Tâm tỉ cự

Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa toán, đặc biệt thầy cô tổ hình học trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Đinh Văn Thủy, người tận tình hướng dẫn em suốt trình nghiên cứu đề tài khoá luận Do bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Đỗ Thị Ngân Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp thân em tự nghiên cứu, tìm tòi, tổng hợp trích dẫn trung thực từ tài liệu tham khảo với hướng dẫn tận tình thầy giáo Đinh Văn Thuỷ, không trùng với kết báo cáo tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Đỗ Thị Ngân Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Chương 1: Các kiến thức liên quan §1 Không gian afin §2 Tọa độ afin §3 Phẳng không gian afin §4 Hệ điểm độc lập §5 Tâm tỉ cự Chương 2: Các tập tâm tỉ cự …………………………………10 §1 Một số tính chất tâm tỉ cự 10 §2 Ứng dụng tâm tỉ cự để giải toán hình học phẳng 15 2.2.1 Bài toán tính toán 15 2.2.2 Bài toán chứng minh 18 2.2.3 Bài toán quỹ tích 30 2.2.4 Bài toán dựng hình 34 §3 Một số ứng dụng tâm tỉ cự hình học không gian 44 Kết luận 53 Tài liêu tham khảo 54 MỞ ĐẦU Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp Lí chọn đề tài: Tâm tỉ cự khái niệm hình học trình bày bậc cao đẳng, đại học, làm quen với môn hình học afin Từ tiếng anh tâm tỉ cự Barycenter (trung tâm trọng lực hay trọng tâm) Lịch sử trang web Toán Đại học St Andrews Scotland tín dụng Mobius (1790-1868) ông nghiên cứu tâm tỉ cự Năm 1827 ông xuất „Calcul barycentrische Mobius Der‟ sách nghiên cứu biến đổi hình học đường thẳng đường cônic Các tính tác phẩm đời toạ độ trọng tâm Trong chương trình hình học phổ thông học sinh biết đến khái niệm tâm tỉ cự không tường minh dạng đặc biệt: trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện Để góp phần phần làm rõ khái niệm tâm tỉ cự, tính thống khái niệm với khái niệm mà học sinh biết phổ thông nêu trên, em sâu nghiên cứu lí thuyết tâm tỉ cự, số tính chất ứng dụng việc giải toán hình học Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu kiến thức bản, số tính chất ứng dụng tâm tỉ cự việc giải toán hình học - Xây dựng hệ thống tập mẫu tập tự luyện Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu : tâm tỉ cự - Phạm vi nghiên cứu: số tính chất ứng dụng tâm tỉ cự việc giải số toán hình học phẳng, hình học không gian Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan Chương 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp §1 Không gian afin 1.1.1 Định nghĩa Cho V – không gian véctơ trường K, A tập tùy ý A Nếu có ánh xạ: : A V A uuuur (M, N) MN (M, N) a Thỏa mãn tiên đề: r uuuur r A , với x V, ! N A : MN = x uuuur uuur uuur (2) Với M,N,P A : MN + NP = MP (1) Với M Thì ( A ,V, ) gọi không gian afin Trong đó: V: không gian afin : ánh xạ liên kết, ánh xạ gắn Mỗi phần tử A gọi điểm (afin) Nếu dimV=n không gian afin gọi không gian afin n chiều Kí hiệu: A n An 1.1.2 Ví dụ Không gian hình học phổ thông không gian afin chiều, có không gian véctơ hình học “phép nối 2điểm có thứ tự (M,N)” để có véctơ đoạn thẳng có hướng Tương tự có không gian A tập điểm mặt phẳng hình học Cho V không gian véctơ n chiều, xét A =V : Thì A A V ur r r ur (m ,n )a n -m ánh xạ thoả mãn tiên đề Do A không gian afin n chiều (thường gọi không gian afin xây dựng tắc từ V) 1.1.3 Tính chất uuur r +) AA = , A A Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp uuur r +) AB = A B uuur uuur uuur uuur +) AB = CD AC = BD uuur uuur +) BA =- AB uuur uuur uuur +) AB = OB OA O A § Toạ độ afin 1.2.1 Mục tiêu toạ độ ur uur uur Cho A n không gian afin n chiều có V, với O A n { e1 , e , , e n } ur uur uur sở V, ta gọi {O; e1 , e , , e n } mục tiêu afin hay hệ toạ độ afin ur A n O gọi gốc mục tiêu , ei véctơ sở thứ i mục tiêu 1.2.2 Định nghĩa toạ độ điểm Trong không gian afin n chiều A n cho mục tiêu afin ta gọi ur uur uur {O; e1 , e , , e n } + Với M A n , biểu thị cách nhất: ur uur uur uuuur OM = x1 e1 x e2 x n en Bộ số ( x1,x , ,x n ) gọi toạ độ afin điểm M mục tiêu cho, kí hiệu M=( x1,x , ,x n ) hay M( x1,x , ,x n ) r +Với véctơ v V biểu thị dạng: ur uur uur r v = v1 e1 v e2 v n e n r Bộ số ( v1,v2 , ,vn ) gọi tọa độ afin v mục tiêu cho, kí hiệu r r v =( v1,v2 , ,vn ) hay v ( v1,v2 , ,vn ) Rõ ràng M = ( x1,x , ,x n ), N = ( y1, y2 , , yn ) thì: uuuur MN (y1 x1, y x , , y n x n ) §3 Phẳng không gian afin 1.3.1 Định nghĩa Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp , Vn ) cho điểm I A n , không gian véctơ m chiều uuur n n {M A | IM W} , kí hiệu =(I,W) W V Tập hợp ur Gọi phẳng m chiều (hay m-phẳng) xuất phát từ I, có phương W Kí hiệu Trong A n =( A , W Rõ ràng với J ta có uuur {M A n | JM W} Vậy điểm đóng vai trò điểm xuất phát 1.3.2 Chú ý Với m=0 0-phẳng 1điểm m=1 1-phẳng đường thẳng m=2 2-phẳng mặt phẳng m=n-1 (n-1)-phẳng siêu phẳng m=n ta có = An §4 Hệ điểm độc lập 1.4.1 Định nghĩa Hệ m+1 điểm A0 ,A1, ,Am (m 1) không gian afin A n gọi độc lập uuuuur uuuuur uuuuuur ur m véctơ A A1,A A , ,A 0A m A hệ véctơ độc lập tuyến tính Hệ gồm điểm A (tức trường hợp m=0) xem độc lập Ta ý định nghĩa A không đóng vai trò đặc biệt so với điểm A i khác Hệ không độc lập gọi hệ phụ thuộc 1.4.2 Tính chất Trong A n : + Có tối đa n+1 điểm độc lập +Mọi hệ m điểm (m>n+1) hệ phụ thuộc Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp +Mọi hệ độc lập A0 ,A1, ,Am , m0, 1, tồn , , n r tức là: (1) i Với vị trí M, ta có: n n i MA i i uuur uuur (MI IA i ) i i n i MI n i i IA i uuur 2MI i uuur i IA i (2) n i Từ (1) (2) suy ra: n i i MA i n i MI i n i IA i (3) i Từ (3) suy với vị trí M ta có: n i MA i i n i IA i i Dấu “=” xảy MI=0 hay M I Như đại lượng n i MA i đạt giá trị nhỏ i n i IA i i M trung với tâm tỉ cự I n đỉnh A1,A2 , ,An theo số Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 1, , , 43 n Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp §3 Một số ứng dụng tâm tỉ cự hình học không gian Qua ví dụ cho thấy tâm tỉ cự công cụ sắc bén để giải toán hình học phẳng Đối với hình học không gian toán sau minh chứng cho điều Bài Trên đáy ABC hình chóp OABC lấy điểm M Chứng minh: OM.S OA.S ABC BMC OB.S AMC OC.S AMB Bài giải Tiếp tục áp dụng toán mục 3.2.2 ta có: uuuur uuur uuur r Sa MA Sb MB Sc MC uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur r Sa (OA OM) Sb (OB OM) Sc (OC OM) uuuur uuur uuur uuur (Sa Sb Sc )OM Sa OA Sb OB Sc OC uuuur uuur uuur uuur S ABC | OM | Sa | OA | Sb | OB | Sc | OC | Bài Gọi M điểm tứ diện ABCD gọi Va VMBCD ,Vb VMACD ,Vc VMABD ,Vd VMABC uuuur uuur uuur uuuur r Chứng minh rằng: Va MA Vb MB Vc MC Vd MD Bài giải Gọi A‟ giao điểm AM (BCD) Áp dụng toán mục 3.2.2 ta có: uuuur uuuur uuuur r S A 'CD A'B S A 'BD A'C S A 'BC A'D uuur uuur uuuur S A 'CD MB S A 'BD MC S A 'BC MD uuuur (S A 'CD S A 'BD S A 'BC )MA' uuuur S BCD MA' Mặt khác ta có: VMACD VAA 'CD MA' AA' S S A 'DC Vb VMA 'BD VAA 'BD A 'BD Vc S VMACD VMABD VAA 'CD VAA 'BD S S A 'CD A 'BD A 'BC Vd Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 44 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp uuur uuur uuuur uuuur Vậy ta có Vb MB Vc MC Vd MD kMA' uuuur uuur uuur uuuur uuuur Suy Va MA Vb MB Vc MC Vd MD phương với MA uuuur uuur uuur uuuur uuur Tương tự: Va MA Vb MB Vc MC Vd MD phương với MB uuuur uuur uuur uuuur r Hay Va MA Vb MB Vc MC Vd MD Bài Cho tứ diện ABCD Tìm tứ diện cho tứ diện MBCD, MABD, MABC tích Bài giải uuuur uuur uuur uuuur r Áp dụng toán ta có: Va MA Vb MB Vc MC Vd MD Va Vb Vc Vd uuuur uuur uuur uuuur r MA MB MC MD Hay M trọng tâm tứ giác Bài ta xét M tứ diện, với điểm M không gian sao? Bài Cho tứ diện ABCD Lấy A’, B’, C’, D’ thuộc mặt phẳng đối diện A,B,C,D cho ABCD A’B’C’D’ có trọng tâm Tìm vị trí A’, B’, C’, D’ để AA’, BB’, CC’, DD’ đồng qui Bài giải Giả sử AA‟, BB‟, CC‟, DD‟ đồng qui M uuuur uuur uuur uuuur r Khi ta có Va MA Vb MB Vc MC Vd MD MA uuuur MB uuur MC uuur MD uuuur r Va AA ' Vb BB' Vc CC' Vd DD' AA ' BB' CC' DD' Do ABCD A‟B‟C‟D‟ có trọng tâm nên : uuuur uuur uuur uuuur r AA' BB' CC' DD' Do AA‟, BB‟, CC‟, DD‟ không đồng phẳng nên ta có: Va MA AA ' Vb MB BB' Vc MC CC' Vd Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán MD (*) DD' 45 Trường ĐHSP Hà Nội Đặt Va V MA ' AA ' Suy x x, Vb V MB' BB' y, Vc V MC' CC' z, Vd V MD' DD' t y z t Từ (*) ta có: x(1 x) Nên x Khóa Luận Tốt Nghiệp y z t y(1 y) z(1 z) t(1 t) Hay M trọng tâm tứ diện A‟, B‟, C‟, D‟ trọng tâm tứ diện mặt đối đỉnh A, B, C, D Bài Trong không gian cho tứ diện ABCD Hãy xác định vị trí trọng tâm G tứ diện Bài giải uuur uuur uuur uuur r Do G trọng tâm tứ diện ABCD nên GA GB GC GD Gọi M, N trung điểm AB, CD Suy ra: uuur uuur uuuur GA GB 2GM uuur uuur uuur GC GD 2GN Suy uuuur uuur r 2GM 2GN uuuur uuur r GM GN Hay G trung điểm MN Như vậy: trọng tâm G tứ diện ABCD trung điểm MN với M, N trung điểm AB, CD *) Nhận xét: + Do vai trò điểm A, B, C, D nên ta xác định vị trí điểm G trung điểm PQ với P, Q trung điểm AC, BD G trung điểm RS với R, S trung điểm AD, BC Do ta có: Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 46 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp “ trọng tâm tứ diện trung điểm đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh đối diện.” + Bài toán xét trường hợp mở rộng tứ diện thành hình chóp S.ABCD ta có toán: “ Cho hình chóp S.ABCD Hãy xác định vị trí trọng tâm hệ điểm {S, A, B, C, D} ” Lời giải: Gọi M, N trung điểm AB, CD Ta có: uuur uuur uuuur GA GB 2GM uuur uuur uuur GC GD 2GN uuuur uuur uur Gọi I trung điểm MN, ta có: GM GN 2GI Do G trọng tâm hệ điểm {S, A, B, C, D} nên ta có: uuur uuur uuur uuur uuur r GA GB GC GD GS uuuur uuur uuur r 2GM 2GN GS uur uuur r 4GI GS uuur uur GS IS uuur Vậy trọng tâm hệ điểm xác định hệ thức GS uur IS I trung điểm MN, với M, N trung điểm AB, CD + Bài toán xét trường hợp tứ diện mở rộng thành hình hộp ta có toán: “Cho hình hộp ABCD.A‟B‟C‟D‟ Hãy xác định vị trí trọng tâm G hệ điểm A, B,C,D,A‟,B‟,C‟,D‟ ” Lời giải: Do ABCD.A‟B‟C‟D‟ hình hộp nên AA‟C‟C, ADC‟B‟, BDD‟B‟ hình bình hành Gọi O tâm hình bình hành AA‟C‟C Do O trung điểm AC‟ A‟C O trung điểm DB‟ trung điểm BD‟ Do ta có: Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 47 O Trường ĐHSP Hà Nội uuur OA uuuur OA' uuur OD uuur OB uuuur OC' uuur OC uuuur OB' uuuur OD' r r r r Khóa Luận Tốt Nghiệp uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur r OA OC' OA' OC OD OB' OB OD' O G trọng tâm hệ điểm A, B,C,D,A‟,B‟,C‟,D‟ Do G giao điểm AC‟, A‟C Bài Trong không gian cho tứ diện ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ tâm tỉ cự hệ điểm {A, B}, {B, C}, {C, D}, {D, A} gắn với họ hệ số {1, 2} uuur r uuur r uuur r Đặt AB b, AC c, AD d uuuuur uuuuur uuuuur r r r Hãy tính véctơ: A'B',A'C',A'D' theo véctơ b,c,d Bài giải Do A‟ tâm tỉ cự hệ điểm {A, B} gắn với họ hệ số {1, 2} nên: uuuur uuuur r A'A 2B'B uuuur uuuur uuur r A'A 2(A'A AB) uuuur uuur A'A AB uuuur 2r A'A b Tương tự B‟, C‟, D‟ tâm tỉ cự hệ điểm {B, C}, {C, D}, {D, A} gắn với họ hệ số {1, 2} nên: uuuur uuuur r uuuur uuur uuuur uuur r ) B'B 2B'C B'A AB 2(B'A AC) uuuur uuur uuur B'A (AB 2AC) uuuur r r B'A (b 2c) Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 48 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp uuuur uuuur r ) C'C 2C'D uuuur uuur uuuur C'A AC 2(C'A uuuur uuur uuur C'A (AC 2AD) uuuur r r C'A (c 2d) uuuur uuuur r uuuur uuur uuuur )D'D 2D'A D'A AD 2D'A uuuur uuur D'A AD uuuur 1r D'A d Do ta có: uuuuur uuuur uuuur A 'B' A 'A B'A uuuuur uuuur uuuur A 'C' A 'A C'A uuuuur uuuur uuuur A 'D' A 'A D'A r 2r r b (b 2c) 3 r 2r r b (c 2d) 3 uuur r AD) r 1r 2r b c 3 r 1r b c 3 2r d 2r 1r b d 3 *) Nhận xét Từ toán ta có toán tổng quát: “ Trong không gian cho tứ diện ABCD Gọi A‟, B‟, C‟, D‟ tâm tỉ cự hệ điểm {A, B}, {B, C}, {C, D}, {D, A} gắn với họ hệ số uuur r uuur r uuur r {1, k} với k k -1 Đặt AB b, AC c, AD d Hãy tính véctơ uuuuur uuuuur uuuuur r r r A'B',A'C',A'D' theo véctơ b,c,d Lời giải tóm tắt: Bằng cách tương tự trình bày toán trên, ta nhận kết quả: uuuuur k r k r A 'B' b c k k uuuuur k r r k r A 'C' b c d k k k uuuuur k r r A'D' b d k k Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 49 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp Bài tập Bài Trong không gian, cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD O trọng tâm tứ điện Chứng minh rằng: A, O, G thẳng hàng Bài Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác BCD Tính độ dài AG theo a Bài Trong không gian cho 3điểm A, B, C cố định không thẳng hàng Tìm tập hợp điểm M cho: uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur | MA MB MC | | 2MA MB MC | Bài Trong không gian cho tia OA, OB, OC đôi vuông góc OA=a, OB=b, OC=c Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính OG theo a, b, c Hướng dẫn giải: Bài 1: Gọi M, N trung điểm AB, CD ta có: uuur uuur uuuur OA OB 2OM uuur uuur uuur OC OD 2ON Vì O trọng tâm tứ diện ABCD nên: uuur uuur uuur uuur r OA OB OC OD uuuur uuur r 2OM 2ON uuuur uuur r OM ON O trung điểm MN uuur ur uuur r uuur r Đặt AB m, AC n, AD p Do G trọng tâm tam giác BCD nên: uuur uuur uuur uuur ur r r AG (AB AC AD) (m n p) 3 (1) Do O trung điểm MN nên: Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 50 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp uuur AO uuuur uuur 1 uuur uuur uuur (AM AN) AB (AC AD) 2 2 uuur uuur uuur (AB AC AD) ur r r = (m n p) (2) Từ (1) (2) suy ra: uuur uuur 3AG 4AO A, O, G thẳng hàng (đpcm) Bài 2: Do ABCD tứ diện cạnh a nên ABC, ACD, ABD tam giác cạnh a AB AC AD a · · · BAC CAD BAD 60o uuur uuur · a.a.cos60o Do đó: AB.AC AB.AC.cosBAC uuur uuur uuur uuur Tương tự ta tính được: AB.AD AC.AD a2 a2 Mặt khác, G trọng tâm tam giác BCD nên: uuur uuur uuur uuur AG (AB AC AD) uuur uuur uuur uuur uuur uuur AG (AB2 AC2 AD2 2AB.AC 2AB.AD 2AC.AD) AG AG 6a a Bài 3: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi đó: với điểm M uuuur uuur uuur uuuur không gian ta có MA MB MC 3MG uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur Do đó: 2MA MB MC 3MA (MA MB MC) 3(MA MG) Từ suy ra: Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 51 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur | MA MB MC | | 2MA MB MC | uuuur uuuur uuuur | 3MG | | MA MG | uuuur uuur | MG | | GA | Nên M thuộc mặt cầu tâm G bán kính GA Vậy tập hợp điểm G mặt cầu tâm G, bán kính GA uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 4: Theo giả thiết ta có: OA.OB OA.OC OB.OC Do G trọng tâm tam giác ABC nên: uuur OG uuur uuur uuur (OA OB OC) uuur 2 OG OG (a b OG a b2 c2 c2 ) Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 52 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp KẾT LUẬN Tâm tỉ cự khái niệm hình học học sinh phổ thông Tuy nhiên số công cụ sắc bén việc giải toán liên quan đến đẳng thức vectơ Vì thế, để góp phần hoàn thiện cho học sinh cách nhìn hình học, khóa luận đưa số kiến thức tâm tỉ cự ứng dụng việc giải toán đẳng thức vectơ phổ thông Từ giúp học sinh thấy thống khái niệm tâm tỉ cự khái niệm khác trường hợp riêng tâm tỉ cự mà học sinh biết Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận này, em nhận quan tâm giúp đỡ thầy cô giáo, đặc biệt thầy Đinh Văn Thủy giúp đỡ tận tình đóng góp cho em ý kiến quý báu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong thầy cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận trở thành tài liệu tham khảo thực bổ ích cho tất bạn có niềm đam mê môn toán Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 53 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Văn Dũng, (2009), Ba phương pháp giải toán hình không gian, NXBGD [2] Đỗ Thanh Sơn, (2000), Phương pháp giải hình học phẳng 10, NXB trẻ [3] Hà Trầm, (2005), Bài tập hình học afin hình học ơclit, NXBĐHSP [4] Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – Lê Hữu Trí, (2008), Phương pháp giải toán véctơ, NXB Hà Nội [5] Nguyễn Mộng Hy, Hình học cao cấp, NXBGD [6] Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học cao cấp, NXBGD [7] Nguyễn Minh Hà Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học, NXBGD [8] Nguyễn Văn Lộc, (2007), Phương pháp véctơ giải toán hình học phẳng, NXBGD [9] Văn Như Cương – Tạ Mận, (1998), Hình học afin hình học ơclit, NXBĐHQGHN Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 54 [...]... họ hệ số m1,m2 , ,mp với m1 m2 mp 0 và H là tâm tỉ cự của hệ điểm M1,M2 , ,Mk với k ... §4 Hệ điểm độc lập §5 Tâm tỉ cự Chương 2: Các tập tâm tỉ cự …………………………………10 §1 Một số tính chất tâm tỉ cự 10 §2 Ứng dụng tâm tỉ cự để giải toán hình học phẳng... Khóa Luận Tốt Nghiệp Ta gọi G tâm tỉ cự họ điểm { P1,P2 , ,Pm } gắn với hệ số { 1, m } , , 1.5.2 Định lí Tâm tỉ cự họ điểm xác định Chứng minh: Giả sử G tâm tỉ cự họ điểm { P1,P2 , ,Pm } gắn... tính chất tâm tỉ cự Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán Trường ĐHSP Hà Nội Khóa Luận Tốt Nghiệp Bài Cho G’ tâm tỉ cự họ k điểm { P1,P2 , ,Pk } gắn với họ hệ số m { 1, k} ( , , 0) Cho G” tâm tỉ cự họ (m-k)