Toán tử comoact

LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ giải tích thầy cô khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận Trong khuôn khổ có hạn khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Phan Văn Phong LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài "Toán tử compact" trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Phan Văn Phong Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach 1.2 Toán tử tuyến tính 1.3 Cơ sở không gian Banach Chương TOÁN TỬ COMPACT 12 2.1 Toán tử compact 12 2.1.1 Định nghĩa Các đặc điểm Toán tử liên hợp 12 2.1.2 Định lý Riesz-Fredholm 16 2.2 Phổ toán tử compact 21 2.3 Phân rã phổ toán tử compact tự liên hợp 25 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm giải tích hàm có vị trí đặc biệt quan trọng toán học toán học ứng dụng Nội dung phong phú đa dạng, nội dung lý thuyết toán tử Trong toán tử compact với ứng dụng phương trình Laplace, phương trình Poisson, phương trình nhiệt, Để có ứng dụng Toán Tử Compact quan trọng Và để hiểu rõ Toán tử compact góc độ sinh viên sư phạm chuyên nghành Toán Và phạm vi khóa luận tốt nghiệp, em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết vấn đề Được hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Trần Văn Bằng, với say mê nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài "Toán tử compact" Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu khóa luận tìm hiểu toán tử compact phổ toán tử compact Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán tử compact bao gồm định nghĩa tính chất Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Cấu trúc khóa luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Toán tử compact Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 Không gian vectơ X gọi không gian tuyến tính định chuẩn (hay không gian định chuẩn) với x ∈ X tồn số thực x , gọi chuẩn vectơ x, thỏa mãn: (a) x ≥ 0, (b) x = x = 0, (c) cx = |c| x , với vô hướng c, với x ∈ X, (d) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Nếu có tính chất (a), (c) (d) gọi nửa chuẩn Định nghĩa 1.2 Giả sử X không gian định chuẩn (a) Một dãy vectơ {xn } X gọi hội tụ tới x ∈ X lim n→∞ x − xn = 0, nghĩa là, ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n ≥ N, x − xn < ε Khi ta viết xn → x hay lim xn = x n→∞ (b) Một dãy vectơ {xn } X gọi dãy Cauchy lim m,n→∞ xm − xn = 0, nghĩa là, ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m, n ≥ N, xm − xn < ε (c) Dễ dàng dãy hội tụ không gian định chuẩn dãy Cauchy Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không Ta nói X không gian đầy thỏa mãn dãy Cauchy hội tụ Không gian tuyến tính định chuẩn đầy gọi không gian Banach Định nghĩa 1.3 Dãy {xn } không gian Banach X gọi là: (a) bị chặn inf xn > 0, (b) bị chặn sup xn < ∞, (c) chuẩn hóa xn = với n Định nghĩa 1.4 Cho không gian tuyến tính X , X Hai chuẩn 2 hai chuẩn gọi tương đương tồn hai số dương α, β cho: α x ≤ x Định lý 1.1 Nếu , 2 ≤β x ∀x ∈ X tương đương xác định hội tụ với dãy bất kì, nghĩa là: lim x − xn n→∞ = ⇔ lim x − xn n→∞ = Định nghĩa 1.5 (a) Tập E ⊂ X gọi trù mật X E = X (b) Không gian định chuẩn X gọi không gian tách tồn tập đếm được, trù mật X Ví dụ 1.1 Một số không gian Banach thường dùng (a) Giả sử E ⊂ R (a1 ) Với ≤ p < ∞, kí hiệu   p L (E) = f : E → C |  E   p |f (x)| dx < ∞  Lp (E) không gian Banach với chuẩn  f Lp p 1 p |f (x)| dx = E (a2 ) Với p = ∞, kí hiệu L∞ (E) = f : E → C |f bị chặn hầu khắp nơi E L∞ (E) không gian Banach với chuẩn f L∞ = esssup |f (x)| = inf M ≥ : |f (x)| ≤ M hầu khắp nơi x∈E (hàm f gọi bị chặn hầu khắp nơi E tồn M > cho tập Z = {x ∈ X : |f (x)| > M } có độ đo Lebegue không.) (b) Kí hiệu c = (c1 ) = (cn )p n=1 chuỗi vô hướng |cn |p < ∞} lp (b1 ) Với ≤ p < ∞, kí hiệu lp = {c = (cn ) : không gian Banach với chuẩn c lp = (cn ) lp = p |cn | p (b2 ) Với p = ∞, kí hiệu l∞ = c = (cn ) : chuỗi (cn ) bị chặn l∞ không gian Banach với chuẩn c l∞ = (cn ) l∞ = (sup |cn |) 1.2 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.6 Cho hai không gian định chuẩn X Y trường F Một ánh xạ T : X → F gọi toán tử Nếu Y = F toán tử T : X → F gọi phiếm hàm X Ta viết T x hay T (x) để kí hiệu ảnh hưởng phần tử x qua toán tử T Định nghĩa 1.7 Cho hai không gian định chuẩn X Y trường F , T : X → Y toán tử (a) T tuyến tính T (ax + by) = aT x + bT y, ∀a, b ∈ F, ∀x, y ∈ X (b) T đơn ánh hay 1-1, T x = T y x = y (c) Ảnh hay miền giá trị T kí hiệu Range (T ) = T (X) = {T x : x ∈ X} (d) T toàn ánh hay lên Range (T ) = Y (e) T song ánh T đơn ánh toàn ánh (f) T liên tục xn → x X kéo theo T (xn ) → T (x) F (g) Chuẩn toán tử, hay đơn giản chuẩn toán tử tuyến tính T T = sup x X =1 |T x Y T bị chặn T < ∞ (h) T bảo toàn chuẩn hay đẳng cự T (x) Y = x X , ∀x ∈ X Định lý 1.2 Giả sử T : X → Y toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đó: T liên tục ⇔ T bị chặn Kí hiệu 1.1 • x∗ phiếm hàm tuyến tính liên tục X • Tác động x∗ lên x kí hiệu x, x∗ = x∗ (x) • x∗ tuyến tính ∀a, b ∈ F , ∀x, y ∈ X ax + by, x∗ = a x, x∗ + b y, x∗ • x∗ liên tục lim xn = x lim xn , x∗ = x, x∗ n→∞ n→∞ • x∗ = sup | x, x∗ | x x =1 Định nghĩa 1.8 Cho X không gian định chuẩn trường F Ta gọi không gian X ∗ phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian X không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) không gian X Định lý 1.3 Nếu X không gian định chuẩn không gian đối ngẫu X ∗ không gian Banach với chuẩn x∗ X∗ = sup | x, x∗ | x X =1 Định lý 1.4 Giả sử X không gian Banach x ∈ X Khi x X = sup x∗ X ∗ =1 | x, x∗ | Bằng việc dùng Bổ đề Riesz, ta xây dựng dãy (un ) sau: un ∈ En , un = dist (un , En+1 ) ≥ 1/2 Ta có: T un − T um = − (un − T un ) + (um − T um ) + (un − um ) Chú ý n > m En+1 ⊂ En ⊂ Em+1 ⊂ Em nên − (un − T un ) + (um − T um ) + un ∈ Em+1 Từ suy T un − T um ≥ dist (un , Em+1 ) ≥ 1/2 Điều vô lý T toán tử compact Do vừa chứng minh R (I − T ) = E Ngược lại, giả sử R (I − T ) = E Nhờ Hệ 2.18 (xem [5], p 45), ta biết N (I − T ∗ ) = R(I − T )⊥ = {0} Vì T ∗ ∈ K (E ∗ ), nên theo bước trước R (I − T ∗ ) = E ∗ Sử dụng Hệ 2.18 (xem [5], p 45) lần nữa, ta kết luận N (I − T ) = R(I − T ∗ )⊥ = {0} (d) Đặt d = dim N (I − T ) d∗ = dim N (I − T ∗ ) Trước tiên ta chứng minh d∗ ≤ d Giả sử điều ngược lại d < d∗ Vì N (I − T ) hữu hạn chiều nên có phần bù E (xem [5], p 34, ví dụ 1) Do tồn phép chiếu liên tục P từ E đến N (I − T ) Mặt khác R (I − T ) = N (I − T ∗ )⊥ có đổi chiều hữu hạn d∗ (xem [5], p 34, ví dụ 2), có phần bù (trong E), ta kí hiệu F , dim F = d∗ Vì d < d∗ nên có ánh xạ tuyến tính: Λ : N (I − T ) → F , đơn ánh, không toàn ánh Đặt S = T + Λ ◦ P Thế S ∈ K (E) Λ ◦ P có hạng hữu hạn Chúng ta khẳng định N (I − T ) = {0} Thực vậy, nếu: = u − Su = (u − T u) − (Λ ◦ P u) , 20 u − T u = Λ ◦ P u = 0, nghĩa là: u ∈ N (I − T ) Λu = Do u = Áp dụng (c) cho toán tử S, ta có R (I − S) = E → vô lý, tồn f ∈ F với f ∈ / R (Λ), phương trình u − Su = f vô nghiệm Do ta chứng minh d∗ ≤ d, áp dụng điều T ∗ ta có: dim N (I − T ∗∗ ) ≤ dim N (I − T ∗ ) ≤ dim N (I − T ) Nhưng N (I − T ∗∗ ) ⊃ N (I − T ) nên d = d∗ 2.2 Phổ toán tử compact Đây vài định nghĩa quan trọng Định nghĩa 2.3 Cho T ∈ L (E) Tập giải, kí hiệu ρ (T ) xác định bởi: ρ (T ) = λ ∈ R; (T − λI) song ánh từ E lên F Phổ, kí hiệu σ (T ) phần bù tập giải, có nghĩa là: σ (T ) = R\ρ (T ) Số thực λ gọi giá trị riêng T N (T − λI) = {0}; N (T − λI) gọi không gian riêng tương ứng Tập hợp tất giá trị riêng kí hiệu EV (T ) Cần nhớ λ ∈ ρ (T ) (T − λI)−1 ∈ L (E) (xem [5], p 35, Hệ 2.7) Nhận xét 2.6 Rõ ràng EV (T ) ⊂ σ (T ) Nhìn chung bao hàm thức thực sự: tức tồn λ cho N (T − λI) = {0} R (T − λI) = E (giá trị λ thuộc phổ 21 giá trị riêng) Ví dụ xét trường hợp E = l2 phép dịch chuyển phủ có nghĩa T u = (0, u1 , u2 , ) với u = (u1 , u2 , u3 , ) Khi ∈ σ (T ), ∈ / EV (T ) Thực tế trường hợp EV (T ) = Ø Chẳng hạn xét phép quay góc π/2 R2 toán tử [T u = (−u2 , u1 , −u4 , u3 , ) l2 Nếu nghiên cứu giá trị riêng phổ tốt nghiên cứu không gian phức (xem [5], p 150) Lúc tình khác hoàn toàn Việc nghiên cứu giá trị riêng phổ thú vị nhiều không gian C Như biết, không gian phức hữu hạn chiều, EV (T ) = σ (T ) = Ø (đây tập nghiệm đa thức đặc trưng) Trong không gian phức vô hạn chiều, kết quan trọng cho biết σ (T ) không trống (xem [5], p 150) Tuy nhiên xảy EV (T ) = Ø (chẳng hạn phép dịch chuyển phủ E = l2 ) Mệnh đề 2.1 Phổ σ (T ) toán tử bị chặn tập compact σ (T ) ⊂ [− T , + T ] Chứng minh Gọi λ ∈ R với |λ| > T Ta T − λI song ánh, σ (T ) ⊂ [− T , + T ] Thật với f ∈ E, phương trình T u − λu = f có nghiệm phương trình tương đương với u = λ−1 (T u − f ) theo Nguyên lí ánh xạ co Banach Giờ chứng minh ρ (T ) mở Với λ0 ∈ ρ (T ) Giả sử λ ∈ R (gần λ0 ) f ∈ E, ta xét phương trình: T u − λu = f 22 (2.5) Phương trình (2.5) viết T u − λ0 u = f + (λ − λ0 ) u, có nghĩa u = (T − λ0 I)−1 [f + (λ − λ0 ) u] , (2.6) N (T − λI) = {0} Áp dụng nguyên lí ánh xạ co lần nữa, ta thấy phương trình (2.6) có nghiệm nếu: |λ − λ0 | (T − λ0 I)−1 < Định lý 2.5 Giả sử T ∈ K (E) với dim E = ∞ Khi ta có: (a) ∈ σ (T ); (b) σ(T )\ {0} = EV (T ) \ {0}; (c) trường hợp sau xảy ra: • σ (T ) = {0}, • σ (T ) \ {0} tập hữu hạn, • σ (T ) \ {0} dãy hội tụ tới Chứng minh (a) Giả sử điều ngược lại ∈ / σ (T ) Khi T song ánh I = T ◦T −1 compact Do BE compact dim E < ∞ (theo Định lí 2.3), điều mâu thuẫn (b) Gọi λ ∈ σ (T ), λ = 0, ta chứng minh λ giá trị riêng Giả sử điều ngược lại N (T − λI) = {0} Khi theo Định lí 2.4(c), ta có R (T − λI) = E λ ∈ ρ (T ), điều mâu thuẫn Để chứng minh trường hợp (c), ta dùng bổ đề sau đây: 23 Bổ đề 2.2 Giả sử T ∈ K (E) (λn )n≥1 dãy số thực phân biệt cho λn → λ λn ∈ σ (T ) \ {0} ∀n Khi λ = 0, hay nói cách khác, tất điểm σ (T ) \ {0} điểm cô lập Chứng minh Ta biết λn ∈ EV (T ), giả sử en = thỏa mãn (T − λn I) en = Gọi En không gian sinh {e1 , e2 , , en } Ta chứng minh En ⊂ En+1 , En = En+1 với n Thật ta cần chứng minh với ∀n, e1 , e2 , , en véc tơ độc lập tuyến tính Ta chứng minh quy nạp theo n Giả sử điều đến n en+1 = n i=1 αi ei Khi n n T en+1 = αi λi ei = i=1 αi λi+1 ei i=1 Suy αi (λi − λi+1 ) = với i = 1, 2, , n hay αi = với i = 1, 2, , n, vô lý Do ta chứng minh En ⊂ En+1 , En = En+1 với n Áp dụng Bổ đề Riesz (Bổ đề 2.1), có dãy (un )n≥1 thỏa mãn un ∈ En , un = dist (un , En+1 ) ≥ 1/2 với n ≥ Với ≤ m < n, ta có: Em−1 ⊂ Em ⊂ En−1 ⊂ En Mặt khác, (T − λn I) En ⊂ En−1 , nên: (T un − λn un ) (T um − λm um ) T un T um − = − + un − um λn λm λn λm ≥ dist (un , En−1 ) ≥ 1/2 Chứng minh Định lý 2.5: Với số nguyên n ≥ 1, tập hợp σ (T ) {λ ∈ R, |λ| ≥ 1/n} 24 rỗng hữu hạn (vì có vô số điểm phân biệt có dãy hội tụ tới λ với |λ| ≥ 1/n, σ (T ) compact điều mâu thuẫn với Bổ đề 2.2) Do σ (T ) \ {0} có vô số điểm phân biệt ta xếp chúng thành dãy hội tụ Nhận xét 2.7 Với dãy (αn ) hội tụ 0, có toán {0} Thật vậy, l2 , ta cần tử compact T cho σ(T ) = (αn ) xét toán tử nhân T xác định T u = (α1 u1 , α2 u2 , , αn un , ), u = (u1 , u2 , , un , ) Chú ý T toán tử compact giới hạn dãy toán tử có hạng hữu hạn Cụ thể hơn, đặt Tn u = (α1 u1 , α2 u2 , , αn un , 0, 0, ) Tn − T → Trong ví dụ này, ta thấy thuộc không thuộc EV (T ) Mặt khác, ∈ EV (T ) không gian riêng tương ứng, N (T ) có số chiều hữu hạn vô hạn 2.3 Phân rã phổ toán tử compact tự liên hợp Ta giả sử E = H không gian Hilbert T ∈ L (H) Bằng cách đồng H ∗ H, ta coi T ∗ toán tử bị chặn từ H vào Định nghĩa 2.4 Toán tử bị chặn T ∈ L (H) gọi tự liên hợp T ∗ = T , tức là: (T u, v) = (u, T v) ∀u, v ∈ H Ví dụ 2.1 Giả sử T : L2 [0,1] → L2 [0,1] toán tử xác định (T u) (t) = tu (t) , t ∈ [0, 1] 25 (a) CMR: T toán tử tự liên hợp tính T (b) Tìm phổ tập giá trị riêng T Lời giải (a) Với u ∈ L2 [0, 1], ta có 1 |tu (t)|2 dt ≤ |u (t)|2 dt = u (2.7) Do T u ∈ L2 [0, 1] Dễ dàng thấy T toán tử tuyến tính Từ (2.7) suy T u ≤ u , với u ∈ L2 [0, 1] Vậy T bị chặn T ≤ (2.8) Với u, v ∈ L2 [0, 1], ta có tu (t) v (t)dt, < T u, v >= u (t) tv (t)dt < u, T v >= Do < T u, v > = < u, T v > Vậy T toán tử tự liên hợp Với ε ∈ (0, 1), lấy   0, ≤ t ≤ − ε uε (t) = √  ε, − ε < t ≤ ta uε |uε (t)|2 dt = = εdt = ε2 1−ε 26 Do uε ∈ L2 [0, 1] uε = ε, T uε εt2 dt ≥ ε2 (1 − ε)2 t2 u2ε (t) dt = = 1−ε Từ T uε ≥ ε (1 − ε) ⇔ T uε ≥ − ε, với ε ∈ (0, 1) uε Do T ≥ (2.9) Từ (2.8) (2.9) suy T = (b) Với v ∈ L2 [0, 1], phương trình T u − λu = v (2.10) (t − λ) u (t) = v (t) (2.11) tương đương với h.k.n đoạn [0, 1] độ đo Lebesgue l Do phương trình v (t) (2.11) có nghiệm u (t) = t − λ = với t−λ t ∈ [0, 1] ⇔ λ ∈ / [0, 1] v (t) Thật vậy, v ∈ L2 [0, 1] λ ∈ / [0, 1] hàm số u (t) = , t−λ ≤ t ≤ thuộc L2 [0, 1], nghiệm phương trình (2.10) Nếu λ ∈ [0, 1] hàm số v (t) = 1, ≤ t ≤ 1, u ∈ L2 [0, 1] nghiệm (2.10) u (t) = h.k.n [0, 1] Dễ thấy hàm số t−λ t→ , t ∈ [0, 1] \ {λ} không thuộc L2 [0, 1] Do σ (T ) = [0, 1] t−λ Giả sử λ ∈ [0, 1] Khi phương trình T u = λu 27 tương đương với (t − λ)u (t) = h.k.n [0,1] độ đo l, hay u (t) = h.k.n [0, 1] Vậy tập hợp tất giá trị riêng toán tử T ∅ Mệnh đề 2.2 Giả sử T ∈ L (H) toán tử tự liên hợp Đặt m = inf (T u, u) M = sup (T u, u) u∈H u∈H |u|=1 |u|=1 Khi σ (T ) ⊂ [m, M ] , m ∈ σ (T ) M ∈ σ (T ) Hơn T = max {|m| , |M |} Chứng minh Giả sử λ > M , ta chứng minh λ ∈ ρ (T ) Thậy vậy, ta có (T u, u) ≤ M |u|2 ∀u ∈ H (λu − T u, u) ≥ (λ − M ) |u|2 = α|u|2 ∀u ∈ H, α > Áp dụng định lý Lax-Milgram (xem [5], p 140), ta suy λI − T song ánh, λ ∈ ρ (T ) Tương tự λ < m thuộc ρ (T ) σ (T ) ⊂ [m, M ] Bây ta chứng minh M ∈ σ (T ) (chứng minh m ∈ σ (T ) tương tự) Dạng song tuyến a (u, v) = (M u − T u, v) đối xứng thỏa mãn: a (u, v) ≥ ∀v ∈ H 28 Do đó, thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy - Schwazt: |a (u, v)| ≤ a(u, u)1/2 a(v, v)1/2 ∀u, v ∈ H; tức là: |(M u − T u, v)| ≤ (M u − T u, u)1/2 (M v − T v, v)1/2 ∀u, v ∈ H Từ suy |M u − T u| ≤ C(M u − T u, u)1/2 ∀u ∈ H (2.12) Từ định nghĩa M , có dãy (un ) thỏa mãn |un | = (T un , un ) → M Từ (2.12) suy |M un − T un | → M ∈ σ (T ) (vì M ∈ ρ (T ) un = (M I − T )−1 (M un − T un ) → 0, vô lý) Cuối ta chứng minh T = µ với µ = max {|m| , |M |} Thật vậy, với ∀u, v ∈ H ta có (T (u + v) , u + v) = (T u, u) + (T v, v) + (T u, v) ; (T (u − v) , u − v) = (T u, u) + (T v, v) − (T u, v) Do (T u, v) = (T (u + v) , u + v) − (T (u − v) , u − v) ≤ M |u + v|2 − m|u − v|2 , suy |(T u, v)| ≤ µ |u + v|2 + |u − v|2 = 2µ |u|2 + |v|2 Thay v αv với α > ta nhận |(T u, v)| ≤ 2µ |u|2 + α|v|2 α Tiếp theo ta cực tiểu hóa vế phải cách, chọn α = |(T u, v)| ≤ µ |u| |v| 29 ∀u, v |u| , ta được: |v| Vậy T ≤ µ Mặt khác, rõ ràng |(T u, u)| ≤ T |u|2 nên |m| ≤ T |M | ≤ T , µ ≤ T Hệ 2.2 Giả sử T ∈ L (H) toán tử tự liên hợp cho σ (T ) = {0} Khi T = Sau kết Nó khẳng định toán tử compact tự liên hợp chéo hóa nhờ sở thích hợp Định lý 2.6 Gọi H không gian Hilbert tách T toán tử compact tự liên hợp Khi tồn sở không gian Hilbert bao gồm véc tơ riêng T Chứng minh Gọi (λn )n≥1 dãy tất giá trị riêng phân biệt khác T Đặt λ0 = 0, E0 = N (T ) En = N (T − λn I) Nhớ lại ≤ dim E0 ≤ ∞ < dim En < ∞ Ta khẳng định H tổng Hilbert En , n = 0, 1, 2, Thậy (i) Các không gian (En )n≥0 đôi trực giao Thật vậy, u ∈ Em v ∈ En với m = n T u = λm u T v = λn v, nên (T u, v) = λm (u, v) = (u, T v) = λn (u, v) 30 Do đó: (u, v) = (ii) Gọi F không gian véc tơ sinh En Ta chứng minh F trù n≥0 mật H Rõ ràng T (F ) ⊂ F , nên T F ⊥ ⊂ F ⊥ Thật vậy, với u ∈ F ⊥ , ta có: (T u, v) = (u, T v) = ∀v ∈ F, nên T u ∈ F ⊥ Toán tử T hạn chế F ⊥ kí hiệu T0 Đây toán tử compact tự liên hợp F ⊥ Ta khẳng định σ (T0 ) = {0} Giả sử trái lại, tồn λ = thuộc σ (T0 ) Vì λ ∈ EV (T0 ) nên có u ∈ F ⊥ , u = thỏa mãn T0 u = λu Do λ giá trị riêng T Giả sử λ = λn với n ≥ Vậy u ∈ En ⊂ F Vì u ∈ F ⊥ F nên ta suy u = 0, mâu thuẫn Áp dụng Hệ 2.2, ta suy T0 = 0, tức T F ⊥ Chứng tỏ F ⊥ ⊂ N (T ) Mặt khác, N (T ) ⊂ F nên F ⊥ ⊂ F Điều suy F ⊥ = {0} Chứng tỏ F trù mật H0 Cuối ta chọn không gian (En )n≥0 sở Hilbert Hợp sở rõ ràng sở Hilbert H bao gồm véc tơ riêng T0 Nhận xét 2.8 Gọi T toán tử compact tự liên hợp Từ phân tích trước đây, ta viết u ∈ H thành ∞ un với un ∈ En u= n=0 ∞ λn un Với số nguyên k ≥ 1, đặt Khi T u = n=1 k Tk u = λn un n=1 31 Rõ ràng Tk toán tử có hạng hữu hạn Tk − T ≤ sup |λn | → k → ∞ n≥k+1 Nhắc lại rằng, không gian Hilbert, toán tử compact, không thiết tự liên hợp, giới hạn dãy toán tử có hạng hữu hạn (xem 2.1) 32 KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách thức lam việc khoa học, hiệu Qua đó, em có nét hình dung toán học đại, chuyên ngành giải tích hàm, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khóa luận em nghiên cứu cách khái quát toán tử compact, xem tài liệu tốt cho người quan tâm toán tử compact nói riêng giải tích hàm nói chung Đó thành công đề tài Như nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Giải tích, thầy cô khoa Toán Mặc dù em có nhiều cố gắng, xong nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 33 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Phan Đức Chính, Giải tích hàm tập 1, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật [4] Nguyễn Phụ Hy - Hoàng Ngọc Tuấn - Nguyễn Văn Tuyên, Bài tập giải tích hàm, NXB Khoa học kĩ thuật, 2007 [B] Tài liệu tiếng Anh [5] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2010 [6] Eberhard Zeidlen, Applied functional Analysis Applications to Methematicalphysics 34 [...]... N cn x n ≤ C n=1 11 cn xn n=1 Chương 2 TOÁN TỬ COMPACT 2.1 Toán tử compact 2.1.1 Định nghĩa Các đặc điểm cơ bản Toán tử liên hợp Trong chương này, nếu không nói gì thêm thì E và F luôn được chỉ hai không gian Banach Định nghĩa 2.1 Toán tử bị chặn T ∈ L (E, F ) được gọi là compact nếu T (BE ) có bao đóng compact trong F (theo tôpô mạnh) Tập hợp tất cả các toán tử compact từ E vào F được kí hiệu bởi... một không gian tuyến tính con của L (E, F ) theo tô-pô sinh bởi chuẩn L(E,F ) Chứng minh Rõ ràng tổng của hai toán tử compact là một toán tử compact Giả sử (Tn ) là một dãy các toán tử compact và T là một toán tử bị chặn sao cho: Tn − T L(E,F ) → 0 Chúng ta khẳng định rằng T là một toán tử compact Thật vậy, vì F là đủ nếu ta chỉ cần chứng minh rằng với ε > 0 có một phủ hữu hạn của T (BE) bởi hình... ε/2, cụ thể Tn (BE ) ⊂ B (fi , ε/2) Do đó T (BE ) ⊂ i∈I B (f, ε) Định nghĩa 2.2 Một toán tử T ∈ L (E, F ) được gọi là có hạng hữu hạn nếu tập giá trị của T, R (T ) là một không gian hữu hạn chiều Rõ ràng mọi toán tử có hạng hữu hạn đều là một toán tử compact nên ta có hệ quả sau: Hệ quả 2.1 Giả sử (T n) là một dãy toán tử có hạng hữu hạn và T ∈ L (E, F ) sao cho Tn − T L(E,F ) → 0 Khi đó T ∈ K (E, F... dãy hội tụ về 0 Nhận xét 2.7 Với một dãy bất kì (αn ) hội tụ về 0, đều có một toán {0} Thật vậy, trong l2 , ta chỉ cần tử compact T sao cho σ(T ) = (αn ) xét toán tử nhân T được xác định bởi T u = (α1 u1 , α2 u2 , , αn un , ), trong đó u = (u1 , u2 , , un , ) Chú ý T là toán tử compact vì nó là giới hạn của một dãy các toán tử có hạng hữu hạn Cụ thể hơn, đặt Tn u = (α1 u1 , α2 u2 , , αn un , 0, 0, )... hoặc vô hạn 2.3 Phân rã phổ của toán tử compact tự liên hợp Ta giả sử rằng E = H là một không gian Hilbert và T ∈ L (H) Bằng cách đồng nhất H ∗ và H, ta có thể coi T ∗ là một toán tử bị chặn từ H vào chính nó Định nghĩa 2.4 Toán tử bị chặn T ∈ L (H) được gọi là tự liên hợp nếu T ∗ = T , tức là: (T u, v) = (u, T v) ∀u, v ∈ H Ví dụ 2.1 Giả sử T : L2 [0,1] → L2 [0,1] là toán tử xác định bởi (T u) (t) = tu... một toán tử compact tự liên hợp Từ các phân tích trước đây, ta có thể viết mọi u ∈ H thành ∞ un với un ∈ En u= n=0 ∞ λn un Với số nguyên k ≥ 1, đặt Khi đó T u = n=1 k Tk u = λn un n=1 31 Rõ ràng Tk là một toán tử có hạng hữu hạn và Tk − T ≤ sup |λn | → 0 khi k → ∞ n≥k+1 Nhắc lại rằng, trong không gian Hilbert, mọi toán tử compact, không nhất thiết tự liên hợp, đều là giới hạn của một dãy các toán tử. .. nên |m| ≤ T và |M | ≤ T , do vậy µ ≤ T Hệ quả 2.2 Giả sử T ∈ L (H) là một toán tử tự liên hợp sao cho σ (T ) = {0} Khi đó T = 0 Sau đây là một kết quả cơ bản Nó khẳng định rằng mọi toán tử compact tự liên hợp đều có thể được chéo hóa nhờ một cơ sở thích hợp Định lý 2.6 Gọi H là một không gian Hilbert tách được và T là một toán tử compact tự liên hợp Khi đó tồn tại một cơ sở không gian Hilbert bao gồm... Nếu dim E < ∞, một toán tử tuyến tính từ E vào chính nó là đơn ánh (một đối một) khi và chỉ khi nó là toàn ánh (ánh xạ lên) Tuy nhiên, trong các không gian vô hạn chiều, một toán tử bị chặn đơn ánh có thể không toàn ánh và ngược lại Ví dụ như phép dịch chuyển phải (cũng như dịch chuyển trái) trong l2 (xem Nhận xét 2.6) Do đó, khẳng định (c) là một đặc điểm cần lưu ý của các toán tử dạng I − T với T... với cách thức lam việc khoa học, hiệu quả Qua đó, em có nét hình dung về toán học hiện đại, chuyên ngành giải tích hàm, đồng thời thấy được sự phong phú, lý thú của toán học Đặc biệt trong khóa luận này em đã nghiên cứu một cách khái quát về toán tử compact, có thể xem như là một tài liệu tốt cho những người quan tâm về toán tử compact nói riêng và giải tích hàm nói chung Đó cũng là thành công của... ∈ L (E, F ) sao cho Tn − T L(E,F ) → 0 Khi đó T ∈ K (E, F ) Nhận xét 2.1 “Vấn đề về xấp xỉ” (của Banach, Grothendieck) giải quyết điều ngược lại của Hệ quả 2.1: Cho một toán tử compact T , liệu có luôn tồn tại một dãy (Tn ) các toán tử có hạng hữu hạn sao cho Tn − T L(E,F ) → 0? Câu hỏi đã được đặt ra trong một thời gian dài cho đến khi P Enflo khám phá ra ví dụ để phản bác lại vào năm 1972 Công thức ... Chứng minh Rõ ràng tổng hai toán tử compact toán tử compact Giả sử (Tn ) dãy toán tử compact T toán tử bị chặn cho: Tn − T L(E,F ) → Chúng ta khẳng định T toán tử compact Thật vậy, F đủ ta cần... xn n=1 Chương TOÁN TỬ COMPACT 2.1 Toán tử compact 2.1.1 Định nghĩa Các đặc điểm Toán tử liên hợp Trong chương này, không nói thêm E F hai không gian Banach Định nghĩa 2.1 Toán tử bị chặn T ∈... học, em chọn đề tài "Toán tử compact" Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu khóa luận tìm hiểu toán tử compact phổ toán tử compact Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán tử compact bao gồm