Tâm tỉ cự và các ứng dụng

Khoá luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Hình học khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội quan tâm giúp đỡ em thời gian em nghiên cứu hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thủy, người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian vừa qua để em hồn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khố luận kho tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên đẻ khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Phan Thị Minh Huệ Phan Thị Minh Huệ K32G- Toán Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận hồn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với giúp đỡ tận tình thầy Đinh Văn Thủy giúp đỡ thầy khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội Bản khóa luận khơng trùng với kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm! Hà Nội , tháng 05 năm 2010 Sinh viên Phan Thị Minh Huệ mục lục Nội dung Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian afin 1.1.1.Định nghĩa khơng gian afin 1.1.2.tính chất đơn giản 1.1.3.ẳng không gian afin 1.1.4.Hệ điểm độc lập 1.2 Tâm tỉ cự 1.2.1.Khái niệm tâm tỉ cự 1.2.2.Nhận xét 1.2.3.ột số định lí Chương 2:ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán 2.1 dụng tâm tỉ cự để giải số toán chứng minh 10 13 1.ứng 13 2.1.1.tập mẫu 13 2.1.2.tập đề nghị 20 2.2 dụng tâm tỉ cự để giải số toán tính tốn ứng 23 2.2.1.tập mẫu 23 2.2.2.tập đề nghị 32 2.3 dụng tâm tỉ cự để giải số tốn quỹ tích ứng 35 2.3.1.tập mẫu 35 2.3.2.tập đề nghị 43 2.4 dụng tâm tỉ cự để giải số tốn dựng hình ứng 47 2.4.1.Bài tập mẫu 47 2.4.2.Bài tập đề nghị 57 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 ` Mở đầu 1.Lý chọn đề tài: Tốn học mơn học gây nhiều hứng thú học sinh yêu toán Học tốt mơn tốn giúp em có khả tư logic lập luận vấn đề cách chặt chẽ Trong mơn tốn học, hình học ln coi mơn học khó nhiều học sinh Trong chương trình hình học phổ thông học sinh biết đến khái niệm: Trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện Đó trường hợp riêng khái niệm tâm tỉ cự trình bày bậc cao đẳng đại học làm quen với mơn hình học Afin Để góp phần làm rõ tính thống khái niệm tâm tỉ cự khái niệm mà học sinh phổ thông biết đến nêu trên, em sâu nghiên cứu lý thuyết tâm tỉ cự ứng dụng để giải tốn hình học Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp, thời gian nghiên cứu có hạn, em trình bày kiến thức tâm tỉ cự ứng dụng số lớp tốn: chứng minh, tính tốn, quỹ tích, dựng hình Đó lý mà em chọn đề tài:“ Tâm tỉ cự ứng dụng “ 2.Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu: -Nghiên cứu kiến thức tâm tỉ cự ứng dụng việc giải tốn hình học -Xây dựng hệ thống tập tập tự luyện thể việc sử dụng tâm tỉ cự để giải lớp tốn: chứng minh, tính tốn, quỹ tích, dựng hình 3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: -Đối tượng nghiên cứu: tâm tỉ cự -Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng tâm tỉ cự việc giải số lớp toán: chứng minh, tính tốn, quỹ tích, dựng hình 4.Phương pháp nghiên cứu: Phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan chương 1:các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian afin 1.1.1.Định nghĩa không gian afin 1.1.1.1 Định nghĩa * Cho không gian vectơ V trường K, tập A ≠ mà phần tử gọi điểm ánh xạ : AA V  (M , N )   (M , N ) MN Bộ ba (A, , V) gọi không gian afin tiên đề sau thoả mãn:   i, Với điểm M V, có điểm N A cho: MN u    ii, Với điểm M, N, P A có: MN NP MP * Khơng gian afin (A, , V) gọi không gian afin A liên kết với không gian vectơ V, gọi tắt khơng gian afin A trường K (hoặc K - không gian afin A)  Không gian vectơ liên kết V thường ký hiệu A * Không gian afin A gọi n chiều (ký hiệu dim A = n) dim V = n 1.1.1.2 Ví dụ Khơng gian Euclid chiều E chiều E thông thường trình bày trường trung học phổ thơng không gian afin liên kết với không gian vectơ (tự do) chiều, chiều PTTH 1.1.2 Các tính chất đơn giản   a Với điểm M MM 0 A M,N   M N b Với điểm A mà MN 0   c.Với cặp điểm M , N A MN NM     d Với điểm M , N , P,Q A ta có: MN PQ MP NQ    e Với điểm O, M , N A ta có : MN ON OM 1.1.3 Phẳng không gian afin  * Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A Gọi I   điểm A  không gian vectơ A Khi tập hợp  A   IM M   gọi phẳng (cũng gọi tắt "phẳng") qua I   có phương   * Nếu có số chiều m gọi phẳng m chiều (hay gọi  m - phẳng) Như vậy: + 0- phẳng điểm + n - phẳng khơng gian afin n chiều A A + 1- phẳng gọi đường thẳng + Nếu dim A = n (n - )- phẳng gọi siêu phẳng 1.1.4 Hệ điểm độc lập 1.1.4.1 Định nghĩa Hệ m + điểm A0, A1, , Am (m không gian afin A gọi độc  1)   lập m vectơ   hệ vectơ độc lập tuyến tính Hệ A0 A1, A0 A2 , , A0 Am A gồm điểm A0 (tức trường hợp m = 0) xem độc lập 1.1.4.2 Định lý 1.1.4.2.1 Định lý Qua m + điểm độc lập khơng gian afin A có m - phẳng (m 0) Chứng minh: Giả sử A0, A1 , , Am m + điểm độc lập không gian afin A liên  kết với không gian vectơ A    Khi đó: Hệ m vectơ A0 A1 , A0 A2 , , A0 độc lập tuyến tính  Am  nhận m vectơ sở Bây Ta gọi không gian vectơ A   gọi là phẳng qua A0 có phương    Rõ ràng, A0 Ai nên Ai , i, m   Vậy là phẳng qua m + điểm cho Mặt khác: Do là phẳng qua A0 có phương   nên là 1.1.4.2.2 Hệ m +1 điểm không gian afin A độc lập chúng không nằm (m - 1) - phẳng (m 1) 1.2 Tâm tỉ cự 1.2.1 Khái niệm tâm tỉ cự 1.2.1.1 Định lý Cho k điểm P1,P2, ,Pk không gian afin k số thuộc trường K: 1 , 2 , cho , k n  i  k   i1 Khi có điểm G cho: Chứng minh:  i i1 GPi 0 Gọi O điểm tuỳ ý khơng gian afin A Khi đó: k k       i GPi 0  i (OPi OG) 0 i1 i1 Bài 4: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC vng góc A cạnh BC=a, CA = b, AB = c Dựng điểm I cho I tâm tỉ cự hệ điểm 2 {A, B, C} gắn với họ hệ số {a , b , c } Bài giải Dựng đường cao AH tam giác ABC Do tam giác vuông A nên áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông, ta có : AB = BH BC AC = CH.BC Từ ta có: c2   2 HC AC b HB AB2 Do H nằm B C nên ta suy :    b HB c HC 0 2 Do I tâm tỉ cự hệ điểm A, B, C gắn với họ hệ số a , b , c nên:  2  2 a IA b IB c IC 0       2 a IA b (HB HI ) c (HC HI ) 0      2 2 a IA (b c )IH b HB c HC 0 (2) Lại có: ABC vng A nên : 2 a =b +c (3) Từ (1), (2), (3) suy ra:    2 a IA a IH 0    IA IH 0 I trung điểm AH Vậy điểm I xác định trung điểm AH với H chân đường cao hạ từ A ABC * Nhận xét: Từ toán ta biết rằng: Bài toán xác định điểm điểm G tâm tỉ cự hệ điểm A1, An cho trước gắn với họ hệ số 1, , n cho trước thực chất toán dựng điểm G thoả n   mãn đẳng thức đẳng thức (*) i véctơ: GAi 0 i1 Từ đẳng thức (*) suy với điểm M ta có: n     i (MAi MG) 0 i1 n  MG    i MAi   i  n i1  i1 Kết sử dụng để giải toán: n "Cho n điểm Ai, i = 1, n n số thực i, i =1, n thoả mãn   i  i1 Tìm số thực k điểm G cố định cho đẳng thức vectơ sau thoả mãn với n   điểm M: (1)" i GAi k MG i1 Phương pháp chung để giải toán sau: Vì đẳng thức (1') thoả mãn với điểm M nên với M G n Khi đó:   i  GAi   i GAi 0 n  i1 kGG  i1 Xác định điểm G từ (2') n    (2') Mặt khác, từ (2') suy ra:  i1 n i  (MAi MGi ) 0  n   i MAi i MG i1 n  i1  Từ (1') (3') suy ra: i MGi k MG i1 Ta xét ví dụ: (3') n  k i i1 Cho tứ giác ABCD, M điểm tuỳ ý Trong trường hợp tìm số k điểm cố định I, J, K cho đẳng thức vectơ sau thoả mãn với điểm M:    a 2MA MB k (1) MI     b MA MB 2MC k (2) MJ      (3) c MA MB MC 3MD k MK Bài giải a Vì (1) thoả mãn với điểm M nên với M I, đó:    2IA IB k II     2IA IB 0 (1.1) Từ (1.1) ta suy ra:     2IA IA IB 0    IA  AB   IA  A      Mặt khác, từ (1.1) ta lại có: 2(MA MI ) MB MI 0   Từ (1) (1.2) suy : 3MI k MI k 3   Vậy điểm I xác định hệ thức: Vậy: Với k = 3, I điểm xác định hệ thức (1) thoả mãn với điểm M (1.2) IA  AB đẳng thức b Vì (2) thoả mãn với điểm M nên (2) với M J, đó:         (2.1) IA JB 2JC k JJ JA JB 2JC 0    Gọi E trung điểm AB, ta có: JA JB 2JE Do đó:    (2.1) 2JE 2JC 0    JE JC 0 J trung điểm EC Mặt khác : (2.1 )        (MA MJ ) (MB MJ )  2(MC MJ ) 0     MA MB MC 4MJ  Từ (2) (2.2) suy ra:  4MJ k MJ (2.2) k 4 Vậy: Với k = J trung điểm CE với E trung điểm AB đẳng thức (2) thoả mãn với điểm M c Vì (3) thoả mãn với điểm M nên (3) với M K, đó:      KA KB KC 3KD k KK       KA KB KC 3KC 0 (3.1)     Gọi G trọng tâm ABC, KA KB KC 3KG ta có: Do :    (3.1) 3KG 3KD 0    KG KD 0 K trung điểm GD Mặt khác :         (3.1) MA MK MB MK MC MK 3(MD MK ) 0      MA MB MC 3MD 6MK    Từ (3) (3.2) suy ra: 6MK k MK  k 6 (3.2) Vậy với k = K trung điểm GD với G trọng tâm ABC đẳng thức (3) thoả mãn với điểm M 2.4.2 Bài tập đề nghị Bài 1: Trong không gian cho tứ diện ABCD Hãy dựng điểm I cho I tâm tỉ cự hệ điểm {A, B, C, D} gắn với họ hệ số {1; 1; 1; 3} Hướng dẫn:     Gọi G trọng tâm ABC Ta IA IB IC 3IG có: Do I tâm tỉ cự hệ điểm {A,B,C,D} gắn với họ hệ số {1;1;1;3}           nên: IA IB IC 3ID 0 3IG 3ID 0  IG ID Bài 2: Từ suy cách dựng điểm I Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Hãy dựng điểm H cho O tâm tỉ cự hệ điểm {A,B,C,D,H} gắn với họ hệ số {1;1;1;1;-2} Hướng dẫn:    OA OB  Gọi M, N trung điểm AB, CD Ta có: 2OM        OC OD 2ON Gọi I trung điểm MN Ta có: OM ON 2OI Do O tâm tỉ cự hệ điểm {A,B,C,D,H} gắn với họ hệ số {1;1;1;1;-2} nên :             OA OB OC OD 2OH 0 2OM 2ON  2OH 0 OH 2OI Từ suy cách dựng điểm H Bài : Trong mặt phẳng cho ABC, hãy: Dựng điểm I cho I tâm tỉ cự hệ điểm A, B, C gắn với họ hệ số {1;3;-2} Dựng điểm D cho D tâm tỉ cự hệ điểm B, C gắn với họ hệ số {3; -2} a b Chứng minh A, I, D thẳng hàng Hướng dẫn: a Gọi E trung điểm AB Do I tâm tỉ cự hệ điểm A, B, C gắn với họ hệ số {1;3;-2} nên:          IA 3IB 2IC 0 IA IB 2 IB IC 0       2IE 2CB 0 IE BC Từ suy cách dựng điểm I Gọi D tâm tỉ cự hệ điểm B, C gắn với họ hệ số {3; -2}, ta có:          3DB 2DC 0 DB 2 DB DC 0  DB 2BC  Từ suy cách dựng điểm D      b Ta có: AI AE EI 1 AB CB      1 AB 2CB1  AB BD  AD 2    Từ suy điều phải chứng minh Bài 4: Trong mặt phẳng cho ABC, hãy: a Dựng điểm I tâm tỉ cự hệ điểm A, B, C gắn với họ hệ số {3; -2; 1} b Chứng minh rằng: Đường thẳng nối điểm M, N xác định hệ thức:     qua I MN 3MA 2MB MC Hướng dẫn: Gọi E trung điểm AC a.Do I tâm tỉ cự hệ điểm {A,B,C} gắn với họ hệ số {3;-2;1} nên:          3IA 2IB IC 0 2 IA IB IA IC 0  IE AB      2BA 2IE 0 Từ suy cách dựng điểm I b.Theo tính chất tâm tỉ cự ta có:      3MA 2MB MC 3 2 1 MI 2MI       Do đó: MN 3MA 2MB MC MN 2MI Từ suy điều phải chứng minh Bài 5: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC, M điểm tuỳ ý Trong trường hợp tìm số k điểm cố định I, J cho đẳng thức vectơ sau thoả mãn với điểm M :    (1) a MA 2MB k MI     (2) b 2MA MB MC k MJ Hướng dẫn: a Vì (1) thoả mãn với điểm M nên với M I, đó:       IA 2IB k II IA 2IB 0 (1.1) Xác định điểm I từ (1.1) (1.2)         Lại có: (1.1) MA MI 2(MB MI ) 0 MA 2MB 3MI Từ (1) (1.2) suy điều kiện k b Vì (2) thoả mãn với điểm M nên (2) với M J, đó:          2JA JB JC k JJ 2JA  JB  JC 0  Xác định điểm J từ (2.1)         Lại có: (2.1) 2(MA MJ ) (MB MJ )  (MC MJ ) 0 2MA MB MC 2MI (2.1) (2.2) Từ (2) (2.2) suy điều kiện k Kết luận Tâm tỉ cự khái niệm học sinh phổ thông Tuy nhiên, em làm quen với khái niệm dạng khái niệm quen thuộc: trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác trọng tâm tứ diện Nhằm góp phần hồn thiện cho học sinh có cách nhìn hình học, khóa luận đưa số kiến thức tâm tỉ cự hệ thống tập áp dụng Từ giúp học sinh thấy thống khái niệm tâm tỉ cự khái niệm khác trường hợp riêng tâm tỉ cự mà học sinh biết, góp phần làm cho học sinh có cách nhìn tồn diện sâu sắc Trong q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận này, em nhận quan tâm giúp đỡ thầy giáo, giáo tổ Hình học khoa Toán, đặc biệt thầy Đinh Văn Thủy giúp đỡ tận tình đóng góp ý kiến q báu thời gian vừa qua Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong thầy giáo, giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận trở thành tài liệu tham khảo thực bổ ích cho tất bạn có niềm đam mê mơn tốn tài liệu tham khảo [1].Đào Văn Dũng, (2009), Ba phương pháp giải tốn hình khơng gian, Nxb Giáo dục [2].Đỗ Thanh Sơn, (2000), Phương pháp giải tốn hình học phẳng 10, Nxb trẻ [3].Hà Trầm, (2005), Bài tập hình học afin hình học Ơcơlít, Nxb Đại học Sư phạm [4].Lê Hồng Đức-Lê Bích Ngọc-Lê Hữu Trí, (2008), Phương pháp giải toán vectơ, Nxb Hà Nội [5].Nguyễn Trọng Tuấn, (2008), Rèn luyện giải tốn hình học 10, Nxb Giáo dục [6].Nguyễn Văn Lộc, (2007), Phương pháp vectơ giải toán hình học phẳng, Nxb giáo dục [7].Văn Như Cương-Tạ Mân, (1998), Hình học afin hình học Ơcơlít, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội ... Chương 2 :ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán 2.1 dụng tâm tỉ cự để giải số toán chứng minh 10 13 1 .ứng 13 2.1.1.tập mẫu 13 2.1.2.tập đề nghị 20 2.2 dụng tâm tỉ cự để giải số tốn tính tốn ứng 23... tài:“ Tâm tỉ cự ứng dụng “ 2.Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu: -Nghiên cứu kiến thức tâm tỉ cự ứng dụng việc giải tốn hình học -Xây dựng hệ thống tập tập tự luyện thể việc sử dụng tâm tỉ cự để giải... i 1, m i0 gọi m - hộp chương : ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán 2.1 ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán chứng minh 2.1.1 Bài tập mẫu Bài 1: Cho G' tâm tỉ cự họ k điểm P1, , Pk gắn với họ hệ