lại xét các đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai trong 4 điểm đó và đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm còn lại (có 3 đường thẳng như vậy) Chứng minh rằng 7 đường thẳng nói trên cùng đi qua 1 điểm

Bài 2

P P P P Suy ra 7 đường thẳng đồng qui tại G

Mở rộng cho hệ m điểm phân biệt:

Ta chia hệ m điểm thành 2 tập N và N‟ khác và không giao nhau Khi đó các đường thẳng nối trọng tâm của hệ điểm trong N và hệ điểm trong N‟ đồng qui tại G là trọng tâm của hệ m điểm ban đầu

Bài 2: Gọi O là gốc toạ độ và G là tâm tỉ cự của hệ điểm M ,M , ,M 1 2 k

30MB MCuuur uuur 0r; 4NAuuur NCuuur 0r; 14KAuuur KBuuur 0r

Gọi D là giao điểm của AM và CK, E là giao điểm của BN và AM, F là giao điểm của CK và BN Hãy tính diện tích tam giác DEF theo s

Bài giải

Từ giả thiết ta có M là tâm tỉ cự của hai điểm B, C với bộ số (30, 1) N là tâm

tỉ cự của hai điểm A, C với bộ số (4, 1) Như vậy E là tâm tỉ cự của hai điểm

1

30

=450451

Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 16

Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I, J lần lượt là tâm tỉ cự của họ

hai véctơ AB,ACuuur uuur

ur uur uur uuur uuur

Gọi M là trung điểm của BC Ta có AM 1(AB AC)

2uuuur uuur uuur

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:

uuur uuuur uuur uuur uuur uuur

uur uur uuur uuur uuur uuur

Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) có BC=a, AC= b, AB=c

a) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng I là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {a, b, c}

b) Tính OI

Bài giải a) Kẻ phân giác AA‟, BB‟, CC‟ lần lượt của góc A, B,Cµ µ µ

Ta dựng hình bình hành ANIM sao cho C‟ thuộc IN và B‟ thuộc IM

Khi đó: AIuur AMuuuur ANuuur

uur uur uur

aIAuur bIB cICuur uur 0r

b) Do tam giác ABC nội tiếp (O; R) nên OA=OB=OC=R ta có:

aIA bIB cIC 0

uur uur uur r

uuur uur uuur uur uuur uur r

(a b c)OIuur aOAuuur bOBuuur cOCuuur

uur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Cho tam giác ABC xét MNuuuur 2MA 3MB kMCuuuur uuur uuur (k là hằng số) Chứng

tỏ rằng đường thẳng MN luôn qua một điểm cố định hoặc phương không đổi

uur uuur uuur

Suy ra I cố định

Ta lại có:

uuuur uuur uur uuur uur uuur uur

Suy ra MN,MIuuuur uuur cùng phương

Hay MN qua điểm I cố định

- Nếu k=1

uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur

uuuur uuur uuur

(véctơ không đổi)

Suy ra đường thẳng MN có phương không đổi

Bài 2

Cho 5 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Gọi là một tam giác có 3 đỉnh trong 5 đỉnh đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng (d) chứng minh rằng với mọi cách chọn khác nhau, đường thẳng qua trọng tâm của và trung điểm của đoạn thẳng (d) luôn qua một điểm

cố định

Bài giải Gọi A,B,C,D,E là 5 điểm đã cho Xét tam giác ABC với trọng tâm G và đoạn thẳng DE có chung điểm M

Với mọi điểm I thì:

(IAuur IBuur IC)uur (IDuur IE)uur 3IGuur 2IMuuur

Chọn I là trọng tâm của hệ điểm A,B,C,D,E thì:

uur uur uur uur uur r

Cho tam giác ABC với điểm M bất kì trong tam giác

S MAuuuur S MB S MCuuur uuur 0r

Bài giải Gọi A‟ là giao điểm của đường thẳng MA với BC

uuuur uuur uuur

uuuur uuur uuur r

(đpcm)

Sau đây là một số ứng dụng của tâm tỉ cự cùng với bài toán trên:

Cho tam giác ABC gọi G,H,O,I,J lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp trong góc

A của tam giác

Ta có các hệ thức sau:

a) GA GB GCuuur uuur uuur 0r

b) tan A.HAuuur tan B.HB tan C.HCuuur uuur 0r với tam giác ABC không vuông

c) sin 2A.OA sin 2B.OB sin 2C.OCuuur uuur uuur 0r

d) a.IAuur b.IB c.ICuur uur 0r

e) a.JAuur b.JB c.JCuur uur 0r

f) (tan A tan B).OCuuur (tan B tan C).OAuuur (tan C tan A)OBuuur 0r

Áp dụng bài toán trên:

uuur uuur uuur r

Hay GA GB GCuuur uuur uuur 0r

b)Khi M H thì Sa S BHC

ta có:

S AA ' tan ABC tan ABC tan B.tan C

tan A.tan B.tan C

Suy ra tan A.HAuuur tan B.HB tan C.HCuuur uuur 0r

c)Nếu A 90o A,O cùng phía đối với BC

1

2

Áp dụng bài toán trên với M O thì:

sin 2A.OA sin 2B.OB sin 2C.OCuuur uuur uuur 0r

d)Áp dụng bài toán trên với M I ta có:

Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 23

Suy ra: a.IAuur b.IB c.ICuur uur 0r

Các câu e,f cũng chứng minh tương tự

Sau đây là một số bài toán ứng dụng của bài toán 3:

Bài 4

Cho tam giác ABC đều tâm O M là điểm bất kì trong tam giác Hạ MD,

ME, MF lần lượt vuông góc với BC, AC, AB Chứng minh rằng:

3

2uuuur uuur uuur uuuur

Bài giải Gọi AA‟, BB‟, CC‟ là các đường cao trong tam giác

2Suuuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur

uuuuruuuur

Gọi I là điểm trong tam giác ABC sao cho: IAB· IBC· ICA· (điểm

sin B; 2

IB

;sin C ; 2

ICsin A mỗi không vượt

quá tổng hai số kia

Bài gải

Áp dụng bài toán 3 ta có: Sa S BIC 1.a.IB.sin

2 (*) A

I

Theo định lí hàm số sin ta có: IB 2R sin c

( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB) c

4R sin AThay vào biểu thức:

sin B sin C sin A

sin B sin C sin A

A

B

C N

Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 26

BC.IM MC.IB MB.IC

a.IM (p c)IC (p b)IB

uuur uur uur do MC.BMuuur MB.CMuuur 0r

Tương tự: b.IN (p a)IA (p c)IC

c.IP (p b)IB (p a)IA

Suy ra:

aIM bIN cIP (2p b c)IA (p a c)IB (p a b)IC

aIA bIB cIC0

uur uur uurr

Chứng minh rằng: với mọi điểm N thuộc mặt phẳng (ABC) ta đều có:

uuur uuuur uuur uuur uuur uuur

uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur

uuuur uuur uuur

Trong đó S là diện tích tam giác MBC, 1 S là dt tam giác MCA, 2 S là dt tam 3giác MAB Và S MA1uuuur S MB S MC2uuur 3uuur 0r

Nên NA.sin NB.sin NC.sin MA.sin MB.sin MC.sin (đpcm) Dấu „ ‟ xảy ra khi và chỉ khi điểm M trùng N

Bài 8 <Hệ thức Lagrange>

Trong mặt phẳng cho k điểm P ,P , ,P và k số 1 2 k 1, 2, , k

a) Nếu

k i

i 1

0 thì gọi G là tâm tỉ cự của hệ điểm P ,P , ,P và gắn với 1 2 k

A ,A , ,A và hệ điểm B ,B , ,B Chứng minh: 1 2 n

a) Với mọi điểm M ta có:

Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 30

Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm P ,P , ,P gắn với họ hệ số 1 2 k 1, 2, , k thì

Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M sao cho:

(2MAuuuur 3MB).(MAuuur uuuur 2MB)uuur 0

Bài giải Gọi G là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B} gắn với họ hệ số {2, -3} G cố định

Gọi G‟ là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B} gắn với họ hệ số {1, 2} G‟ cố định

Khi đó với điểm M bất kì trong mặt phẳng ta có:

2MAuuuur 3MBuuur (2 3)MGuuuur MGuuuur

Do tam giác ABC đều cạnh a nên GA GB GC 2 a 3 a 3

Suy ra M thuộc đường tròn tâm G, bán kính bằng a

Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn tâm G, bán kính bằng a, với G là trọng tâm tam giác ABC

Bài 3

Cho tam giác ABC

a) Tìm quỹ tích điểm M sao cho:

| MA 3MB 2MC | | 2MA MB MC |uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur (1)

b) Tìm quỹ tích điểm M sao cho:

| 2MAuuuur MB | | 4MB MC |uuur uuur uuur (2)

Bài giải a) Gọi E là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {1, 3, -2} E

cố định

Với điểm M bất kì trong mặt phẳng ta có:

MA 3MB 2MC (1 3 2)ME 2ME

uuuur uuur uuur uuur uuur

Mặt khác: Gọi F là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {2, -1, 1} F cố định Ta có:

2MAuuuur MBuuur MCuuur (2 1 1)MFuuur 2MFuuur

Suy ra (1) | 2ME | | 2MF |uuur uuur

ME MF

Do đó M thuộc đường trung trực của EF

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF với E, F lần lượt là tâm tỉ

cự của hệ điểm {A, B, C} ứng với các họ hệ số: {1, 3, -2} và {2, -1, 1}

b)Gọi P là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B} gắn với họ hệ số {2, 1} P cố định

Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 33

Với điểm M bất kì trong mặt phẳmg ta có:

2MAuuuur MBuuur (2 1)MPuuur 3MPuuur

Gọi Q là tâm tỉ cự của hệ điểm {B, C} gắn với họ hệ số {4, -1} Q cố định

Ta có 4MBuuur MCuuur (4 1)MQuuuur 3MQuuuur

Do đó: (2) 3| MP | 3| MQ |uuur uuuur

MP MQ

Do đó M thuộc đường trung trực của PQ

Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của PQ với P, Q lần lượt là tâm tỉ cự của các hệ điểm {A, B}, {B, C} lần lượt gắn với họ các hệ số {2, 1} và {4, -1}

*) Nhận xét

Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát:

Trong mặt phẳng cho k điểm A ,A , ,A (1 2 k k 2) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

b) Xác định M trong tam giác ABC sao cho:

2 | MAuuuur MB MC | | MAuuur uuuur uuuur 2MB 3MC |uuur uuuur

Bài giải a) Gọi I là tâm tỉ cự của {A,B,C} với họ hệ số {5,-7,-1}

5MAuuuur 7MBuuur MCuuur (5 7 1)MIuuur 3MIuuur

Suy ra | 5MA 7MB MC | 3| MI |uuuur uuur uuur uuur

Vậy | 5MA 7MB MC |uuuur uuur uuuur nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên BC