Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 63 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
63
Dung lượng
786,68 KB
Nội dung
Khoá lu n t t nghi p L IC M N Em xin chân thành c m n th y giáo, giáo t Hình h c khoa Toán tr ng HSP Hà N i quan tâm giúp đ em th i gian em nghiên c u hồn thành khóa lu n c a Em xin bày t lòng bi t n sâu s c t i th y t n tình h đ inh V n Th y, ng i ng d n em su t th i gian v a qua đ em có th hồn thành c khóa lu n Do trình đ th i gian nghiên c u h n ch nên nh ng v n đ mà em trình bày khoá lu n kho tránh kh i nh ng thi u sót Em kính mong nh n đ c s ch b o đóng góp ý ki n c a th y giáo, cô giáo, b n sinh viên đ khóa lu n c a em đ c hoàn thi n h n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Phan Th Minh Hu Phan Th Minh Hu K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p L i cam đoan Em xin cam đoan khóa lu n đ c hồn thành s n l c tìm hi u, nghiên c u c a b n thân, v i giúp đ t n tình c a th y s giúp đ c a th y khoa tốn tr inh V n Th y ng HSP Hà N i B n khóa lu n khơng trùng v i k t qu c a tác gi khác N u trùng em xin hoàn toàn ch u trách nhi m! Hà N i , tháng 05 n m 2010 Sinh viên Phan Th Minh Hu Phan Th Minh Hu K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p m cl c N i dung Trang L ic m n L i cam đoan M cl c M đ u Ch ng 1: Các ki n th c chu n b 1.1.Không gian afin 1.1.1 nh ngh a không gian afin 1.1.2.Các tính ch t đ n gi n 1.1.3.Ph ng không gian afin 1.1.4.H m đ c l p 1.2.Tơm t c Ch 1.2.1.Khái ni m tâm t c 1.2.2.Nh n xét 1.2.3.M t s đ nh lí 10 ng 2: ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi toán 13 2.1 ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi toán ch ng minh 13 2.1.1.Bài t p m u 13 2.1.2.Bài t p đ ngh 20 2.2 ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi toán tính tốn 23 2.2.1.Bài t p m u 23 2.2.2.Bài t p đ ngh 32 Phan Th Minh Hu K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p 2.3 ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi tốn qu tích 35 2.3.1.Bài t p m u 35 2.3.2.Bài t p đ ngh 43 2.4 ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi tốn d ng hình 47 2.4.1.Bài t p m u 47 2.4.2.Bài t p đ ngh 57 K t lu n 60 TƠi li u tham kh o 61 ` Phan Th Minh Hu K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p M đ u 1.Lý ch n đ tƠi: Toán h c m t môn h c gây nhi u h ng thú đ i v i nh ng h c sinh u tốn H c t t mơn tốn giúp em có kh n ng t logic l p lu n v n đ m t cách ch t ch Trong mơn c a tốn h c, hình h c ln đ c coi mơn h c khó nh t đ i v i nhi u h c sinh Trong ch ng trình hình h c ph thông h c sinh đ c bi t đ n khái ni m: Trung m c a đo n th ng, tr ng tâm c a tam giác, tr ng tâm c a t di n trình bày ó đ u tr ng h p riêng c a khái ni m tâm t c đ c b c cao đ ng đ i h c làm quen v i mơn hình h c Afin góp ph n làm rõ tính th ng nh t gi a khái ni m tâm t c khái ni m mà h c sinh ph thông đ c bi t đ n nêu trên, em sâu nghiên c u v lý thuy t tâm t c ng d ng c a đ gi i tốn hình h c Trong khn kh m t lu n v n t t nghi p, th i gian nghiên c u có h n, em ch trình bày nh ng ki n th c c b n v tâm t c ng d ng c a m t s l p toán: ch ng minh, tính tốn, qu tích, d ng hình ó nh ng lý mà em ch n đ tài:“ Tâm t c ng d ng “ 2.M c đích, nhi m v nghiên c u: -Nghiên c u ki n th c c b n c a tâm t c ng d ng c a vi c gi i tốn hình h c -Xây d ng h th ng t p t p t luy n th hi n vi c s d ng tâm t c đ gi i l p toán: ch ng minh, tính tốn, qu tích, d ng hình it - ng, ph m vi nghiên c u: it ng nghiên c u: tâm t c -Ph m vi nghiên c u: ng d ng tâm t c vi c gi i m t s l p toán: ch ng minh, tính tốn, qu tích, d ng hình Phan Th Minh Hu K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p ng pháp nghiên c u: 4.Ph Phân tích, t ng h p tài li u có liên quan ch ng 1:các ki n th c chu n b 1.1 Không gian afin 1.1.1 nh ngh a không gian afin 1.1.1.1 nh ngh a * Cho không gian vect V tr ng K, t p A ≠ mà ph n t c a g i m ánh x : A A V ( M , N ) ( M , N ) MN B ba (A, , V) g i không gian afin n u tiên đ sau đ c tho mãn: i, V i m i m M V, có nh t m N A cho: MN u ii, V i m i m M, N, P A có: MN NP MP * Khơng gian afin (A, , V) g i khơng gian afin A liên k t v i không gian vect V, g i t t khơng gian afin A tr ng K (ho c K không gian afin A) Không gian vect liên k t V th ng đ c ký hi u A * Không gian afin A g i n chi u (ký hi u dim A = n) n u dim V = n 1.1.1.2 Ví d Khơng gian Euclid chi u E2 chi u E3 thông th ng trình bày tr ng trung h c ph thông nh ng không gian afin liên k t v i không gian vect (t do) chi u, chi u PTTH 1.1.2.Các tính ch t đ n gi n a V i m i m M A MM Phan Th Minh Hu K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p b V i m i m M , N A mà MN M N c.V i m i c p m M , N A MN NM d V i m i m M , N , P , Q A ta có: MN PQ MP NQ e V i m O, M , N A ta có : MN ON OM 1.1.3 Ph ng không gian afin * Cho không gian afin A liên k t v i không gian vect A G i I m t m c a A m t không gian vect c a A Khi t p h p M A IM đ c g i ph ng (c ng g i t t "ph ng") qua I có ph ng * N u có s chi u b ng m g i ph ng m chi u (hay g i m - ph ng) Nh v y: + 0- ph ng m + n - ph ng c a không gian afin n chi u A A + 1- ph ng g i đ ng th ng + N u dim A = n (n - )- ph ng g i siêu ph ng 1.1.4 H m đ c l p 1.1.4.1 nh ngh a H m + m A0, A1, , Am (m 1) c a không gian afin A g i đ c l p n u m vect A0 A1 , A0 A2 , , A0 Am c a A h vect đ c l p n tính H g m m t m A0 b t k (t c tr 1.1.4.2 1.1.4.2.1 ng h p m = 0) đ c xem đ c l p nh lý nh lý Qua m + m đ c l p c a khơng gian afin A có m t ch m t m - ph ng (m 0) Phan Th Minh Hu K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p Ch ng minh: Gi s A0, A1 , , Am m + m đ c l p c a không gian afin A liên k t v i không gian vect A Khi đó: H m vect A0 A1 , A0 A2 , , A0 Am đ c l p n tính Ta g i không gian vect c a A nh n m vect c s Bây gi g i ph ng qua A0 có ph ng Rõ ràng, A0 Ai nên Ai , i, m V y ph ng qua m + m cho M t khác: Do ph ng qua A0 có ph ng nên nh t 1.1.4.2.2 H qu m +1 m c a không gian afin A đ c l p ch chúng không n m m t (m - 1) - ph ng (m 1) 1.2.Tơm t c 1.2.1 Khái ni m tơm t c nh lý 1.2.1.1 Cho k m P1,P2, ,Pk c a không gian afin k s thu c tr 1, 2 , , k cho ng K: n i 1 i Khi có nh t m G cho: k i GPi i 1 Ch ng minh: G i O m tu ý c a khơng gian afin A Khi đó: k GP ( OP i i i i OG) k i 1 i 1 Phan Th Minh Hu K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p k i OPi ( i )OG k i 1 i 1 OG k i 1 k i OPi (1) i 1 i ng th c (1) ch ng t m G xác đ nh nh t nh ngh a 1.2.1.2 i m G th a mãn đ nh lý nêu đ c g i tâm t c c a h m {Pi} g n v i h h s i ng h p i b ng nhau, m G g i tr ng tâm c a h Trong tr m {Pi} Khi k=2 tr ng tâm G c a h m P1 , P2 đ m c a đo n [P1P2] c g i trung 1.2.2 Nh n xét k N u thay h s i , i 1, k, i b i mi , m K \ 0 tâm t c i 1 G không thay đ i Th t v y: k Gi s G tâm t c c a h m {Pi} g n v i h h s i , i, k , i i 1 Khi ta có : i GPi k i 1 k Do i nên i 1 k m , m K \ 0 i 1 i Do đó: Phan Th Minh Hu K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p G i G' tâm t c c a h m {Pi} g n v i h h s mi , i 1, k, m K \ 0 m G ( ) i ' Pi k Khi ta có: i 1 k m i G ' Pi i 1 k i G ' Pi i 1 (do m K \ 0 ) Suy ra: G' tâm t c c a h m {Pi} g n v i h h s i , i 1, k Do tâm t c c a h m g n v i h h s cho nh t nên ta có:G' G T u ch ng minh đ c ta có nh n xét: ng h p G tr ng tâm c a h m có th l y i 1, i 1, k k tr ng tâm G c a h m {Pi} đ c xác đ nh b i : OG OPi k i 1 Trong tr 1.2.3 M t s đ nh lý 1.2.3.1 1.2.3.1.1 nh lý nh lý T p h p t t c tâm t c c a h m P0, P1, , Pk (v i h h s khác nhau) ph ng bé nh t ch a m y Ch ng minh : G i ph ng bé nh t ch a m Pi , i 0, k Khi đó: Các vect P0 P1 , P0 P2 , , P0 Pk thu c ph ng c a ph ng Ta l y h vect đ c l p n tính t i đ i c a h vect trên, gi s là: P0 P1 , P0 P2 , , P0 Pk ( s k) V y dim = s Khi đó: i m G P0G Phan Th Minh Hu 10 K32G- Toán Khố lu n t t nghi p Do đó, tốn xét d G mà khơng nêu rõ cách d ng i ta ch tìm h th c xác đ nh m 2.4.1 Bài t p m u Bài 1: Trong không gian cho t di n ABCD Hãy xác đ nh v trí tr ng tâm G c a t di n BƠi gi i Do G tr ng tâm c a t di n ABCD nên: GA GB GC GD (1) G i M, N l n l t trung m c a AB, CD Suy ra: GA GB 2GM (2) GC GD 2GN (3) T (2), (3) ta suy ra: (1) 2GM 2GN GM GN G trung m c a MN Nh v y: Tr ng tâm G c a t di n ABCD trung m c a MN v i M, N l n l t trung m c a AB, CD * Nh n xét: + Do vai trò c a m A, B, C, D nh nên ta có th xác đ nh đ c v trí c a m G trung m c a PQ v i P, Q l n l t trung m c a AC, BD ho c G trung m c a RS v i R, S l n l t trung m c a AD, BC Do ta có: "Tr ng tâm c a t di n trung m c a đo n th ng n i trung m c a hai c nh đ i di n." Phan Th Minh Hu 49 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p + Bài toán xét tr ng h p tr ng tâm c a t di n Trong tr h p t di n m r ng thành hình chóp SABCD ta có tốn: ng "Cho hình chóp SABCD Hãy xác đ nh v trí tr ng tâm G c a h m S, A, B, C, D" BƠi gi i G i M, N l n l t trung m c a AB, CD Ta có: GA GC GB 2GM GD 2GN G i I trung m c a MN, ta có: GM GN GI Do G tr ng tâm c a h m S,A,B,C,D nên ta có: GA GB GC GD GS 2GM 2GN GS 4GI GS 4(GS SI ) GS GS IS V y: Tr ng tâm G c a h di m S, A, B, C, D xác đ nh b i h th c GS IS I trung m c a MN v i M,N l n l t trung m c a AB CD + Trong tr ng h p t di n m r ng thành hình h p ta có tốn: "Cho hình h p ABCD A'B'C'D' Hãy xác đ nh v trí tr ng tâm G c a h m A, B, C, D, A', B', C', D'." BƠi gi i Do ABCD A'B'C'D' hình h p nên AA'C'C, ADC'B', BDD'B' hình bình hành G i O tâm c a hình bình hành AA'C'C Phan Th Minh Hu 50 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p O trung m c a AC' A'C O trung m c a DB' O trung m c a BD Do ta có: OA OC ' OA' OC OD OB ' OB OD ' T suy ra: OA OB OC OD OA' OB' OC' OD' O G tr ng tâm c a h m A, B, C, D, A', B', C'', D' G giao m c a AC' A'C Bài 2: Cho m A, B, C, D, E D ng m O, I, K cho a O tâm t c c a h {A, B, C, D} g n v i h h s {1; 2; 3} b I tr ng tâm c a h m {A, B, C, D} c K tâm t c c a h m {A, B, C, D, E} g n v i h h s {1;1;1;3;3} BƠi gi i a.G i M, N l n l OA OC 2OM t trung m c a AC BC,Ta có OB OC 2ON Do O tâm t c c a h m {A, B, C} g n v i h h m s {1; 2; 3} nên ta có: OA 2OB 3OC (OA OC ) 2(OB OC ) 2OM 4ON 2MO 4( MN MO) MO MN Phan Th Minh Hu 51 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p V y O m xác đ nh b i h th c MO MN v i M, N l n l trung m c a AC BC t b G i G tr ng tâm c a tam giác ABC Ta có: IA IB IC 3IG v i m I b t k m t ph ng Do I tr ng tâm c a h m A, B, C, D nên: IA IB IC ID 3IG ID 3GI (GD GI ) GI GD V y: Tr ng tâm I c a h m A, B, C, D đ GI GD v i G tr ng tâm c a tam giác ABC c xác đ nh b i h th c: c G i G tr ng tâm ABC Ta có: KA KB KC 3KG , v i m K b t k m t ph ng Do K tâm t c c a h m { A, B, C, D, E} g n v i h h s {1;1;1;3;3} nên ta có: KA KB KC 3KD 3KE 3KG 3KD 3KE KG KD KE K tr ng tâm c a DEG V y m K đ c xác đ nh tr ng tâm c a DEG v i G tr ng tâm ABC Bài 3: Trong m t ph ng cho tam giác ABC Phan Th Minh Hu 52 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p a Xác đ nh m D cho A tâm t c c a h m {B, C, D} g n v i h h s {3; 2; -12} b Xác đ nh m E cho E tâm t c c a h m {A, B, C} g n v i h h s {3; -1; 2} BƠi gi i a G i M trung m c a AB Khi ta có: AB 2AM G i N m cho A tâm t c c a m C, N g n v i h h s {1; 3} Khi ta có: AC AN AC AN Do A tâm t c c a h m {B, C, D} g n v i h s {3; 2; -12} nên: AB AC 12 AD AM AN 12 AD AM AN AD D trung m c a MN V y: i m D đ c xác đ nh trung m c a MN v i M trung m c a AB N m cho A tâm t c c a h m C, N g n v i h h s {1; -3} b G i K tâm t c c a h m B, C g n v i h h s {-1;2} Khi ta có: KB 2KC Do E tâm t c c a h m A, B, C g n v i h h s {3; -1; 2} nên: 3EA EB EC 3EA ( EK KB) 2( EK KC ) 3EA EK KB KC 3( EK KA) EK EK AK Phan Th Minh Hu 53 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p c xác đ nh b i h th c EK AK v i K tâm t c c a h m B, C g n v i h h s {-1; 2} V y: i mEđ * Nh n xét: tốn tu thu c vào vi c phân tích vect EA, EB, EC theo cách khác mà ta có cách xác đ nh m E khác Ch ng h n v i m P b t k (*) 3( EP PA) ( EP PB) EC (2) 2EP 2EC 3PA 3PB N u P tâm t c c a h m A, B g n v i h h s {3; -1} ta có: 3PA PB Khi đó: (2) EP EC EP EC E trung m c a PC Ho c ta có cách phân tích khác: (1) 3( EQ QA) EB 2( EQ QC ) v i m Q b t k 5EQ EB 3QA 2QC (3) N u Q tâm t c c a h m A, C g n v i h h s {3;2} ta có: 3QA 2QC Khi đó: (3) EQ EB 5( EB BQ) EB EB QB Phan Th Minh Hu 54 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p Bài 4: Trong m t ph ng cho tam giác ABC vng góc t i A c nh BC=a, CA = b, AB = c D ng m I cho I tâm t c c a h m {A, B, C} g n v i h h s {a2, b2, c2} BƠi gi i D ng đ ng cao AH c a tam giác ABC Do tam giác vuông t i A nên áp d ng h th c l ng tam giác vng, ta có : AB2 = BH BC AC2 = CH.BC HB AB2 c HC AC b T ta có: Do H n m gi a B C nên ta suy : b2 HB c2 HC Do I tâm t c c a h m A, B, C g n v i h h s a2, b2, c2 nên: a IA b IB c IC a IA b ( HB HI ) c ( HC HI ) 2 a IA (b c ) IH b HB c HC (2) L i có: ABC vng t i A nên : a2 = b2 + c2 (3) T (1), (2), (3) suy ra: a IA a IH IA IH I trung m c a AH V y m I đ c xác đ nh trung m c a AH v i H chân đ ng cao h t A c a ABC * Nh n xét: T toán ta bi t r ng: Phan Th Minh Hu 55 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p Bài toán xác đ nh m m G tâm t c c a h m A1, An cho tr g n v i h h s 1, , n cho tr mãn đ ng th c đ ng th c véct : c c th c ch t toán d ng m G tho n (*) GA i i 0 i 1 T đ ng th c (*) suy v i m i m M ta có: i (MAi MG) n i 1 n i 1 i 1 K t qu đ n i MAi i MG c s d ng đ gi i toán: "Cho n m Ai, i = 1,n b n s th c i, i =1,n tho mãn n i i 1 Tìm s th c k m G c đ nh cho đ ng th c vect sau tho mãn v i n GA kMG (1)" m i m M: i i i 1 Ph ng pháp chung đ gi i tốn nh sau: Vì đ ng th c (1') tho mãn v i m i m M nên v i M G n i GAi kGG Khi đó: n i 1 Xác đ nh đ i GAi (2') i 1 c m G t (2') M t khác, t (2') suy ra: n i (MAi MGi ) i 1 n i MAi i MG n i 1 (3') i 1 n T (1') (3') suy ra: i MG i kMG k i n i 1 i 1 Ta xét ví d : Phan Th Minh Hu 56 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p Cho t giác ABCD, M m tu ý Trong m i tr ng h p tìm s k m c đ nh I, J, K cho đ ng th c vect sau tho mãn v i m i m M: 2MA MB kMI (1) a (2) b MA MB 2MC kMJ (3) c MA MB MC 3MD kMK BƠi gi i a Vì (1) tho mãn v i m i m M nên v i M I, đó: IA IB kII IA IB (1.1) T (1.1) ta suy ra: IA IA IB IA AB V y m I đ IA AB 2( MA MI ) MB MI 3MI kMI k c xác đ nh b i h th c: M t khác, t (1.1) ta l i có: T (1) (1.2) suy : (1.2) V y: V i k = 3, I m xác đ nh b i h th c IA AB đ ng th c (1) tho mãn v i m i m M b Vì (2) tho mãn v i m i m M nên (2) v i M J, đó: (2.1) IA JB JC kJJ JA JB 2JC G i E trung m c a AB, ta có: JA JB JE Do đó: Phan Th Minh Hu 57 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p (2.1) JE JC JE JC J trung m c a EC M t khác : (2.1) ( MA MJ ) ( MB MJ ) 2( MC MJ ) MA MB MC 4MJ T (2) (2.2) suy ra: 4MJ kMJ k (2.2) V y: V i k = J trung m c a CE v i E trung m c a AB đ ng th c (2) tho mãn v i m i m M c Vì (3) tho mãn v i m i m M nên (3) v i M K, đó: KA KB KC 3KD kKK KA KB KC 3KC (3.1) G i G tr ng tâm ABC, ta có: KA KB KC 3KG Do : (3.1) 3KG 3KD KG KD K trung m c a GD M t khác : (3.1) MA MK MB MK MC MK 3( MD MK ) MA MB MC 3MD 6MK T (3) (3.2) suy ra: 6MK kMK k (3.2) V y v i k = K trung m c a GD v i G tr ng tâm ABC đ ng th c (3) tho mãn v i m i m M 2.4.2 Bài t p đ ngh Phan Th Minh Hu 58 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p Bài 1: Trong không gian cho t di n ABCD Hãy d ng m I cho I tâm t c c a h m {A, B, C, D} g n v i h h s {1; 1; 1; 3} H ng d n: G i G tr ng tâm ABC Ta có: IA IB IC 3IG Do I tâm t c c a h m {A,B,C,D} g n v i h h s {1;1;1;3} nên: IA IB IC 3ID 3IG 3ID IG ID T suy cách d ng m I Bài 2: Cho t giác ABCD n i ti p đ ng tròn tâm O Hãy d ng m H cho O tâm t c c a h m {A,B,C,D,H} g n v i h h s {1;1;1;1;-2} H ng d n: OA OB 2OM G i M, N l n l t trung m c a AB, CD Ta có: OC OD 2ON G i I trung m c a MN Ta có: OM ON 2OI Do O tâm t c c a h m {A,B,C,D,H} g n v i h h s {1;1;1;1;-2} nên : OA OB OC OD 2OH 2OM 2ON 2OH OH 2OI T suy cách d ng m H Bài : Trong m t ph ng cho ABC, hãy: a D ng m I cho I tâm t c c a h m A, B, C g n v i h h s {1;3;-2} D ng m D cho D tâm t c c a h m B, C g n v i h h s {3; -2} b Ch ng minh A, I, D th ng hàng H ng d n: Phan Th Minh Hu 59 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p a G i E trung m c a AB Do I tâm t c c a h m A, B, C g n v i h h s {1;3;-2} nên: IA 3IB IC IA IB IB IC 2IE 2CB IE BC T suy cách d ng m I G i D tâm t c c a h m B, C g n v i h h s {3; -2}, ta có: 3DB 2DC DB DB DC DB 2BC T suy cách d ng m D b Ta có: AI AE EI AB CB AB 2CB AB BD AD 2 T suy u ph i ch ng minh Bài 4: Trong m t ph ng cho ABC, hãy: a D ng m I tâm t c c a h m A, B, C g n v i h h s {3; -2; 1} b Ch ng minh r ng: ng th ng n i m M, N xác đ nh b i h th c: MN 3MA 2MB MC qua I H ng d n: G i E trung m c a AC a.Do I tâm t c c a h m {A,B,C} g n v i h h s {3;-2;1} nên: 3IA IB IC IA IB IA IC 2BA 2IE IE AB T suy cách d ng m I Phan Th Minh Hu 60 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p b.Theo tính ch t c a tâm t c ta có: 3MA 2MB MC 1 MI 2MI Do đó: MN 3MA 2MB MC MN 2MI T suy u ph i ch ng minh Bài 5: Trong m t ph ng cho tam giác ABC, M m tu ý Trong m i tr ng h p tìm s k m c đ nh I, J cho đ ng th c vect sau tho mãn v i m i m M : (1) a MA 2MB kMI (2) b 2MA MB MC kMJ H ng d n: a Vì (1) tho mãn v i m i m M nên v i M I, đó: IA 2IB kII IA 2IB (1.1) Xác đ nh m I t (1.1) L i có: (1.1) MA MI 2( MB MI ) MA 2MB 3MI (1.2) T (1) (1.2) suy u ki n c a k b Vì (2) tho mãn v i m i m M nên (2) v i M J, đó: (2.1) JA JB JC kJJ JA JB JC Xác đ nh m J t (2.1) L i có: (2.1) 2( MA MJ ) ( MB MJ ) ( MC MJ ) 2MA MB MC 2MI (2.2) T (2) (2.2) suy u ki n c a k Phan Th Minh Hu 61 K32G- Toán Khoá lu n t t nghi p K t lu n Tâm t c m t khái ni m m i đ i v i h c sinh ph thông Tuy nhiên, em c ng đ c làm quen v i khái ni m d i d ng khái ni m quen thu c: trung m c a đo n th ng, tr ng tâm c a tam giác tr ng tâm c a t di n Nh m góp ph n hồn thi n cho h c sinh có m t cách nhìn m i v hình h c, khóa lu n đ a m t s ki n th c v tâm t c h th ng t p áp d ng T giúp h c sinh th y đ tâm t c khái ni m khác tr c s th ng nh t gi a khái ni m ng h p riêng c a tâm t c mà h c sinh bi t, góp ph n làm cho h c sinh có cách nhìn toàn di n sâu s c h n Trong q trình nghiên c u hồn thành khóa lu n này, em nh n đ c s quan tâm giúp đ c a th y giáo, giáo t Hình h c khoa Toán, đ c bi t th y inh V n Th y giúp đ t n tình đóng góp nh ng ý ki n quý báu th i gian v a qua B c đ u làm quen v i nghiên c u khoa h c, ch c ch n lu n v n không tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong đ c th y giáo, cô giáo b n sinh viên đóng góp ý ki n đ khóa lu n s tr thành tài li u tham kh o th c s b ích cho t t c b n có ni m đam mê mơn tốn Phan Th Minh Hu 62 K32G- Tốn Khố lu n t t nghi p tƠi li u tham kh o [1] V n D ng, (2009), Ba ph ng pháp gi i tốn hình khơng gian, Nxb Giáo d c [2] Thanh S n, (2000), Ph ng pháp gi i tốn hình h c ph ng 10, Nxb tr [3].Hà Tr m, (2005), Bài t p hình h c afin hình h c c lít, Nxb ih c S ph m [4].Lê H ng c-Lê Bích Ng c-Lê H u Trí, (2008), Ph ng pháp gi i toán vect , Nxb Hà N i [5].Nguy n Tr ng Tu n, (2008), Rèn luy n gi i tốn hình h c 10, Nxb Giáo d c [6].Nguy n V n L c, (2007), Ph ng pháp vect gi i tốn hình h c ph ng, Nxb giáo d c [7].V n Nh C ng-T Mân, (1998), Hình h c afin hình h c c lít, Nxb i h c qu c gia Hà N i Phan Th Minh Hu 63 K32G- Toán ... th ng qua tr ng tâm c a k m h m P1, ,Pm qua tr ng tâm c a (m - k) m l i h m đó: Khơng gi m t ng quát, gi s k m h m P 1, , Pm P1, , Pkvà (m - k ) m l i Pk+1, , Pm G i G' tr ng tâm c a h m P1,... G tr ng tâm t di n A'B'C'D' Bài 3: Trong m t ph ng, g i G tr ng tâm t giác ABCD; A', B', C', D' l n l t tr ng tâm tam giác: BCD, ACD, ABD, ABC Ch ng minh r ng: G c ng tr ng tâm c a t giác... v tâm t c ng d ng c a m t s l p tốn: ch ng minh, tính tốn, qu tích, d ng hình ó nh ng lý mà em ch n đ tài:“ Tâm t c ng d ng “ 2.M c đích, nhi m v nghiên c u: -Nghiên c u ki n th c c b n c a tâm