Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
(2MAuuuur 3MB).(MAuuur uuuur 2MB)uuur 0
Bài giải
Gọi G là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B} gắn với họ hệ số {2, -3}. G cố định. Gọi G‟ là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B} gắn với họ hệ số {1, 2}. G‟ cố định. Khi đó với điểm M bất kì trong mặt phẳng ta có:
2MAuuuur 3MBuuur (2 3)MGuuuur MGuuuur
MA 2MB (1 2)MG ' 3MG '
uuuur uuur uuuur uuuur
Do đó:
(2MA 3MB).(MA 2MB) 0
3MG.MG ' 0 2MG.MG ' 0
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur
uuuur uuuur (1)
Gọi I là trung điểm của GG‟. Ta có:
GG ' IG IG ' 2 IG IG ' 0 uur uuur r Lại có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (MG MG ') MG MG ' 2MGMG ' 2MGMG ' MG MG ' GG ' 2MGMG ' MG MG ' 4IG
uuuur uuuur uuuuruuuur
uuuuruuuur uuuur
uuuuruuuur
Mặt khác: 2 2 2 2 2
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 31
Tương tự: 2 2 2 2 2
MG ' MG 'uuuur (MIuuur IG ')uuur MI IG ' 2MIIG 'uuuruuur Suy ra:
2 2 2 2 2
2 2
MG MG ' 2MI IG ' IG 2MI(IG ' IG)
2MI 2IG
uuur uuur uur
Do đó:
2 2 2
2 2
2MGMG ' 2MI 2IG 4IG
2MI 2IG
uuuuruuuur
uuur uur Suy ra (1) 2MIuuur2 2IGuur2 0
MI MG
Vậy quỹ tích điểm G là đường tròn tâm I bán kính IG.
Bài 2
Cho tam giác ABC đều cạnh a, tìm tập hợp những điểm M sao cho:
2 2 2 2
MA MB MC 4a .
Bài giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có: GA GB GC 0uuur uuur uuur r Do tam giác ABC đều cạnh a nên GA GB GC 2 a 3. a 3
3 2 3 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 MA MB MC MA MB MC (MG GA) (MG GB) (MG GC) 3MG GA GB GC 2MG(GA GB GC) 3MG GA GB GC
uuuur uuur uuur
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuur uuur
Do đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 MA MB MC 3MG 3GA MA MB MC 3MG a Suy ra: MA2 MB2 MC2 4a 2
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 32 2 2 2 2 2 3MG a 4a MG a MG a
Suy ra M thuộc đường tròn tâm G, bán kính bằng a.
Vậy tập hợp những điểm M là đường tròn tâm G, bán kính bằng a, với G là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 3
Cho tam giác ABC.
a) Tìm quỹ tích điểm M sao cho:
| MA 3MB 2MC | | 2MAuuuur uuur uuur uuuur MB MC |uuur uuur (1) b) Tìm quỹ tích điểm M sao cho:
| 2MAuuuur MB | | 4MB MC |uuur uuur uuur (2) Bài giải
a) Gọi E là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {1, 3, -2}. E cố định.
Với điểm M bất kì trong mặt phẳng ta có:
MA 3MB 2MC (1 3 2)ME 2ME
uuuur uuur uuur uuur uuur
Mặt khác: Gọi F là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} gắn với họ hệ số {2, -1, 1}. F cố định. Ta có:
2MAuuuur MBuuur MCuuur (2 1 1)MFuuur 2MFuuur
Suy ra (1) | 2ME | | 2MF |uuur uuur ME MF
Do đó M thuộc đường trung trực của EF.
Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF với E, F lần lượt là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} ứng với các họ hệ số: {1, 3, -2} và {2, -1, 1}.
b)Gọi P là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B} gắn với họ hệ số {2, 1}. P cố định.
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 33 Với điểm M bất kì trong mặt phẳmg ta có:
2MAuuuur MBuuur (2 1)MPuuur 3MPuuur
Gọi Q là tâm tỉ cự của hệ điểm {B, C} gắn với họ hệ số {4, -1}. Q cố định. Ta có 4MBuuur MCuuur (4 1)MQuuuur 3MQuuuur
Do đó: (2) 3| MP | 3| MQ |uuur uuuur MP MQ
Do đó M thuộc đường trung trực của PQ.
Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của PQ với P, Q lần lượt là tâm tỉ cự của các hệ điểm {A, B}, {B, C} lần lượt gắn với họ các hệ số {2, 1} và {4, - 1}.
*) Nhận xét
Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát:
Trong mặt phẳng cho k điểm A ,A ,..,A (1 2 k k 2). Tìm tập hợp các điểm M sao cho: m n i i j j i 1 j 1 | MA | |uuuur MAuuuuur Trong đó: m i n j i 1 j 1 0; 0 (m,n k)
Cách giải tương tự bài toán trên.
Bài 4
a) Xác định điểm M thuộc BC sao cho | 5MA 7MB MC |uuuur uuur uuuur nhỏ nhất. b) Xác định M trong tam giác ABC sao cho:
2 | MAuuuur MB MC | | MAuuur uuuur uuuur 2MB 3MC |uuur uuuur.
Bài giải
a) Gọi I là tâm tỉ cự của {A,B,C} với họ hệ số {5,-7,-1}.
5MAuuuur 7MBuuur MCuuur (5 7 1)MIuuur 3MIuuur. Suy ra | 5MA 7MB MC | 3| MI |uuuur uuur uuur uuur
Đỗ Thị Ngân – K33C SP Toán 34 b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, J là điểm sao cho:
MA 2MB 3MC 6MJ
uuuur uuur uuur uuur
Ta có: MA MB MC 3MG
MA 2MB 3MC 6MG
uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur
Vậy 2 | MA MB MC | | MA 2MB 3MC |uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur 6 | MG | 6 | MJ |uuuur uuur
MG MJ
Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của GJ