Sau đây là một số bài toán dựng điểm G là tâm tỉ cự của hệ điểm
1 2 n
A ,A ,..,A gắn với họ hệ số 1, 2,.., n cho trước. thực chất của bài toán này là dựng điểm G thoả mãn hệ thức véctơ: n i i
i 1
GAuuuur 0r (*) Phương pháp giải bài toán này như sau:
- Biến đổi biểu thức (*) về dạng: OGuuur vr trong đó O và vrđã biết.
- Nếu muốn dựng điểm G trên hình vẽ ta lấy điểm O làm gốc, dựng một véctơ bằng véctơ vr , khi đó điểm ngọn của véctơ này chính là điểm G.
Do đó, các bài toán xét dưới đây chỉ cần xác định G mà không nêu rõ cáchdựng.
Bài 1
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Dựng các điểm O, I, K sao cho:
a) O là tâm tỉ cự của hệ {A, B, C, D} gắn với họ hệ số {1, 2, 3} b) I là trọng tâm của hệ điểm{A, B, C, D}
c) K là tâm tỉ cự của hệ 5 điểm {A, B, C, D, E} gắn với họ hệ số {1, 1, 1, 3, 3}.
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 35 Bài giải
a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC, ta có:
OA OC 2OM
OB OC 2ON
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
Do O là tâm tỉ cự của hệ 3 điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {1, 2, 3} nên ta có:
OA 2OB 3OC 0
(OA OC) 2(OB OC) 0
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur r
2OM 4ON 0
2OM 4(MN MO) 0
uuuur uuur r
uuuur uuuur uuuur r
2
MO MN
3 uuuur uuuur
Vậy O là điểm xác định bởi hệ thức MO 2MN 3 uuuur uuuur
với M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC.
b)Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có: IAuur IB IC 3IGuur uur uur với I là điểm bất kì trong mặt phẳng.
Do I là trọng tâm của hệ 4 điểm {A, B, C, D} nên:
IA IB IC ID 0
uur uur uur uur r 3IG ID 0 3GI (GD GI) 0 1 GI GD 4 uur uur r
uur uuur uur r uur uuur
Vậy trọng tâm I của hệ 4 điểm {A, B, C, D} được xác định bởi hệ thức: 1
GI GD
4 uur uuur
với G là trọng tâm của tam giác ABC. c)Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có:
KA KB KC 3KG
uuur uuur uuur uuur
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 36
Do K là tâm tỉ cự của hệ 5 điểm {A, B, C, D, E} gắn với họ hệ số {1, 1, 1, 3, 3} nên ta có:
KA KB KC 3KD 3KE 0
3KG 3KD 3KE 0
KG KD KE 0
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur r
K là trọng tâm của tam giác DEG.
Vậy điểm K được xác định là trọng tâm của tam giác DEG với G là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 2
Cho tam giác ABC vuông tại A, các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Dựng
điểm I sao cho I là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {a ,b ,c2 2 2}.
Bài giải Dựng đường cao AH của tam giác ABC.
Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 2 2 AB BH.BC AC CH.BC Từ đó ta có: 2 2 2 2 HB AB c HC AC b
Do H nằm giữa B và C nên ta suy ra: 2 2
b HB c HCuuur uuur 0r
Do I là tâm tỉ cự của hệ 3 điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số { 2 2 2
a ,b ,c } nên:
2 2 2
a IAuur b IB c ICuur uur 0r
2 2 2
2 2 2 2 2
a IA b (HB HI) c (HC HI) 0
a IA (b c )IH b HB c HC 0
uur uuur uur uuur uur r
uur uur uuur uuur r
Lại có tam giác ABC vuông tại A nên: 2 2 2
a b c
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 37
2 2
a IA a IH 0
IA IH 0
uur uur r
uur uur r I là trung điểm của AH
Vậy điểm I được xác định là trung điểm của AH với H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC.
*) Nhận xét
Bài toán xác định điểm G là tâm tỉ cự của hệ điểm A ,A ,..,A gắn với họ hệ 1 2 n số 1, 2,.., n cho trước thực chất là bài toán dựng điểm G thoả mãn hệ thức véctơ n i i
i 1
GAuuuur 0r (1) Từ đẳng thức (1) suy ra với mọi điểm M ta có:
n i i i 1 n n i i i i 1 i 1 (MA MG) 0 MA ( )MG uuuur uuuur r uuuur uuuur
Kết quả trên được sử dụng để giải toán:
“ Cho n điểm A ,A ,..,A và bộ số thực 1 2 n 1, 2,.., n thoả mãn n
i i 1
0. Tìm số thực k và điểm G cố định sao cho đẳng thức véctơ sau thoả mãn với mọi điểm M:
n
i i i 1
GAuuuur kMGuuuur (2) ”.
Phương pháp chung để giải bài toán trên như sau:
Vì đẳng thức (1) thoả mãn với mọi điểm M nên đúng với M G. Khi đó: n i i i 1 n i i i 1 GA kGG GA 0 uuuur uuur uuuur r (3) Xác định được điểm G từ (3) Bài 3
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 38
Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý. Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm I, J, K sao cho các đẳng thức véctơ sau thoả mãn với mọi điểm M: a) 2MAuuuur MBuuur kMIuuur (1) b) MAuuuur MB 2MCuuur uuur kMJuuur (2) c) MAuuuur MB MC 3MDuuur uuur uuuur kMKuuuur (3)
Bài giải
a) vì (1) thoả mãn với mọi điểm M nên đúng với M I. Khi đó: 2IA IB kII 2IA IB 0 uur uur ur uur uur r (4) 2IA IA AB 0 1 IA AB 3
uur uur uuur r uur uuur
Vậy điểm I được xác định bởi hệ thức: IA 1AB 3
uur uuur
Mặt khác, từ (4) ta có: 2(MAuuuur MI)uuur MBuuur MIuuur 0r (5) Từ (1) và (5) suy ra
3MA kMI
k 3
uuuur uuur
Vậy với k=3, I là điểm xác định bởi hệ thức IA 1AB 3
uur uuur
thì đẳng thức (1) thoả mãn với mọi điểm M.
b) vì (2) thoả mãn với mọi điểm M nên đúng với M J. Khi đó: JA JB 2JC kJJ 0
uur uur uur uur r
(6) Gọi E là trung điểm của AB, ta có: JE JB 2JEuur uur uur do đó:
(6) 2IE 2JC 0
JE JC 0
uur uur r uur uur r
Do đó J là trung điểm của EC.
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 39
MAuuuur MB MCuuur uuur 4MJuuur (7) Từ (2) và (7) suy ra: 4MJ kMJuuur uuur k 4
Vậy với k=4 và J là trung điểm của CE với E là trung điểm của AB thì đẳng thức (2) thoả mãn với mọi M.
c) vì (3) thoả mãn với mọi điểm M nên (3) đúng với M K, khi đó:
KA KB KC 3KD kKK 0
uuur uuur uuur uuur uuur r
(8) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: KA KB KC 3KGuuur uuur uuur uuur
Do đó:
(8) 3KG 3KD 0
KG KD 0
uuur uuur r uuur uuur r
Do đó K là trung điểm của GD Mặt khác:
(8) MA MK MB MK MC MK 3(MD MK) 0
MA MB MC 3MD 6MK
uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur r uuuur uuur uuur uuuur uuuur
Do đó
6MK kMD
k 6
uuuur uuuur
Vậy với k=6 và K là trung điểm của GD với G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức (3) thoả mãn với mọi điểm M.
Bài 4
Cho A, B, C là 3 điểm phân biệt. Hãy xác định số thực m và điểm M cố định sao cho mỗi hệ thức sau đây thoả mãn với mọi điểm N.
a) NAuuur 2NBuuur mNMuuuur. b) 2NAuuur NB NCuuur uuur mNMuuuur.
Bài giải
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 40
MA 2MB 0
uuuur uuur r
. Sử dụng công thức rút gọn ta được:
NA 2NB (2 1)NM 3NM
uuur uuur uuuur uuuur
Vậy ta chọn M xác định như trên và m=3 thoả mãn yêu cầu đề bài. b) tương tự câu a) ta chọn M cố định xác định bởi hệ thức
2MA 1MBuuuur uuur ( 1)MCuuur 0r và chọn m=2, vì
2NA 1NBuuur uuur ( 1)NCuuur 2NMuuuur.
Bài tập
Bài 1
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Gọi I, J, K lần lượt là tâm tỉ cự của các hệ điểm {B, C}, {A, C}, {A, B} lần lượt gắn với họ các hệ số {1, -3}, {1, 2}, {3, 1}.
Tính AI, JKuur uur theo AB,ACuuur uuur .
Bài 2
Gọi G là trọng tâm tứ giác ABCD và A‟, B‟, C‟, D‟ lần lượt là trọng tâm các tam giác: BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng: G cũng là trọng tâm của tứ giác A‟B‟C‟D‟.
Bài 3
cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm quỹ tích điểm M sao cho: a) MA.MC MB.MDuuuur uuur uuur uuuur a2
b) MA2 MB2 MC2 3MD 2
Bài 4
cho hình bình hành ABCD. Tìm tập hợp những điểm M sao cho: a) | MAuuuur MB | | MC MD |uuur uuur uuuur
b) | 2MA MB MC | | MC 2MD |uuuur uuur uuur uuur uuuur Bài 5
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 41
Cho đa giác A ,A ,..,A và n số dương 1 2 n 1, 2,.., n. Tìm một điểm M trong mặt phẳng chứa đa giác A ,A ,..,A sao cho đại lượng sau 1 2 n
n 2 i i i 1 MA đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải:
Bài 1: Theo giả thiết ta có: IB 3IC 0
1 3
AI AB AC
2 2
uur uur r
uur uuur uuur Tương tự có: JA 2JC 0 2 AJ AC 3 uur uur r uur uuur và 3KA KB 0 1 AK AB 4 uuur uuur r uuur uuur Do đó JK AK AJ 1 2 AB AC 4 3
uur uuur uur uuur uuur
Bài 2: Do G là trọng tâm tứ giác ABCD nên GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur 0r
Do A‟, B‟, C‟, D‟ lần lượt là trọng tâm các tâm các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC nên ta có:
GA GC GD 3GA '
GA GC GD 3GB'
GA GB GD 3GC'
GA GB GC 3GD'
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur
GA' GB' GC' GD'uuuur uuuur uuuur uuuur 0r
Bài 3:
a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có: 2
MA.MC MB.MD a
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 42 2
2
2 2 2 2 2
(MO OA)(MO OC) (MO OB)(MO OD) a
(MO OA)(MO OA) (MO OB)(MO OB) a
MO OA MO OB a
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
Từ đó suy ra quỹ tích điểm M.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: OA OB OC 3OGuuur uuur uuur uuur
Do đó 2 2 2 2
MA MB MC 3MD
2 2 2 2
(MO OA) (MO OB) (MO OC) 3(MO OD)
MO(OA OB OC 3OD) 0
MO(3OG 3OD) 0
MO.GD 0
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur uuuuruuuur
Từ đó suy ra quỹ tích điểm M.
Bài 4: a) gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có:
MA MB 2MI
MC MD 2MJ
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
Do đó: | MA MB| | MC MD |uuuur uuur uuur uuuur | 2MI | | 2MJ |
MI MJ
uuur uuur
Từ đó suy ra quỹ tích điểm M.
b) Ta có: | 2MA MB MC | | MA MB MA MC | | BA CA | auuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur Gọi K là tâm tỉ cự của hệ hai điểm {C, D} gắn với họ hệ số {1, 2}. K cố định và MC 2MDuuur uuuur 3MKuuuur
Do đó: | 2MA MB MC | | MC 2MD | a | 3MK | a MK 3
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 43
Bài 5: Vì 1, 2,.., n là các số dương nên 1 2 .. n>0, do đó tồn tại duy nhất tâm tỉ cự I của n đỉnh A ,A ,..,A theo bộ số 1 2 n 1, 2,.., n tức là:
n i i i 1 IA 0 uuur r (1)
Với mọi vị trí của M, ta có: n 2 n 2
i i i i
i 1 i 1
MA (MIuuur IA )uuur
n n n
2 2
i i i i i
i 1 i 1 i 1
MI IA 2MIuuur IAuuur(2) Từ (1) và (2) suy ra: n 2 i i i 1 MA n n 2 2 i i i i 1 i 1 MI IA (3) Từ (3) suy ra với mọi vị trí của M ta có: n 2 n 2
i i i i
i 1 i 1
MA IA
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MI=0 hay M I Như vậy đại lượng n 2
i i i 1 MA đạt giá trị nhỏ nhất bằng n 2 i i i 1 IA khi và chỉ khi M trung với tâm tỉ cự I của n đỉnh A ,A ,..,A theo bộ số 1 2 n 1, 2,.., n.
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 44
§3. Một số ứng dụng của tâm tỉ cự trong hình học không gian Qua các ví dụ trên cho thấy tâm tỉ cự là một công cụ sắc bén để giải quyết các bài toán hình học phẳng. Đối với hình học không gian cũng vậy và các bài toán sau sẽ minh chứng cho điều đó.
Bài 1 Trên đáy ABC của hình chóp OABC lấy điểm M bất kì. Chứng
minh: OM.S ABC OA.S BMC OB.S AMC OC.S AMB
Bài giải Tiếp tục áp dụng bài toán 3 mục 3.2.2 ta có:
a b c
a b c
a b c a b c
ABC a b c
S .MA S .MB S .MC 0
S (OA OM) S .(OB OM) S .(OC OM) 0
(S S S )OM S .OA S .OB S .OC S . | OM | S . | OA | S . | OB | S . | OC | uuuur uuur uuur r
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur r uuuur uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur uuur
Bài 2
Gọi M là điểm trong tứ diện ABCD gọi a MBCD b MACD c MABD d MABC
V V ,V V ,V V ,V V
. Chứng minh rằng: V .MAa uuuur V .MBb uuur V .MCc uuur V .MDd uuuur 0r
Bài giải
Gọi A‟ là giao điểm của AM và (BCD). Áp dụng bài toán 3 mục 3.2.2 ta có: A 'CD A 'BD A 'BC A 'CD A 'BD A 'BC A 'CD A 'BD A 'BC BCD S .A 'B S .A 'C S .A 'D 0 S .MB S .MC S .MD (S S S )MA ' S .MA '
uuuur uuuur uuuur r
uuur uuur uuuur
uuuur uuuur Mặt khác ta có: MACD MA 'BD MACD AA 'CD A 'CD AA 'CD AA 'BD MABD AA 'BD A 'BD A 'DC A 'BD A 'BC b c d V MA ' V V V S V AA ' V V V S S S S V V V
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 45 Vậy ta có được V .MBb uuur V .MCc uuur V .MDd uuuur kMA 'uuuur
Suy ra V .MAa uuuur V .MBb uuur V .MCc uuur V .MDd uuuur cùng phương với MAuuuur
Tương tự: V .MAa uuuur V .MBb uuur V .MCc uuur V .MDd uuuur cùng phương với MBuuur
Hay V .MAa uuuur V .MBb uuur V .MCc uuur V .MDd uuuur 0r Bài 3
Cho tứ diện ABCD. Tìm trong tứ diện sao cho các tứ diện MBCD,
MABD, MABC có thể tích bằng nhau.
Bài giải
Áp dụng bài toán trên thì ta có: V .MAa uuuur V .MBb uuur V .MCc uuur V .MDd uuuur 0r
a b c d
V V V V
MA MB MC MD 0
uuuur uuur uuur uuuur r Hay M chính là trọng tâm tứ giác.
Bài trên ta xét M là trong tứ diện, còn với điểm M trong không gian thì sao?
Bài 4
Cho tứ diện ABCD. Lấy A’, B’, C’, D’ lần lượt thuộc mặt phẳng đối diện của A,B,C,D sao cho ABCD và A’B’C’D’ có cùng trọng tâm. Tìm vị trí của A’, B’, C’, D’ để AA’, BB’, CC’, DD’ đồng qui.
Bài giải Giả sử AA‟, BB‟, CC‟, DD‟ đồng qui tại M.
Khi đó ta có V .MAa uuuur V .MBb uuur V .MCc uuur V .MDd uuuur 0r
a b c d
MA MB MC MD
V . AA ' V . BB' V . CC' V . DD ' 0
AA ' BB' CC' DD '
uuuur uuur uuur uuuur r
Do ABCD và A‟B‟C‟D‟ có cùng trọng tâm nên :
AA' BB' CC' DD' 0
uuuur uuur uuur uuuur r
Do AA‟, BB‟, CC‟, DD‟ không đồng phẳng nên ta có:
a b c d
MA MB MC MD
V . V . V . V .
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 46 Đặt Va MA ' Vb MB' Vc MC' Vd MD' x, y, z, t V AA ' V BB' V CC' V DD ' Suy ra x y z t 1 Từ (*) ta có: x(1 x) y(1 y) z(1 z) t(1 t) Nên x y z t 1 4
Hay M là trọng tâm của tứ diện và A‟, B‟, C‟, D‟ là trọng tâm các tứ diện của các mặt đối của các đỉnh A, B, C, D.
Bài 5
Trong không gian cho tứ diện ABCD. Hãy xác định vị trí trọng tâm G của tứ diện.
Bài giải
Do G là trọng tâm tứ diện ABCD nên GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur 0r