Dạy học hàm số trong chương trình phổ thông

Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Quang Huy người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo để em hoàn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn tới tất thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy cô tổ phương pháp dạy học giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận Do thời gian có hạn nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy, cô giáo bạn để khóa luận hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đào Thị Mừng Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn trực tiếp T.S Nguyễn Quang Huy Khóa luận không trùng với kết công trình nghiên cứu Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Đào Thị Mừng Mục lục Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Nội dung Chương 1: Phân tích khái niệm hàm số 1.1 Sự phát triển khái niệm hàm lịch sử toán 1.2 Những định nghĩa khác hàm 1.3 Phân tích định nghĩa hàm 11 Chương 2: Dạy học hàm số 21 2.1 Nội dung triển khai chủ đề hàm số chương trình toán phổ thông 21 2.2 Mục đích, yêu cầu dạy học 22 2.3 Hướng dẫn dạy học hàm số 23 2.3.1 Dạy học khái niệm hàm số 23 2.3.2 Dạy học khảo sát hàm số 38 2.3.3 Phát triển tư hàm 51 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Mở ĐầU Lý chọn đề tài Để đảm bảo việc giảng dạy có hiệu nội dung môn toán nhà trường phổ thông, sinh viên trước trường cần chuẩn bị cho hành trang tri thức: kỹ năng, kỹ xảo cần thiết phương pháp dạy học Một nội dung tri thức hàm số Hàm số trường hợp đặc biệt khái niệm hàm Theo nhà toán học Xô Viết Khinsin khái niệm khác phản ánh tượng thực khách quan cách trực tiếp cụ thể khái niệm tương quan hàm, khái niệm thể nét biện chứng tư toán học đại khái niệm tương quan hàm Thật vậy, chất vật vận động vận động diễn mối tương quan định Với khái niệm hàm, người ta nghiên cứu vật trạng thái biến đổi sinh động trạng thái tĩnh lại, phụ thuộc lẫn tách rời Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc thực khách quan thể rõ nét tư biện chứng chỗ Chính vậy, khái niệm hàm khái niệm toán học, giữ vị trí trung tâm chương trình môn Toán nhà trường phổ thông, toàn việc dạy học toán phổ thông xoay quanh khái niệm Nói riêng, môn toán phổ thông trung học, hàm số xuyên suốt mạch chương trình tạo nên gắn bó phân môn toán học với Việc sử dụng khảo sát hàm số tính chất hàm số công cụ để giải tập toán nhiều trường hợp tỏ hiệu Hơn nữa, lời giải số toán sử dụng công cụ hàm số thường ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu Với mong muốn giúp cho thân bạn sinh viên khoa toán hiểu sâu nội dung hàm số, từ dạy học tốt phần kiến thức Em chọn đề tài: Dạy học hàm số chương trình phổ thông luận cho làm đề tài khóa Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc dạy học hàm số chương trình môn toán trường phổ thông, từ nâng cao chất lượng, hiệu dạy học chủ đề Nhiệm vụ nghiên cứu + Tìm hiểu ý nghĩa, vai trò việc dạy học hàm số phổ thông + Phân tích nội dung chương trình sách giáo khoa dạy học hàm số + Đề xuất lưu ý phương pháp dạy học hàm số Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận + Phương pháp quan sát - điều tra Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục khóa luận gồm hai chương: Chương Nghiên cứu khái niệm hàm số 1.1 Sự phát triển khái niệm hàm lịch sử toán 1.2 Những định nghĩa khác hàm 1.3 Phân tích định nghĩa hàm Chương Dạy học hàm số 2.1 Nội dung triển khai chủ đề hàm số chương trình toán phổ thông 2.2 Mục đích, yêu cầu dạy học 2.3 Hướng dẫn dạy học hàm số 2.3.1 Dạy học khái niệm hàm số 2.3.2 Dạy học khảo sát hàm số 2.3.3 Phát triển tư hàm Nội dung Chương NGHIÊN CứU khái niệm hàm số 1.1 phát triển khái niệm hàm lịch sử toán Từ 1000 năm trước công nguyên, người Babilon biết lập bảng tỉ số thực nghiệm thiên văn họ có khái niệm sơ khai hàm số Khái niệm đến đầu kỷ thứ XVII hình thành rõ ràng có hệ thống Toán học, nhờ công trình Phermat Descartes Giữa kỷ thứ XVII nảy sinh nhu cầu định nghĩa tổng quát hàm số đụng chạm đến toán giao động sợi dây Danh từ hàm số (funotio) Leibnitze dùng lần vào khoảng năm 1694 Trong kỷ XVII khái niệm hàm số gắn liền với biểu diễn hình học hàm số đường Thế kỷ XVII giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích Năm 1718 Johann Bernoulli định nghĩa: Hàm số biến lượng biểu thức giải tích gồm biến lượng đại lượng không đổi Năm 1748 DAlembert định nghĩa Hàm số biểu thức giải tích Trong kỷ XVIII biểu thức giải tích đóng vai trò việc xác định tương quan hàm số Tuy nhiên có định nghĩa tổng quát nảy nở kỷ này, coi hàm số đại lượng phụ thuộc Năm 1755 Euler định nghĩa: Khi đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác cho thay đổi đại lượng thứ hai kéo theo thay đổi đại lượng thứ đại lượng thứ gọi hàm số đại lượng thứ hai Trong kỷ XIX phát triển giải tích toán học đòi hỏi mở rộng khái niệm hàm số, xây dựng khái niệm dựa vào tương ứng giá trị hai đại lượng Năm 1837 Dirichler định nghĩa: y hàm số x với giá trị x tương ứng giá trị hoàn toàn xác định y tương ứng thiết lập cách điều hoàn toàn không quan trọng Ông nêu ví dụ: 1:x hửừ u tổ y D(x) :x voõtổ Định nghĩa tất nhà bác học thời chấp nhận Về sau lý thuyết tập hợp phát triển thành tảng toán học đòi hỏi phải mở rộng khái niệm hàm số Người ta dựa vào lý thuyết tập hợp để định nghĩa khái niệm hàm Như khái niệm hàm số phát sinh, phát triển, ngày mở rộng, xác hóa hoàn thiện nhu cầu thực tiễn 1.2 Những định nghĩa khác hàm 1.2.1 Định nghĩa hàm dựa vào đại lượng biến thiên Khuynh hướng xuất sớm mặt lịch sử nên gọi khuynh hướng cổ điển Nó lấy ứng dụng cổ truyền toán học, vật lý, kỹ thuật làm sở dựa vào đại lượng biến thiên Trong khuôn khổ khuynh hướng có hai dạng định nghĩa Cả hai dạng dựa vào tương ứng giá trị đại lượng biến thiên với giá trị đại lượng biến thiên Nhưng khác chỗ dạng thứ coi hàm thân đại lượng biến thiên nói ban đầu, dạng thứ hai coi hàm luật (hay quy tắc biểu thị tương ứng đó) Ví dụ dạng thứ định nghĩa: Đại lượng y coi hàm số đại lượng x, với giá trị x (trong khoảng biến thiên nó) tương ứng giá trị xác định y, x gọi đối số (Đại số 10, sách bổ túc văn hóa, nhà xuất giáo dục Hà Nội, trang 58) [7] Để minh họa cho dạng thứ hai, nêu ví dụ: Luật (quy tắc) theo giá trị đại lượng biến thiên phụ thuộc tương ứng với giá trị đại lượng biến thiên độc lập gọi hàm (Bài giảng đại số cao cấp Mytskit) [7] Đương nhiên phát biểu xem định nghĩa chặt chẽ khái niệm hàm, có từ đại lượng biến thiên mà việc xác hóa có khó khăn định Hơn nữa, định nghĩa dạng thứ hai có thuật ngữ quy tắc luật mà nghĩa chưa quy định rõ 1.2.2 Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp Khuynh hướng không dùng đại lượng biến thiên mà lại dựa vào lý thuyết tập hợp Về mặt lịch sử, xuất sau khuynh hướng nêu mục 1.2.1 nên gọi khuynh hướng đại Khuynh hướng dẫn tới mở rộng khái niệm hàm nghiên cứu tương ứng giá trị đại lượng Do đó, có khả phục vụ cho tất ứng dụng cổ truyền toán học nhiều ứng dụng xuất thời gian gần Trong khuôn khổ khuynh hướng người ta phân biệt bốn dạng định nghĩa: định nghĩa tình hàm, hàm quy tắc, hàm tương ứng hàm ba tập hợp 1.2.2.1 Định nghĩa tình hàm Dạng thứ không định nghĩa thân khái niệm hàm mà định nghĩa tình hàm nghĩa tình mà nói có hàm số Chẳng hạn: Giả sử M F hai tập hợp Người ta nói M xác định hàm f nhận giá trị F với phần tử x M đặt tương ứng phần tử F Trong trường hợp tập hợp có chất thay từ hàm người ta thường dùng từ ánh xạ nói ánh xạ tập hợp M đến tập hợp F (Kolmogorov Fomin: Những yếu tố lý thuyết hàm giải tích hàm) Cho hai tập hợp A B Ta nói xác định ánh xạ tập hợp A vào tập hợp B ký hiệu : A B cách đặt tương ứng phần tử a A phần tử xác định b B (Trần Văn Hạo 1968, trang 9) [7] 1.2.2.2 Hàm quy tắc tương ứng hai tập hợp Dạng thứ hai xem hàm luật hay quy tắc tương ứng phần tử hai tập hợp, chẳng hạn: X Y hai tập hợp cho Một ánh xạ f từ X đến Y quy tắc cho tương ứng với phần tử x X phần tử y Y (Lê Đình Phi 1975, trang 12) [7] Trong định nghĩa thuộc dạng trên, người ta dùng khái niệm quy tắc hay luật ý nghĩa từ xác hóa nhờ khái niệm thuật toán, xác hóa lại dẫn đến thu hẹp khái niệm hàm 1.2.2.3 Hàm tương ứng Dạng thứ ba coi hàm tương ứng Chẳng hạn: Theo định nghĩa tổng quát hàm tương ứng mà theo với phần tử x tập hợp X tương ứng phần tử y tập Y (Klini: Nhập môn vào toán học) [7] Những định nghĩa thuộc dạng xuất phát từ khái niệm tương ứng khái niệm chưa định nghĩa dễ dàng giải thích trực giác (do dùng với yêu cầu xác không cao lắm) 1.2.2.4 Định nghĩa hàm triệt để dựa vào tập hợp Các định nghĩa hàm thuộc ba dạng dựa vào tập hợp chưa triệt để Vì chúng chưa đích danh hàm (dạng thứ nhất) có thuật ngữ chưa rõ, chẳng hạn quy tắc (dạng thứ hai), tương ứng (dạng thứ ba) Dạng thứ tư khắc phục nhược điểm ba dạng cách đưa thêm vào tập hợp cặp để xác hóa khái niệm hàm Dạng có hai cách định nghĩa: định nghĩa đầy đủ định nghĩa rút gọn Về định nghĩa đầy đủ, Bourbaki định nghĩa: Một tập hợp G mà phần tử cặp gọi đồ thị Tập hợp tất phần tử thứ cặp G gọi miền xác định đồ thị G, ký hiệu pr1G Tập hợp tất phần tử thứ hai cặp G gọi miền giá trị G, ký hiệu pr2G Một ba (G, A, B), G đồ thị cho pr1G A pr2G B, gọi tương ứng tập hợp A B, A gọi nguồn B gọi đích tương ứng Một đồ thị gọi đồ thị hàm hai cặp phân biệt chung phần tử thứ Một tương ứng (F, A, B) gọi hàm F đồ thị hàm A = pr1F Như theo định nghĩa Bourbaki ba tập hợp (F, A, B), F tập cặp cho pr1F A pr2F B gọi hàm phần tử A thành phần thứ cặp thuộc F Về định nghĩa rút gọn, ta trích dẫn Kolmogorov (1978, trang 28) [7]: 10 Một hàm tập hợp cặp (x, y) cho x tập hợp cặp (x, y) với phần tử thứ x cho trước Như hàm theo định nghĩa rút gọn đồ thị hàm theo định nghĩa đầy đủ, nguồn đích mặt định nghĩa rút gọn Định nghĩa đầy đủ định nghĩa rút gọn khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp thường hay xâm nhập lẫn Chính Bourbaki nhiều dùng khái niệm hàm theo định nghĩa rút gọn, cụ thể phần khác tập sách hay dùng từ hàm để đồ thị hàm Mặt khác, xuất phát từ định nghĩa rút gọn,sau đưa vào khái niệm miền xác định D(f) hàm f (tập hợp tất phần tử thứ cặp f) khái niệm miền giá trị E(f) hàm f (tập hợp tất phần tử thứ hai cặp f) người ta chuyển sang định nghĩa đầy đủ, chẳng hạn cách đưa vào định nghĩa sau: Nếu D(f) = A E(f) = B người ta nói f ánh xạ A lên B Nếu D(f) = A E(f) B người ta nói f ánh xạ A vào B viết f: A B Nếu D(f) A E(f) = B người ta nói f ánh xạ từ A lên B Nếu D(f) A E(f) B người ta nói f ánh xạ từ A vào B (xem Kolmogorov, trang 28) [7] đây, định nghĩa hai thực chất trùng với định nghĩa đầy đủ hàm Bourbaki Trong định nghĩa hàm theo khuynh hướng đại, thực có dạng thứ tư triệt để dựa vào lý thuyết tập hợp Vậy định nghĩa dạng (theo cách đầy đủ hay rút gọn) tiêu biểu cho khuynh hướng đại, tức khuynh hướng lý thuyết tập hợp 1.3 Phân tích định nghĩa hàm 1.3.1 Định nghĩa theo cách đầy đủ Theo định nghĩa đầy đủ, khái niệm hàm có đặc điểm sau đây: Thứ nhất, hàm xác định ba yếu tố: tập hợp cặp nguồn đích Thiếu ba yếu tố hàm chưa xác định Vai trò tập hợp cặp rõ ràng không cần phải bàn cãi xác định quy tắc tương ứng Tuy 11 Việc xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số y tan x nửa khoảng 0; dựa vào đường tròn lượng giác d) Đối với hàm số y cot x ta xét tương tự dựa đường tròn lượng giác Cần ý: Dáng điệu đồ thị điểm x giải thích tường minh cho học sinh (do chưa học đạo hàm, tiếp tuyến với đường cong), giáo viên nên lưu ý học sinh vẽ cho đúng, đồ thị phải có độ dốc 1350 x góc tiếp tuyến (hệ số 1) Tiếp theo, sách giáo khoa đưa vào chương phần giới hạn chương phần đạo hàm nhằm phục vụ cho việc khảo sát hàm số lớp 12 2.3.2.5 lớp 12 Tiếp tục chương đạo hàm lớp 11, chương sách giáo khoa Giải tích 12 sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao trình bày tương tự ứng dụng đạo hàm việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số Sách giáo khoa nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến giới thiệu định lý cho phép sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số Về đồ thị hàm số, sách giáo khoa giới thiệu số phép biến đổi đồ thị cho học sinh vận dụng để khảo sát vẽ đồ thị nhiều loại hàm số khác cách thuận tiện nhanh chóng Sách giáo khoa đưa sơ đồ khảo sát hàm số, hàm số khảo sát cụ thể hơn, đòi hỏi nhiều kiến thức, kỹ khác Cụ thể: 1) Tìm tập xác định hàm số 2) Xét biến thiên hàm số a) Tìm giới hạn vô cực giới hạn cô cực (nếu có) hàm số Tìm đường tiệm cận đồ thị (nếu có) 47 b) Lập bảng biến thiên hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên tìm cực trị hàm số (nếu có), điền kết vào bảng 3) Vẽ đồ thị hàm số: Vẽ đường tiệm cận đồ thị (nếu có) Xác định số điểm đặc biệt đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ (trong trường hợp đồ thị không cắt trục tọa độ việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp bỏ qua phần này) Nhận xét đồ thị: trục tâm đối xứng đồ thị (nếu có, không yêu cầu chứng minh) Như vậy, quy trình khảo sát hàm số gồm ba bước trước bước khảo sát biến thiên hàm số đòi hỏi số kỹ mức cao hơn, đầy đủ Với công cụ giới hạn, đạo hàm dựa vào bảng biến thiên hàm số, bước xét biến thiên hàm số đòi hỏi tìm cực trị, tiệm cận (nếu có) Điều chứng tỏ, lớp 12 chủ yếu nghiên cứu đặc trưng biến thiên hàm số Khảo sát biến thiên hàm số không tìm khoảng biến thiên mà sử dụng tính chất biến thiên hàm số mở rộng tính chất để tìm yếu tố khác Quá trình giúp cho học sinh hiểu rõ hàm số nghiên cứu, thấy tính chất biến thiên từ vẽ đồ thị hàm số cách xác Sách giáo khoa Giải tích 12 sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao giới thiệu số hàm số cụ thể trình bày rõ ràng quy trình khảo sát vẽ đồ thị chúng theo dạng hàm số: Các hàm đa thức: y a x b x c x d (a 0) y a x b x c (a 0) Các hàm phân thức: y y a xb (c 0, ad bc 0) cxd a x2 b x c (a a ' 0) (sách giáo khoa Giải tích 12 nâng a'xb' cao) 48 Với dạng trên, sách giáo khoa cho ví dụ cụ thể để khảo sát cách đầy đủ, rõ ràng theo bước, sau lập bảng tóm tắt cách tổng quát, đầy đủ trường hợp Việc vẽ đồ thị hàm số không cần lập bảng giá trị tương ứng trước mà dựa vào tính chất biến thiên, cực trị hàm số bảng biến thiên hàm số Như vậy, toàn việc khảo sát hàm số tập trung vào đặc trưng biến thiên ẩn đặc trưng tương ứng, đặc trưng phụ thuộc Trước đây, quy trình khảo sát vẽ đồ thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12 NXBGD 2001 trình bày bước xét tính lồi, lõm tìm điểm uốn đồ thị hàm số Còn sách giáo khoa hành giới thiệu cung lồi, cung lõm điểm uốn dạng đọc thêm để học sinh tham khảo không yêu cầu trình bày trình khảo sát hàm số Có lẽ việc xét tính lồi lõm tìm điểm uốn đồ thị hàm số đòi hỏi phải tìm đạo hàm cấp hai xét dấu đạo hàm cấp hai hàm số, điều gây khó khăn cho học sinh Ngoài ra, sách giáo khoa giới thiệu số loại hàm số khác, hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit Do học sinh học đạo hàm hàm số nên hàm số trình bày cách đầy đủ: định nghĩa, công thức tính đạo hàm, khảo sát vẽ đồ thị hàm số theo đầy đủ bước Việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số trình bày dạng công thức tổng quát chúng với đầy đủ trường hợp Như vậy, hàm số xem xét, nghiên cứu thiên đặc trưng biến thiên chúng thông qua việc khảo sát vẽ đồ thị Tóm lại để học sinh giải tốt toán khảo sát hàm số, ta cần chăm lo rèn luyện cho họ hệ thống kỹ năng, kỹ xảo cần thiết bao gồm: Thứ nhất, tính toán phục vụ khảo sát hàm số: Nhóm bao gồm kỹ năng, kỹ xảo thực phép toán số học đại số, phép biến đổi đồng nhất, giải phương trình, xét dấu nhị thức, tam thức Nó bao gồm phép lấy đạo hàm hàm số sơ cấp sau học sinh biết dùng công cụ để khảo sát hàm số Điều nói lên mối tương quan mật thiết chủ đề hàm số với chủ đề khác: hệ thống số, biến đổi đồng 49 nhất, phương trình bất phương trình Những kỹ năng, kỹ xảo vừa nói xem nhẹ được, nhiều học sinh bị thất bại việc khảo sát hàm số không nắm đường lối, cách giải toán mà có vi phạm sai lầm việc giải phương trình, tính đạo hàm Thầy giáo thái độ khoan nhượng trước sai lầm tính toán học sinh, không gây cho họ tâm lý coi nhẹ việc tính toán, cốt nắm đường lối, cách thức khảo sát hàm số Cần làm cho họ thấy nguy hại việc tính toán sai lầm: Sai ly dặm, rèn luyện cho họ tính cẩn thận, xác, thói quen tự kiểm tra công việc làm, phẩm chất quý giá người lao động Việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo thuộc nhóm nội dung chủ đề hàm số mà nội dung tất chủ đề khác suốt chương trình đại số giải tích Ta cần chăm lo rèn luyện cho học sinh kỹ năng, kỹ xảo dạy hệ thống số, biến đổi đồng nhất, phương trình bất phương trình, tạo điều kiện tốt cho việc khảo sát hàm số Thứ hai, vẽ đồ thị: + Tập cho học sinh biết cách dựng điểm theo tọa độ, đặc biệt tọa độ số vô tỉ phải biết cách tính gần + Tìm tọa độ điểm đặc biệt điểm cần thiết đủ để vẽ đồ thị cho không sai lệch dáng điệu + Phải thuộc tính chất hàm số học, biết dạng đồ thị có để định hướng trước khảo sát, giảm bớt lúng túng dẫn đến sai lệch + Luyện tập cho học sinh thành thạo phép biến đổi đồ thị đối xứng tâm, đối xứng trục biết vận dụng để từ đồ thị hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số khác y f ( x ) , y f ( x ) + Yêu cầu học sinh vẽ đúng, đẹp đặc biệt điểm cực trị, nhánh vô tận với đường tiệm cận Thứ ba, đọc sử dụng đồ thị: Cần làm cho học sinh quen với việc đọc đồ thị tức khai thác thông tin từ đồ thị, phát tính chất hàm số thông qua đồ thị Cụ thể cần 50 thường xuyên yêu cầu học sinh vào đồ thị hàm số để tính giá trị ứng với giá trị đối số, tính giá trị đối số ứng với giá trị hàm số, giải phương trình đồ thị, nhận xét đồ thị trường hợp phiên dịch tính chất đồ thị thành tính chất hàm số Trong số trường hợp, dựa vào đồ thị, ta thấy rõ số tính chất hàm số chiều biến thiên, cực đại, cực tiểu, tốc độ biến thiên Để thoát khỏi luẩn quẩn: Tính toán để vẽ đồ thị, vẽ đồ thị lại để tính toán, Nghiên cứu tính chất hàm số để vẽ đồ thị, vẽ đồ thị để nghiên cứu tính chất hàm số, ta cần đặc biệt lưu ý cho học sinh trường hợp dùng đồ thị để tính toán việc tính trực tiếp có gặp khó khăn Tương tự cần đặc biệt lưu ý cho học sinh trường hợp phát đồ thị tính chất hàm số mà tính chất chưa nêu lên khảo sát hàm số phục vụ việc vẽ đồ thị Làm rèn luyện cho họ kỹ tính toán nhờ đồ thị nhận xét đồ thị cách có ý thức, tức sở nhận rõ tác dụng ngược trở lại việc vẽ đồ thị việc nghiên cứu hàm số 2.3.3 Phát triển tư hàm 2.3.3.1 Những tư tưởng chủ đạo phát triển tư hàm Vận dụng quan điểm hoạt động, thể thành tố sở phương pháp dạy học môn Toán, nêu tư tưởng phát triển tư hàm cho học sinh sau: Thứ nhất: Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu lợi dụng tương ứng nhằm vào truyền thụ kiến thức rèn luyện kỹ toán học Bất kỳ loại hình tư cần thiết phải phát triển hoạt động Đặc trưng cho tư hàm, liệt kê hoạt động sau đây: + Phát thiết lập tườn ứng + Nghiên cứu tương ứng + Lợi dụng tương ứng 51 Phát tương ứng tức nhận mối liên hệ tương ứng tồn khách quan Thiết lập tương ứng nghĩa tự tạo tương ứng theo quy định chủ quan để thuận lợi cho mục đích Nghiên cứu tương ứng nhằm phát tính chất mối liên hệ đó, cụ thể hóa tình sau: (N1) Xác định giá trị cho biết giá trị vào; Xác định giá trị vào cho biết giá trị ra; Nhận biết quy tắc tổng quát mối liên hệ (trong trường hợp có thể) cho biết cặp phần tử tương ứng mối liên hệ này; Nhận biết tính đơn trị tương ứng (N2) Đánh giá biến thiên giá thị cho thay đổi giá trị vào; Thực biến thiên mong muốn giá trị cách thay đổi giá trị vào; Đoán nhận phụ thuộc (N3) Phát nghiên cứu bất biến, trường hợp đặc biệt trường hợp suy biến Từ chỗ nghiên cứu nắm tính chất tương ứng lợi dụng tương ứng vào hoạt động Thứ hai: Thực gợi động cơ, đặc biệt gợi động kết thúc hoạt động tư hàm, cho hoạt động trở thành khả gợi động nội toán học Trong hoạt động vừa kể tên trên, việc lợi dụng tương ứng cần nhấn mạnh để phát huy tác dụng gợi động cơ, đặc biệt gợi động kết thúc Các hoạt động lại cần học sinh tập luyện dạng hoạt động toán học cụ thể, gợi động riêng biệt Lý nhấn mạnh cách gợi động kết thúc chỗ: + Nếu học sinh chưa quen với hoạt động tư hàm trước tiến hành hoạt động khó giải thích cho họ hiểu họ lại cần thực hoạt động 52 + Nhu cầu gợi động xuất phát gợi động trung gian cho hoạt động không thật cấp bách, theo chương trình chúng ta, hoạt động không quy định dạy tường minh Việc gợi động cơ, đặc biệt gợi động kết thúc hoạt động tư hàm cần khai thác triệt để cho thân hoạt động trở thành khả gợi động nội toán học Thứ ba: Hình thành học sinh biểu tượng tiến tới tri thức tương ứng đơn trị tập luyện cho họ hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp tư hàm Kiến thức tương ứng đơn trị tiền đề bắt buộc hoạt động tư hàm Nói hơn, kiến thức đạt nhiều hội tiến hành hoạt động nói trên, thuật ngữ đơn trị, không đơn trị không thiết bắt buộc phải sử dụng Tri thức hoạt động tư hàm không quy định chương trình không dạy cách tường minh cho học sinh Do tầm quan trọng chúng học toán giải toán, cần thiết cho học sinh tập luyện hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp Muốn vậy, giải tập, hướng dẫn bình luận trình giải tập, cần nêu bật câu hỏi gợi ý sau: + Đại lượng phụ thuộc vào đại lượng nào? + Một cách biến thiên phần tử tập hợp gây nên thay đổi phần tử tập hợp + Hãy xét trường hợp đặc biệt trường hợp suy biến + Cái không thay đổi (bất biến) cách biến thiên phần tử tập hợp đó? Những câu hỏi gợi ý cần nêu dạng tổng quát cho chúng áp dụng cho trường hợp khác Sự áp dụng lặp lặp lại nhiều lần hình thành học sinh kiến thức phương pháp tư hàm 53 Thứ tư: Phân bậc hoạt động tư hàm theo số lượng biến, theo mức độ trực quan đối tượng, theo trình độ độc lập thành thạo hoạt động người học 2.3.3.2 Phát triển tư hàm toàn chương trình môn Toán Để phát triển tư hàm, ta vào tư tưởng chủ đạo nêu mục 2.3.3.1, đồng thời cần lưu ý sau: Thứ nhất, hoạt động nêu mục 2.3.3.1 ý cách dàn Tùy theo nội dung mục đích dạy học mà ta nhấn mạnh hoạt động hay hoạt động khác Thứ hai, việc gợi động xuất phát từ nội dung, việc hình thành tri thức, đặc biệt phương thức phương pháp phân bậc hoạt động làm cách hợp lý luôn nhắc đến nội dung dạy học Đặc biệt ta thực phân bậc hoạt động đoạn nội dung ngắn không nói tới phân bậc hoạt động tư hàm toàn chương trình, chưa đủ lí luận thực tiễn Dưới gợi ý thực tư tưởng chủ đạo phát triển tư hàm toàn việc dạy học môn Toán, chủ yếu theo lãnh vực nội dung sau: Các hệ thống số, ánh xạ hàm số, Những nội dung hình học khác 2.3.3.2.1 Các hệ thống số Lãnh vực hệ thống số chứa đựng tiềm to lớn khai thác để khuyến khích hoạt động tư hàm Những hoạt động phát triển mục đích tự thân mà nhằm vào thực yêu cầu dạy học hệ thống số Trong việc rèn luyện cho học sinh kĩ tính toán, cần ý cho họ đồng thời tập luyện hoạt động xác định giá trị cho biết giá trị vào, xác định giá trị vào cho biết giá trị phát tương ứng phần tử hai tập hợp Điều thực nhờ tập tính toán với 54 dạng đầu khác nhau, bảng sử dụng sớm thường xuyên coi phương tiện biểu thị tương ứng phần tử nhiều tập hợp Để giúp học sinh rèn luyện kĩ tính toán đào sâu hiểu biết phép tính, lại vừa góp phần phát triển họ lực tư hàm, điều diễn nhiều nôi dung khác nhau, chẳng hạn như: + Sự tương ứng số (trong hệ thống số đó) điểm tia số đường thẳng số; + Sự tương ứng số tự nhiên dư phép chia chúng cho số tự nhiên cố định; + Sự thay đổi đơn vị, chẳng hạn đổi số đo từ mét sang centimet; + Sự tương ứng cặp số tự nhiên bội chung nhỏ hai số cặp; + Sự tương ứng cặp số tự nhiên ước chung lớn hai số cặp Các hoạt động đánh giá biến thiên giá trị cho thay đổi giá trị vào, thực biến thiên mong muốn giá trị cách thay đổi giá trị vào, đoán nhận phụ thuộc nên cho học sinh bắt đầu tập luyện từ lớp 4, xem xét ảnh hưởng thay đổi hạng tử kết thực phép tính, nội dung chương trình môn Toán chứa đựng tiềm hoạt động lớp thấp Sự chậm trễ có dụng ý nhằm tập trung vào việc rèn luyện kĩ tính toán năm học đầu Việc cho biến thiên đai lượng đánh giá ảnh hưởng biến thiên làm ví dụ gợi động theo hướng muốn phát tính chất phép tính quan hệ số Những tri thức phương pháp tương ứng hình thành nhờ dẫn dắt bình luận thầy giáo với câu hỏi gợi ý như: + Đại lượng phụ thuộc vào đại lượng nào? + Một cách biến thiên đại lượng ảnh hưởng tới thay đổi giá trị đại lượng khác nào? 55 2.3.3.2.2 Phương trình bất phương trình Lãnh vực nội dung phương trình bất phương trình, bao gồm đẳng thức, đẳng thức bất đẳng thức, chứa đựng tiềm khai thác học sinh tập luyện hoạt động tư hàm Trước hết cần cho học sinh tập luyện hoạt động giải phương trình bất phương trình Thứ nhất, việc giải phương trình bất phương trình theo nội dung cách thử dần số cần tập luyện từ lớp Làm đồng thời khuyến khích hoạt động phát tương ứng biểu thị vế Thứ hai, học sinh học thuật ngữ phương trình bất phương trình, thầy giáo nên đầu dạng yêu cầu tính giá trị (hoặc giá trị) vào cho biết giá trị điều kiện giá trị Ví dụ: Giải phương trình bất phương trình bậc hai Hãy tính giá trị x cho x 25 x 154 nhận giá trị Với giá trị x x 3x nhận giá trị lớn 5? Nhờ đó, học sinh mặt hiểu rõ nghĩa thuật ngữ phương trình, bất phương trình, giải phương trình, mặt khác rèn luyện mặt tư hàm Thứ ba, ta cần ý yêu cầu học sinh giải phương trình hệ phương trình đồ thị Nhờ họ tập luyện xác định giá trị cho biết giá trị vào, xác định giá trị vào cho biết giá trị tập hợp số thực tập hợp điểm mặt phẳng Thứ tư, cần tận dụng hội thích hợp cho học sinh giải phương trình bất phương trình dựa vào việc khảo sát hàm số tính chất phát việc khảo sát Ví dụ: Giải phương trình 3x x 5x dựa vào kết khảo sát hàm số y a x (0 a 1) Sự làm việc với đẳng thức tạo hội để tập luyện cho học sinh nghiên cứu tương ứng biểu thị vế đẳng thức 56 Ví dụ: Luyện tập biến đổi biểu thức theo đẳng thức a b a 2ab b a) Biến đổi 64a 80a 25 thành tích b) 64a 80a 25 thay đổi a tăng (giảm) 0? c) Với giá trị a 64a 80a 25 đạt giá trị nhỏ nhất? 2.3.3.2.3 Hàm số ánh xạ Nội dung chiếm vị trí đặc biệt việc phát triển tư hàm nêu ví dụ số phương diện hoạt động tư hàm mà giáo viên không dễ nhận chưa ý mức Thứ nhất, cần làm cho học sinh ý thức tầm quan trọng khái niệm hàm số, nhờ gợi động (thường động kết thúc) cho việc thực hoạt động phát thiết lập tương ứng đơn trị Ngay bắt đầu dạy khái niệm hàm số ánh xạ cần lấy ví dụ cho học sinh thấy rõ tầm quan trọng Thứ hai, hoạt động phát tính đơn trị khác với trước dạy học khái niệm hàm số ánh xạ, học sinh yêu cầu phát biểu tường minh tính chất coi đặc trưng khái niệm ánh xạ Thư ba, điều kiện học sinh học định nghĩa hàm số, xem xét hàm số cụ thể, có hội, ta nên quay lại định nghĩa để củng cố cho học sinh tri thức quan trọng Thứ tư, khảo sát hàm số theo phương pháp sơ cấp hay phương tiện đạo hàm, cần nêu bật việc đánh giá biến thiên giá trị cho thay đổi giá trị vào tri thức phương pháp cho hoạt động tư hàm Những câu hỏi gợi ý nêu mục 2.3.3.1 nên sử dụng hướng dẫn bình luận hoạt động học sinh Một số hoạt động coi thành phần tư hàm, cần đạt tới trình độ kỹ xảo, số có: + Lập bảng giá trị hàm số cho dạng công thức; + Nhận số tính chất hàm số dựa vào bảng giá trị hàm số đó; 57 + Biểu diễn hệ trục tọa độ hàm số cho dạng bảng; + Đọc đồ thị Thứ năm, cần nêu bật tương ứng đơn trị phần tử hai tập hợp mà tập số tập điểm Thứ sáu, dạy phép biến hình cần khai thác tiềm nội dung để phát triển lực tư hàm cho học sinh Để giúp học sinh hiểu cách cụ thể tương ứng hai tập hợp điểm, cần cho họ tập yêu cầu dựng ảnh điểm cho trước dựng điểm có ảnh cho trước 2.3.3.2.4 Những nội dung hình học khác Khi dạy học nội dung hình học có chứa đựng ánh xạ hình học dù dạng tường minh hay ẩn tàng, cần khai thác tiềm để góp phần phát triển tư hàm cho học sinh Thứ nhất, cần cho học sinh phát thiết lập tương ứng, qua cho họ đối chiếu tương ứng đơn trị không đơn trị Ví dụ: Xác định đường tròn Trong trường hợp sau đây, trường hợp có đường tròn: a) Với cặp (M, r) tức (tâm, bán kính); b) Với cặp (M, P), P điểm thuộc đường tròn; c) Với cặp (P1, P2), P1 P2 điểm thuộc đường tròn; d) Với ba điểm không thẳng hàng Thứ hai, việc tính chu vi, diện tích thể tích cần khai thác để học sinh tập luyện nghiên cứu tương ứng Ví dụ: Hãy nêu nhiều cách thay đổi độ dài cạnh cho diện tích hình chữ nhật: a) Tăng lên gấp 2; b) Tăng lên gấp 4; c) Tăng lên gấp 12 58 Ví dụ khuyến khích hoạt động tư hàm là: Phát tương ứng, đoán nhận phụ thuộc đánh giá biến thiên giá trị cho thay đổi giá trị vào, thực biến thiên mong muốn giá trị cách thay đổi giá trị Thứ ba, cần tận dụng khả phát triển tư hàm trình giải vấn đề KếT LUậN Nội dung hàm số trình bày xuyên suốt, giữ vị trí trung tâm chương trình môn Toán nhà trường phổ thông Ta thường gặp toán kỳ thi, đặc biệt kỳ thi tuyển sinh cao đẳng - đại học Trong khóa luận em trình bày cách chi tiết dạy học hàm số chương trình phổ thông Về mặt khoa học luận, làm rõ phần quan trọng đặc trưng cuả khái niệm hàm số trình nảy sinh phát triển tiến triển chúng qua thời kỳ khác lịch sử Quá trình phân tích khoa học luận định hướng cho việc tiếp cận đối tượng hàm số phương diện sư phạm Từ giúp làm rõ tiến trình cách tổ chức đưa khái niệm hàm số vào chương trình SKG toán phổ thông Đặc biệt diện đặc trưng khoa học luận khái niệm tiến triển tầm quan trọng chúng qua cấp độ lớp khác Điều cần nhấn mạnh hình thức cách tổ chức dạy 59 học khái niệm hàm số chương trình SGK phản ánh phần quan trọng đặc trưng khoa học luận khái niệm Cụ thể, số yếu tố cấu thành đối tượng hàm tư hàm xuất sớm từ bậc tiểu học, hàm số xuất trước hết vai trò công cụ ngầm ẩn trước định nghĩa nghiên cứu cách tường minh Do thời gian lực thân hạn chế Đề tài không tránh khỏi thiếu xót Em mong nhận đóng góp quý báu thầy cô bạn yêu toán TàI LIệU THAM KHảO [1] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên) Toán tập NXBGD 2003 [2] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên) Toán tập tập NXBGD 2005 [3] Hoàng Chúng Phương pháp dạy học số học đại số trường THCS NXBGD 2002 [4] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đại số 10 NXBGD 2006 [5] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đại số Giải tích 11 NXBGD 2007 [6] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên) - Giải tích 12 NXBGD 2008 60 [7] Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học môn toán NXBGD 1994 [8] Bùi Văn Nghị - Phương pháp dạy học nội dung cụ thể môn toán NXB Đại học sư phạm 2008 [9] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Đại số 10 nâng cao NXBGD 2006 [10] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Đại số Giải tích 11 nâng cao NXBGD 2007 [11] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Giải tích 12 nâng cao NXBGD 2008 [12] Đoàn Quỳnh (Chủ biên) Tài liệu bồi dưỡng giáo viên 10, 11,12 NXBGD [13] Hoàng Xuân Sính Sách giáo viên Đại số NXBGD 2001 [14] Hoàng Xuân Sính, Nguyễn Tiến Tài - Đại số NXBGD 2001 [15] Nguyễn Thị Trang Lý luận dạy học môn toán 61 [...]... toán ở phổ thông ở lớp 7 khái niệm hàm số được mô tả thông qua tương quan phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên và hai hàm số cụ thể y a x , y a (a x 0) Chương trình lớp 9 xét tiếp các hàm số bậc nhất y a x b (a hai dạng y a x 2 (a 0), hàm số bậc 0), hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Chương trình lớp 10 tổng kết về hàm số Học sinh được nghiên cứu đầy đủ hơn với các khái niệm: hàm số, tập... Đại số và Giải tích 11 NXBGD 2000 Nhưng theo chương trình đổi mới nội dung giáo dục, chương đạo hàm được đưa vào từ lớp 11 nhằm phục vụ cho việc dạy học vật lý ở đầu lớp 12 và dạy học hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit một cách đầy đủ theo các bước Nên các hàm số này đã được đưa vào chương trình lớp 12 Sách giáo khoa Giải tích 12 kể cả sách nâng cao trình bày định nghĩa hàm số lũy thừa, hàm số. .. khái niệm: hàm số, tập xác định và đồ thị hàm số; đồng thời đưa ra các khái niệm đồng biến, nghịch biến, sự biến thiên của hàm số; hàm số chẵn, lẻ Chương trình lớp 11 học sinh học hàm số lượng giác (chương 1), hàm số với đối số tự nhiên (chương 3) Trong chương 1 (Đại số và Giải tích 11 kể cả sách nâng cao), sách giáo khoa giới thiệu các hàm số lượng giác của biến số thực y sin x , y cos x , y tan x... thực tiễn của khái niệm hàm Về cách cho hàm số, sách giáo khoa Đại số 10 trình bày ba cách cho hàm số: hàm số cho bằng bảng, hàm số cho bằng biểu đồ, hàm số cho bằng công thức Trong các sách giáo khoa thường chỉ xét các hàm số được cho bằng công thức Tuy nhiên, trong thực tiễn thì thường gặp các hàm số cho bởi bảng hoặc biểu đồ Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao chỉ giới thiệu hàm số được cho bởi biểu... Các hàm số y sin x , y tan x , y cot x cùng là những hàm số lẻ và hàm số y cos x là hàm số chẵn Các hàm số y sin x , y cos x là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 , các hàm y tan x , y cot x là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 không đề cập đến khái niệm hàm số tuần hoàn tổng quát mà những hiểu biết tổng quát về hàm số tuần hoàn được cung cấp cho học. .. sách giáo khoa trình bày về khái niệm dãy số và nghiên cứu hai dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân Thực chất, dãy số chính là hàm số với đối số tự nhiên Phần này được trình bày tương tự nhau ở sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 và sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao Lớp 12 có chương2 : Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit Trước đây những hàm này được giới thiệu trong sách giáo... diện trong thực tế, trong các ngành khoa học khác như thế nào, và nghiên cứu hàm số là xuất phát từ yêu cầu của thực tế cuộc sống Qua bài toán cụ thể khái quát lên định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y a x b , trong đó a, b là các số thực xác định và (a 0) Như vậy, ở đây học sinh được nghiên cứu hàm số bậc nhất ở dạng tổng quát, còn hàm số y a x (a 0) mà học. .. cho hàm số khác nhau để học sinh thấy được sự đa dạng của hàm số Từ đó, học 27 sinh hiểu và nắm vững được các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số một cách chính xác, khoa học 2.3.1.2.2 ở lớp 9 ở lớp 7, học sinh đã được học về hàm số, đến lớp 9, các em vẫn tiếp tục được nghiên cứu về hàm số nhưng ở mức độ sâu rộng hơn Các vấn đề về hàm số được trình bày một cách khái quát hơn, chặt chẽ hơn trong chương. .. lượng trong vật lý mà học sinh đã học biểu thị tương quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch có tác dụng giúp học sinh hiểu việc nghiên cứu hàm số bắt nguồn từ thực tiễn Hàm số có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn và trong các bộ môn khoa học khác, tức là gợi động cơ đưa vào khái niệm hàm số Sách giáo khoa trình bày định nghĩa về khái niệm hàm số bằng con đường quy nạp, xuất phát từ những ví dụ cụ thể về hàm số, ... sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao xem xét hàm số trên một khoảng k với k là một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đó của R , còn sách giáo khoa Đại số 10 thì xét trên khoảng (a, b) Trong sách giáo khoa Đại số 10, khái niệm hàm số chẵn và hàm số lẻ được đưa ra từ nhận xét trực giác về đồ thị các hàm số y x 2 và y x Trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, khái niệm hàm số chẵn và hàm số lẻ được đưa ra ... đề hàm số chương trình toán phổ thông 2.2 Mục đích, yêu cầu dạy học 2.3 Hướng dẫn dạy học hàm số 2.3.1 Dạy học khái niệm hàm số 2.3.2 Dạy học khảo sát hàm số 2.3.3 Phát triển tư hàm Nội dung Chương. .. nghịch biến, biến thiên hàm số; hàm số chẵn, lẻ Chương trình lớp 11 học sinh học hàm số lượng giác (chương 1), hàm số với đối số tự nhiên (chương 3) Trong chương (Đại số Giải tích 11 kể sách... điều gây khó khăn cho học sinh Ngoài ra, sách giáo khoa giới thiệu số loại hàm số khác, hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit Do học sinh học đạo hàm hàm số nên hàm số trình bày cách đầy đủ: