Một số ứng dụng của tâm tỉ cự trong hình học không gian ..... Trong chương trình hình học ở phổ thông học sinh được biết đến các khái niệm tâm tỉ cự không tường minh dưới dạng đặc biệt:
Trang 1Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 1
LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa toán, đặc biệt các thầy cô trong tổ hình học trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khoá luận của mình
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Đinh Văn Thủy,
người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài khoá luận này
Do bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khóa luận của
em không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được sự chỉ bảo đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Đỗ Thị Ngân
Trang 2Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 2
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan rằng khóa luận tốt nghiệp này là do bản thân em tự nghiên cứu, tìm tòi, tổng hợp và trích dẫn trung thực từ các tài liệu tham khảo
cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Đinh Văn Thuỷ, không trùng
với kết quả báo cáo của các tác giả khác
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Đỗ Thị Ngân
Trang 3Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 3
MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu 4
Chương 1: Các kiến thức liên quan 5
§1 Không gian afin 5
§2 Tọa độ afin 6
§3 Phẳng trong không gian afin 7
§4 Hệ điểm độc lập 7
§5 Tâm tỉ cự 8
Chương 2: Các bài tập về tâm tỉ cự ………10
§1 Một số tính chất của tâm tỉ cự 10
§2 Ứng dụng của tâm tỉ cự để giải toán trong hình học phẳng 15
2.2.1 Bài toán tính toán 15
2.2.2 Bài toán chứng minh 18
2.2.3 Bài toán quỹ tích 30
2.2.4 Bài toán dựng hình 34
§3 Một số ứng dụng của tâm tỉ cự trong hình học không gian 44
Kết luận 53
Tài liêu tham khảo 54
MỞ ĐẦU
Trang 4Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 4
1 Lí do chọn đề tài:
Tâm tỉ cự là một khái niệm hình học được trình bày ở bậc cao đẳng,
đại học, khi chúng ta làm quen với môn hình học afin Từ tiếng anh của tâm tỉ
cự là Barycenter (trung tâm của trọng lực hay trọng tâm) Lịch sử của trang
web Toán tại Đại học St Andrews ở Scotland đã tín dụng Mobius (1790-1868) khi ông nghiên cứu về tâm tỉ cự Năm 1827 ông xuất bản „Calcul barycentrische Mobius Der‟ một cuốn sách nghiên cứu biến đổi hình học về đường thẳng và đường cônic Các tính năng mới của tác phẩm này là sự ra đời của toạ độ trọng tâm
Trong chương trình hình học ở phổ thông học sinh được biết đến các khái niệm tâm tỉ cự không tường minh dưới dạng đặc biệt: trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, và trọng tâm của tứ diện Để góp phần phần làm rõ khái niệm tâm tỉ cự, tính thống nhất giữa khái niệm này với các khái niệm mà học sinh đã biết ở phổ thông nêu trên, em đi sâu nghiên cứu về
lí thuyết tâm tỉ cự, một số tính chất và ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán hình học
2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản, một số tính chất và ứng dụng của tâm tỉ cự trong việc giải các bài toán hình học
- Xây dựng hệ thống bài tập mẫu và bài tập tự luyện
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu : tâm tỉ cự
- Phạm vi nghiên cứu: một số tính chất và ứng dụng của tâm tỉ cự trong việc giải một số bài toán hình học phẳng, hình học không gian
4 Phương pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan
Trang 5(1) Với mọi M A, với mọi xr V, ! N A: MNuuuur=xr
(2) Với mọi M,N,P A : MNuuuur+ NPuuur=MPuuur
Thì (A,V, ) được gọi là không gian afin
Trong đó: V: là nền của không gian afin
: là ánh xạ liên kết, ánh xạ gắn
Mỗi phần tử của A gọi là điểm (afin)
Nếu dimV=n thì không gian afin đó gọi là không gian afin n chiều
Tương tự có không gian 2
A là tập các điểm của mặt phẳng hình học Cho V là không gian véctơ n chiều, xétA =V
Trang 6Cho An là không gian afin n chiều có nền V, với O An và {eur1,euur2, ,euurn}
là cơ sở của V, ta gọi {O; eur1,euur2, ,euurn} là mục tiêu afin hay hệ toạ độ afin của
n
A O gọi là gốc của mục tiêu , euri là véctơ cơ sở thứ i của mục tiêu
1.2.2 Định nghĩa toạ độ của điểm
Trong không gian afin n chiều An cho mục tiêu afin ta gọi
{O; eur1,euur2, ,euurn}
+ Với mỗi M n
A , khi đó có thể biểu thị một cách duy nhất:
OMuuuur=x e1 1ur x e2 2uur x enuurn
Bộ số (x , x , , x ) gọi là toạ độ afin của điểm M đối với mục tiêu đã cho, kí 1 2 nhiệu M=(x ,x , ,x ) hay M(1 2 n x , x , , x ) 1 2 n
+Với véctơ vr bất kì của V cũng biểu thị được duy nhất dưới dạng:
Trang 7Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 7
Trong An=( A, ,V ) cho điểm I n An, không gian véctơ con m chiều
W V Tập hợp n {M A | IMn uuur W}, kí hiệu là =(I,W)
Gọi là phẳng m chiều (hay m-phẳng) xuất phát từ I, có phương W Kí hiệu ur
Hệ m+1 điểm A ,A , ,A (m 1) của không gian afin 0 1 m An gọi là độc lập nếu m véctơ A A , A A , , A Auuuuur uuuuur0 1 0 2 uuuuuur0 m của urA là hệ véctơ độc lập tuyến tính
Hệ gồm một điểm A bất kì (tức trường hợp m=0) luôn được xem là độc lập 0
Ta chú ý rằng trong định nghĩa này A không đóng vai trò gì đặc biệt so với 0các điểm A khác i
Hệ không độc lập còn gọi là hệ phụ thuộc
1.4.2 Tính chất
Trong An:
+ Có tối đa n+1 điểm độc lập
+Mọi hệ m điểm (m>n+1) là hệ phụ thuộc
Trang 8Vậy là cái phẳng qua m+1 điểm đã cho
Mặt khác: do là phẳng qua A và có phương 0 ur nên là phẳng duy nhất qua A ,A , ,A 0 1 m
Hệ quả:
m+1 điểm của không gian An là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùng nằm trên một (m-1)-phẳng (m 1)
§5 TÂM TỈ CỰ 1.5.1 Định nghĩa tâm tỉ cự
An là không gian afin trên trường K Cho họ m điểm {P ,P , ,P } gắn 1 2 m
với các hệ số { 1, 2, , m}, i K, thoả mãn điều kiện := m i
Trang 9i 1 i
i 1
1
OPuuur do
m i
i 1
0 (1)
Đẳng thức (1) chứng tỏ điểm G xác định và duy nhất
1.5.3 Trọng tâm của hệ điểm
Tâm tỉ cự G của hệ {P ,P , ,P } gắn với {1 2 m 1, 2, , m} trong trường hợp các i bằng nhau, gọi là trọng tâm của hệ điểm {P ,P , ,P } Khi đó G xác 1 2 m
định bởi m i
i 1
GPuuur 0r hay
m i
- Khi m=2 thì trọng tâm G của hệ 2 điểm {p ,p } còn được gọi là trung 1 2điểm của đoạn [p ,p ] 1 2
- Nếu thay các hệ số i,( i 1, m,
m i
i 1
0 ) bởi các hệ số k i, k K\{0} thì tâm tỉ cự G không thay đổi
Chương 2: CÁC BÀI TẬP VỀ TÂM TỈ CỰ
§1 Một số tính chất của tâm tỉ cự
Trang 11j k 1
'' nên ' '' 0 (6)
Từ (5),(6) suy ra: G là tâm tỉ cự của họ 2 điểm G‟,G” gắn với họ hệ số ', ''
Bài 2
Cho p điểm M ,M , ,M của không gian afin 1 2 p An có G là tâm tỉ cự ứng
m ,m , ,m với m1 m2 mk 0 Chứng minh rằng tâm tỉ cự G nói
Trang 12m GCuuur m CHuuur m HMuuuur m CMuuuuuuur 0r (1)
Vì H là tâm tỉ cự của hệ điểm M ,M , ,M với các hệ số 1 2 k m ,m , ,m nên 1 2 k
Bài giải Gọi G là trọng tâm của hệ điểm P ,P , ,P thì: 1 2 m
Với mọi O n
A :
m i
Trang 13Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 13
Gọi G‟ là trọng tâm của hệ con k+1 điểm P ,P , ,P thì: 1 2 k
k i
m i
Cho 4 điểm phân biệt P ,P ,P ,P Xét các đường thẳng đi qua một trong 1 2 3 4
4 điểm đó và đi qua trọng tâm của 3 điểm còn lại (có 4 đường thẳng như vậy) Lại xét các đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai trong 4 điểm đó và đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm còn lại (có 3 đường thẳng như vậy) Chứng minh rằng 7 đường thẳng nói trên cùng đi qua 1 điểm
Bài 2
Trang 14P P P P Suy ra 7 đường thẳng đồng qui tại G
Mở rộng cho hệ m điểm phân biệt:
Ta chia hệ m điểm thành 2 tập N và N‟ khác và không giao nhau Khi đó các đường thẳng nối trọng tâm của hệ điểm trong N và hệ điểm trong N‟ đồng qui tại G là trọng tâm của hệ m điểm ban đầu
Bài 2: Gọi O là gốc toạ độ và G là tâm tỉ cự của hệ điểm M ,M , ,M 1 2 k
Trang 1530MB MCuuur uuur 0r; 4NAuuur NCuuur 0r; 14KAuuur KBuuur 0r
Gọi D là giao điểm của AM và CK, E là giao điểm của BN và AM, F là giao điểm của CK và BN Hãy tính diện tích tam giác DEF theo s
Bài giải
Từ giả thiết ta có M là tâm tỉ cự của hai điểm B, C với bộ số (30, 1) N là tâm
tỉ cự của hai điểm A, C với bộ số (4, 1) Như vậy E là tâm tỉ cự của hai điểm
1
30
=450451
Trang 16Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 16
Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I, J lần lượt là tâm tỉ cự của họ
hai véctơ AB,ACuuur uuur
ur uur uur uuur uuur
Gọi M là trung điểm của BC Ta có AM 1(AB AC)
2uuuur uuur uuur
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
uur uur uuur uuur uuur uuur
Trang 17Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) có BC=a, AC= b, AB=c
a) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng I là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {a, b, c}
b) Tính OI
Bài giải a) Kẻ phân giác AA‟, BB‟, CC‟ lần lượt của góc A, B,Cµ µ µ
Ta dựng hình bình hành ANIM sao cho C‟ thuộc IN và B‟ thuộc IM
Khi đó: AIuur AMuuuur ANuuur
uur uur uur
aIAuur bIB cICuur uur 0r
b) Do tam giác ABC nội tiếp (O; R) nên OA=OB=OC=R ta có:
Trang 18aIA bIB cIC 0
uur uur uur r
uuur uur uuur uur uuur uur r
(a b c)OIuur aOAuuur bOBuuur cOCuuur
uur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Cho tam giác ABC xét MNuuuur 2MA 3MB kMCuuuur uuur uuur (k là hằng số) Chứng
tỏ rằng đường thẳng MN luôn qua một điểm cố định hoặc phương không đổi
Trang 19uur uuur uuur
Suy ra I cố định
Ta lại có:
uuuur uuur uur uuur uur uuur uur
Suy ra MN,MIuuuur uuur cùng phương
Hay MN qua điểm I cố định
- Nếu k=1
uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuur
(véctơ không đổi)
Suy ra đường thẳng MN có phương không đổi
Bài 2
Cho 5 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Gọi là một tam giác có 3 đỉnh trong 5 đỉnh đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng (d) chứng minh rằng với mọi cách chọn khác nhau, đường thẳng qua trọng tâm của và trung điểm của đoạn thẳng (d) luôn qua một điểm
cố định
Bài giải Gọi A,B,C,D,E là 5 điểm đã cho Xét tam giác ABC với trọng tâm G và đoạn thẳng DE có chung điểm M
Với mọi điểm I thì:
(IAuur IBuur IC)uur (IDuur IE)uur 3IGuur 2IMuuur
Chọn I là trọng tâm của hệ điểm A,B,C,D,E thì:
uur uur uur uur uur r
Trang 20Cho tam giác ABC với điểm M bất kì trong tam giác
S MAuuuur S MB S MCuuur uuur 0r
Bài giải Gọi A‟ là giao điểm của đường thẳng MA với BC
Trang 21uuuur uuur uuur
uuuur uuur uuur r
(đpcm)
Sau đây là một số ứng dụng của tâm tỉ cự cùng với bài toán trên:
Cho tam giác ABC gọi G,H,O,I,J lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp trong góc
A của tam giác
Ta có các hệ thức sau:
a) GA GB GCuuur uuur uuur 0r
b) tan A.HAuuur tan B.HB tan C.HCuuur uuur 0r với tam giác ABC không vuông
c) sin 2A.OA sin 2B.OB sin 2C.OCuuur uuur uuur 0r
d) a.IAuur b.IB c.ICuur uur 0r
e) a.JAuur b.JB c.JCuur uur 0r
f) (tan A tan B).OCuuur (tan B tan C).OAuuur (tan C tan A)OBuuur 0r
Áp dụng bài toán trên:
uuur uuur uuur r
Hay GA GB GCuuur uuur uuur 0r
b)Khi M H thì Sa S BHC
ta có:
Trang 22S AA ' tan ABC tan ABC tan B.tan C
tan A.tan B.tan C
Suy ra tan A.HAuuur tan B.HB tan C.HCuuur uuur 0r
c)Nếu A 90o A,O cùng phía đối với BC
1
2
Áp dụng bài toán trên với M O thì:
sin 2A.OA sin 2B.OB sin 2C.OCuuur uuur uuur 0r
d)Áp dụng bài toán trên với M I ta có:
Trang 23Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 23
Suy ra: a.IAuur b.IB c.ICuur uur 0r
Các câu e,f cũng chứng minh tương tự
Sau đây là một số bài toán ứng dụng của bài toán 3:
Bài 4
Cho tam giác ABC đều tâm O M là điểm bất kì trong tam giác Hạ MD,
ME, MF lần lượt vuông góc với BC, AC, AB Chứng minh rằng:
3
2uuuur uuur uuur uuuur
Bài giải Gọi AA‟, BB‟, CC‟ là các đường cao trong tam giác
2Suuuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur
Trang 24uuuuruuuur
Gọi I là điểm trong tam giác ABC sao cho: IAB· IBC· ICA· (điểm
sin B; 2
IB
;sin C ; 2
ICsin A mỗi không vượt
quá tổng hai số kia
Bài gải
Áp dụng bài toán 3 ta có: Sa S BIC 1.a.IB.sin
2 (*) A
I
Theo định lí hàm số sin ta có: IB 2R sin c
( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB) c
Trang 254R sin AThay vào biểu thức:
sin B sin C sin A
sin B sin C sin A
A
B
C N
Trang 26Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 26
BC.IM MC.IB MB.IC
a.IM (p c)IC (p b)IB
uuur uur uur do MC.BMuuur MB.CMuuur 0r
Tương tự: b.IN (p a)IA (p c)IC
c.IP (p b)IB (p a)IA
Suy ra:
aIM bIN cIP (2p b c)IA (p a c)IB (p a b)IC
aIA bIB cIC0
uur uur uurr
Chứng minh rằng: với mọi điểm N thuộc mặt phẳng (ABC) ta đều có:
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
Trang 27uuuur uuur uuur
Trong đó S là diện tích tam giác MBC, 1 S là dt tam giác MCA, 2 S là dt tam 3giác MAB Và S MA1uuuur S MB S MC2uuur 3uuur 0r
Nên NA.sin NB.sin NC.sin MA.sin MB.sin MC.sin (đpcm) Dấu „ ‟ xảy ra khi và chỉ khi điểm M trùng N
Bài 8 <Hệ thức Lagrange>
Trong mặt phẳng cho k điểm P ,P , ,P và k số 1 2 k 1, 2, , k
a) Nếu
k i
i 1
0 thì gọi G là tâm tỉ cự của hệ điểm P ,P , ,P và gắn với 1 2 k
Trang 28A ,A , ,A và hệ điểm B ,B , ,B Chứng minh: 1 2 n
a) Với mọi điểm M ta có:
Trang 30Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 30
Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm P ,P , ,P gắn với họ hệ số 1 2 k 1, 2, , k thì
Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M sao cho:
(2MAuuuur 3MB).(MAuuur uuuur 2MB)uuur 0
Bài giải Gọi G là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B} gắn với họ hệ số {2, -3} G cố định
Gọi G‟ là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B} gắn với họ hệ số {1, 2} G‟ cố định
Khi đó với điểm M bất kì trong mặt phẳng ta có:
2MAuuuur 3MBuuur (2 3)MGuuuur MGuuuur
Trang 31Do tam giác ABC đều cạnh a nên GA GB GC 2 a 3 a 3
Trang 32Suy ra M thuộc đường tròn tâm G, bán kính bằng a
Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn tâm G, bán kính bằng a, với G là trọng tâm tam giác ABC
Bài 3
Cho tam giác ABC
a) Tìm quỹ tích điểm M sao cho:
| MA 3MB 2MC | | 2MA MB MC |uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur (1)
b) Tìm quỹ tích điểm M sao cho:
| 2MAuuuur MB | | 4MB MC |uuur uuur uuur (2)
Bài giải a) Gọi E là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {1, 3, -2} E
cố định
Với điểm M bất kì trong mặt phẳng ta có:
MA 3MB 2MC (1 3 2)ME 2ME
uuuur uuur uuur uuur uuur
Mặt khác: Gọi F là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {2, -1, 1} F cố định Ta có:
2MAuuuur MBuuur MCuuur (2 1 1)MFuuur 2MFuuur
Suy ra (1) | 2ME | | 2MF |uuur uuur
ME MF
Do đó M thuộc đường trung trực của EF
Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF với E, F lần lượt là tâm tỉ
cự của hệ điểm {A, B, C} ứng với các họ hệ số: {1, 3, -2} và {2, -1, 1}
b)Gọi P là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B} gắn với họ hệ số {2, 1} P cố định
Trang 33Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 33
Với điểm M bất kì trong mặt phẳmg ta có:
2MAuuuur MBuuur (2 1)MPuuur 3MPuuur
Gọi Q là tâm tỉ cự của hệ điểm {B, C} gắn với họ hệ số {4, -1} Q cố định
Ta có 4MBuuur MCuuur (4 1)MQuuuur 3MQuuuur
Do đó: (2) 3| MP | 3| MQ |uuur uuuur
MP MQ
Do đó M thuộc đường trung trực của PQ
Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của PQ với P, Q lần lượt là tâm tỉ cự của các hệ điểm {A, B}, {B, C} lần lượt gắn với họ các hệ số {2, 1} và {4, -1}
*) Nhận xét
Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát:
Trong mặt phẳng cho k điểm A ,A , ,A (1 2 k k 2) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
b) Xác định M trong tam giác ABC sao cho:
2 | MAuuuur MB MC | | MAuuur uuuur uuuur 2MB 3MC |uuur uuuur
Bài giải a) Gọi I là tâm tỉ cự của {A,B,C} với họ hệ số {5,-7,-1}
5MAuuuur 7MBuuur MCuuur (5 7 1)MIuuur 3MIuuur
Suy ra | 5MA 7MB MC | 3| MI |uuuur uuur uuur uuur
Vậy | 5MA 7MB MC |uuuur uuur uuuur nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên BC