Tâm tỉ cự và các ứng dụng

Khoá luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Hình học khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội quan tâm giúp đỡ em thời gian em nghiên cứu hoàn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thủy, người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian vừa qua để em hoàn thành khóa luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khoá luận kho tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên đẻ khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Phan Thị Minh Huệ Phan Thị Minh Huệ K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với giúp đỡ tận tình thầy Đinh Văn Thủy giúp đỡ thầy cô khoa toán trường ĐHSP Hà Nội Bản khóa luận không trùng với kết tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm! Hà Nội , tháng 05 năm 2010 Sinh viên Phan Thị Minh Huệ Phan Thị Minh Huệ K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp mục lục Nội dung Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị 1.1.Không gian afin 1.1.1.Định nghĩa không gian afin 1.1.2.Các tính chất đơn giản 1.1.3.Phẳng không gian afin 1.1.4.Hệ điểm độc lập 1.2.Tâm tỉ cự 1.2.1.Khái niệm tâm tỉ cự 1.2.2.Nhận xét 1.2.3.Một số định lí 10 Chương 2:ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán 13 2.1.ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán chứng minh 13 2.1.1.Bài tập mẫu 13 2.1.2.Bài tập đề nghị 20 2.2.ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán tính toán 23 2.2.1.Bài tập mẫu 23 2.2.2.Bài tập đề nghị 32 Phan Thị Minh Huệ K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp 2.3.ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán quỹ tích 35 2.3.1.Bài tập mẫu 35 2.3.2.Bài tập đề nghị 43 2.4.ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán dựng hình 47 2.4.1.Bài tập mẫu 47 2.4.2.Bài tập đề nghị 57 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 ` Phan Thị Minh Huệ K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Mở đầu 1.Lý chọn đề tài: Toán học môn học gây nhiều hứng thú học sinh yêu toán Học tốt môn toán giúp em có khả tư logic lập luận vấn đề cách chặt chẽ Trong môn toán học, hình học coi môn học khó nhiều học sinh Trong chương trình hình học phổ thông học sinh biết đến khái niệm: Trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện Đó trường hợp riêng khái niệm tâm tỉ cự trình bày bậc cao đẳng đại học làm quen với môn hình học Afin Để góp phần làm rõ tính thống khái niệm tâm tỉ cự khái niệm mà học sinh phổ thông biết đến nêu trên, em sâu nghiên cứu lý thuyết tâm tỉ cự ứng dụng để giải toán hình học Trong khuôn khổ luận văn tốt nghiệp, thời gian nghiên cứu có hạn, em trình bày kiến thức tâm tỉ cự ứng dụng số lớp toán: chứng minh, tính toán, quỹ tích, dựng hình Đó lý mà em chọn đề tài:“ Tâm tỉ cự ứng dụng “ 2.Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu: -Nghiên cứu kiến thức tâm tỉ cự ứng dụng việc giải toán hình học -Xây dựng hệ thống tập tập tự luyện thể việc sử dụng tâm tỉ cự để giải lớp toán: chứng minh, tính toán, quỹ tích, dựng hình 3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: -Đối tượng nghiên cứu: tâm tỉ cự -Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng tâm tỉ cự việc giải số lớp toán: chứng minh, tính toán, quỹ tích, dựng hình Phan Thị Minh Huệ K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp 4.Phương pháp nghiên cứu: Phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan chương 1:các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian afin 1.1.1.Định nghĩa không gian afin 1.1.1.1 Định nghĩa * Cho không gian vectơ V trường K, tập A ≠  mà phần tử gọi điểm ánh xạ  : A A  V  ( M , N )   ( M , N )  MN Bộ ba (A, , V) gọi không gian afin tiên đề sau thoả mãn:   i, Với điểm M  V, có điểm N  A cho: MN  u    ii, Với điểm M, N, P  A có: MN  NP  MP * Không gian afin (A, , V) gọi không gian afin A liên kết với không gian vectơ V, gọi tắt không gian afin A trường K (hoặc K không gian afin A)  Không gian vectơ liên kết V thường ký hiệu A * Không gian afin A gọi n chiều (ký hiệu dim A = n) dim V = n 1.1.1.2 Ví dụ Không gian Euclid chiều E2 chiều E3 thông thường trình bày trường trung học phổ thông không gian afin liên kết với không gian vectơ (tự do) chiều, chiều PTTH 1.1.2.Các tính chất đơn giản   a Với điểm M  A MM  Phan Thị Minh Huệ K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp   b Với điểm M , N  A mà MN  M  N   c.Với cặp điểm M , N  A MN   NM     d Với điểm M , N , P, Q  A ta có: MN  PQ  MP  NQ    e Với điểm O, M , N  A ta có : MN  ON  OM 1.1.3 Phẳng không gian afin  * Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A Gọi I   điểm A  không gian vectơ A Khi tập hợp       M  A IM  gọi phẳng (cũng gọi tắt "phẳng") qua I  có phương   * Nếu  có số chiều m  gọi phẳng m chiều (hay gọi m - phẳng) Như vậy: + 0- phẳng điểm + n - phẳng không gian afin n chiều A A + 1- phẳng gọi đường thẳng + Nếu dim A = n (n - )- phẳng gọi siêu phẳng 1.1.4 Hệ điểm độc lập 1.1.4.1 Định nghĩa Hệ m + điểm A0, A1, , Am (m  1) không gian afin A gọi độc     lập m vectơ A0 A1 , A0 A2 , , A0 Am A hệ vectơ độc lập tuyến tính Hệ gồm điểm A0 (tức trường hợp m = 0) xem độc lập 1.1.4.2 Định lý 1.1.4.2.1 Định lý Qua m + điểm độc lập không gian afin A có m - phẳng (m  0) Phan Thị Minh Huệ K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Chứng minh: Giả sử A0, A1 , , Am m + điểm độc lập không gian afin A liên  kết với không gian vectơ A    Khi đó: Hệ m vectơ A0 A1 , A0 A2 , , A0 Am độc lập tuyến tính   Ta gọi  không gian vectơ A nhận m vectơ sở Bây  gọi  phẳng qua A0 có phương    Rõ ràng, A0 Ai   nên Ai   , i, m Vậy  phẳng qua m + điểm cho  Mặt khác: Do  phẳng qua A0 có phương  nên  1.1.4.2.2 Hệ m +1 điểm không gian afin A độc lập chúng không nằm (m - 1) - phẳng (m  1) 1.2.Tâm tỉ cự 1.2.1 Khái niệm tâm tỉ cự 1.2.1.1 Định lý Cho k điểm P1,P2, ,Pk không gian afin k số thuộc trường K: 1, 2 , , k cho n   i 1 i Khi có điểm G cho: k    i GPi  i 1 Chứng minh: Gọi O điểm tuỳ ý không gian afin A Khi đó: k       GP    ( OP i i  i i  OG)  k i 1 i 1 Phan Thị Minh Huệ K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp k     i OPi  ( i )OG k i 1 i 1   OG  k  i 1  k  i OPi (1) i 1 i Đẳng thức (1) chứng tỏ điểm G xác định 1.2.1.2 Định nghĩa Điểm G thỏa mãn định lý nêu gọi tâm tỉ cự hệ điểm {Pi} gắn với họ hệ số i Trong trường hợp  i nhau, điểm G gọi trọng tâm hệ điểm {Pi} Khi k=2 trọng tâm G hệ điểm P1 , P2 gọi trung điểm đoạn [P1P2] 1.2.2 Nhận xét k Nếu thay hệ số i , i  1, k ,  i  mi , m  K \ 0 tâm tỉ cự i 1 G không thay đổi Thật vậy: k Giả sử G tâm tỉ cự hệ điểm {Pi} gắn với họ hệ số i , i, k ,  i  i 1   Khi ta có :  i GPi  k i 1 k Do  i  nên i 1 k  m  , m  K \ 0 i 1 i Do đó: Phan Thị Minh Huệ K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Gọi G' tâm tỉ cự hệ điểm {Pi} gắn với họ hệ số mi , i  1, k , m  K \ 0 Khi ta có:   ( m  ) G  i ' Pi  k  i 1 k   m i G ' Pi  i 1 k     i G ' Pi  i 1 (do m  K \ 0 ) Suy ra: G' tâm tỉ cự hệ điểm {Pi} gắn với họ hệ số i , i  1, k Do tâm tỉ cự hệ điểm gắn với họ hệ số cho nên ta có:G'  G Từ điều chứng minh ta có nhận xét: Trong trường hợp G trọng tâm hệ điểm lấy i  1, i  1, k  k  trọng tâm G hệ điểm {Pi} xác định : OG   OPi k i 1 1.2.3 Một số định lý 1.2.3.1 Định lý 1.2.3.1.1 Định lý Tập hợp tất tâm tỉ cự họ điểm P0, P1, , Pk (với họ hệ số khác nhau) phẳng bé chứa điểm Chứng minh : Gọi  phẳng bé chứa điểm Pi , i  0, k    Khi đó: Các vectơ P0 P1 , P0 P2 , , P0 Pk thuộc phương  phẳng  Ta lấy hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại hệ vectơ trên, giả sử là:   P0 P1 , P0 P2 , , P0 Pk ( s  k ) Vậy dim = s Khi đó:   Điểm G    P0G   Phan Thị Minh Huệ 10 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Do đó, toán xét ta tìm hệ thức xác định điểm G mà không nêu rõ cách dựng 2.4.1 Bài tập mẫu Bài 1: Trong không gian cho tứ diện ABCD Hãy xác định vị trí trọng tâm G tứ diện Bài giải      Do G trọng tâm tứ diện ABCD nên: GA  GB  GC  GD  (1) Gọi M, N trung điểm AB, CD    Suy ra: GA  GB  2GM (2)    GC  GD  2GN (3) Từ (2), (3) ta suy ra: (1)      2GM  2GN     GM  GN   G trung điểm MN Như vậy: Trọng tâm G tứ diện ABCD trung điểm MN với M, N trung điểm AB, CD * Nhận xét: + Do vai trò điểm A, B, C, D nên ta xác định vị trí điểm G trung điểm PQ với P, Q trung điểm AC, BD G trung điểm RS với R, S trung điểm AD, BC Do ta có: "Trọng tâm tứ diện trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện." Phan Thị Minh Huệ 49 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp + Bài toán xét trường hợp trọng tâm tứ diện Trong trường hợp tứ diện mở rộng thành hình chóp SABCD ta có toán: "Cho hình chóp SABCD Hãy xác định vị trí trọng tâm G hệ điểm S, A, B, C, D" Bài giải Gọi M, N trung điểm AB, CD Ta có:  GA   GC    GB  2GM   GD  2GN    Gọi I trung điểm MN, ta có: GM  GN  GI Do G trọng tâm hệ điểm S,A,B,C,D nên ta có:       GA  GB  GC  GD  GS       2GM  2GN  GS      4GI  GS       4(GS  SI )  GS     GS  IS Vậy: Trọng tâm G hệ diểm S, A, B, C, D xác định hệ thức   GS  IS I trung điểm MN với M,N trung điểm AB CD + Trong trường hợp tứ diện mở rộng thành hình hộp ta có toán: "Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' Hãy xác định vị trí trọng tâm G hệ điểm A, B, C, D, A', B', C', D'." Bài giải Do ABCD A'B'C'D' hình hộp nên AA'C'C, ADC'B', BDD'B' hình bình hành Gọi O tâm hình bình hành AA'C'C Phan Thị Minh Huệ 50 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp  O trung điểm AC' A'C  O trung điểm DB'  O trung điểm BD Do ta có:    OA  OC '     OA ' OC     OD  OB '     OB  OD '  Từ suy ra:          OA  OB  OC  OD  OA'  OB'  OC'  OD'   O  G trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, A', B', C'', D' G giao điểm AC' A'C Bài 2: Cho điểm A, B, C, D, E Dựng điểm O, I, K cho a O tâm tỉ cự hệ {A, B, C, D} gắn với họ hệ số {1; 2; 3} b I trọng tâm hệ điểm {A, B, C, D} c K tâm tỉ cự hệ điểm {A, B, C, D, E} gắn với họ hệ số {1;1;1;3;3} Bài giải    OA  OC  2OM a.Gọi M, N trung điểm AC BC,Ta có     OB  OC  2ON Do O tâm tỉ cự hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ điểm số {1; 2; 3} nên ta     có: OA  2OB  3OC        (OA  OC )  2(OB  OC )      2OM  4ON       2MO  4( MN  MO)     MO  MN Phan Thị Minh Huệ 51 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp   Vậy O điểm xác định hệ thức MO  MN với M, N trung điểm AC BC b Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có:     IA  IB  IC  3IG với điểm I mặt phẳng Do I trọng tâm hệ điểm A, B, C, D nên:      IA  IB  IC  ID      3IG  ID       3GI  (GD  GI )     GI  GD Vậy: Trọng tâm I hệ điểm A, B, C, D xác định hệ thức:   GI  GD với G trọng tâm tam giác ABC c Gọi G trọng tâm ABC Ta có:     KA  KB  KC  3KG , với điểm K mặt phẳng Do K tâm tỉ cự hệ điểm { A, B, C, D, E} gắn với họ hệ số {1;1;1;3;3} nên ta có:       KA  KB  KC  3KD  3KE       3KG  3KD  3KE       KG  KD  KE   K trọng tâm  DEG Vậy điểm K xác định trọng tâm  DEG với G trọng tâm ABC Bài 3: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC Phan Thị Minh Huệ 52 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp a Xác định điểm D cho A tâm tỉ cự hệ điểm {B, C, D} gắn với họ hệ số {3; 2; -12} b Xác định điểm E cho E tâm tỉ cự hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {3; -1; 2} Bài giải a Gọi M trung điểm AB   Khi ta có: AB  2AM Gọi N điểm cho A tâm tỉ cự điểm C, N gắn với họ hệ số {1;     3} Khi ta có: AC  AN   AC  AN Do A tâm tỉ cự hệ điểm {B, C, D} gắn với hệ số {3; 2; -12} nên:     AB  AC  12 AD       AM  AN  12 AD      AM  AN  AD  D trung điểm MN Vậy: Điểm D xác định trung điểm MN với M trung điểm AB N điểm cho A tâm tỉ cự hệ điểm C, N gắn với họ hệ số {1; -3} b Gọi K tâm tỉ cự hệ điểm B, C gắn với họ hệ số {-1;2}    Khi ta có:  KB  2KC  Do E tâm tỉ cự hệ điểm A, B, C gắn với họ hệ số {3; -1; 2} nên:     3EA  EB  EC         3EA  ( EK  KB)  2( EK  KC )        3EA  EK  KB  KC       3( EK  KA)  EK     EK  AK Phan Thị Minh Huệ 53 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp   Vậy: Điểm E xác định hệ thức EK  AK với K tâm tỉ cự hệ điểm B, C gắn với họ hệ số{-1; 2} * Nhận xét:    toán tuỳ thuộc vào việc phân tích vectơ EA, EB, EC theo cách khác mà ta có cách xác định điểm E khác Chẳng hạn với điểm P       (*)  3( EP  PA)  ( EP  PB)  EC       (2)  2EP  2EC  3PA  3PB  Nếu P tâm tỉ cự hệ điểm A, B gắn với họ hệ số {3; -1} ta có:    3PA  PB  Khi đó: (2)     EP  EC     EP  EC   E trung điểm PC  Hoặc ta có cách phân tích khác:       (1)  3( EQ  QA)  EB  2( EQ  QC )  với điểm Q       5EQ  EB  3QA  2QC  (3) Nếu Q tâm tỉ cự hệ điểm A, C gắn với họ hệ số {3;2} ta có:    3QA  2QC  Khi đó:    (3)  EQ  EB       5( EB  BQ)  EB     EB  QB Phan Thị Minh Huệ 54 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Bài 4: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC vuông góc A cạnh BC=a, CA = b, AB = c Dựng điểm I cho I tâm tỉ cự hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {a2, b2, c2} Bài giải Dựng đường cao AH tam giác ABC Do tam giác vuông A nên áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông, ta có : AB2 = BH BC AC2 = CH.BC Từ ta có: HB AB c   HC AC b    Do H nằm B C nên ta suy : b2 HB  c2 HC  Do I tâm tỉ cự hệ điểm A, B, C gắn với họ hệ số a2, b2, c2 nên:     a IA  b IB  c IC         a IA  b ( HB  HI )  c ( HC  HI )       2  a IA  (b  c ) IH  b HB  c HC  (2) Lại có: ABC vuông A nên : a2 = b2 + c2 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra:    a IA  a IH      IA  IH   I trung điểm AH Vậy điểm I xác định trung điểm AH với H chân đường cao hạ từ A ABC * Nhận xét: Từ toán ta biết rằng: Phan Thị Minh Huệ 55 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Bài toán xác định điểm điểm G tâm tỉ cự hệ điểm A1, An cho trước gắn với họ hệ số 1, , n cho trước thực chất toán dựng điểm G thoả n   mãn đẳng thức đẳng thức véctơ:  i GAi  (*) i 1 Từ đẳng thức (*) suy với điểm M ta có:     i (MAi  MG)  n i 1   n   n  i MAi    i  MG   i 1 i 1  Kết sử dụng để giải toán: "Cho n điểm Ai, i = 1,n n số thực i, i =1,n thoả mãn  n  i  i 1 Tìm số thực k điểm G cố định cho đẳng thức vectơ sau thoả mãn với n    GA  k MG điểm M: (1)" i i i 1 Phương pháp chung để giải toán sau: Vì đẳng thức (1') thoả mãn với điểm M nên với M  G Khi đó: n   i GAi  kGG n   i GAi   i 1 (2') i 1 Xác định điểm G từ (2') Mặt khác, từ (2') suy ra: n    i (MAi  MGi )  i 1  n   i MAi  i MG n i 1 (3') i 1 n   Từ (1') (3') suy ra:  i MG i  k MG  k   i n i 1 i 1 Ta xét ví dụ: Phan Thị Minh Huệ 56 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Cho tứ giác ABCD, M điểm tuỳ ý Trong trường hợp tìm số k điểm cố định I, J, K cho đẳng thức vectơ sau thoả mãn với điểm M:    a 2MA  MB  k MI (1)     b MA  MB  2MC  k MJ (2)      c MA  MB  MC  3MD  k MK (3) Bài giải a Vì (1) thoả mãn với điểm M nên với M  I, đó:    IA  IB  k II     IA  IB  (1.1) Từ (1.1) ta suy ra:     IA  IA  IB     IA  AB   IA   AB      2( MA  MI )  MB  MI    3MI  kMI  k  Vậy điểm I xác định hệ thức: Mặt khác, từ (1.1) ta lại có: Từ (1) (1.2) suy : (1.2)   Vậy: Với k = 3, I điểm xác định hệ thức IA  AB đẳng thức (1) thoả mãn với điểm M b Vì (2) thoả mãn với điểm M nên (2) với M  J, đó:         (2.1) IA  JB  JC  k JJ  JA  JB  2JC     Gọi E trung điểm AB, ta có: JA  JB  JE Do đó: Phan Thị Minh Huệ 57 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp    (2.1)  JE  JC      JE  JC   J trung điểm EC Mặt khác :        (2.1)  ( MA  MJ )  ( MB  MJ )  2( MC  MJ )       MA  MB  MC  4MJ  Từ (2) (2.2) suy ra: 4MJ  kMJ  k  (2.2) Vậy: Với k = J trung điểm CE với E trung điểm AB đẳng thức (2) thoả mãn với điểm M c Vì (3) thoả mãn với điểm M nên (3) với M  K, đó:      KA  KB  KC  3KD  k KK       KA  KB  KC  3KC  (3.1)     Gọi G trọng tâm  ABC, ta có: KA  KB  KC  3KG Do :    (3.1)  3KG  3KD      KG  KD   K trung điểm GD Mặt khác :          (3.1)  MA  MK  MB  MK  MC  MK  3( MD  MK )        MA  MB  MC  3MD  6MK   Từ (3) (3.2) suy ra: 6MK  kMK  k  (3.2) Vậy với k = K trung điểm GD với G trọng tâm  ABC đẳng thức (3) thoả mãn với điểm M 2.4.2 Bài tập đề nghị Phan Thị Minh Huệ 58 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Bài 1: Trong không gian cho tứ diện ABCD Hãy dựng điểm I cho I tâm tỉ cự hệ điểm {A, B, C, D} gắn với họ hệ số {1; 1; 1; 3} Hướng dẫn:     Gọi G trọng tâm ABC Ta có: IA  IB  IC  3IG Do I tâm tỉ cự hệ điểm {A,B,C,D} gắn với họ hệ số {1;1;1;3}           nên: IA  IB  IC  3ID   3IG  3ID   IG   ID Từ suy cách dựng điểm I Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Hãy dựng điểm H cho O tâm tỉ cự hệ điểm {A,B,C,D,H} gắn với họ hệ số {1;1;1;1;-2} Hướng dẫn:    OA  OB  2OM Gọi M, N trung điểm AB, CD Ta có:     OC  OD  2ON    Gọi I trung điểm MN Ta có: OM  ON  2OI Do O tâm tỉ cự hệ điểm {A,B,C,D,H} gắn với họ hệ số {1;1;1;1;-2} nên :             OA  OB  OC  OD  2OH   2OM  2ON  2OH   OH  2OI Từ suy cách dựng điểm H Bài : Trong mặt phẳng cho  ABC, hãy: a Dựng điểm I cho I tâm tỉ cự hệ điểm A, B, C gắn với họ hệ số {1;3;-2} Dựng điểm D cho D tâm tỉ cự hệ điểm B, C gắn với họ hệ số {3; -2} b Chứng minh A, I, D thẳng hàng Hướng dẫn: Phan Thị Minh Huệ 59 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp a Gọi E trung điểm AB Do I tâm tỉ cự hệ điểm A, B, C gắn với họ hệ số {1;3;-2} nên:          IA  3IB  IC   IA  IB  IB  IC          2IE  2CB   IE  BC Từ suy cách dựng điểm I Gọi D tâm tỉ cự hệ điểm B, C gắn với họ hệ số {3; -2}, ta có:          3DB  2DC   DB  DB  DC   DB  2BC   Từ suy cách dựng điểm D      b Ta có: AI  AE  EI  AB  CB       AB  2CB  AB  BD  AD 2     Từ suy điều phải chứng minh Bài 4: Trong mặt phẳng cho  ABC, hãy: a Dựng điểm I tâm tỉ cự hệ điểm A, B, C gắn với họ hệ số {3; -2; 1} b Chứng minh rằng: Đường thẳng nối điểm M, N xác định hệ thức:     MN  3MA  2MB  MC qua I Hướng dẫn: Gọi E trung điểm AC a.Do I tâm tỉ cự hệ điểm {A,B,C} gắn với họ hệ số {3;-2;1} nên:          3IA  IB  IC   IA  IB  IA  IC          2BA  2IE   IE  AB Từ suy cách dựng điểm I Phan Thị Minh Huệ 60 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp b.Theo tính chất tâm tỉ cự ta có:      3MA  2MB  MC     1 MI  2MI       Do đó: MN  3MA  2MB  MC  MN  2MI Từ suy điều phải chứng minh Bài 5: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC, M điểm tuỳ ý Trong trường hợp tìm số k điểm cố định I, J cho đẳng thức vectơ sau thoả mãn với điểm M :    (1) a MA  2MB  kMI     (2) b 2MA  MB  MC  kMJ Hướng dẫn: a Vì (1) thoả mãn với điểm M nên với M  I, đó:       IA  2IB  k II  IA  2IB  (1.1) Xác định điểm I từ (1.1)         Lại có: (1.1)  MA  MI  2( MB  MI )   MA  2MB  3MI (1.2) Từ (1) (1.2) suy điều kiện k b Vì (2) thoả mãn với điểm M nên (2) với M  J, đó:         (2.1) JA  JB  JC  k JJ  JA  JB  JC  Xác định điểm J từ (2.1)        Lại có: (2.1)  2( MA  MJ )  ( MB  MJ )  ( MC  MJ )       2MA  MB  MC  2MI (2.2) Từ (2) (2.2) suy điều kiện k Phan Thị Minh Huệ 61 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Kết luận Tâm tỉ cự khái niệm học sinh phổ thông Tuy nhiên, em làm quen với khái niệm dạng khái niệm quen thuộc: trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác trọng tâm tứ diện Nhằm góp phần hoàn thiện cho học sinh có cách nhìn hình học, khóa luận đưa số kiến thức tâm tỉ cự hệ thống tập áp dụng Từ giúp học sinh thấy thống khái niệm tâm tỉ cự khái niệm khác trường hợp riêng tâm tỉ cự mà học sinh biết, góp phần làm cho học sinh có cách nhìn toàn diện sâu sắc Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận này, em nhận quan tâm giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Hình học khoa Toán, đặc biệt thầy Đinh Văn Thủy giúp đỡ tận tình đóng góp ý kiến quý báu thời gian vừa qua Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận trở thành tài liệu tham khảo thực bổ ích cho tất bạn có niềm đam mê môn toán Phan Thị Minh Huệ 62 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp tài liệu tham khảo [1].Đào Văn Dũng, (2009), Ba phương pháp giải toán hình không gian, Nxb Giáo dục [2].Đỗ Thanh Sơn, (2000), Phương pháp giải toán hình học phẳng 10, Nxb trẻ [3].Hà Trầm, (2005), Bài tập hình học afin hình học Ơcơlít, Nxb Đại học Sư phạm [4].Lê Hồng Đức-Lê Bích Ngọc-Lê Hữu Trí, (2008), Phương pháp giải toán vectơ, Nxb Hà Nội [5].Nguyễn Trọng Tuấn, (2008), Rèn luyện giải toán hình học 10, Nxb Giáo dục [6].Nguyễn Văn Lộc, (2007), Phương pháp vectơ giải toán hình học phẳng, Nxb giáo dục [7].Văn Như Cương-Tạ Mân, (1998), Hình học afin hình học Ơcơlít, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Phan Thị Minh Huệ 63 K32G- Toán [...]... các đỉnh P0, P1, , Pm và ký hiệu là: S(P0,P1, ,Pm.)  m  * Tập hợp những điểm M sao cho P0 M   i P0 Pi ,với 0  i  1, i  1, m được i 0 gọi là m - hộp chương 2 : ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán 2.1 ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán chứng minh 2.1.1 Bài tập mẫu Bài 1: Cho G' là tâm tỉ cự của họ k điểm P1, , Pk gắn với họ hệ số 1, , k k ( i  0) Cho G'' là tâm tỉ. .. di động trên 2 đường thẳng AB, AC sao cho A là tâm tỉ cự của các hệ điểm {B, M} và {C, N} lần lượt gắn với họ các hệ số {m, -1} và {n, -1} Hãy tìm điều kiện của m     và n sao cho vectơ v  BN  CM cùng phương với BC Bài giải Do A là tâm tỉ cự của các hệ điểm {B, M} và {C, N} lần lượt gắn với      họ các hệ số {m, -1} và {n, -1} nên ta có: mAB  AM  0  AM  mAB ... là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C,N} gắn với họ hệ số {1,1,2,-1}      nên : MA  MB  2MC  MN  0     (2)  MN  MA  MB  2MC   Từ (1) và (2) suy ra: MN  4MI Từ đó suy ra điều phải chứng minh 2.2 ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán tính toán 2.2.1 Bài tập mẫu Bài 1: Trong không gian cho tứ diện ABCD Gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là tâm tỉ cự của các. .. Tính các vectơ AB , BC theo a và b b Hai điểm M, N lần lượt di động trên 2 đường thẳng AB và AD sao cho A là tâm tỉ cự của các hệ điểm B ; M  và D ; N  lần lượt gắn với họ của các hệ Phan Thị Minh Huệ 28 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp số m ;  1 và n ;  1 Tìm điều kiện của m và n sao cho 3 điểm M, N, C thẳng hàng." Bài giải a Do O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và. .. K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp 2.3 ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán quỹ tích 2.3.1 Bài tập mẫu Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm BCD và O là trung điểm của AG a.Chứng minh:O là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C, D} gắn với hệ số {3;1;1;1} b Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ ta có : 3MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 6MO2 + OA2 + OB2 + OC2 + OD2 c Tìm quỹ tích các điểm M sao cho: 3MA2 + MB2 + MC2... tỉ cự của họ m - k điểm Pk+1, , Pm gắn với họ hệ i 0 m số k+1, , m (   j  0) Chứng tỏ rằng khi đó G là tâm tỉ cự của họ điểm j k 1 k G', G'' gắn với họ hệ số  '   i và "  i 1 m  j  k 1 j Bài giải Do G' là tâm tỉ cự của họ điểm P1, , Pk gắn với họ hệ số 1, ,k nên :    i G' Pi  0 k (1) i 1 Phan Thị Minh Huệ 13 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Tương tự, vì G'' là tâm tỉ cự. .. Gj, Pj thẳng hàng j  1, n Từ đó ta có điều phải chứng minh Bài 5: Trong mặt phẳng cho ABC Gọi I là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với hệ số {1; 1;2} M, N là hai điểm thay đổi trên mặt phẳng sao cho M là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C, N} gắn với họ hệ số {1, 1, 2, -1} Chứng minh rằng: MN luôn đi qua một điểm cố định Hướng dẫn: Do I là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với hệ số {1; 1;2} nên:... AC 7 Mặt khác: A là tâm tỉ cự của hệ điểm {C, F} gắn với họ hệ số {k, -1} nên      k AC  AF  0  AF  k AC Để B, E, F thẳng hàng ta phải có F  F ' Từ đó suy ra: k  3 7 Bài 5: Trong mặt phẳng cho  ABC Gọi D là tâm tỉ cự của hệ điểm {B, C} gắn với họ hệ số {3, -2}    AD AB a Tính theo và AC b Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm sao cho A là tâm tỉ cự của hệ điểm {C,... AC 4 3 Bài 4: Trong mặt phẳng cho ABC Gọi E là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {4;2;3} Gọi F là điểm sao cho A là tâm tỉ cự của hệ điểm {C, F} gắn với họ hệ số {k, -1} Xác định k để B, E, F thẳng hàng Hướng dẫn: Phan Thị Minh Huệ 34 K32G- Toán Khoá luận tốt nghiệp Gọi F’ là tâm tỉ cự của hệ hai điểm {A, C} gắn với họ hệ số {4, 3} Ta chứng minh: B, E, F’ thẳng hàng    ... là tập hợp các tâm tỉ cự của họ điểm P0, P1, , Pm (gắn với các họ hệ số khác nhau) Điểm M   Do đó:  M là tâm tỉ cự của họ điểm P0, P1, , Pm gắn với họ hệ số 0' , 1' , , m' nào đó     i' MPi  0 m i 0      i' (OPi  OM )  0 m i 0 m  m   ( i' )OM   i' OPi i 0 m Vì  i 0 ' i  0 nên nếu đặt i  (3) i 0 i' m  i 0  m  thì:  i  1 và (3)  OM ... tài:“ Tâm tỉ cự ứng dụng “ 2.Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu: -Nghiên cứu kiến thức tâm tỉ cự ứng dụng việc giải toán hình học -Xây dựng hệ thống tập tập tự luyện thể việc sử dụng tâm tỉ cự để...  1, m i 0 gọi m - hộp chương : ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán 2.1 ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán chứng minh 2.1.1 Bài tập mẫu Bài 1: Cho G' tâm tỉ cự họ k điểm P1, , Pk gắn với họ hệ... 1.2 .Tâm tỉ cự 1.2.1.Khái niệm tâm tỉ cự 1.2.2.Nhận xét 1.2.3.Một số định lí 10 Chương 2 :ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán 13 2.1 .ứng dụng tâm tỉ cự để giải số toán chứng minh 13 2.1.1.Bài tập mẫu 13