Tâm tỉ cự và các ứng dụng

Phan Thị Minh Huệ 1 K32G- ToánLỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình học và trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã quan tâm và giúp đỡ em trong thờ

Phan Thị Minh Huệ 1 K32G- Toán

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình học và trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã quan tâm và giúp đỡ em trong thời gian em nghiên cứu và hoàn thành khóa luận của mình

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thủy, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian vừa qua để em có thể hoàn thành được khóa luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà

em trình bày trong khoá luận kho tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên đẻ khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Phan Thị Minh Huệ 2 K32G- Toán

Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với giúp đỡ tận tình của thầy Đinh Văn Thủy

và sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2

Bản khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả khác Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!

Hà Nội , tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Phan Thị Minh Huệ

Phan Thị Minh Huệ 3 K32G- Toán

mục lục Nội dung Trang Lời cảm ơn 1

Lời cam đoan 2

Mục lục 3

Mở đầu 5

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị 6

1.1.Không gian afin 6

1.1.1.Định nghĩa không gian afin 6

1.1.2.Các tính chất đơn giản 6

1.1.3.Phẳng trong không gian afin 7

1.1.4.Hệ điểm độc lập 7

1.2.Tâm tỉ cự 8

1.2.1.Khái niệm tâm tỉ cự 8

1.2.2.Nhận xét 9

1.2.3.Một số định lí 10

Chương 2:ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán 13

2.1.ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán chứng minh 13

2.1.1.Bài tập mẫu 13

2.1.2.Bài tập đề nghị 20

2.2.ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán tính toán 23

2.2.1.Bài tập mẫu 23

2.2.2.Bài tập đề nghị 32

Phan Thị Minh Huệ 4 K32G- Toán

2.3.ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán quỹ tích 35

2.3.1.Bài tập mẫu 35

2.3.2.Bài tập đề nghị 43

2.4.ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán dựng hình 47

2.4.1.Bài tập mẫu 47

2.4.2.Bài tập đề nghị 57

Kết luận 60

Tài liệu tham khảo 61

`

Phan Thị Minh Huệ 5 K32G- Toán

Mở đầu

1.Lý do chọn đề tài:

Toán học là một môn học gây nhiều hứng thú đối với những học sinh yêu toán Học tốt môn toán giúp các em có khả năng tư duy logic và lập luận vấn đề một cách chặt chẽ Trong các môn của toán học, hình học luôn được

coi là môn học khó nhất đối với nhiều học sinh

Trong chương trình hình học ở phổ thông học sinh được biết đến các khái niệm: Trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, và trọng tâm của tứ diện Đó đều là các trường hợp riêng của khái niệm tâm tỉ cự được trình bày ở bậc cao đẳng và đại học khi chúng ta làm quen với môn hình học Afin

Để góp phần làm rõ tính thống nhất giữa khái niệm tâm tỉ cự và các khái niệm mà học sinh phổ thông được biết đến đã nêu trên, em đi sâu nghiên cứu về lý thuyết tâm tỉ cự và ứng dụng của nó để giải các bài toán hình học

Trong khuôn khổ một luận văn tốt nghiệp, do thời gian nghiên cứu có hạn, em chỉ trình bày những kiến thức cơ bản về tâm tỉ cự và ứng dụng của nó trong một số lớp bài toán: chứng minh, tính toán, quỹ tích, dựng hình

Đó là những lý do mà em chọn đề tài:“ Tâm tỉ cự và các ứng dụng “

2.Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu:

-Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của tâm tỉ cự và ứng dụng của nó

trong việc giải các bài toán hình học

-Xây dựng hệ thống bài tập và bài tập tự luyện thể hiện việc sử dụng tâm tỉ cự để giải các lớp bài toán: chứng minh, tính toán, quỹ tích, dựng hình

3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

-Đối tượng nghiên cứu: tâm tỉ cự

-Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng tâm tỉ cự trong việc giải một số lớp bài toán: chứng minh, tính toán, quỹ tích, dựng hình

Phan Thị Minh Huệ 6 K32G- Toán

4.Phương pháp nghiên cứu:

Phân tích, tổng hợp tài liệu có liên quan

chương 1:các kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian afin

1.1.1.Định nghĩa không gian afin

Bộ ba (A, , V) gọi là không gian afin nếu 2 tiên đề sau đây được thoả mãn:

i, Với mọi điểm M  V, có duy nhất điểm N  A sao cho: MNu

ii, Với mọi điểm M, N, P  A có: MN NP MP     

* Không gian afin (A, , V) còn gọi là không gian afin A liên kết với không gian vectơ V, còn gọi tắt là không gian afin A trên trường K (hoặc K - không gian afin A)

Không gian vectơ liên kết V thường được ký hiệu là A

* Không gian afin A gọi là n chiều (ký hiệu dim A = n) nếu dim V = n

1.1.1.2 Ví dụ

Không gian Euclid 2 chiều E2 và 3 chiều E3

thông thường trình bày ở trường trung học phổ thông là những không gian afin liên kết với không gian vectơ (tự do) 2 chiều, 3 chiều ở PTTH

1.1.2.Các tính chất đơn giản

a Với mọi điểm MA thì MM 0

Phan Thị Minh Huệ 7 K32G- Toán

b Với mọi điểm M N, A mà MN0 thì M  N

c.Với mọi cặp điểm M N, A thì MN NM

d Với mọi điểm M N P Q, , , A ta có: MNPQMPNQ

e Với 3 điểm , ,O M NA ta có : MN  ONOM

1.1.3 Phẳng trong không gian afin

* Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A

Gọi I là một điểm của A và  là một không gian vectơ con của A

1.1.4.2 Định lý

1.1.4.2.1 Định lý

Qua m + 1 điểm độc lập của không gian afin A có một và chỉ một

m - phẳng (m0)

Phan Thị Minh Huệ 8 K32G- Toán

Chứng minh:

Giả sử A0, A1 , , Am là m + 1 điểm độc lập của không gian afin A liên kết với không gian vectơ A

Khi đó: Hệ m vectơ  A A A A0 1, 0 2, ,A A0 m

Vậy  là cái phẳng qua m + 1 điểm đã cho

Mặt khác: Do  là cái phẳng qua A0 và có phương  nên  là duy nhất

Phan Thị Minh Huệ 9 K32G- Toán

1 k

k i i i

Phan Thị Minh Huệ 10 K32G- Toán

Gọi G' là tâm tỉ cự của hệ điểm {Pi} gắn với họ hệ số mi,i1, ,k mK \ 0  Khi đó ta có:

Do tâm tỉ cự của hệ điểm gắn với họ hệ số đã cho là duy nhất nên ta có:G'

G

Từ điều chứng minh được ở trên ta có nhận xét:

Trong trường hợp G là trọng tâm của hệ điểm có thể lấy i 1,i1,k

và khi đó trọng tâm G của hệ điểm {Pi} được xác định bởi :

1

1 k

i i

thuộc phương  của phẳng 

Ta lấy hệ vectơ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ vectơ trên, giả sử đó là:

0 1, 0 2, , 0 k( )

P P P P P P sk

 

Vậy dim = s Khi đó:

Điểm G   P G0 

Phan Thị Minh Huệ 11 K32G- Toán

1 k

k i i i

Cho m - phẳng  đi qua m + 1 điểm độc lập P0,P1, ,Pm Khi đó 

chính là tập hợp các tâm tỉ cự của họ điểm đó (gắn với các họ hệ số khác nhau)

1.2.3.2 Định lý 2

1.2.3.2.1 Định lý

Phan Thị Minh Huệ 12 K32G- Toán

Cho m - phẳng  đi qua m + 1 điểm độc lập P0, P1, , Pm và 1 điểm O tuỳ ý Điều kiện cần và đủ để điểm M   là:

i

i i

* Theo định lý 2.3.2.1 ta có m - phẳng  đi qua m +1 điểm độc lập P0,

P1,…,Pm gồm những điểm M sao cho với điểm O nào đó :

Phan Thị Minh Huệ 13 K32G- Toán

chương 2 : ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán

2.1 . ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán chứng minh

Phan Thị Minh Huệ 14 K32G- Toán

Tương tự, vì G'' là tâm tỉ cự của họ m - k điểm Pk+1, ,Pm gắn với họ hệ

m j

(3)

Phan Thị Minh Huệ 15 K32G- Toán

P1, P2, P3, P4 và đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại

Gọi G', G'' lần lượt là trung điểm của P1P2, P3P4

Phan Thị Minh Huệ 16 K32G- Toán

Ta có thể mở rộng bài toán trên cho m điểm phân biệt:

"Cho m điểm phân biệt P1, P2 , ., Pm. Xét các đường thẳng đi qua

trọng tâm của k điểm trong hệ điểm {P1, , Pm} và đi qua trọng tâm của

(m-k) điểm còn lại trong hệ điểm đó (k = 1; 2; ; m -1 ) Chứng minh rằng: Tất

GP





  (1) Với mỗi k  {1; 2; : m-1}:

Xét các đường thẳng đi qua trọng tâm của k điểm trong hệ điểm

P1, ,Pm và đi qua trọng tâm của (m - k) điểm còn lại trong hệ điểm đó:

Không giảm tổng quát, giả sử k điểm trong hệ điểm P1, ., Pm là





  (2)

Gọi G'' là trọng tâm của hệ điểm Pk+1, Pk + 2, , Pm

Phan Thị Minh Huệ 17 K32G- Toán

Chứng minh tương tự ta có: G thuộc các đường thẳng còn lại

Vậy các đường thẳng đang xét đồng quy tại G

Phan Thị Minh Huệ 18 K32G- Toán

a Nếu

1

0

k i i







 thì gọi G là tâm tỉ cự của hệ điểm P1, , Pk gắn với họ

hệ số {1, , k} Chứng minh rằng: Khi đó với điểm O tùy ý ta có:

b Nếu

1

0

k i i

b Khi

1

0

k i i

Phan Thị Minh Huệ 19 K32G- Toán

Trong mặt phẳng cho G, G' lần lượt là trọng tâm của hệ điểm

A1,…,Amvà hệ điểm B1, , Bn Chứng minh:

a Với mọi điểm M ta có:

Phan Thị Minh Huệ 20 K32G- Toán

b áp dụng kết quả của câu a, ta có:

Do G là trọng tâm của hệ điểm B1, , Bn nên:

ở bài toán trên ta xét trường hợp G là trọng tâm, còn trong trường hợp

G là tâm tỉ cự thì ta có hệ thức sau được gọi là hệ thức Jaccobi tổng quát:

Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm P1, , Pk gắn với họ hệ số 1, k thì

với mọi điểm M ta có:

Trong không gian, cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm của BCD

và O là trung điểm của AG Chứng minh rằng: O là tâm tỉ cự của hệ điểm

{A, B, C, D} gắn với họ hệ số {3; 1; 1; 1}

Hướng dẫn:

Phan Thị Minh Huệ 21 K32G- Toán

Vì G là trọng tâm BCD nên 1 

3

OG  OB  OCOD (1) Lại có: O là trung điểm của AG nên OA OG   0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 3OA OB OC      OD0

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 2:

Chứng minh rằng, trong không gian hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có

cùng trọng tâm khi và chỉ khi AA'BB  'CC'DD'0

Trong mặt phẳng, gọi G là trọng tâm tứ giác ABCD; A', B', C', D' lần

lượt là trọng tâm các tam giác: BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh

rằng: G cũng là trọng tâm của tứ giác A'B'C'D'

Hướng dẫn:

Do G là trọng tâm tứ giác ABCD nên GA GB GC      GD0

(1)

Do A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm các tam giác: BCD, ACD,

ABD, ABC nên ta có:

3 '

GB GC   GD GA (2)

3 '

GA GC   GD GB (3)

Phan Thị Minh Huệ 22 K32G- Toán

Trong mặt phẳng cho ABC Gọi I là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C}

gắn với hệ số {1; 1;2} M, N là hai điểm thay đổi trên mặt phẳng sao cho M là

tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C, N} gắn với họ hệ số {1, 1, 2, -1}

Chứng minh rằng: MN luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn:

Do I là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với hệ số {1; 1;2} nên:

Phan Thị Minh Huệ 23 K32G- Toán

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

2.2 ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán tính toán

2.2.1 Bài tập mẫu

Bài 1:

Trong không gian cho tứ diện ABCD Gọi A B C D1, , ,1 1 1 lần lượt là tâm

tỉ cự của các hệ diểm {A; B}, {B; C},{C; D},{D; A} đều gắn với họ hệ số{1;2}

Phan Thị Minh Huệ 24 K32G- Toán

Tương tự do B C D1, 1, 1 lần lượt là tâm tỉ cự của các hệ điểm

{ơB,C},{C,D}, {D, A} đều gắn với họ hệ số {1, 2} nên:

+ B B1 2B C1 0 B A 1  AB2(B A 1 AC)0

1

1

1( 2 )3

1( 2 )3

1( 2 )3

Phan Thị Minh Huệ 25 K32G- Toán

Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát:

"Trong không gian cho tứ diện ABCD Gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là tâm tỉ cự của các hệ điểm {A, B}, {B, C}, {C, D}, {D, A} đều gắn với họ hệ

số {1, k} với k ≠ 0 và k ≠ -1 Đặt AB b, AC c , AD d" Hãy tính các vectơ: A B1 1

Phan Thị Minh Huệ 26 K32G- Toán

Do đó:

2 0

ˆ .cos cos 60

"Cho tứ diện ABCD có AB = b, AC = c, AD = d Ba góc phẳng ở đỉnh

A là ,,.Gọi G là trọng tâm  BCD Tính AG"

AG AB AC AD AB AC AB AD AC AD

          

Phan Thị Minh Huệ 27 K32G- Toán

 2 cos 2 cos 2 cos

9

1 2 2 2

2

cd bd

bc d

c b

bc d

c b



+ ở bài toán trên ta xét trường hợp ABCD là tứ diện Trong trường hợp

mở rộng tứ diện trở thành hình hộp, ta được bài toán sau cũng có cách giải tương tự bài toán ban đầu:

3

A G A A A A AB A A AD

        

1' ( 3 ')

Phan Thị Minh Huệ 28 K32G- Toán

Trong mặt phẳng cho  ABC Hai điểm M, N lần lượt di động trên 2 đường thẳng AB, AC sao cho A là tâm tỉ cự của các hệ điểm {B, M} và {C, N} lần lượt gắn với họ các hệ số {m, -1} và {n, -1} Hãy tìm điều kiện của m

và n sao cho vectơ v BN CM    cùng phương với BC

Bài giải

Do A là tâm tỉ cự của các hệ điểm {B, M} và {C, N} lần lượt gắn với

họ các hệ số {m, -1} và {n, -1} nên ta có: mAB  AM  0 AM mAB

ở bài toán trên ta xét trường hợp ABC là tam giác Trong trường hợp

mở rộng tam giác trở thành hình bình hành, ta có thể biến đổi đề bài 1 chút và thu được bài toán :

"Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt BD b, ACa , BDb

a Tính các vectơ  AB BC,

theo a

và b

b Hai điểm M, N lần lượt di động trên 2 đường thẳng AB và AD sao cho A là tâm tỉ cự của các hệ điểm B M và ;  D N lần lượt gắn với họ của các hệ ; 

Phan Thị Minh Huệ 29 K32G- Toán

số m; 1  và n; 1  Tìm điều kiện của m và n sao cho 3 điểm M, N, C thẳng hàng."

Phan Thị Minh Huệ 30 K32G- Toán

Phan Thị Minh Huệ 31 K32G- Toán

Do G là trọng tâm  ABC nên:

22

Phan Thị Minh Huệ 32 K32G- Toán

a Dựng hình bình hành IA CB sao cho ', '' ' A B lần lượt nằm trên các

đường phân giác AD, BE của các góc A, B của tam giác ABC

Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC , ta có : 2p = a+b+c

Theo phần a) ta có: aIA bIB cIC 0

Phan Thị Minh Huệ 33 K32G- Toán

Trong không gian cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a Gọi

P, Q là các điểm sao cho A, C' lần lượt là tâm tỉ cự của các hệ điểm {P, D’}, {Q, D} đều gắn với họ hệ số {1, 1} Tính độ dài PQ

Phan Thị Minh Huệ 34 K32G- Toán

Trong không gian cho 3 tia OA, OB, OC đôi một vuông góc OA = a,

OB= b, OC = c Gọi G là trọng tâm  ABC Tính OG theo a, b, c

Hướng dẫn:

Theo giả thiết ta có: OAOB      OAOC OB OC 0

Do G là trọng tâm của  ABC nên:

13

Trong mặt phẳng cho  ABC Gọi I, J, K lần lượt là tâm tỉ cự của các

hệ điểm {B, C}, {A, C}, {A, B} lần lượt gắn với họ các hệ số {1, -3}, {1, 2}, {3,1} Tính AI, JK

Hướng dẫn:

Phan Thị Minh Huệ 35 K32G- Toán

Gọi F’ là tâm tỉ cự của hệ hai điểm {A, C} gắn với họ hệ số {4, 3}

qua hai vectơ AB, AC

và từ đó suy ra điều kiện của k

Phan Thị Minh Huệ 36 K32G- Toán

2.3 ứng dụng tâm tỉ cự để giải một số bài toán quỹ tích

2.3.1 Bài tập mẫu

Bài 1:

Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm BCD và O là trung điểm của

AG

a.Chứng minh:O là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C, D} gắn với hệ số {3;1;1;1}

b Chứng minh rằng với điểm M bất kỳ ta có :